离散数学考试试题(A、B卷及答案)
《离散数学》试题及答案详解
一、填空题1设集合A,B，其中A＝｛1，2，3｝, B= {1，2}, 则A — B＝________｛3｝____________；ρ（A) - ρ(B)＝_____{｛3｝,｛1，3},{2，3}，｛1,2,3｝｝_______ 。
2. 2. 设有限集合A, ｜A｜= n，则｜ρ(A×A）｜= __3.设集合A = ｛a, b}, B = ｛1, 2}，则从A到B的所有映射是__α1= {(a,1）, (b,1）｝, α2= {（a,2)，（b，2）}，α3= {(a,1），(b,2)｝，α4= {(a,2）, （b，1)}；_，其中双射的是____α3，α4。
_4。
已知命题公式G＝⌝（P→Q)∧R，则G的主析取范式是______（P∧⌝Q∧R）__________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12_______，分枝点数为_______3_________.6设A、B为两个集合, A= {1，2,4}， B = ｛3,4}，则从A⋂B＝_______｛4}__________________; A⋃B＝_____｛1, 2, 3, 4｝____________；A－B＝____{1, 2}_________________ .3.7。
设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反性;对称性；传递性_______________________________.8. 设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R）)，则使公式G为真的解释有____（1, 0, 0)________，___ _（1，0, 1)_________，____（1, 1，0）______________________。
9. 设集合A＝{1，2,3，4}, A上的关系R1 = ｛(1,4）,（2，3)，(3，2）｝，R1 = ｛（2，1)，（3,2）,（4,3)}，则R1•R2 = _｛(1，3）,（2，2）,（3,1)}__________，R2•R1=___{(2,4）,(3,3）,(4,2)}_____ __, R12 =_____｛（2,2)，(3,3）}__________________。
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R )⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q乙：⌝Q ∧P丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。
证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) -ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是_______________________________________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学AB卷
离散数学AB卷离散数学黄金AB卷A卷一、选择题：（30分）1、取个体域为整数集，给定下列公式（1）∀x∃y（x*y=0）（2）∀x∃y（x*y=1）（3）∃y∃x（x*y=2）（4）∀x∀y ∃z（x – y = z）（5）x – y = - y + x（6）∀x∀y（x *y = y）（7）∀x（x*y = x）（8）∃x∀y（x + y = 2y）在上面的公式中，真命题的为 A ，假命题的为B 。
A：①（1）、（3）、（4）、（6）；②（3）、（4）、（5）；③（1）、（3）、（4）、（5）；④（3）、（4）、（6）、（7）B：①（2）、（3）、（6）；②（2）、（6）、（8）；③（1）、（2）、（6）、（7）；④（2）、（6）、（8）、（7）2、设S1=｛1，2，…，8，9｝，S2=｛2，4，6，8｝，S3=｛1，3，5，7，9｝，S4=｛3，4，5｝，S5=｛3，5｝。
确定在以下条件下X可能与S1,…,S5中哪个集合相等。
（1）若X∩S5 = φ，则A ；（2）若X⊆S4但X∩S2 = φ，则B ；（3）若X⊆S1但X⊄S3，则C ；（4）若X - S3= φ，则D ；（5）若X⊆S3但X⊄S1，则E ；A、B、C、D、E：①X=S2或者S3；②X= S4或者S5；③X=S1，S2或者S4；④X与其中任何集合都不等；⑤X=S2；⑥X=S5；⑦X=S3或者S5；⑧X=S2或者S4；3、（1）设S=｛1，2｝，R为S上的二元关系，且xRy。
如果R=Is，则A ；如果R是数的小于等于关系，则B ；如果R=Es，则C 。
（2）设有序对< x+2，4 > 与有序对<5，2x+y >相等，则x=D ，y=E 。
A、B、C：①x与y可任意选择1或2；②x=1，y=1；③x=1，y=1或2；x=y=2；④x=2，y=2；⑤x=y=1或x=y=2；⑥x=1，y=2；⑦x=2，y=1；D 、E ：⑧3；⑨9；⑩ -24、设S=<1，2，3，4>，R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001，则（1）R 的关系表达式是A ；（2）domR=B ；ranR=C ；（3）R R 中有D 个有序对；（4）R-1的关系图中有E 个环。
(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档
11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则
A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , . 13. 设集合 A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是 A 上的整除，则 R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式 G = xP(x)xQ(x)，则 G 的前束范式是__________________________
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
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13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. x(P(x)∨Q(x)). 15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
