三阶系统的单位阶跃响应主导极点
自控第三章 时域分析法
欠阻尼二阶系统的性能指标
第一次峰值 : n=1 所以: tp=Л / wd 峰值时间定性分析 wn↗→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘ ζ ↘→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘
峰值时间越小, 快速性越好.
欠阻尼二阶系统的性能指标
3. 超调量σ % h（tp）- h（∞） σ % = ————————— *100% h（∞） 由h(t)求出h(tp)和h(∞), 代入定义式即得.
三、一阶系统的单位脉冲响应
K（S）= G（S）R（S） = 1 /（TS+1） k（t）= L
-1
[ K（S）]
= e-t/T/T
T越小 → 响应的持续时间越短 → 快速性越好。
四、三种响应之间的关系
δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)]
欠阻尼二阶系统的性能指标
h(tp)=1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1+(1-ζ =1+(1-ζ =1+ h(∞) = 1 σ% = e
2 1/2
Wntp Wntp
sin(wdtp+θ ) sin(Л +θ )
2
)-1/2e–ζ Wntp sinθ 2 )-1/2e–ζ Wntp w (1-ζ 2)1/2/w n n
eSS= 1 - h（∞）= 0
一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。
二、一阶系统的单位斜坡响应
Ct(S)= G(S)R(S)
= 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L-1[Ct(S)] = t - T + e-t/T 稳态误差 : eSS= T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过 减小时间常数T来减小，而不能最终消除。
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。
(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。
解：设激磁磁通f f i K =φ恒定2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。
电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。
另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。
两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案（夏德钤翁贻方版）
⾃动控制理论第四版课后习题详细解答答案（夏德钤翁贻⽅版）《⾃动控制理论（夏德钤）》习题答案详解第⼆章2-1 试求图2-T-1所⽰RC ⽹络的传递函数。
(a)11111111+=+?=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压⽅程：=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联⽴三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=+ ++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o 2-2 假设图2-T-2的运算放⼤器均为理想放⼤器，试写出以i u 为输⼊，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放⼤器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=，对上式进⾏拉⽒变换得到)()()s U i i +-= 故传递函数为RCsRCs s U s U i 1)()(0+=(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联⽴两式消去c u 得到02220101=++?u R u R dt du R CR i 对该式进⾏拉⽒变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联⽴两式可消去c u 得到 0222101=++?Ru R u dt du R CR ii 对该式进⾏拉⽒变换得到0)(2)(2)(2011=++?s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输⼊量，以电动机的转⾓θ为输出量的微分⽅程式和传递函数。
基于Matlab的高阶阶系统单位阶跃响应主导极点分析
基于Matlab的高阶阶系统单位阶跃响应主导极点分析1. 引言在控制系统的设计和分析中，经常会遇到高阶阶系统。
高阶阶系统的单位阶跃响应主导极点分析是一项重要的任务。
通过分析系统的主导极点，可以对系统的动态性能进行评估，并在必要时进行控制器的调整和优化。
Matlab是一种强大的数值计算和编程环境，支持矩阵计算、绘图和数据分析等功能。
本文将介绍在Matlab中对高阶阶系统进行单位阶跃响应主导极点分析的方法和步骤。
2. 单位阶跃响应主导极点分析方法单位阶跃响应主导极点分析是通过分析系统的单位阶跃响应以及极点的位置来评估系统的动态特性。
