九年级数学图形的相似
九年级数学图形相似知识点
九年级数学图形相似知识点在九年级数学课上，我们学习了许多有趣的数学知识，其中包括图形的相似性质。
相似是数学中重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析各种图形之间的关系。
在本文中，我们将探讨九年级数学课程中涉及的一些重要的图形相似知识点。
一、相似图形的定义两个图形如果满足以下三个条件，我们就称它们是相似的。
1. 对应角相等：图形中相等的角分别对应相等。
2. 对应边成比例：图形中对应的边的长度成比例。
3. 相似比例：两个相似图形的边的长度的比值称为相似比例。
通过相似的定义，我们可以得出一些重要的结论。
例如，如果两个三角形相似，那么它们的对应边长比相等；如果两个正方形相似，那么它们的边长比也相等。
二、相似三角形的性质相似三角形是九年级数学课程中一个重要的概念。
我们经常用相似三角形来解决实际问题，尤其是涉及到测量和工程方面的计算。
下面是一些相似三角形的性质。
1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
根据AAA相似定理，我们可以快速判断两个三角形是否相似。
只需确认它们的三个角分别相等即可。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们是相似的。
SSS相似定理告诉我们，只要两个三角形的对应边长比例相等，那么它们就是相似的。
这些相似三角形的性质非常有用，可以帮助我们在实际问题中进行快速计算和推导。
例如，在测量不便的情况下，我们可以通过测量一个三角形的某些部分，然后利用相似三角形的性质来计算其他部分的长度。
三、相似比例的计算在相似图形中，相似比例是一个重要的概念。
我们经常使用相似比例来计算图形的各种长度和面积。
下面是一些常用的相似比例计算方法。
1. 边长比例计算：如果两个相似图形的边长比例为a:b，那么两个图形的面积比例为a²:b²。
这个计算方法告诉我们，如果两个相似图形的边长比例为a:b，那么它们的面积比例为a²:b²。
例如，如果一个三角形的边长比为2:3，那么它的面积比为4:9。
《图形的相似》相似PPT优质课件
《图形的相似》相似PPT优质课件
人教版九年级数学下册《图形的相似》相似PPT优质课件，共37页。
学习目标
1.了解相似图形和相似比的概念.
2.理解相似多边形的定义.
3.能根据多边形相似进行相关的计算.
探究新知
相似图形的定义
指能够完全重合的两个图形，即它们的形状和大小完全相同.
相似图形的关系
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
相似多边形的定义和相似比的概念
下图是两个等边三角形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?
两个等边三角形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?
两个正六边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
两个边数相等的正多边形相似,且对应角相等、对应边成比例.
归纳：
相似多边形的定义：
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的特征：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的对应边的比叫做相似比.
课堂小结
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
对应角相等，对应边成比例
相似多边形对应边的比叫做相似比
... ... ...
关键词：图形的相似PPT课件免费下载，相似PPT下载，.PPTX格式；。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似三角形，可以解决一些几何问题，如计算不可测量的长度或距离。
2. 比例与相似：比例是指两个量之间的相对关系。
在相似三角形中，对应边的长度之比等于对应角的边之比。
比例与相似问题常用于解决物体的放大缩小、图形的变换等。
3. 相似多边形：相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
相似多边形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似多边形，可以解决一些面积和体积比较的问题。
4. 黄金分割：黄金分割是指一条线段分割成两部分，较长部分与整体的比例等于整体与较短部分的比例。
黄金分割在艺术、建筑、设计等领域中广泛应用。
5. 图形的相似性变换：图形的相似性变换是指通过平移、旋转、镜像和缩放等变换操作使两个图形成为相似图形。
相似性变换常用于解决图形的构造、定位和证明问题。
6. 相似三角形的勾股定理：相似三角形的勾股定理是指在两个相似三角形中，两个直角边的平方的比等于两个斜边的平方的比。
7. 外接圆和内切圆：在相似三角形和相似多边形中，外接圆和内切圆分别是能够通过所有顶点（或顶点所在的边）的圆和能够被所有边（或边上的顶点）所切的圆。
外接圆和内切圆之间存在着一定的关系，如半径比例等。
8. 相似三角形的角平分线定理和中线定理：相似三角形的角平分线定理是指两个相似三角形中，两个对应角的角平分线也相似；相似三角形的中线定理是指两个相似三角形中，两个对应中位线也相似。
这些是九年级数学中与相似有关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学 相似图形
相似图形•主要性质：1.对应内角相等2.两个图形对应边成比例如果是正方形，则只要边长成比例就可以，所以所有的正方形，正三角形都相似长方形是长和高对应成比例3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
•相似图形基本法则:1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB,CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成AB/CD=m/n。
分别叫做这个线段比的前项后项。
2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。
3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。
4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d.5. 如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d；那么（a±kb)/b=(c±kd)/d；那么a/b±ka=c/d±kc6如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么（a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.7 如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，（√5-1）/2叫做黄金比。
8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。
9. 三角形ABC与三角形A’B’C’是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做<a>相似多边形。
11.相似多边形的比叫做相似比。
12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
若三角形ABC 与三角形DEF相似，记作：△ABC∽△DEF，把对应顶点的字母写在相应的位置上13.探索三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似。
②三边对应成比例的两个三角形相似。
③两边对应成比例且夹角相等的两个三角相似。
九年级下册数学《相似》重点知识整理
九年级下册数学《相似》重点知识整理《相似》重点知识27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2 相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：1、利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3 位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。
（3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
数学图形相似九年级知识点
数学图形相似九年级知识点数学中的图形相似是指两个或多个图形在形状上相似，即它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
图形相似在几何学中有重要的应用，能够帮助我们分析和解决各种数学问题。
本文将介绍九年级数学中关于图形相似的知识点。
1. 判断图形相似的条件在九年级数学中，判断两个图形是否相似，需要满足以下三个条件：（1）对应角相等：两个图形的对应角度相等。
（2）对应边比例相等：两个图形中，对应边的长度之比相等。
（3）对应边平行：两个图形中，对应边之间相互平行。
2. 图形相似的性质图形相似具有以下性质：（1）对应角的性质：相似图形的对应角相等，即它们的内角相等，外角相等。
（2）对应边的比例：相似图形的对应边之比等于它们的周长、面积之比。
即若图形A与图形B相似，那么两个图形的对应边AB与A'B'的比例等于它们的周长或面积之比。
3. 相似三角形的定理在相似三角形中，我们可以应用以下定理来求解各种问题：（1）AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）AA相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的对应边比例相等，则这两个三角形相似。