__________________________，_____________________________,
__________________________.
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1∙R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2∙R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
离散数学期末考试试题
离散数学试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) ( -P A ( —Q A R)) V (Q A R)V (P A R)= R证明：左端 =(-P A-QAR) V ((Q V P)A R£((—P A-Q)AR)) V((Q V P)A R)：=(^P V Q) A R)V(( Q V P ) A R匕(一(P V Q )V(Q V P)) A R：=(「P V Q )V( P V Q )) A fcT A R置换)：=R2) x(A(x) —.B(x)) ：= - x A(x) _._x B(x)证明：x ( A(x) > B(x)〉= x ( f(x) V B(x))= x—A(x) V x B(x)=—- x A(x)V x B(x)=- x A(x) -l xB(x)、求命题公式(P V (Q A R)) >(P A QA R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明：(P V (Q A R))「(P A Q A R>=— (P V (Q A R)) V (P A QA R))二(—P A ( 一QV -R) )V (P A Q A R)二(一P A — Q)V ( -P A -R)) V (P A Q A R)二(_PA _Q R) V (_P A _QA 一R) V ( _P A QA _R)) V ( _PA _QA _R)) V (P A Q R)二m0V m1V m2V m7u M3V M4V M5V M6三、推理证明题(10分)1)C V D,(C V D)》-E, -E >(A A -B), (A A证明(1) xP(x)—B)r(R V S)「：R V S(2)P(a)(1) (C V D)—；「E(3) -x(P(x) >Q(y) A R(x))证明：(2) -E >(A A -B)(4)P(a) >Q(y) A R(a)(3) (C V D)—.(A A -B)(5)Q(y) A R(a)⑷(A A -B)_. (R V S)(6)Q(y)V D)_ (R V S)(7)R(a)(5) (C⑹C V D(8)P(a)⑺R V S(9)P(a) A R(a)2)-x(P(x) —；Q(y) A R(x)) , xP(x)二Q(y) A(10) x(P(x) A R(x))x(P(x) A R(x))(11)Q(y) A x(P(x) A R(x))四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取耐1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍证明设印,a2，…，a m1为任取的1个整数，用m去除它们所得余数只能是0, 1,…，m- 1，由抽屉原理可知，耳,a2，…，a m d这m+ 1个整数中至少存在两个数a s和a t，它们被m除所得余数相同，因此a s和a的差是m的整数倍。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P ∧(⌝Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔((⌝P ∧⌝Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ⇔(⌝(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ⇔T ∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明 ：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)⇔⌝(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))⇔（⌝P ∧(⌝Q ∨⌝R)）∨(P ∧Q ∧R) ⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R)⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R) ⇔m0∨m1∨m2∨m7 ⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1） C ∨D, (C ∨D)→ ⌝E, ⌝E →(A ∧⌝B), (A ∧⌝B)→(R ∨S)⇒R ∨S证明：(1) (C ∨D)→⌝E(2) ⌝E →(A ∧⌝B)(3) (C ∨D)→(A ∧⌝B) (4) (A ∧⌝B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)(6) C ∨D(7) R ∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x) (2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)∃x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。
离散数学考试试题(A、B卷及答案)
离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔ (A∧(P↔Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔(⌝P∨⌝Q∨⌝A∨C)∧(⌝A∨P∨Q∨C)⇔((⌝P∨⌝Q∨⌝A)∧(⌝A∨P∨Q))∨C反用分配律⇔⌝((P∧Q∧A)∨(A∧⌝P∧⌝Q))∨C⇔⌝( A∧((P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)))∨C再反用分配律⇔⌝( A∧(P↔Q))∨C⇔(A∧(P↔Q))→C2) ⌝(P↑Q)⇔⌝P↓⌝Q。
证明：⌝(P↑Q)⇔⌝(⌝(P∧Q))⇔⌝(⌝P∨⌝Q))⇔⌝P↓⌝Q。
二、分别用真值表法和公式法求(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明：公式法：因为(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨(Q∧R)∨(⌝Q∧⌝R))⇔(⌝P∨Q∨R)∧(((⌝P∨Q)∧(⌝P∨R))∨(⌝Q∧⌝R))分配律⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝Q)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨R∨⌝Q)∧(⌝P ∨R∨⌝R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)⇔4M∧5M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制M∧6为4⇔0m∨1m∨2m∨3m∨7m所以，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R Q↔R P→(Q∨R)⌝P∨(Q↔R) (P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))0 0 0 0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1111111111111111111111由真值表可知，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