主导极点是决定系统响应快慢的关键因素。
在Matlab中，可以使用控制系统工具箱中的函数来进行单位阶跃响应主导极点分析。
以下是一套基本的步骤：1.定义系统传递函数：在Matlab中，可以使用tf函数定义系统的传递函数。
例如，对于一个二阶系统，可以定义如下：sys = tf([b0 b1 b2], [a0 a1 a2]);其中b0, b1, b2和a0, a1, a2分别是系统的分子和分母多项式的系数。
2.绘制单位阶跃响应曲线：使用step函数可以绘制系统的单位阶跃响应曲线。
例如：step(sys);该命令将绘制系统的单位阶跃响应曲线。
3.分析主导极点：观察单位阶跃响应曲线，可以确定系统的主导极点。
主导极点是响应曲线上最快的极点。
4.评估系统的动态性能：根据主导极点的位置和单位阶跃响应曲线的特点，可以评估系统的动态性能。
例如，主导极点越远离虚轴，系统的动态响应速度越快。
5.进行控制器调整和优化：根据动态性能评估结果，可以对控制器进行调整和优化，以满足设计要求。
3. 实例分析为了更好地理解基于Matlab的高阶阶系统单位阶跃响应主导极点分析的方法，我们将介绍一个实例。
假设有一个三阶系统，传递函数为：G(s) = (s+2) / ((s+1)(s+3))我们可以在Matlab中进行如下操作：b = [12];a = conv([11], [13]);sys = tf(b, a);step(sys);运行上述代码后，将绘制出系统的单位阶跃响应曲线。
三阶系统的单位阶跃响应主导极点
第三章 线性系统的时域分析法
3
卢p45
1.三阶系统的单位阶跃响应
极点对三阶系统系统性能的影响
两个复数极点闭环主 P3> n 导极点 －p3 附加闭环极点 三阶简化为二阶
极点愈靠近虚轴，其 对应分量的衰减愈慢， 即起主导作用
－p3向虚轴移动，超调 量，上升时间，调 节时间。 单调响应，无超调量
n
PD阻尼比d
二阶系统
t sr t cs (t ) 2 / n
第三章 线性系统的时域分析法
R(s)=1/s2
R( s) E ( s) 2 n (s 1) 1 s ( s 2 n )
esr lim sE ( s) 2 / n
s 0
8
卢p49
3. 扰动作用下的系统瞬态分析
带零点的二阶闭环系统－PD控制
增大阻尼比，减少 超调量，但也导致 稳态误差的增大。
输出比例加微分 PD 负反馈的系统 相同－超调量降低 优势－稳态误差不变 带零点的二阶闭环系统－PD控制
稳态误差 - tsr
2 n (s 1) G( s ) 2 2 s 2( ) s n n 2
Cd ( s ) T1s 1 K1K 2 / T1 D( s ) K1 s 2 s / T1 K1 K 2 K b / T1 稳态误差 K b K1K 2 / T1 (T1s 1) 1 K1 K b s 2 s / T1 K1 K 2 K b / T1
2 2
0<<1
=-1/
e nt l c(t ) 1 sin( d t ) (t 0) 2 z 1
零点与闭环复数极点相距愈远，零点影响愈小， 系统则与不带零点的系统响应相同。
自控理论 3-4高阶系统分析
C(t) 1.16 1.0 0.05
t
3.2 4.6 7.0
作图得 σ % = 16%
t r = 3.2
t p = 4.6
ts = 7
ω n = 0.8
可作为主导极点， β = 10.5， s1 s2 可作为主导极点， ζ = 0.5 原系统闭环增益 K = Φ ( 0) = 1
利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。 Φ(0)不变 利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。
式中 s1, 2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ
2
1 增加闭环极点： 增加闭环极点：s 3 = − T
单位阶跃响应
e s 3t e − ζωn t c( t ) = 1 − − 2 βζ ( β − 2) + 1 βζ 2 ( β − 2) + 1 βζ ζ 2 ( β − 2) + 1 2 sin ω d t βζ ( β − 2) cos ω d t + 1−ζ 2
[
]
( 3 − 67 )
jω ω
式中 β =
ζω n
s3
− s3
s1
- ζωn σ 0
取ζ=0.5,以β为参变量作 =0.5, c(t)和 ωnt 的关系曲线 。 (t)和 图3-31
s2
结论
(1)附加一个闭环极点, 将使 σ％↓ ，r ↑, tp ↑。 t (2)增加的极点离虚轴越近上述影响越显著。 , 上述影响越显著。 (3)当β < 1, 呈现过阻尼响应迟缓。 ,响应迟缓。 (4)当β闭环主导极点
1.定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 2.满足以下两个条件： 满足以下两个条件： 满足以下两个条件 (1)距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 距虚轴比较近,且附近没有其它的闭环零点与极点 距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 (2)其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 倍以上。 倍以上。 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 因而在系统的时间响应过程中起主导作用； 因而在系统的时间响应过程中起主导作用；而远 离虚轴的极点由于其对应的分量随时间的推移衰 减的快， 减的快，所以可在高阶系统分析中略去远极点对 系统响应的影响。 系统响应的影响。