（3）SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 图形相似应用图形相似在实际问题中有广泛的应用，比如：（1）计算高塔的高度：通过相似三角形的定理，我们可以计算高塔的高度。
例如，利用影子定理可以测量高塔的高度，其中就用到了相似三角形的概念。
（2）建模问题：在建模问题中，相似图形的概念可以帮助我们将实际物体或建筑的比例缩小或放大，以便进行实际测量或设计。
总结：数学图形相似是九年级数学中的重要知识点，它可以帮助我们分析和解决各种数学问题。
相似图形的判断条件、性质以及应用都需要我们掌握。
通过学习相似图形的知识，我们可以更好地理解几何学中的概念和应用，提升数学解题能力。
23.2 相似图形(数学华师大版九年级上册)
相似多边形的对应边成比例，对应角相等。
两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例， 各角对应相等，那么这两个多边形相似。
这个定义是我们判断两个多边 形是否相似的准确方法。
（1）两个三角形一定相似吗？（
）
（2）两个等腰三角形一定相似吗？（
）
（3）两个等边三角形一定相似吗？（
）
（4）两个正方形一定相似吗？（
18
解：∵两个四边形相似
∴18 x 12 18
∴ x 27
根据对应角相等，可得
例 2 如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F
重合时，折痕与BC边交于点E，连结EF，若四边形EFDC与矩形ABCD 恰好相似，若AB=1，求AD的长。
A
FD
A
F
D
B
EC
B
E
C
拓展：如图，把矩形ABCD对折，折痕为FE，矩形DFEC与矩形ABCD相 似，已知AB=1,求AD的长。
形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似图形。 （简称相似形）
（1）相似图形只与图形的形状有关，与图形的大小、位置无关； （2）全等图形是相似图形的特例； （3）两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或
缩小得到。
下列图形是相似形吗？
（1）
（2）
（3）
下列各组图形相似吗？
（1）
（2）
A' B' =__2_，B' C' =_１___，C' D' =__2__，A' D' =__5__.
AB BC CD AD A'B' B'C' C'D' A'D'
人教版九年级数学下册2图形的相似
下列图形中____与_____是相似的.
相似图形不一定是全等图形.
的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？
2) 两个全等的三角形；
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
若两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等，则这两个多边形相似.
你能发现它们有什么特点吗?
相似多边形的判定方法：
若两个多边形满足对应角相等,对应边的比 相等，则这两个多边形相似.
例2 判断下列各题中的图形是否相似，若相似，指 出它们的相似比：
1) 任意的两个圆； 2) 两个全等的三角形； 3) 两个等腰直角三角形； 4) 两个等边三角形； 5) 两个菱形； 6) 两个矩形； 7) 两个正方形； 8) 两个正n边形；
的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？ 的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？
的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？
形状相同，大小不一定相同
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 你能发现它们有什么特点吗?
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
由另一个图形放大或缩小得到. 相似多边形的判定方法：
思考：下图一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到自己的形象，这些镜中的形象相似吗？
两两相似的几何图形
思考：下图一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到自 己的形象，这些镜中的形象相似吗？
练一练
P25 练习1，练习2
3.下列图形中__(1_)_与__(_4_)_是相似的.
第二十七章 相似 27.1 图形的相似
新课导入
九年级数学图形的相似(带标准答案)
第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FDBF的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故FD BF =AD BE =31. 解答：选B ．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC △与DEF △的相似比为254=52. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。
由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。
解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． 【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACEA B CDF E（第6题）y xAOCBD EF【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27． 【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ． 9B ． 10C ． 12D ． 13解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可．解：∵=， ∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∴==，∴9S △AEF =S △ABC ， ∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ， 解得：S △ABC =9． 故选A ．答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.CAE解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DECE,∴610=DE6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ; (2)FC 2=BF·GF ;(3) 22AB FC =GBGF .解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2=BF·BG ,结合AB=BC 可得. 证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF , ∴ CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o, ∠CBG+∠BCG =90o,∠BAH+∠ABH =90o,∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG,AB=BC,∴△ABH ≌△BCG , ∴CG=BH ;(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o,∴△CFG ∽△BFC , ∴FCGFBF FC =, 即FC 2=BF ·GF ;(3) 由（2）可知，BC 2=BG ·BF , ∵AB=BC ,∴AB 2=BG ·BF ,∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BGFGAF即22AB FC =GBGF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ）CDBAA 、1对B 、2对C 、3对D 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA 【答案】C ．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。
九年级数学图形的相似
九年级数学图形的相似1、黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
2、黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.作法：（1）过点B 作BD ⊥AB ，使BD=0.5AB ； （2）连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；（3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点。
（4）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 4、性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
5、相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。
相似比为k 。
6、判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
人教版九年级数学下册第二十七章27.1 图形的相似
解：∠A＝65° ， ∠B＝65° ， ∠D＝∠C＝180° －65° ＝115° ， 15 15 A′D′＝ 4 cm，B′C′＝A′D′＝ 4 cm.