离散数学试卷及问题详解
离散数学试题（A卷答案）一、（10分）求(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))的主析取范式解：(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))⇔⌝(⌝( P∨Q))∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q)∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨⌝Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨(R∧⌝R))∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨⌝R)∧(P∨Q∨R)⇔M∧1M⇔m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m2二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。
则根据题意应有：甲：⌝P∧Q乙：⌝Q∧P丙：⌝Q∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )⊆'R 。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案离散数学考试试题及答案离散数学是计算机科学和数学中的一门重要学科，它研究的是离散的结构和对象。
离散数学的理论和方法在计算机科学、信息科学、通信工程等领域具有广泛的应用。
下面将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望对大家的学习和复习有所帮助。
1. 集合论题目(1) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∪B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}(2) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∩B的结果。
答案：A∩B={3,4,5}(3) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A-B的结果。
答案：A-B={1,2}2. 图论题目(1) 给定一个无向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求该图的邻接矩阵。
答案：邻接矩阵为：A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，求该图的邻接表。
答案：邻接表为：A ->B ->C ->D ->E -> AB -> CC -> DD -> EE -> A3. 命题逻辑题目(1) 判断以下命题是否为永真式：(p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨¬r)。
答案：是永真式。
(2) 给定命题p：如果天晴，那么我去游泳；命题q：我没有去游泳。
请判断以下命题的真假：(¬p∨q)∧(p∨¬q)。
答案：是真命题。
4. 关系代数题目(1) 给定关系R(A,B,C)和S(B,C,D)，求R⋈S的结果。
(完整word版)离散数学试卷及参考答案()
一、填空题:(每空1分，本大题共15分）1．给定命题公式A 、B ，若 ，则称A 和B 是逻辑相等的。
2．命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为 ，主合取范式的编码表示为 。
3．设E 为全集， ,称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ，～Φ= 。
4．设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =,}},,{{4c b a S =}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S =则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。
5．设S 是非空有限集，代数系统＜（S ），，＞中，（S)对的幺元为 ，零元为 。
（S ）对的幺元为 ，零元为 .6．若>=<E V G ,为汉密尔顿图，则对于结点集V 的每个非空子集S ，均有W(G-S) S 成立，其中W （G —S)是 。
二、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分)1．下面命题公式（ )不是重言式。
A 、)(Q P Q ∨→；B 、P Q P →∧)(；C 、)()(Q P Q P ∨⌝∧⌝∧⌝;D 、)()(Q P Q P ∨⌝↔→。
2．命题“没有不犯错误的人”符号化为( ）。
设x x M ：)(是人，x x P ：)(犯错误。
A 、))()((x P x M x ∧∀; B 、)))()(((x P x M x ⌝→∃⌝；C 、)))()(((x P x M x ∧∃⌝；D 、)))()(((x P x M x ⌝∧∃⌝。
3．设}{Φ=A ，B =((A ））,下列各式中哪个是错误的（ ）。
A 、B ⊆Φ; B 、B ⊆Φ}{，C 、B ∈Φ}}{{；D 、⊆ΦΦ}}{,{(A ）。
4．对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任N b a ∈,（ ）.A 、),min(b a b a =*;B 、b a b a 2+=*;C 、3++=*b a b a ；D 、)3(mod ,b a b a =*。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1，2,3｝，B= {1,2}, 则A - B＝____________________; （A) - (B）＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则｜（A×A）｜= __________________________.3。
设集合A = {a, b｝, B = {1，2｝，则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________。
4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________。
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________。