三阶系统的分析与校正
课程设计报告( 2013—2014年度第一学期)名称：自动控制理论题目：三阶系统的分析与校正院系：控计学院班级：自动化1105学号：学生姓名：指导教师：袁桂丽设计周数：1周成绩：日期：2014年1月9目录一、《自动控制理论A》课程设计任务书 (1)二、《自动控制理论A》课程设计 (3)三、设计正文 (4)五课程设计心得 (21)六参考文献 (22)一、《自动控制理论A 》课程设计任务书1. 目的与要求本次课程设计是在学完自动控制理论课程后进行的。
详细介绍MATLAB 的控制系统工具箱的用法以及SIMULINK 仿真软件，使学生能够应用MATLAB 对自动控制理论课程所学的内容进行深层次的分析和研究，能用MATLAB 解决复杂的自动控制系统的分析和设计题目；能用MATLAB 设计控制系统以满足具体的性能指标； 能灵活应用MATLAB 的CONTROL SYSTEM 工具箱和SIMULINK 仿真软件，分析系统的性能，进行控制系统设计。
2. 主要内容简要介绍控制系统理论的基本概念和基本方法，并介绍MATLAB 软件的基本知识。
包括MATLAB 的基本操作命令、数据结构、矩阵运算、编程算法等; 简要介绍MATLAB 的控制系统工具箱的用法。
包括控制系统的模型及相互转换、时域分析方法、频域分析方法等应用MATLAB 工具箱进行分析研究，增强理解;简要介绍SIMULINK 仿真软件，介绍SIMULINK 的应用方法及各种强大功能，应用SIMULINK 对系统进行仿真研究;简要介绍控制系统分析与设计所必须的工具箱函数，包括模型建立、模型变换、模型简化、模型实现、模型特性、方程求解、时域响应、频域响应、根轨迹等各个方面。
1. 在掌握控制系统基本理论和控制系统工具箱函数的基础上，利用MATLAB 及其工具箱函数来解决所给控制系统的分析与设计问题,并上机实验;撰写课程设计报告。
2. 设计任务2.1 自选单位负反馈系统，开环传递函数)s (G 0[一个三阶或以上系统]。
3-4高阶系统的时域分析
h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、 超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论： （1）闭环零点会减小系统阻尼。 （2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。 （3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、 调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的 根 ， 称 为 闭 环 极 点 。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2
ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si
m
s1 zi
i1 m
zi
i2
i1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
自动控制原理第三节2_高阶系统
例如：(s)
(s2
n2(s z) 2 ns n2 )(s
p)
如果： z 5以及 p 5
n
n
z p
则：
(s)
p(s2
z n 2 2 ns n2 )
n
j d jd
说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下
lim s 1 s (s2
s0
n2(s z) 2 ns n2 )(s
[例如]： p1,2 1 n1 jn1
1
2 1
jd
为某高阶系统
的主导极点，则单位阶跃响应近似为：
c(t) a0 et (1 cosdt 1 sin dt)
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。 高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变；
在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。
[定性分析]：
对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不 稳定），极点为实数（指数衰减项）和共轭复数（衰减正弦项） 的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰 减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。
高阶系统分析，主导极点
系数 a j , l , l 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 若极点远离原点，则系数小； 极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小； 极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
C(s)
(s)
1 s
(s2
n2 p3 2 ns n2 )(s
p3 )
1 s
1 s
s2
A1s A2
2 ns n2
s
A3 p3