15. 在△ ABC 中，AB＝12，点 E 在 AC 上，点 D AD AE 在 AB 上，若 AE＝6，EC＝4，且DB＝EC. (1)求 AD 的长； DB EC (2)试问 AB ＝AC能成立吗？请说明理由．
13. 一个四边形的边长分别是 3，4，5，6，另一 个和它相似的四边形的最小边长为 6，那么另一个四 边形的周长为 36 ．
14. 如 图所 示 ， 等腰 梯 形 ABCD 与等 腰 梯 形 A′B′C′D′相似，∠A′＝65° ，A′B′＝6 cm，AB＝8 cm， AD＝5 cm，试求梯形 ABCD 各角的度数与 A′D′，B′C′ 的长．
(2)请归纳出相似体的 3 条主要性质： ①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等 于
相似比
； ； ．
②相似体表面积的比等于 相似比的平方 ③相似体体积的比等于 相似比的立方
17. (1)已知图①中的两个矩形相似，求它们的对 应边的比；
(2)如图②，两个六边形的边长分别都为 a 和 b， 且每一个六边形的内角均是 120° ，它们相似吗？为什 么？
S甲 6 a2 a2 则 ＝6b2 ＝b ，又设 V 甲、V 乙分别表示这两个正 S乙 V甲 a3 a3 方体的体积，则 ＝b3＝b . V乙
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( A ) A．两个球体 C．两个圆柱体 B．两个圆锥体 D．两个长方体
8. 在比例尺为 1∶n 的某市地图上，A，B 两地相 距 5 cm，则 A，B 之间的实际距离为( C ) 1 A.5n cm C．5n cm 1 2 B.25n cm D是相似形的是 ( B )
初中九年级数学相似知识点
初中九年级数学相似知识点相似是数学中一个重要的概念，也是数学学习中的基础内容之一。
在初中九年级的数学学习中，相似是一个重要的知识点。
本文将介绍初中九年级数学中相似的相关知识点，以及相关应用。
一、相似的概念及性质相似是指两个图形的形状相同但尺寸不同。
在数学中，我们可以通过相似来解决一些几何问题。
相似的概念有以下几个性质：1. 对应角相等性质：两个相似图形的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：两个相似图形的对应边成比例。
二、相似三角形的判定条件在初中九年级数学中，我们通常需要判断两个三角形是否相似。
以下是判定两个三角形相似的条件：1. AAA 判定相似定理：若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. AA 判定相似定理：若两个三角形的两个角分别相等，并且对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、相似比例相似的两个图形的对应边成比例。
在初中九年级的数学中，我们经常会涉及到相似比例的计算。
相似比例的计算方法如下：1. 如果两个图形相似，我们可以通过已知的两组对应边的长度，计算出它们的相似比例。
2. 设相似比例为k，则相似图形中相同位置的边长度之比为k。
四、相似图形的应用相似图形在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的相似图形应用：1. 测量高楼的高度：通过在两个相似的三角形之间设置高度比例，我们可以根据已知高楼和测量结果的比例，计算出高楼的实际高度。
2. 制作地图：在地图制作过程中，我们可以通过相似的关系将一个大区域缩小到合适的尺寸，以便于绘制。
3. 三角测量：在实际测量中，我们可以利用相似三角形的边长比例关系，计算得到难以直接测量的距离。
五、总结相似是数学中一个重要的概念，在初中九年级的数学学习中，相似是一个重要的知识点。
相似的性质和判定条件可以帮助我们解决实际问题，同时也为我们理解几何形状的变化提供了基础。
相似比例的应用也是数学在实际生活中的体现。
通过深入学习相似的概念和应用，我们可以更好地理解数学知识，提高我们的数学水平。
九年级数学上册23.2 相似图形课件 (共24张PPT)
且沿着直线 l 剪开后得到的矩形 EFCD 与原
矩形 ABCD 相似，试求 AD 的长；
AD AB 解： . 1 矩形EFCD∽矩形CBAD， CD CF 设AD 2CF 2 x , 又 CD AB 2. 2x 2 .解得：x 2, AD 2 2. 2 x
F l E
D
DC 2 4 ED 5 1, B AD 5 1 AE AD ED 2. AE 2 5 1 ED,
C
依据对称性考虑，必定存在当AE 5 1时， 使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形. 综上所述：当AE 5 1或2时，在剪开所 得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似. 这两种情形中，E点刚好是边AD的两个黄金 分割点.
解： 四边形ABCD与四边形A BC D相似， x 18 , 从而可得：x 27. 18 12 四边形ABCD与四边形A BC D相似， C C 83 ， 360 77 116 83 84 .
讨论
两个三角形一定是相似图形吗？ 不一定 两个等腰三角形呢? 不一定
两个等边三角形呢？
一定
思维变式
两个长方形相似吗？两个正方形呢？ 两个长方形不一定相似. 两个正方形一定相似.
小结
相似多边形的判定方法：对于两个边 数相同的多边形，如果它们的对应边成比 例并且对应角也分别相等，那么这两个多 边形相似.
例2.矩形 ABCD 纸片的边 AB长为 2cm，
动直线 l 分别交 AD、BC 于E、F 两点，
（2）若使 AD ( 5 1)cm ，试探究，在 AD 边上是否存在点 E ，使剪刀沿着直线 l 剪开 后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形 ABCD 相似的情况.若存在，请求出 AE 的值，并判 断 E 点在边 AD 上位置的特殊性；若不存在， 请说明理由.