6设A、B为两个集合，A= ｛1，2，4｝, B = {3,4｝, 则从A B＝_________________________；A B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7。
设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________, _______________________________。
8. 设命题公式G＝⌝(P→（Q∧R）），则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________,__________________________。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={x|x<5}，集合B={x|x>2}，则A∩B为：A. {x|x>2}B. {x|x<2}C. {x|2<x<5}D. {x|x≥5}2. 命题p："x>0"是命题q："x^2>0"的：A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件3. 函数f(x)=x^2+3x-2的值域是：A. (-∞, -1]B. [1, +∞)C. (-∞, 4]D. (-∞, 2]4. 逻辑表达式((P∨Q)∧(¬P))的真值表中，当P为真时，表达式的值为：A. 真B. 假C. 不确定D. 无法判断5. 已知二元关系R定义在集合A上，若对于任意a,b,c∈A，若aRb且bRc，则aRc，那么R是：A. 自反的B. 对称的C. 传递的D. 完全的6. 有限状态自动机（DFA）与确定有限状态自动机（DFA）的区别在于：A. DFA可以识别非正则语言B. DFA可以有多个起始状态C. DFA可以有多个接受状态D. DFA可以有多个状态7. 命题逻辑中，若命题P的否定为P'，则P和P'的关系是：A. 互为对立B. 互为矛盾C. 互为等价D. 互为同一律8. 集合{1,2,3}的子集个数是：A. 3B. 4C. 7D. 89. 一个命题逻辑公式的真值表中，若存在一行结果为假，则该公式：A. 总是假B. 有时真，有时假C. 总是真D. 无法判断10. 布尔代数中，逻辑与（AND）操作的特点是：A. 有0则0B. 有1则1C. 非0即1D. 非1即0二、简答题（每题5分，共10分）1. 简述集合论中的幂集概念。
2. 描述图的邻接矩阵表示方法。
三、计算题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1在R上是单调递增的。
《离散数学》试卷及答案精选全文完整版
H(x)：x是身体健康的；
S(x)：x是科学家
C(x)：x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101，S ,且|S|为奇数，则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项，则mi的对偶式不一定是（填“是”/“不是”/“不一定是” ） G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}； (2) a=3； (3) 函数f(x)为f(2)=2，f(3)=3； (4) 谓词：F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时，G(i,j):=1；当i≠j时，G(i,j):=0；其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有（a+bi）R（u+vi）
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人。”（15分）
2.设A={1,2,3…10}，定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10}，试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由（5分）
解答：R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}
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离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C)(P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律GAGGAGAGGAFFFFAFAF( A∧(P Q))∨C(A∧(P Q ))C2) (P Q)P Q。
证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。
二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF证明：公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R))(P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R))(P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律(P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R)(P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R)M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为04GAGGAGAGGAFFFFAFAF所赋真值，即100，二进制为4GAGGAGAGGAFFFFAFAFm∨1m∨2m∨3m∨7m所以，公式(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R QRP(Q∨R)P∨(Q R)(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))0 0 00 0 111111111111111GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF1可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
三、推理证明题（10分）1）P∨Q，Q∨R，R S P S。
证明：(1)P附加前提(2)P∨Q P(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）GAGGAGAGGAFFFFAFAF(4)Q∨R P(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）(6)R S P(7)S T(5)(6)，I（假言推理）(8)P S CP2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明（1）xP(x)(2)P(a)(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))GAGGAGAGGAFFFFAFAF(4)P(a)Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）证明：因为GAGGAGAGGAFFFFAFAFx∈(A∪B)－C x∈(A∪B)－Cx∈(A∪B)∧x C(x ∈A ∨x∈B)∧x C(x∈A∧x C)∨(x∈B∧x C)x∈(A－C)∨x∈(B－C)x∈(A－C)∪(B－C)所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。