式中：A1, A2 , A3 系）有关。
用MATLAB进行控制系统的动态性能的分析
MATLAB 分析1 MATLAB 函数编程1.1 传递函数的整理已知三阶系统的闭环传递函数为)64.08.0)(11(7.2)(2+++=s s s as G ，整理成一般式得G(s)=as a s a s a64.0)8.064.0()8.0(7.223+++++,其中a 为未知参数。
从一般式可以看出系统没有零点，有三个极点。
（其中一个实数极点和一对共轭复数极点）1.2 动态性能指标的定义上升时间r t ：指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；对于有振荡 系统，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。
上升时间是系统 响应速度的一种度量。
上升时间越短，响应速度越快。
峰值时间p t :指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
调节时间s t ：指响应到达并保持在终值±5%内所需的最短时间。
超调量 σ%:指响应的最大偏离量h(p t )与终值h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即σ%=)()()(∞∞-h h t h p ×100%若h(p t )<h(∞)，则响应无超调。
超调量亦称为最大超调量，或百分比超调量。
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。
通常，用r t 或p t 评价系统的响应速度；用σ%评价系统的阻尼程度；而s t 是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性能指标。
应当指出，除简单的一、二阶系统外，要精确确定这些动态性能指标的解析表达式是很困难的。
1.3 MATLAB 函数编程求系统的动态性能根据三阶系统闭环传递函数的一般表达式，在MATLAB 的Editor 中输入程序： num=[2.7a]den=[1,0.8+a,0.64+a,0.64a] t=0:0.01:20 step(num,den,t)[y,x,t]=step(num,den,t) %求单位阶跃响应 maxy=max(y) %响应的最大偏移量 yss=y(length(t)) %响应的终值 pos=100*(maxy-yss)/yss %求超调量 for i=1:2001if y(i)==maxy n=i;end endtp=(n-1)*0.01 %求峰值时间 y1=1.05*yss y2=0.95*yss i=2001 while i>0 i=i-1if y(i)>=y1|y(i)<=y2;m=i;break end endts=(m-1)*0.01 %求调节时间 title('单位阶跃响应') grid2 三阶系统闭环主导极点及其动态性能分析2.1 三阶系统的近似分析根据主导极点的概念，可知该三阶系统具有一对共轭复数主导极点1s = -0.4±0.693j,因此该三阶系统可近似成如下的二阶系统：G(s)≈64.08.07.22++s s再利用MATLAB 的零极点绘图命令pzmap ，可得该二阶系统的零、极点分布，在 Editor 里面编写如下程序：H=tf([2.7],[1 0.8 0.64]);grid pzmap(H);得到零极点分布图如下：2.2 编程求解动态性能指标根据以上求解动态性能的MATLAB函数程序，在编辑器里面编写以下程序，得到近似二阶系统的单位阶跃响应和动态性能指标。
3.3高阶系统的时域分析
j 1
k 1
式中，q+2r=n, q为实数极点的个数；r为共轭复数极点的对数。
部分分式展开，并设0＜ζk＜1,取拉氏反变换，并整理
q
r
h(t) A0
Ajesjt
B e kkt k
c os ( k
1
2 k
)t
j 1
k 1
r k 1
Ck
k
Bk kk
3、 调节时间的计算
ts
1
n
ln
2
n
si
m s1 zi
i2 n
i1 m
s1 si
zi
i2
i 1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
（2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间，但可 减小系统的超调量和调节时间。
高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭 主导极点，这时可以用二阶系统的动态性能指标来估 算高阶系统的动态性能。
设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点: 系统单位阶跃响应的近似表达式：
s1,2 s jd , 0 1
C(s) M (s) 1 N(s) s
1
2 k
e kk t
s in( k
表明
1
2 k
)t,
t
0
（1）响应由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成。当所 有闭环极点都位于左半s开平面时，系统是稳定的。
（2）零极点对系统性能的影响。
三、闭环主导极点
三阶系统综合分析与设计