九年级上册数学课件相似图形
对应角相等 对应边成比例
1、在比例尺为1：10 000 000的地图上，量 得甲，乙两地的距离是30cm，求两地的实际 距离。
2、如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
例2：如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、 BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似， AB=1，求矩形ABCD的面积. E A D
A
18cm
21cm
D
x E
24cm
118°
78
83
G
∠A=∠E=118 °
B
∴
C
解：∵ 四边形ABCD
又 在四边形ABCD中
∠α =∠C=83 °，
∽ EFGH
F
∵ 四边形ABCD和EFGH相似 x 24 EH EF ∴ 即 21 18 AD AB ∴ x=28(cm)
∠ β = 360°-（ 78°+ 83°+ 118° ）=81 °
合情猜测
如果两个图形相似，它们的对应边、 对应角可能存在某种关系.
图（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到 的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？ 对应边呢？ 对应角相等 对应边的比相等 对于图（2）中的两个相似的正六边形，你是否也 能得到类似的结论？ 对应角相等 对应边的比相等
A1 A B C C1
⒉你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形
象与你本人相似吗？
相似
观察下面的图形（a）～（g），其中哪 些是与（1）（2）或（3）相似的？
（a）与（1）、
（d）与（2）、 （g）与（3）
两 个 五 边 形
这些图形相似吗？
两 个 矩 形
两个相似的平面图形之间有什么关系 呢？为什么有些图形是相似的，而有些 不是呢？相似图形有什么主要特征呢？
九年级数学 图形的相似
图形的相似4.1 成比例线段【知识点】1. 线段的比：两条线段长度之比称为线段的比（单位一致）.2.比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足dc b a =，则称四条线段a 、b 、c 、d 为成比例线段. 注：（1）判断线段是否成比例的方法：①一排（从小到大或从大到小排序）②二算（计算比值是否相等）③三判断（判断是否成比例）.（2）当四条线段成比例时，若其中一条长度未知，那么在确定比例关系时，有多种对应情况，需要分类讨论.3.比例中项：若db b a =（或ad b =2），则称b 为比例中项. 4.比例基本定义：若a 、b 、c 、d 满足d c b a =（或a ：b=c ：d ），则称a 、b 、c 、d 为比例的项，a 、d 为比例外项，b 、c 为比例内项.5.比例基本性质：若dc b a =（或a ：b=c ：d ），则ad=bc ； 若ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），则dc b a =. 6.合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a ±=±；若d c b a =，则d kd c b kb a ±=±. 7.等比性质：若ba n f db m ec a n m f ed c b a =⋯++++⋯+++=⋯===则,（b+d+f+...+n ≠0）.考点1 线段的比1.如果在比例1：10000000的地图上，A 、B 两地图上距离为2.4cm ，那么A 、B 两地的实际距离为 千米．2.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则在图上距离和实际距离的比是（ ）A.1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1考点2 比例线段1.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则 d 的长度为 ( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm2.下列四条线段中，不能成比例的是 ( )．A ．a=3，b=6，c=2，d=6B ．a=4，b=6，c=5，d=10C ．a=1，b=2，c=6，d=3D ．a=2，b=5，b=15，d=323.已知三条线段a 、b 、c ，其中 a=1cm ，b=4cm ，c 是 a 、b 的比例中项，则c= cm4.已知三条线段的长分别为 1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 ( )A ．1B ．2.25C ．4D ．2 5.如图，在平行四边形 ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC 找出图中的一组比例线段，并说明理由．考点3 比例性质1.已知 xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 ( )A.y m n x = B ．x n m y = C ．y n m x = D ．ny m x = 2.若35b a =，则 bb -a = _． 3.已知 a ：b ：c=2:3:4，则ba c a -+= ． 4.已知53f e d cb a ===，b+d+f=50，那么a+c+e= . 5.把一张矩形纸片沿图中虚线裁成三张大小相同的矩形纸片，若得到的小矩形纸片长边与短边的比等于原来大矩形纸片的长边与短边的比，则大矩形纸片的长与宽之比为6.已知线段a 、b 、c ，满足623c b a == ，且a+2b+c=26，求c b a +的值．7.在△ABC 和△DEF 中，已知43===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18，求△DEF 的周长.8.===k,y z z x x y x y z+++则k 的值 .9.若a.b.c 是非零实数，并满足ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+， 且abca c cb b a x ))()((+++=，则x 的值 .4.2平行线分线段成比例【知识点】1.基本结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例3.平行线模型：A 字型 8字型 角平分线模型在△ABC 中， ∠1=∠2 ，则ACDC AB BD考点1 基本模型及推论1.如图，已知 a ∥b ∥c ，直线 AC 、DF 与a 、b 、c 相交于点 A 、B 、C 、D 、E 、F ，且 AB=6,BC=4,DF=8，则 DE= ( )A ．12B ．316C ．524 D ．3 2.如图，DE 是△ABC 的中位线，BD 与CE 相交于点O ，则 OD OB 的值是 ．3.在 △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，则 BD 的长为考点2 等比转换1.如图，点的D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，如果AD ：DB=3：2 ，那么BF ：FC= .2. 如图,已知在△ABC 中，DE∥BC,EF∥AB，AE=2CE，AB=6,BC=9，求四边形BDEF 的周长．3.如图，在△OCE 中，AD∥BE，BD∥CE，若OA=3,AC=9，则AB 的长为．4.如图，在△ABC中，EF∥CD,DE∥BC.⑴求证:AF:FD=AD:DB;⑵若AB=15,AD:BD=2:1,求DF的长.4.3 相似多边形【知识点】1.相似图形：形状相同的图形就是相似图形（可平面，可立体）.注意：所有的边数一致的正多边形都是相似图形2.相似多边形判定条件：①各角对应相等；②各边成比例；【缺一不可】3.相似多边形对应边的比叫做相似比（顺序性）4.相似多边形性质：①对应角相等，对应边成比例②相似比＝周长比=对应边上高之比；中线之比；角平分线之比③相似比2=面积比（当相似比为1时，两个相似的图形就全等，即全等是相似的一种特殊情况）考点1 判断相似多边形1.下列命题中，真命题是（）A.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似2.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，依次是两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各组成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A. B. C. D.考点2 相似矩形1.已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（）A B C D2.如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD 的长为.3.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是.4.一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽是5.一块矩形绸布的宽AB=a m，长AD=1m，如图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值应当是6.