水文时间序列趋势和跳跃分析的再抽样方法研究_刘攀

跳 跃 （ ｃｈａｎｇｅ ｐｏｉｎｔ； ｓｔｅｐ ｃｈａｎｇｅ； ａｂｒｕｐｔ ｃｈａｎｇｅ； ｂｒｅａｋ ｃｈａｎｇｅ） 研究某一分割点前后的统计量是否发生变化以及变化的 位置、幅度等， 也可称为变点分析。其定义是： 假定 ｐ１（ ｘ） 和 ｐ２（ ｘ） 属于同分布概率密度函数， θ表示其参数， 对于系列长 度 为 ｎ 的 独立随机变量 Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）， 如果
!＝１００×２×ｍｉｎ（ ｐ， １－ ｐ） ％
（ ５）
收稿日期： ２００６－ ０２－ ２８ 基金项目： 国家自然科学基金（５０６０９０１７）； 湖北省自然科学基金（２００６ＡＢＡ２２９） 作者简介： 刘攀（１９７８－ ）， 男， 湖南湘潭人， 博士， 讲师， 主要从事水文及水资源开发利用方向的研究。
途径。
关键词： 时间序列； 趋势分析； 跳跃分析； 再抽样
中图分类号： Ｐ３３３．６
文献标识码： Ａ
文章编号： １０００－ ０８５２（２００７）０２－ ００４９－ ０５
结合物理成因采用统计方法进行时间序列的趋势和跳跃分 析 ， 在 水 文 序 列 的 变 异 性 分 析 中 得 到 了 广 泛 的 应 用［１－４］。 在 趋 势 和跳跃分析中， 基本假定为数据相互独立， 因此， 无论是参数方 法还是非参数方法， 均不能直接用来分析自相关性较强的序列。 基 于 再 抽 样 （ ｒｅｓａｍｐｌｉｎｇ） 方 法 进 行 时 间 序 列 分 析 ， 可 用 于 分 析 自相关性较强、季节性规律显著的时间序列， 具有较好的稳健性 与适应性， 因而在水文时间序列分析中得到了较为广泛的关注 ［３－ ５］。 本 文 介 绍 了 采 用 再 抽 样 方 法 进 行 趋 势 和 跳 跃 分 析 的 原 理 及 方法， 并结合黄河三门峡水文站 １９１９～１９８９ 年实测年径流量资 料， 开展趋势和跳跃分析的研究探讨。
( *
Ｓ－ １
*
* *
’Ｖａ
ｒ（
Ｓ）
*
ＺＭＫ＝
* ) *
０，
*
* *
Ｓ＋１
*
* +
’Ｖａ
ｒ（
Ｓ）
Ｓ＞０ Ｓ＝０ Ｓ＜０
（ １８）
采用肯德尔检验或斯波曼检验时， 时间序列的趋势幅度越 大， 或者序列长度越长， 检验能力越强； 而方差越小， 则检验能力 越弱。总的说来， 肯德尔检验和斯波曼检验的检验能力相当［７］。对 于没有趋势或者中等趋势的序列， 如果序列长度较短， 正相关使 得误认为存在趋势的概率变大， 而负相关使得认为存在趋势的 概率变小； 样本长度足够长， 序列的自相关性基本不影响肯德尔 趋 势 检 验 结 果 ［８］。 ２．１．４ 中值检验５０水文 Nhomakorabea第２７卷
２ 时间序列分析
通 常 可 采 用 线 性 分 解 模 型 来 描 述 时 间 序 列 ［１］：