目录1 绘制随根轨迹 (2)1.1 根轨迹绘制步骤 .................................................................................................................... 2 1.2 用MA TLAB 绘制随根轨迹 . (2)2 不同条件下K 值的求取 (3)2.1 -6为闭环系统的一个极点时 ................................................................................................ 3 2.2取主导极点阻尼比为0.7 . (4)3 线性系统的稳态误差计算及原理 (5)3.1 稳态误差的计算 .................................................................................................................... 5 3.2 输入信号为22)(1)(t t t t r ++=时的稳态误差 (7)4 用Matlab 绘制单位阶跃相应曲线..................................... 7 5 绘制Bode 图和Nyquist 曲线.. (7)5.1 BODE 图的绘制 ..................................................................................................................... 7 5.2 Nyquist 曲线的绘制 (8)6 幅值裕度和相角裕度................................................ 9 7 系统加入非线性环节的稳定性分析 (9)7.1 非线性环节的描述函数的求取 ............................................................................................ 9 7.2 负倒描述函数的求取 .......................................................................................................... 11 7.3 系统稳定性的判据及原理 .................................................................................................. 12 7.4 系统稳定性判据的应用 (13)小结与体会......................................................... 14 参考文献.. (15)三阶系统综合分析与设计1 绘制随根轨迹某单位反馈系统结构图如图1-1所示：)4)(2(++s s s K)(s R )(s C -图1-1 单位反馈系统结构图系统传递函数=)(s G )4)(2(++s s s k1.1 根轨迹绘制步骤由图1-1知1）确定实轴上的根轨迹。
自动控制原理 第3章习题解答
1−ζ 2 = π
ζ
3
2π
tr
=
π −β ωd
=
3 3
=
23 9
π
；t p
=π ωd
=
π 3
=
3π 3
−ζ π
M p = e 1−ζ 2 ×100% = 16.3% ；
t
5% s
=3 ζω n
=
3s,
t
2% s
=4 ζω n
= 4s
3-6 系统结构图如题 3-6 图所示，试求当τ = 0 时，
系统的ζ 和ωn 之值，如要求ζ =0.7，试确定参数τ 。
s2
0.8
1+ K
s1 0.8(2 + K ) − (1 + K ) 0
0.8
s0 1+ K
Q 系统临界稳定
∴ 0.8(2 + K ) − (1 + K ) = 0
即K = 3 即系统的临界增益K = 3
由s 2行构成辅助多项式：0.8s 2 + (1 + K ) = 0
即0.8s 2 + 4 = 0 ∴ s1,2 = ± j 5 = ± j2.24 ∴系统的振荡频率为ωn = 2.24rad / s
= 150.5°
h(t) = 1 − 0.06e−5.76t + 1.07e−0.37t cos(1.27t + 150.5°)
3-4
已知根据主导极点 s1,2 确定的调整时间为 10.82s，考察这一时刻系统单位阶跃响应中
的指数项值 − 0.06e−5.76t |t=10.82 = −5.15 ×10−29 ，可见指数项值在 ts = 10.82 时已经衰减到 微不足道的程度。事实上，在峰值时间 t p = 2.48s ，指数项的值为 − 3.7 ×10−8 ，可见对
自动控制原理
k ( t ) Ai e
i 1
i t
t
0
系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半s平面。
系统稳定：充要条件 闭环特征方程的所有根均具有负实部 或系统闭环极点都位于S的左半平面 不稳定系统： 有一个或一个以上的正实部根。 临界稳定： 有一对纯虚根，而其余的特种根都有负 实部。 无阻尼系统 ＝0 。 12 工程上，临界稳定（线性系统不存在）为不稳定系统。
c1
b1a3 a1b2 b1 b a a1b3 c2 1 5 b1 b a a1b4 c3 1 7 b1
劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数
劳斯稳定判据
系统特征方程： a0 s
n
a1s an1s an 0
4
517 2.3 104
0 0
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符 号变化了两次(+到－，－到＋)，所以该方程中有二个根在 S的右半平面。