如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD2，连接CF，则CF=相似，且相似比为37.如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值为（）A．B．C．D．8．如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（）A．S1﹣S2B．S1+S3C．S4﹣S2D．S3+S4考点3 相似多边形的性质1.如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，求则∠α= ; ∠β= 和EH= .2.两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（）2：C．2：5 D．2：3A．4：9 B．33.若两个正方形的边长比是3：2，其中较大的正方形的面积是18，则较小的正方形的面积是（）A．4 B．8 C．12 D．164.一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是5.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是6.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为s2，s3，…，sn（n为正整数），那么第9个正方形的面积S9= ．4.4--1 相似三角形的判定【知识点】1.相似三角形定义：三个角相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形注意：①对应性(顶点字母)②顺序性（比值）③传递性（两组相似三角形）.2.相似三角形判定判定定理一：两角对应相等（注意公共角，对顶角，同角的余角相等）.判定定理二：两边对应成比例且夹角相等（对应边成比例时用此判定）.判定定理三：三边对应成比例.考点1 判定定理11.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2.如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC.3.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2. 求证:ΔABC∽ΔEAD.4.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD 相交于点N ．求证：.MN CN DN AN •=•5.如图，已知E 是矩形ABCD 的CD 边上一点，BF ⊥AE 于F ，求证：△ABF ∽△EAD6.如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠ADE=60°，求证：△ADC ∽△DEB ．考点2 判定定理21.如图，已知AD •AC=AB •AE ． 求证：△ADE ∽△ABC2.如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC=4，AC=8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB ．3.已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD, 求证：△DBE ∽△ABC.考点3 判定定理31.如图,四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1),每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上),是相似三角形的为( )A.①③B.①②C.②③D.②④2. 一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm 、30 cm 、36 cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27 cm 、45 cm 的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,则截法有( )A.0种B.1种C.2种D.3种3.如图△ABC 中,点D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 上点,AD=3,AE=6,DE=5,BD=15,CE=3,BC=15.根据以上条件,∠B=∠AED 吗?并说明理由.4.如图，在△ABC 和△ADE 中AEACDE BC AD AB ==，点B ．D ．E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．考点4 判定综合应用1.如图，点 P 在 △ABC 边 AC 上，要判断ACB ABP ∽△△，添加一个条件，不正确的是 ( )A ．C ABP ∠=∠B ．∠APB=∠ABC C ．AC AB AB AP = D ．CBACBP AP =2.如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，已知BC BD AB •=2，那么下列结论一定正确的是 ( )A ．BAC BDA ∠=∠B ．DC BD AC AB = C ．DCBD AC AD =D ．CB CD AC •=23.如图，在▱ABCD 中，F 是AD 延长线上一点，连接BF 交DC 于点E ，则图中相似三角形共有（ ）对．A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 4. 如图，平行四边形ABCD 中，GE ∥BC ，图中相似三角形共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对5.如图，把△ABC 绕点A 旋转到△ADE ，当点D 刚好落在BC 上时，连结CE ，设AC ，DE ，相交于点F ，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AD AB AC •=2，∠ADC=90°，E 为AB 的中点．（1）求证：ACB ADC ∽△△；（2）CE 与AD 有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若AD=4，AB=6，求AFAC的值．考点5 辅助线得相似1.如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，已知BD ：DC=5:3，E 为AD 的中点，延长BE 交AC 于F ，则AF ：AC= .2. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 在AC 边上，且AE ：EC=1：2，BE 交AD 于P ，则AP ：PD 等于 .3.如图，△ABC 中，AF ：FD=1：2，BD=DC ，则 EF;BF= _____．BADCGF E D BCA4. 如图，在△ABC 中，D 为边AC 上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若BG:GA=3:1，BC=10，则值AE=______．5.如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，P ，Q 是BC 的三等分点．AP .AQ 分别交BM 于D.E 两点，则BD ：DE ：EM= .4.4--2 相似模型【知识点】1.相似模型一：A 字型 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC顺着比∠B=∠AED CBCBDA EDA AD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD ×AB=AE ×AC 顺着乘∠B=∠ACDCB EDAAD:AC=AC:AB=CD:BC AC ²=AD ×AB当∠BAC=90°ADBC B①△ABD ∽△CBA AB ²=BD ×BC ②△ACD ∽△BCA AC ²=CD ×BC ③△ADB ∽△CDA AD ²=BD ×CD2.相似模型二：X 型 特征 模型结论AC ∥BDA DBC ODBACCAOD B△BD0∽△ACO DO:OC=BO:OA=BD:AC 交叉比△AOD与△C0B 不相似 ∠B=∠C （也叫蝴蝶型相似）A DB C ODBACC△AOC ∽△DOBAO:OD=0C:0B=AC:BDAO ×OB=OC ×0D 顺着比，交叉乘 △BOC ∽△DOA3.相似模型三：旋转相似 特征 模型 结论成比例线段共端点△ABC ∽△ADE △ABD ∽△ACEECD BAA BDC EEDCBA特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2有两对A 字型相似 △BEF ∽△BCD △DEF ∽△DAB有一对X 型相似 △AEB ∽△DEC③111AB CD EF +=5.相似模型五：半角模型 特征模型结论90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A①△ABN ∽△MAN ∽△MCA②△ABD ∽△CAE ∽△CBA6.