高中数学解题方法之构造法(含答案)

十、构造法

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。

历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

再现性题组 1、求证： 3

10

9

1022≥

++=

x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则4

2511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：

22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a

（构造图形、复数）

4、求证：9)9(272

≤-+x x ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥

+-++-当且仅

当

c

a b 1

11+=时取等号。

（构造图形） 6

、求函数y =

再现性题组简解：

1、解：设)3(92

≥+=t x t 则t

t y t f 1

)(2+==，用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单

调递增，令：3≤12t t < 则0)

1)((11)()(2

1212122

212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f

∴310

313)3(9

10

322=+=≥++=f x x y

2、解：左边xy xy xy xy x y y x 121++≥+++= 令 t = xy ，则41202

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤

t t t f 1)(+=在]41,0(上单调递减 ∴4

17

)41()(=≥f t f

3、解：构造单位正方形，O 是正方形内一点，O 到AD , AB 的距离为a , b ， 则|AO | + |BO | + |CO | + |DO |≥|AC | + |BD |， 其中22||b a AO +=

，

22)1(||b a BO +-= 22)1()1(||-+-=b a CO

22)1(||-+=

b a DO

又：2||||=

=BD AC

∴22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a

另解：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z 1=x +y i , Z 2 = x +（1－ y ）i ，Z 3 = 1－ x + y i ，Z 4 = 1－ x +（1－ y ）i 模的和，又注意到Z 1＋Z 2＋Z 3＋Z 4＝2＋2 i ，于是由 1z ＋2z ＋3z ＋4z ≥4321z z z z +++可得

2222222222(1)(1)(1)(1)2222x y x y x y x y +++-+-++-+-≥+=

4、解：不等式左边可看成7与 x 和2与29x -两两乘积的和，从而联想到数量积的 坐标表示，将左边看成向量a =(7,2)与b =( x , 29x -)的数量积，又||||a b a b ≤，

所以9)9(·)2()7()9(2722222

=-++≤

-+x x x x 当且仅当b =λa (λ>0)

时等号成立，故由2

9072

x λ-==>得：x=7,λ=1，即 x =7时，等号成立。

5、解：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形： 作OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1）

则∠AOC ＝120°，AB=22b ab a +-，BC=22c bc b +-,AC=22c ac a ++ 由几何知识可知：AB ＋BC≥AC

∴22b ab a +-+22c bc b +-≥22c ac a ++ 当且仅当A 、B 、C 三点共线时等号成立，此时有

︒=︒+︒120sin 2

1

60sin 2160sin 21ac bc ab ，即ab+bc=ac

故当且仅当

c

a b 1

11+=时取等号。 6、解：由根号下的式子看出11x+x=-且01x ≤≤ 故可联想到三角函数关系式并构造2

sin x θ= (0)2

π

θ≤≤

所以 sin cos )4y x x πθ=+=

+， 当4

π

θ=即12x =时，max y =示范性题组

一、构造函数

理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数 学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。 【例1】、已知x,y,z ∈（0，1），求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 （第15届俄罗斯数学竞赛题） 分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。 证：构造函数f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)∵y,z ∈(0,1),∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0，f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz ＞0，而f(x)是一次函数，其图象是直线，∴由x ∈(0,1)恒有 f(x) ＞0，即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)＞0，整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) ＜1 二、构造方程：

方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。 【例2】、已知a,b,c 为互不相等的实数，试证：

bc (a-b)(a-c) +ac (b-a)(b-c) +ab

(c-a)(c-b)

=1 (1)

证：构造方程(x-b)(x-c)(a-b)(a-c) +(x-a)(x-c)(b-a)(b-c) +)

)(()

)((b c a c b x a x ----=1 (2)

显然a,b,c 为方程的三个互不相等的实根。从而对任意实数x 均满足（2）式。 特别地，令x=0，即得（1）式。

【例3】、设x,y 为实数，且满足关系式：33

(1)1997(1)1

(1)1997(1)1

x x y y ⎧-+-=-⎨-+-=⎩ 则x+y= .（1997年全国高中数学联赛试题）

分析：此题用常规方法，分别求出x 和y 的值后再求x+y 则既繁又难，三次方程毕竟不熟 悉。若将两方程联立构造出方程3

3

(1)1997(1)(1)1997(1)1x x y y -+-=-+-=-，利用 函数f(t)=t 3+1997t 的单调性，易得11x y -=-，自然、简洁。

三、构造复数

复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。 【例4】、a,b,x,y ∈{正实数},且x 2+y 2=1,求证：a 2x 2+b 2y 2 +a 2y 2+b 2x 2 =≥a+b

证：设z 1=ax+byi ， z 2=bx+ayi ，则a 2x 2+b 2y 2 +a 2y 2+b 2x 2 =∣Z 1∣+∣Z 2∣≥∣Z 1+Z 2∣=∣(a+b)x+(a+b)yi ∣=(a+b)2

2

y x +=a+b ，不等式得证： 四、构造代数式