ｘｔ＝Ｓｔ＋Ｔｔ＋Ｊｔ＋Ｐｔ ， ｔ＝１， ２， ……， ｎ
（ ６）
式 中 ： ｘｔ 为 ｔ 时 段 的 原 始 时 间 序 列 ； Ｓｔ 为 随 机 分 量 ； Ｔｔ 为 趋 势 分
量； Ｊｔ 为跳跃分量； Ｐｔ 为周期分量。这里仅分析时间序列的趋势
统计试 验 表 明［９］： 当 序 列 不 存 在 相 关 性 时 ， 同 样 采 用 肯 德 尔
第２期
刘攀等： 水文时间序列趋势和跳跃分析的再抽样方法研究
５１
检验统计量， 基于自助法的方法和直接方法（ 都属非参数检验） 效率相当； 基于自助法的中值检验与线性回归检验（ 都属参数检 验） 效率相当； 如果时间序列服从正态分布， 中值检验和线性回 归检验的效率较肯德尔检验方法高； 而非正态分布则是肯德尔 检验方法效率高。 ２．２ 跳跃分析
分别为：
Ｅ（ Ｓ） ＝０
（ １６）
ｎ
! ｎ（ ｎ－ １） （ ２ｎ＋５） － ｔｉ ｉ（ ｉ－ １） （ ２ｉ＋５）
Ｖａｒ（ Ｓ） ＝
ｉ＝１
１８
（ １７）
其 中 ｔｉ 表 示 序 列 中 出 现 ｉ 次 的 数 据 个 数 ， 例 如 对 于 序 列 ｛５， ３， ６， ７， ７， ３， ２， ３， ９， ６｝， 有｛２， ５， ９｝都仅出现一次， 故 ｔ１＝３； ｛６， ７｝ 都出现两次， 故 ｔ２＝２； ｛３｝出现三次， 故 ｔ３＝１。最终可定义肯德尔检 验统计量 ＺＭＫ， 其满足标准正态分布。
描述为：
ｎ
!２
６ % Ｒ % ｘｉ & － ｉ &
Ｄ＝１－
ｉ＝１
ｎ %ｎ２ － １ &
（ １２）
其中 Ｒ（ｘｉ）表示数据 ｘｉ 在时间序列中的排序（ 秩） ， 由于不存在 趋 势的序列的统计值 Ｄ 满足正态分布， 故可定义斯波曼检验统计 量 ＺＳＰ：
ＺＳＰ＝ Ｄ
（ １３）
’１ ｎ－ １
其服从标准正态分布。 ２．１．３ 肯德尔检验
依据这一思想， 可描述再抽样方法如下：
（ １） 选择合适的统计量（ 如分析趋势的斯波曼检验统计量，
或者分析跳跃的秩和检验统计量） ， 计算原序列 ｘｔ（ ｔ＝１， ２， … ， ｎ） 的统计值 Ｔ０。
＊
（ ２） 对 原 序 列 再 抽 样 Ｎ 次 ， 分 别 计 算 第 ｉ 次 抽 样 序 列 ｘｔ （ｔ＝
中 值 检 验 是 一 种 稳 健 的 检 验 方 法［３， ９］， 主 要 用 于 识 别 趋 势 的 升降特征。
" & ＺＭ＝Ｍｅｄｉａｎ
ｘｊ － ｘｉ ｊ－ ｉ
ｉ＜ｊ
（ １９）
其 中 Ｍｅｄｉａｎ（ ） 代 表 取 中 值 ， 如 果 ＺＭ 大 于 ０， 则 为 上 升 的 趋 势 ； 若 ＺＭ小于 ０， 则为下降的趋势。该方法不能直接得出趋势的显著 性水平。 ２．１．５ 方法比较
ｂ! ＝ ｉ＝１ ｎ
２
% ｘｉ－ ｘ$ &
２
（ ８）
% & ! ｉ－ ｎ＋１
ｉ＝１
２
% & ａ! ＝ｘ$ － ｂ!