相似模型六：三角形内接矩形模型 特征模型结论 矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形 HGFED C BA特征模型结论正方形①若AF=BE,则AF⊥BE②若AF⊥BE，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD中，CE⊥BD，则△CDE∽△BCD，CE CDBD BC=平行四边形△GME∽△HNF△MED≌△BFA三角形MEDCAB在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，①D为中点，②AE⊥BD，③BE：EC＝2：1，④∠ADB＝∠CDE，⑤∠AEB＝∠CED，⑥∠BMC＝135°，⑦2BMMC=，这七个结论中，“知二得五”8.相似模型八 一线三等角模型 特征 模型结论 一线三等角如图，点P 在BC 上，C DPE B ∠=∠=∠ 当α为锐角时：当α为锐角时：ECBAPDEBCPDEBACP当α为直角时：BECDP当α为钝角时：FCB EP考点1 A 型，X 型，三平行模型1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE=∠B ，AE=6，ED=3，AF=8，则AC= ，BC CD= ．F E DCBABCDEF A2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF=∠C ，其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE= ．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB=15，CD=10，则BF:FD= ．FECD A4.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD；②BD BF CD EF =；③BD BFBD FD CD EF AB EF +=+；④EFCD AB 111=+．其中正确的有 ． FED C B A图2 5.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN与原三角形相似.6.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.7.将△ABC 的纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落地边AC 上，记为点B ＇，折叠痕为EF ，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B ＇.F.C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 .8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于点E ，连接DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于点G ，则线段BG 与GC的数量关系是.9. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .考点2 母子型1.已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10.求AD 、BD 的长.2.如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，由点D 作AC 的垂线交AB 于E ，交AC 于F.求证：AE AB AD •=2.3.已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，若BC=a ，AC=b ，CD=h ，AD=q ，BD=p ，且a=3，b=4，则c= ，p= ，q= ，h= . AB C EF4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，CD=4，AC=54，则EF:AF=（）A ．1:2B ．5:2C ．5:5D ．25:55.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BFA=90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．OFE D C B A6.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为________．AB C D EF7.如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①BE=2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③△PFD ∽△PDB ；④DP2=PH •PC ，其中正确的是（ ）①②③④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④8.如图，在△ABC 中，AB=AC=，BC=4，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，作∠AEF=∠B ，EF 与△ABC 的外角∠ACD 的平分线交于点，当EF ⊥AC 时，EF的长为考点3 三角形内接矩形模型1.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上．求证：EF CD AB 111=+．H G FE D CB A考点4 半角模型1.如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2．若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF ，AG 与边BC 的交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）． ①请写出图中所有的相似三角形 ；②若BD 12=，则CE= . G F E DC B A2.如图1，将两个全等的等腰直角三角形如图摆放（顶点A 重合），所有的点都在同一平面内，（1）请找出图1中的相似三角形（不包括全等）；（2）如图2，已知A 是等边△PQR 的边RQ 延长线上的点，B 是QR 延长线上的点．若∠APB=120°，请找出图2中的相似三角形．图1GF EDC B A图221B A P3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点E ，F 在AB 上，∠ECF=45°．（1）求证：△ACF ∽△BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF ·BE=2S ．45°FECB A考点4 旋转模型1.如图，D 是Rt △ABC 的斜边AB 上一点，点E 在AC 上，连接DE ，CD ，且∠ADE=∠BCD ，CF ⊥CD 交DE 的延长线于点F ，连接AF ．求证：AF ⊥AB ．BDE CA2.问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD 与四边形CEFG 均为正方形，且点E 、G 分别在边BC 上、CD 上，连接DE 、BG ，点M 是BG 中点,连接CM ，试猜测CM 与DE 的数量关系与位置关系，学习小组经过分析，得到结论：CM 与DE 的数量关系为DE CM 21=,位置关系为DE CM ⊥.（1）解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG 绕点C 顺时针旋转一定角度，其他条件不变.此时，“问题背景”中的两个结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由.MG FE D C B A M GF E DC B A（2）类比探究：这时，小颖提出了一个问题：如图3所示，四边形ABCD 与四边形CEFG 均为菱形，且ÐABC =ÐECG ,其他条件不变.此时，CM 与DE 有怎样的数量关系？直接写出结论.（3）拓展延伸 这时，小刚提出了一个更加一般化的问题：如图4所示，平行四边形ABCD ∽平行四边形ECBF,且ba =BC AB ，其他条件不变，此时CM 与DE 又有怎样的数量关系？直接写出结论. M GF ED C B AM GF E D C B A3.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,E 是OC 上任意一点,AG ⊥BE 于点G,交BD 于点F.(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现,AF 与BE 分别在△AOF 和△BOE 中,可以通过证明△AOF 和△BOE 全等,得到AF 与BE 的数量关系; 请回答:AF 与BE 的数量关系是 .(2)如图2,若四边形ABCD 是菱形,∠ABC=120°,请参考明明思考问题的方法,求BE AF 的值.4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．E ，F 分别是AC ，BC 边上一点，且AC CE 31=,BC BF 31=．求∠EDF 的度数． EFCD B A5.如图，在矩形ABCD 中，点M 是AD 的中点，AD=24，CD=22，直角∠PME 绕点M 进行旋转，其两边分别和BC ，CD 交于点P 和点E ，连接PE 交MC 于点Q ．（1）判断线段MP ，ME 的数量关系，并进行证明；（2）当动点P ，E 分别在线段BC 和CD 上运动时，设PC=x ，MQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式． M QP B C A ED考点5 十字模型1.