18
例3.2 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517S 1670 (1 K ) 0
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表
t
k ( t ) A1e
t
i t
A2 e
n i 1
2 t
i t
An e
0
n t
Ai e i t
i 1
n
limk ( t ) lim Ai e
t
i 0
i 1, 2, , n
n
充分性：
三阶系统综合分析及设计
目录摘要1 1 设计容11.1 设计题目1 1.2 设计任务1２绘制三阶系统的根轨迹22.1 常规方法绘制根轨迹2 2.2用MATLAB 绘制根轨迹4 3 不同条件下K 的取值53.1 当-8为闭环系统的一个极点时，K 的取值5 3.2 主导极点阻尼比为0.7时的k 值5 4 求系统的稳态误差64.1 位置误差系数7 4.2 速度误差系数7 4.3 加速度误差系数84.4 输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=时的稳态误差85 绘制单位阶跃响应曲线96 频域特性分析96.1绘制Bode 图和Nyquist 曲线10 6.2相角裕度和幅值裕度12 7 加入非线性环节判断稳定性137.1 求死区特性环节的描述函数137.2 根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性14 8 设计体会15 参考文献 (17)摘要三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。
在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂。
在工程上常采用闭环主导极点的概念对三阶系统进行近似分析，或直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。
在课程设计中，要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线，用系统的闭环主导极点来估算三系统的动态性能，以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节判断其稳定性。
1 设计容1.1 设计题目三阶系统的综合分析和设计初始条件：某单位反馈系统结构图如图1-1所示：图1-1 图1-21.2 设计任务要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、试绘制随根轨迹2、当-8为闭环系统的一个极点时，K=?3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K 值（以下K 取这个值）4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为25.2)(1)(t t t t r ++=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、用Matlab 绘制单位阶跃相应曲线6、绘制Bode 图和Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图1-2所示，其中2,10==k e ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性8、认真撰写课程设计报告。
自动控制理论课后习题详细解答答案(夏德钤翁贻方版)
解：按照条件（2）可写出系统的特征方程
将上式与 比较，可得系统的开环传递函数
根据条件（1），可得
解得 ，于是由系统的开环传递函数为
3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。
（1） （2） （3）
解：系统单位阶跃响应的象函数为
（2）整个系统的特征方程为
求三阶开环传递函数 ，使得同时满足上述要求。
解：设开环传递函数为
根据条件（1） 可知： ；
根据条件（2） 可知： ， ， 。
所以有
3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为 ，如要求
（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。
（2）三阶系统的一对主导极点为 。
解：当输入为单位斜坡响应时，有
，
所以有
分三种情况讨论
（1）当 时，
（2）当 时，
（3）当 时，
设系统为单位反馈系统,有
系统对单位斜坡输入的稳态误差为
3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。） （4）
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
系统的传递函数为
2-11试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数 和 （设 ）。
解：系统信号流程图如图所示。
题2-11系统信号流程图
2-12求图2-T-12所示系统的传递函数 。
解：(a)系统只有一个回环： ，
在节点 和 之间有四条前向通道，分别为： ， ， ， ，相应的，有：
则
(b)系统共有三个回环，因此， ，
西工大与西安交大期末复习考研备考自动控制原理3
sj 0
k
k
，则线性系统稳定。
0