ｎ＋１ ２
（ ９）
为了检验线性趋势， 可检验统计量 ＺＬＲ 是否服从自由度 为 ｎ－ ２ 的 ｔ 分布。
ＺＬＲ ＝ ｂ! !! ｂ
（ １０）
其中!! ｂ 指估计 ｂ 的方差， 可采用下式估计：
Ｘｉ～ｐ１（ ｘ） ＝ｐ（ ｘｉ｜!１） ， ｉ＝１， ２， …， " Ｘｉ～ｐ２（ ｘ） ＝ｐ（ ｘｉ｜!２） ， ｉ＝"＋１， "＋２， …， ｎ
（ ２０）
使得 θ１≠θ２， 其中 τ是一个未知的点， 称为变点。即 ｐ１（ ｘ） 和 ｐ２（ ｘ） 属于同一分布族， 但有不同的参数 θｉ。如果模型结构 ｐｉ（ ｘ） 发生了
文 站 １９１９～１９８９ 年 实 测 年 径 流 量 资 料 ， 采 用 几 种 常 用 的 参 数 和 非 参 数 统 计 量 ， 用 再 抽 样 方 法 进 行 了 实 例 研 究 ， 其 中 采
用 滑 动 分 块 自 助 法 以 消 除 自 相 关 性 的 干 扰 ， 该 方 法 为 估 计 水 文 时 间 序 列 的 趋 势 、跳 跃 的 显 著 性 水 平 给 出 了 新 的 思 路 与
变化， 则称为模型变点。
２．２．１ 游程检验［１］
给定分割点位置， 将序 列 分 为 两 段 ： ｎ１ 和 ｎ２， 统 计 序 列 的 游
程长度 Ｋ， 则统计量 ＺＲ 服从标准正态分布。
" # ＺＲ＝
Ｋ－
１＋ ２ｎ１ｎ２ ｎ
（ ２１）
$ ２ｎ１ｎ２（ ２ｎ１ｎ２－ ｎ） ｎ２ （ｎ－ １）
２．２．２ 秩和检验
当时间序列自相关性较强时， 可采用滑动分块自助法消除 自相关的干扰： 取一定的长度 ｋ 作为块长度， 这样序列可分成相
互重叠的 ｎ－ ｋ＋１ 个块 ｙｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ－ ｋ＋１）， 其中 ｙｉ＝ｘｉ， ｘｉ＋１， …， ｘｉ＋ｋ－１， 对这些块 ｙｉ 进行自助抽样， 就可在一定程 度 上 保 持 序 列 的 自 相 关特征。
１， ２， …， ｎ）的统计量 Ｔｉ， 对其进行排序：
Ｔ１≤Ｔ２≤…≤ＴＮ
（ １）
如果 Ｔ０ 介于 Ｔｋ 和 Ｔｋ＋１ 之间， 即：
Ｔｋ≤Ｔ０≤Ｔｋ＋１
（ ２）
则可采用经验频率估计分位数：
ｐ＝ ｋ
（ ３）
Ｎ
或者：
ｐ＝ ｋ＋０．５
（ ４）
Ｎ＋１
如果统计量是一绝对值形式， 则是单侧假设检验， 相应的显 著性水平 !＝ｐ； 否则是双侧假设检验， 显著性水平 ! 可估计为：
肯德尔检验是应用较多的统计方法［３， ７］， 其先计算统计量 Ｓ
ｎ－ １ ｎ
Ｓ＝!!ｓｇｎ %ｘｊ － ｘｉ & ｉ＝１ ｊ＝ｉ＋１
（ １４）
其中 ｓｇｎ（ ） 函数意义为：
(*１， !＞０
*
ｓｇｎ（ "） ＝ )*０， !＝０
*
－**
+
１，
!＜０
（ １５）
不存在趋势的序列的统计量 Ｓ 满足正态分布， 均值和方差
１．１ 再抽样方法估计显著性水平
再 抽 样 方 法 估 计 显 著 性 水 平 的 原 理 简 单 直 接［３， ４］： 设 时 间 序
列为 ｘｔ（ｔ＝１， ２， …， ｎ）， 对于能描述序列趋势或者跳跃的某个统 计 量 Ｔ０（ Ｘ） ， 如果将序列中的数据位置进行变更， 则在原序列不存 在趋势或者跳跃的情形下， Ｔ０（ Ｘ） 将不会发生明显的变化。
和跳跃成分。
２．１ 趋势分析
趋势分析研究的是时间序列顺序递增或递减的变化规律。
这 里 仅 介 绍 常 用 的 线 性 回 归 方 法 、斯 波 曼 秩 相 关 检 验 法 、肯 德 尔
秩相关检验法以及中值检验方法， 其中线性回归方法属于参数