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相似三角形的性质

知识精要

相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k表示。

AR RC CA

如厶ABa△ A'R'C',贝U =C=C =k,注意：相似比具有方向性，若写

A' B' B'C' C'A'

1

作厶ABC' ABC则相似比为丄。

k

根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”,记厶ABC^n△ A'B'C'

的周长分别为C ABC 和 C A'B'C',则C ABC : CA B C ' ^k.

类型一相似比与周长比

在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方

法。

例题精解

例1如图，已知等边三角形ABC的边长为6,过重心G作DE//BC,分别交AB,AC 于点D,E.点P在BC上，若△ BDP与厶CEP相似，求BP的长。

解T f；的丑心,BE // ↑∖t∖Λ n M L

An r

T . AH - 61Λ HD2.同理CE= 2#

T ZB = ZC.A翌便ZXBDP 似，杠曲种情况主

(i) 设BP =工，则？= 9Jr i一6工+ 4 =广；*

BP CE X 2

工=：3 ±岳*

— = V BD K CE.A BP = PC = 3. IiP PC

ΛBp = 3 +√5或3—岳或3时，△月DF与ACEP相亂

点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。图中只能确定一组相等的角（∠ B=∠ C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。

【举一反三】

1、如图，△ ABC中，CD是角平分线，E在AC上，CD=CB- CE.

(1)求证：△ ADE^△ ACD

(2)如果AD=6 AE=4 DE=5 求BC的长。

点评：先根据判定定理2得到△ BCD^△ DCE再根据判定定理1得到△ ADE^△ ACD这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。

2、如图，△ ABC中,DE//BE,分别交AB于D,交AC于E O 已知AB=7 BC=8 AC=5 且厶ADE与四边形BCED勺周长相等，求DE的长。

CE

・Ci) …Cl)

△MD S ^DC E.

-BI)C = ZDECr J dADC= ZAED.

T = ZA, Λ ZXADEsZVtCD

A ∏

∆ F

'：ΔΛ∕JEG□ΔACD tΛ —=—

AC AD

/A I)= 6*AE K 44DE= 5t

Λ(' == 9, CE = 9 - 4 = 5, DC = M : DE

ΛE AD

DE

DC

1

5

~

CD Z

=---------- - ≡⅛

7 CDJ-Cβ∙cEtABC-⅛-≡(τ) 1 45

x I = T

Ii

:fl NHrlll Z ⅛ kUlh∣

列力

F"

/ O

∖I' \b： DH + ⅛C+CE.BP 7i÷5⅛ = (7-7*)+ 8+(5-.5*)

点评：无论是以相似比k作为未知量，还是以DE=X作为未知量，目的都是为了把其他的量用k或X来表示，根据题设的等量关系列方程。这一解题思路可称为

“方程思想”，这是用代数方法解决几何问题的基本思想。

3、如图，正三角形ABC的边长为1,点E,F分别在边AB,AC上，沿EF将厶AEF 翻折，使点A恰好落在BC上的点D.已知AE:AF=5:4,求BD的长。

证明T ΔΛBC是等边三角形，器ZA = Z乱

T I AEF 翻折得到ΔDEFτΛ ZEDF = ZA. Λ ZB = ZKnF t、: ZEDC = ZB+ ZBED= ZKD F + Z r CDF f '-÷ERED ZcDF i VZB = ZG 代Λ∏ED S ΔCDF i

UE=S AE l DF —ΛF ./- t∖∏>rp 1t?ArDF= DEl DF N

AE MF =5^4,

i⅛ HD =小则HE + ED = BE + FA ≡ I. Λ C AHKt)- 1 4 乳M 理「—= 2 —氐

JAE=5转化为△ BED^n△ CDF的相似比和周长

点评：本题的难点是将比值

比。

类型二相似比与对应线段之比

如图△ ABC^△ A'B'C'，相似比为k ,若AH,AM,AE和A'H',A'M',A'E' 分别是

△ ABCfy A'B'C'的高、中线和角平分线，贝U A H A M A E = k。

AF 4

A'H 'M A'M' A'E'

i

广义地说，所谓“对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如

上图2中BE和B'E'，ME和M'E'等；而相似三角形对对应位置上的所有三角形也都是相似三角形，如图 2 中的△ ABE^△ ABE', △ AM^△ A'M'E'等。

例2如图，△ ABC中，D在BC上，∠ DAC∠ B,角平分线CE交AD于F.已知BD=I, DC=3.求CF:EF 的值。

饵■/ . D.∖(' -Z/L 7ΛC1) =

"BD 二］.DC? = 3tΛ ΛC2= BC* DC= 12,AC= 2√3. '-'「八CE分别

J⅛ ADAC和ZV∖B C的角平分线* *化2√3√3. CF √3L

"δE-BC = ~ = T^ "E? =^ = 2^÷3÷

点评：本题考查了相似三角形中对应角平分线的相似比问题。

【举一反三】

1、如图，∠ BAE=90 , AB=AC=CD=DE是BC的中点，联结BE,BD,DF.

(1)找出图中的相似三角形并说明理由；

(2)求DF:DB的值。

K Ul Δ(4BE S B S ΔCK∕λ

b-; V <7)= DE. CF =FB. A FD // BE* Z- ΛCFD ∞ΛCBE.

V _ IiAE■ 90∖AB =AC =LQ = DE,

,∖ Ch ~ ΛI√ +AC j- SAC f M AC ∙ 2AC = CD ÷CE,

X ■/ ZBCD = ZECB.Λ ΔCDB S ΔCB E ÷

( IiE S ΔCDB S ACFD,

DF CD

÷Z(TJfiS ΛCBE. Df∖ DB 是对应中Λ^B=BC

点评：第(2)小题也可以将D F看作是△ CFD^△ CDB勺对应边之比。

DB

2、如图，Rt△ ABC中, CD是斜边AB上的高，DEIAC,DF⊥ BC，垂足分别为E,F

Ii∖1 f H∕Γ∖Γh,H,

AC