线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的 所有根均具有负实部，即闭环传递函数的极点均位 于S平面的左半平面。
32
二、线性系统稳定的充要条件
线性系统稳 定
lim c(t ) 0
t
负实部的特 征根
33
单选题 1分
若系统有一个或几个正实部的特征根，系统稳定 性如何？
三阶系统（有零点时）的单位阶跃响应
c(t ) 1 a1ent cosd t a2ent sind t a3e p3t
三阶系统（无零点时）的单位阶跃响应
c(t ) 1 a1ent cosd t a2ent sind t a3e p3t
3
0 回顾
一、三阶系统的单位阶跃响应
讨论2：闭环极点( p3 )的影响
高阶系统的闭环传递函数：
m
C ( s ) (s) R(s) K g
(s zi )
i 1
q
r
(s sj )
(s2
2
knk s
2 nk
)
j 1
k 1
式中， q －实数极点个数
r －共轭复数极点个数
q 2r n
9
二、高阶系统动态性能指标的近似估算
1、高阶系统的单位阶跃响应
当 r(t ) 1(t )、 R( s) 1 / s 时: m
1、平衡状态稳定性
d
a 稳定平衡点 d 不稳定平衡点
o 1 2
c
b
a
23
一、稳定性的基本概念
1、平衡状态稳定性
稳定性指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到 原平衡状态的性能。
注意： 以上定义的实质是平衡状态稳定性；
MATLAB语言与控制系统仿真-参考答案-第5章
控制系统的时域响应MATLAB 仿真实训实训目的1. 学会利用MATLAB 绘制系统的单位阶跃响应曲线，掌握读取系统动态性能指标的方法；2. 学会利用MATLAB 绘制系统的单位脉冲响应曲线的方法；3. 掌握利用MATLAB 绘制系统的零输入响应曲线的方法；4. 掌握利用MATLAB 绘制系统的一般输入响应曲线的方法；5. 学会通过仿真曲线读取相关信息，并依据有关信息进行系统的时域分析。
实训内容1.编写程序求取下列各系统的单位阶跃响应，完成表5-5并记录相关曲线。
162.316)(21++=s s s G 164.216)(22++=s s s G 166.116)(23++=s s s G 1616)(24++=s s s G 解：>> n1=16; >> d1=[1,,16]; >> sys1=tf(n1,d1); >> step(sys1)>> n2=16; >> d2=[1,,16]; >> sys2=tf(n2,d2); >> step(sys2)>> n3=16;>> d3=[1,,16]; >> sys3=tf(n3,d3); >> step(sys3)>> n4=16;>> d4=[1,1,16]; >> sys4=tf(n4,d4); >> step(sys4)表5-5序号ξn ωm ax cp ts t (%5=∆)计算值实验计算值实验计算值实验值1 42 43 44 4w=4;cmax1=1+exp(-z1*pi/sqrt(1-z1^2)); tp1=pi/(w*sqrt(1-z1^2)); ts1=(z1*w); [cmax1,tp1,ts1] ans =>> z2=;w=4;cmax2=1+exp(-z2*pi/sqrt(1-z2^2)); tp2=pi/(w*sqrt(1-z2^2)); ts2=(z2*w); [cmax2,tp2,ts2] ans =>> z3=; w=4;cmax3=1+exp(-z3*pi/sqrt(1-z3^2)); tp3=pi/(w*sqrt(1-z3^2)); ts3=(z3*w); [cmax3,tp3,ts3] ans =>> z4=; w=4;cmax4=1+exp(-z4*pi/sqrt(1-z4^2)); tp4=pi/(w*sqrt(1-z4^2)); ts4=(z4*w); [cmax4,tp4,ts4] ans =说明：对于二阶欠阻尼系统（10<<ξ），若系统的闭环传递函数为2222)(nn ns s s Φωξωω++=则系统单位阶跃响应的输出最大值21max 1ξξπ--+=ec峰值时间21ξωπ-=n p t调整时间估算值ns t ξω5.3=（以5%为误差带）ns t ξω4.4=（以2%为误差带）2.已知二阶系统的闭环传递函数如下，编程求取系统的单位阶跃响应并完成表5-6，记录相关曲线。
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案解析(夏德钤翁贻方版)
《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。
(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o 2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到)()()(0s sU s sU RCs U i i +-= 故传递函数为RCsRCs s U s U i 1)()(0+=(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到02220101=++⋅u R u R dt du R CR i 对该式进行拉氏变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 0222101=++⋅Ru R u dt du R CR ii 对该式进行拉氏变换得到0)(2)(2)(2011=++⋅s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。
