二次函数yaxh的图象与性质

2.2 二次函数的图象与性质

第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质

1．掌握二次函数y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2(a ≠0)图象之间的联系；(重点) 2．能灵活运用二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 一、情境导入

二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到：

当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度． 问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论．

二、合作探究

探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质

【类型一】 二次函数y ＝a (

x －h )2的图象

顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－1

2x 2的图象相同的抛物线的解

析式为( )

A ．y ＝12(x －2)2

B ．y ＝1

2(x ＋2)2

C ．y ＝－12(x ＋2)2

D ．y ＝－1

2(x －2)2

解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所

以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－1

2，而抛物

线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a ＝－12，

h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－1

2

(x ＋2)2.故选

C.

方法总结：决定抛物线形状的是二次项

的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题

【类型二】 二次函数y ＝a (

x －h )2的性质

若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上

的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．

解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.

方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题

【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2

的图象与y ＝ax 2的图象的关系

将二次函数y ＝－2x 2的图象平移

后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )

A ．向上平移1个单位

B ．向下平移1个单位

C ．向左平移1个单位

D ．向右平移1个单位

解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.

方法总结：解决本题要熟练掌握二次函

数的平移规律．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型四】 二次函数y ＝a

(x －h )2与三角形的综合

如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶

点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .

解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．

解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得

⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩

⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A

的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．

如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S

梯形

ABOD －S △ACD －S △BOC

＝1

2

(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB －12CD ·AD ＝1

2(4＋

16)×6－12×2×4－1

2

×4×16＝24.

方法总结：解决本题要明确以下两点：

(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

【类型五】 二次函数y ＝a

(x －h )2的探究性问题

某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向

左平移2个单位得到．

(1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；

(2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点

为B .

①求线段AB 的长及直线AB 的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和

B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．

解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；

(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；

②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝17

4，因此这个C

点的坐标为C 4(－2，17

4

)．