在矩形ABCD 中，AB=1-5，BC=2，过D 点作DE ⊥AC交BC 于F 点，则BC CF的值为（ ） EF A B C DA ．21B ． 32 C ．21-5 D ． 25-3 2.如图，把边长为AB ＝22，BC ＝4且∠B ＝45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和点D 重合，则折痕MN 的长为3.如图，把边长为AB ＝6，BC ＝8的矩形对折，使点B 和D 重合，则折痕MN 的长为 .4.在Rt △ACB 中，AC=4，BC=3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD ，点AD=CD 时，求CE 的长 ．FEC B AD5.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF ：FC 的值为 .6.如图，ABCD 是正方形，G 是BC 上（出端点外）的任一点，DE ⊥AC 于点E ，BF ∥DE ，交AG 于点F ，给出以下结论：①△AED ≌△BFA ；②DE-BF=EF ；③△BGF ∽△DAE ；⑤DE-BG=FG.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，正方形ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N.下列结论：①AF ⊥BG ；②BN=32NF;③83=MG BM ;④ANGD CGNF S S 四四21=.其中正确的序号有（ ） A.①③ B.②④ C.①② D.③④8.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ，DF ⊥AE ，连接CF ，FG ⊥CF 交AD 于点G ，下列结论：①CF=CD ；②G 为AD 的中点；③△DCF ∽△AGF ；④32=EF AF ，其中结论正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.探究证明：（1）某数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图1，矩形ABCD 中，EF ⊥GH,EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H ，求证：ABAD GH EF =； （2）结论应用：如图2，在满足（1）的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，若1511=GH EF ，则AMBN 的值为 . （3）联系拓展：如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求AM DN的值.考点6 一线三垂直模型1.如图，在边长为2的等边三角形中，D是BC边上任意一点，AB边上有一点E，AC边上有一点F，使∠1，则CF=EDF=∠ABC，已知BE=1，BD=32.已知△ABC中AB=AC=6，∠BAC=120°，D是BC边上任意一点，AB边上有一点E，AC边上有一点4，AE=1，则AF=F，使∠EDF=30°，已知BD=33.如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2、l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2、l3之间的距离为3，则AC=4.如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为5.如图，在正方形ABCD 中，AB=2,点M 为正方形ABCD 的边CD 上的动点（与点C,D 不重合），连接BM ，作MF ⊥BM,与正方形ABCD 的外角∠ADE 的平分线交于点F.设CM=x ，△DFM 的面积为y ，则y 与x之间的函数关系式.6.如图，在直角坐标系中，直线2x 21y +=与ｘ轴，ｙ轴分别交于Ａ，Ｂ两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD ，使5=AD ，求点Ｄ的坐标．7.如图，已知在△ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是AB 上一点，BD=2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作B DEF ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；F B C D8.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED，若BC=12，DC=7，BE:EC=1:2, （1）求AB的长.（2）求△AED的面积.9.如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A =900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积.10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E．（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P，是△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长度；若不存在，请简要说明理由．11.已知∠ABC=90°，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足AB AD PC PQ = ，当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时，求PQC ∠的大小．12.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=5，AD=2，BC=8,∠MEN=∠B,∠MEN 的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF ．（1）设BE=x ，△AEF 面积为S ，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若△AEF 为等腰三角形，求出BE 的长．4.5黄金分割【知识点】1. 黄金分割如图，点P 把线段AB 分为AP 、BP 两条线段（AP>BP ），若AP BP ABAP =,则称线段AB 被点P 黄金分割，点P 为线段AB 的黄金分割点.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-618.02152. 黄金三角形若一个等腰三角形的底与腰的长度比等于黄金分割比，则称这个三角形为黄金三角形.黄金三角形有两类： ①顶角为36°的等腰三角形，其底与腰的比等于黄金分割比②顶角为108°的等腰三角形，其腰与底的比等于黄金分割比3. 黄金矩形宽与长的比是21-5（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.考点1 黄金比的认识1. 已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）A.PA 2＝PB ·ABB.AB 2＝PB ·APC.PB 2＝AP ·ABD.AB 2＝PA 2 +BP 22.如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点, 那么下列线段比的值不可能是黄金比的是 ( )A. AB ：BCB. BC ：ACC.BC ：ABD. AC ：BC考点2 求线段长1. 已知线段AB=1，C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则AC 的长度为2. 已知线段AB=1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为3. 已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A.()155- B.()155+ C.()2510- D.()535-考点3实际应用1. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主持人现在站在A处，则它应至少再走米才最理想．结果精确到米2.如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若AB=10cm，则AC= (结果精确到考点4黄金比的证明1.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示.（1）求AM，DM的长；（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由.2. 阅读下列材料，并完成相应任务．古希腊数学家，天文学家欧多克索斯，约前前曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，这个相等的比就是，黄金分割在我们生活中有广泛运用，黄金分割点也可以用折纸的方式得到．第一步：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，然后展平，再折出线段AE，再展平；第二步：将纸片沿EM折叠，使EB落到线段EA上，B的对应点为'B，展平；第三步：沿AN折叠，使AB落在AE上，'B的对应点为'B，展平，这时"B就是AB的黄金分割点．