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1)
(s2
n2 p3 2ns n2
)(s
p3 )
单位阶跃响应 R(s)=1/s （0< <1）： a0 1; a1 2 ( 2) /[ 2 ( 2) 1];
C(s)
a0 s
(s2
a1s a2
2 ns n2 )
a3 (s p3 )
第三章 线性系统的时域分析法
R(s)=1/s2
esr
lim
s0
sE(s)
2
/n
8
卢p49
3. 扰动作用下的系统瞬态分析
Cd (s) T1s 1 D(s)
1
K1K2 / s(T1s 1) K1K2Kb / s(T1s 1)
带零点的 K1
二阶系统
K1 K 2
s(T1s 1) K1K2Kb
输出比例加微分 PD 负反馈的系统
相同－超调量降低 优势－稳态误差不变
G(s)
s2
n2 (s 1)
2(
n 2
)
n
s
n2
PD阻尼比d
带零点的二阶闭环系统－PD控制
E(s) 1
R(s)
2 n
(s
1)
稳态误差 - tsr 二阶系统
s(s 2 n )
tsr t cs (t) 2 /n
esd ts
愈小愈好 愈快愈好
第三章 线性系统的时域分析法
9
4.高阶系统的分析
单位阶跃响应
m
(s)
带零点的二阶闭环系统的分析
Mp
1
2 2 2 1 e ( )/ 1 2 2
＝0.5
Mp tr 零点愈靠近复
数极点
第三章 线性系统的时域分析法
tr ( )n 1 2
ts [4 ln(l / z)]/ n 0.02 ts [3 ln(l / z)]/ n 0.05
3-4 高阶系统的时域分析
✓ 三阶系统的时域分析 ✓ 附加闭环零点对系统性能的影响 ✓ 扰动作用下的系统瞬态分析 ✓ 高阶系统的动态性能估算
卢p44;胡p102
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的传递函数 ： 惯性环节
闭环极点
C(s) R(s)
(s2
n2 2ns n2
)(Ts
n2
z
(s2
(s z)
2ns n2 )
=-1/
0<<1
c(t) 1
e nt
1 2
l z
sin( dt
)
(t 0)
零点与闭环复数极点相距愈远，零点影响愈小， 系统则与不带零点的系统响应相同。
第三章 线性系统的时域分析法
6
卢p47；例题卢p48
2. 附加闭环零点对系统性能的影响
非主导极点: 除主导极点外的其他闭环极点
第三章 线性系统的时域分析法
5
卢p46
2. 附加闭环零点对系统性能的影响
带零点的二阶闭环系统的传递函数与 单位阶跃响应
c(t) c0 (t)
dc0 (t) dt
C(s) R(s)
(s2
n2 (s 1) 2ns n2 )
l z p1 (z n )2 d 2 tg 1( 1 2 / ) tg 1[d /(z n )] z / n
7
Hale Waihona Puke 卢p482. 附加闭环零点对系统性能的影响
带零点的二阶闭环系统－PD控制
增大阻尼比，减少 超调量，但也导致 稳态误差的增大。
第三章 线性系统的时域分析法
3
卢p45
1.三阶系统的单位阶跃响应
极点对三阶系统系统性能的影响
▪ 两个复数极点闭环主 P3> n 导极点
极点愈靠近虚轴，其 对应分量的衰减愈慢，
即起主导作用
▪ －p3 附加闭环极点 ▪ 三阶简化为二阶
－p3向虚轴移动，超调 量，上升时间，调 节时间。
2
卢p45
1.三阶系统的单位阶跃响应
☺ 6，三阶系统的单位阶 跃响应和二阶的相同，此时 三阶可简化为二阶系统； >1,Tn<1,系统单位阶 跃响应有振荡。
＝1,Tn＝1,系统单位阶 跃响应为临界阻尼状态。
<1,Tn>1,系统单位阶跃 响应为过阻尼状态。
＝0.3 典型三阶系统单位阶跃响应 曲线图
a2 2[2 2 ( 2) 1]n /[ 2 ( 2) 1]; a3 1/[ 2 ( 2) 1]; p3 / n.
ct 1
e nt
2 ( 2) 1
1
2
e nt 2(
2) 1
n 1
sin( dt ) t
2
0
二阶
c(t) 1
ent
1 2
s in( d t
)
(t 0)
第三章 线性系统的时域分析法
tg1{ ( 2) 1 2 /[ 2 ( 2) 1].
稳态分量＝1
三阶增加一个闭环极点，超调量 减少，调节时间增长。
扰动作用下的时域指标
2n K=K1K2Kb
Cd max愈小愈好
单位阶跃响应
cd max
1 [1 1
K1Kb 2
e ( ) /
]
cd
(t)
1 K1Kb
1 K1Kb
[
ent
1 2
s in( d t
)
T1n 1
2
ent
sin d t ]
▪ 单调响应，无超调量 ▪ 临界阻尼
P3< n
▪ －p3闭环主导极点 ▪ 复数极点使响应产生波纹；
P3= n
▪ 过阻尼
第三章 线性系统的时域分析法
4
1.三阶系统的单位阶跃响应
闭环主导极点
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的
极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴， 那么距虚轴最近的极点在系统响应过程中起主导作用， 这样的闭环极点称为主导极点
偏离仅考虑扰动响应
T1s 1 D(s) K1
Cd (s) D(s)
T1s 1 K1
s2
s
K1K2 / T1 / T1 K1K2Kb
/ T1
1
Kb K1K2 / T1(T1s 1) n2
稳态误差
esd
lim [0
t
cd
(t
)]
1 K1 K d
K1Kb s2 s / T1 K1K2Kb / T1