八、证明整数集I 上的模m同余关系R={<x,y>|x y(mod m)}是等价关系。
其中，x y(mod m)的含义是x-y可以被m 整除（15分）。
X(modm)=y(modm)证明：1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x x(mod m)，GAGGAGAGGAFFFFAFAF即xRx。
2）x,y∈I，若xRy，则x y(mod m)，即（x-y）/m=k ∈I，所以（y - x）/m=-k∈I，所以y x(mod m)，即yRx。
3）x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。
九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf 有逆函数（gf）-1：C→A 。
同理可推f-1g -1：C→A 是双射。
因为<x,y>∈f-1g-1存在z（<x,z>∈g-1<z,y>∈f-1）存在z（<y,z>∈f <z,x>∈g）<y,x>∈gf<x,y>∈（gf）-1,所以（gf ）-1=f-1g -1。
离散数学考试试题(B卷及答案）一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P ∧R)T证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧GAGGAGAGGAFFFFAFAF(P∨R))(摩根律)((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)T (代入)2) x y(P(x )Q(y ))(xP(x)yQ(y))证明：x y(P(x )Q (y ))x y(P(x )∨Q(y))x (P(x)∨yQ(y))x P(x)∨yQ (y)x P(x)∨yQ(y)GAGGAGAGGAFFFFAFAF(xP(x )yQ(y))二、求命题公式(P Q)(P ∨Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(P Q)(P ∨Q)(P Q)∨(P ∨Q)(P∨Q)∨(P ∨Q)(P ∧Q)∨(P ∨Q)(P∨P ∨Q)∧(Q∨P ∨Q)(P ∨Q)M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1GAGGAGAGGAFFFFAFAFm0∨m2∨m3使之为真三、推理证明题（10分）1)(P (Q S))∧(R∨P)∧Q R S证明：(1)R(2)R∨P p(3)P T（1）（2）析取三段论(4)P (Q S) p(5)Q S T（3）（4）I假言推理(6)Q P(7)S T（5）（6）I假言推理(8)R S CPGAGGAGAGGAFFFFAFAF2) x(A(x )yB(y))，x(B(x )yC(y ))xA(x )yC(y)。
证明：(1)x(A(x )yB(y)) P(2)A(a )yB(y) T(1)ES(3)x(B(x )yC(y)) P(4)x(B(x )C(c)) T(3)ES(5)B(b )C(c)GAGGAGAGGAFFFFAFAFT(4）US(6)A(a)B(b) T(2)US(7)A(a )C(c ) T(5)(6)I假言三段论(8)xA(x )C(c ) T(7)UG(9)xA(x)yC(y) T(8)EG四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。
所GAGGAGAGGAFFFFAFAF以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。
解：设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e )：e 提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：P x A(x)，xA(x)Q Q P。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF(1)P x A(x) P(2)P xA(x) T(1)E(3)xA(x )PT(2)E(4)xA(x )Q P(5)(xA(x )Q)∧(Q xA(x)) T(4)E(6)Q xA(x) T(5)IGAGGAGAGGAFFFFAFAF(7)Q PT(6)(3)I五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）证明：∵x A∩（B ∪C ）x A ∧x（B ∪C ）x A ∧（x B∨x C ）（ x A ∧x B ）∨（x A ∧x C ）x（A∩B ）∨x A ∩C x（A∩B）∪（A∩C）∴A ∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、A={ x1,x2,x3}，B={ y1,y2}，R={<x1, y1>,<x2, y2>,<x3, y2>}，求其关系矩阵及关系图（10分）。
有就是1，没就是GAGGAGAGGAFFFFAFAF七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R 的关系图（15分）。
r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,< 2,2>,<3,3><5,5>}（自反闭包）s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2> ,<4,2>,<4,3>}（对称闭包）t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2> ,<5,1>,<5,4>,<5,5>}（传递闭包）九、设f：A B，g：B C，h：C A，证明：如果h o g o f ＝I A，f o h o g＝I B，g o f o h＝I C，则f、g、h均为双射，并求GAGGAGAGGAFFFFAFAF出f－1、g－1和h－1（10分）。
解因I A恒等函数，由h o g o f＝I A可得f是单射，h 是满射；因I B恒等函数，由f o h o g＝I B可得g是单射，f 是满射；因I C恒等函数，由g o f o h＝I C可得h是单射，g 是满射。
从而f、g、h均为双射。
由h o g o f＝I A，得f－1＝h o g；由f o h o g＝I B，得g－1＝f o h；由g o f o h＝I C，得h－1＝g o f。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问:六.(1) 有多少不同的由X到Y的关系?七.(2) 有多少不同的由X到Y的影射?八.(3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?（12分）<G,*>是个群，u∈G，定义G 中的运算“”为a b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：<G, >也是个群。