任务：（1）试根据以上操作步骤证明"B就是AB的黄金分割点；（2）请写出一个生活中应用黄金分割的实际例子．3. 折纸与证明——用纸折出黄金分割点：第一步：如图，先将一张正方形纸片 ABCD 对折，得到折痕 EF ；再折出矩形 BCFE 的对角线 BF ．第二步，如图，将 AB 边折到 BF 上，得到折痕 BG ，试说明点 G 为线段 AD 的黄金分割点．（AG>GD ）4. 给定一条线段 AB ，如何找到它的黄金分割点C 呢？5.① 作 BD ⊥AB ，且使AB BD 21 ； ② ② 连接 AD ，以 D 为圆心，BD 长为半径画弧交 AD 于点 E ；③ ③ 以 A 为圆心，AE 长为半径画弧交 AB 于点 C ，点 C 就是线段 AB 的黄金分割点．④ 请你探索一下，点 C 为什么是线段 AB 的黄金分割点．⑤2. 我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC =，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ．（1）证明点D 是AB 边上的黄金分割点.（2）证明直线CD 是△ABC 的黄金分割线．考点5黄金图形（一）黄金三角形1. △ABC 中，AC=BC ，在 AB 边上截取 AD=AC ，连接 CD ，若点 D 恰好是线段 AB 的一个黄金分割点，则 ∠A 的度数是 ( )A ．22.5°B ．30°C ．36°D ．45°2.如图，已知△ABC ，AB=AC=2,∠A=36°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ，则 AD 的长是 ．（二）正五边形1. 如图所示，在五角星形中，AD=BC ，C 、D 两点都是AB 的黄金分割点，且AB=3，则CD= ．2. 如图，连接正五边形 ABCDE 的各条对角线围成一个新的五边形 MNPQR ，图中有很多顶角为 36° 的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为 21-5．若 215-=AB ，则 MN= 3.（三）黄金矩形1. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，使BE=1，过点E 作EF ⊥AD ，F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点（BE>EC ），则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为2.我们把宽与长的比值等于黄金比例21-5的矩形称为黄金矩形如图，在黄金矩形ABCD （AB>BC ）的边AB 上取一点E ，使得BE=BC ，连接DE ，则ADAE 等于（ ）A. 22B.21-5C. 253-D. 215+ 3.如图，矩形ABCD 中，AB ＝15-，AD ＝2，四边形ABEF 是一个正方形，则点E 是BC 的黄金分割点吗？矩形ABCD是黄金矩形吗？请说明理由.4.宽与长的比是21-5（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.请在图中找出所有黄金矩形并说明理由．4.6相似三角形测高【知识点】1.测量高度的3种方法，分别是利用阳光下的影子、利用标杆、利用镜子的反射.2.上述测量高度的方法都是依据相似三角形的性质的原理而设计的.3.同一时刻，物高与影长成正比.4.测量高度有三种方法：(1)利用阳光下的影子；(2)利用标杆(对应“A”字形)；(3)利用镜子反射(对应“8”字形)．它们都利用相似三角形的性质，在练习时一定要重视两个三角形为什么相似．5.对影子没“落地”问题的两种处理方法：①人为“抬高地平线”；②设法消除“障碍物”，让光线与水平地面相交，转化为常规影长问题．考点1 利用阳光下的影子测高1.如图所示,小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具,测量学校旗杆AB的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O,此时O点与竹竿的距离OD=6 m,竹竿与旗杆的距离DB=12 m,则旗杆AB 的高为m.2.某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，（1）你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；（2）若AB=6米，CB=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．。
九年级数学图形的相似(带答案)
第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故FD BF =AD BE =31. 解答：选B ．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC △与DEF △的相似比为254=52. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。
由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。
解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ．（2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ．【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACEABC D FE （第6题） yxAO C B D EF【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27．【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ． 9B ． 10C ． 12D ． 13 解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可． 解：∵=， ∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴==，∴9S △AEF =S △ABC ，∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ，解得：S △ABC =9．故选A ．答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.C A E解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DECE ,∴ 610=DE6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ;(2)FC 2=BF·GF ; (3) 22AB FC =GBGF .解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2=BF·BG ,结合AB=BC 可得.证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF ,∴ CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o , ∠CBG+∠BCG =90o,∠BAH+∠ABH =90o ,∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG, AB=BC,∴△ABH ≌△BCG ,∴CG=BH ;(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o ,∴△CFG ∽△BFC ,∴FCGF BF FC =, 即FC 2=BF ·GF ; (3) 由（2）可知，BC 2=BG ·BF ,∵AB=BC ,∴AB 2=BG ·BF , ∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BGFGAF即22AB FC =GBGF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ）C D B AA 、1对B 、2对C 、3对D 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA【答案】C ．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
情境引入
欣赏下面4组图片,说说你的想法
引出本章，及本节课题 二、自主探究 （一）相似图形
1.类比上面几幅图片，再举一些其它例子.
2.这些图片有什么共同特征?
3.从平面镜和哈哈镜里看到的不同镜像,它们相似吗?
4.已学习过的几何图形中有没有相似的？自己设计一些相似图形，在与同学交流一下.
5.完成课本35页练习. （二）相似多边形
1.观察正△ABC 和正△'''C B A 中，它们的对应角有什么关系？对应边呢？
2.能否说任意两个正三角形都相似？
3.阅读课本36页中的方框旁注，比例线段的特点是什么？
教师展示图片并提出问题，学生观察，思考 教师引导点拨的形状相同等初步感知相似图形的基本特征
学生根据生活经验举例似小组形式进行讨论探究这些图片的共同特征学生完成练习订正 教师设计问题思考分析多边形概念。