上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试(一模)数学(理)试卷
上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(理)试卷及答案
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ． 2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ．4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()fx -= ．5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．6．若直线l a x y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 ． 8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________.9. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ．11. 在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，若1,3==BD AB ，则=⋅ ． 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．13．过点*1(2,0)()n N n-∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ∆的面积为n S ，则lim n n S →∞= ____ ____． 14. 设1271a a a ≤≤≤≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.） 15．已知命题:12x α-≤，命题3:01x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过绕1l 上某点旋转可以重合17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤C ．2,2a b c d ∧≥∨≥D ．2,2a b c d ∨≥∨≥三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35m n →→⋅=-．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影．20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问ON OM ⋅是否为定值，说明理由．21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=． （1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值；（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R πϕϕ=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2）试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；（3）是否存在这样的“n 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）一、填空题1、352、、[)2,+∞ 4、2(0)x x ≥ 5、)8,4()4,0(⋃ 6、arctan 2π-7、1(,)2+∞ 8、2 9、1(,][1,)4-∞-⋃+∞ 10、32 11、21512、400913、8314二、选择题15、B 16、D 17、C 18、B 三、简答题19、（1）由3cos()cos sin()sin cos 5m n A B B A B B A ⋅=---==- …3分 又0A π<<，则4sin 0sin 5A A >⇒=…6分 （2）由sin sin sin sin a b b B A A B a =⇒==…7分 又4a b A B B π>⇒>⇒=…8分由余弦定理，得222352515c c c =+-⨯⨯⇒=或7-（舍） …10分 则BA −−→在BC −−→方向上的投影为cos cos 2BA B c B =⋅= …12分20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =， …2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． …6分 （2）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- …10分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- 故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. …14分21、（1）当1n =时，136πα=…1分当2n ≥时，()221136361836n n n S S n n n ππππα-=-=--=-…3分∵当1n =时，1α适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n n ππα=-…5分选择②，计算如下：212πβ=…6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…8分 （2）由（1）知，(21)(72)36366n n n n πππαβ--+=+=， 因此推广的三角恒等式为223sincos sin cos 664ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …10分 证明: 22sincos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- =2233cos sin 44θθ+＝34…14分22、（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解．即sin()sin()2cos sin 0x x x ϕϕϕ-+++==有解 …2分 因0sin 02πϕϕ<<⇒>，得cos 0()2x x k k Z ππ=⇒=+∈()f x ∴为“局部奇函数”． …4分 （2）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2220xx m -++=在[1,1]-有解令12,[1,1][,2]2xt x t =∈-⇒∈，则12m t t -=+在1[,2]2t ∈上有解 …7分因为1()g t t t =+在1[,1]2上递减，在[1,2]上递增，5()2,2g t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦522,2m ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，故5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦…10分（3）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2442(22)260x x x x m m --+-++-=在x R ∈有解 令22,[2,)x x t x R t -=+∈⇒∈+∞，且2442xx t -+=-从而22g()2280t t mt m =-+-=（*）在[2,)t ∈+∞上有解 …12分1.︒ 若(2)0g ≤，即11m -≤*）在[2,)t ∈+∞上有解2.︒ 若(2)0g >，即1m <或1m >+*）有解，则2244(28)021(2)0m m m m g ⎧∆=-->⎪>⇒+≤⎨⎪>⎩综上，所求m的取值范围为[1 ． …16分23、（1）(1)(3,)122r r P r r +=+++=…3分 由题意得(1)362r r +>, 所以，最小的9r =. …5分（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ，则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出：后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则12r r a a n +-=-，11a =得{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列 则(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.（或(2)(1)2n r r r --+等） … 12分 （3）2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ …14分 显然3n =满足题意， …15分而结论要对于任意的正整数r 都成立，则2(2)21n r r -++的判别式必须为零 所以44(2)0n --=，得3n =故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分。
上海市五校联考2015届高三数学上学期质检试卷理(含解析)
上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．2．（4分）已知向量，若，则=．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为．（用反三角函数值表示）7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式求得要求式子的值．解答：解：∵P（﹣3，4）为角α终边上的一点，∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．2．（4分）已知向量，若，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．解答：解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是分析：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．由于幂函数f（x）过点，代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换即可得出反函数．解答：解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．点评：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义，属于基础题．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为（0，4）∪（4，8）．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由=4⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．解答：解：依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴=，∴，∴q=1﹣∈（﹣1，1），q≠0，即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜4或4＜a1＜8．故答案为：（0，4）∪（4，8）点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1﹣是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为π﹣arctan2．（用反三角函数值表示）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3），求出a，即可求出直线l的倾斜角．解答：解：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）．故有a﹣3+1=0，解得a=2，∴k=﹣2，∴直线l的倾斜角为π﹣arctan2．故答案为：π﹣arctan2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，得到直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）是解题的关键，属于中档题．7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．根据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=，得出函数的解析式，从而求出f（﹣1）的值．解答：解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵≤φ≤π，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故答案为：2点评：本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为或m≥1．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．解答：解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=；当x＞1时，f（x）=＜0．∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则恒成立，即或m≥1．故答案为：或m≥1．点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．解答：解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．解答：解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．点评：本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．考点：数列的极限．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，利用直线与圆锥曲线的位置关系，利用弦长公式、三角形的面积公式即可求得答案．解答：解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），∴n→+∞时，△OA n B n的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，由消去x得：3y2+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，∴|AB|==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==|AB|•d=××=．为S n，故答案为：．点评：本题考查数列的极限，理解题意，求得（2﹣）=2，原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积是关键，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查转化思想与综合运算能力．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解得出不等式命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3，∵≤0，∴﹣1＜x≤3，∴命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，∴根据充分必要条件的定义可判断：命题α是命题β成立的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了不等式的求解，注意分式不等式的求解，利用充分必要条件的定义可判断，属于容易题．16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：分别找出两直线的斜率，根据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发现两直线的斜率不可能相等，所以两直线不可能平行，必然相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．解答：解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈，即直线l1的斜率k1∈，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D点评：此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，根据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．解答：解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．点评：本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，再由a﹣c=1求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量的坐标，代入数量积公式可得为定值．解答：解：（1）由抛物线y2=12x，得焦点为（3，0），已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，又a﹣c=1，则c=2，∴b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为：；（2）设P（x0，y0），则，且A（﹣3，0），B（3，0），又直线PA：，直线PB：，令x=0，得：，故为定值．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．考点：三角函数的化简求值；归纳推理．专题：三角函数的求值；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用等差数列{αn}的前n项和S n=n2，分n=1与n≥2讨论，即可求得数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）选择②，计算即可；（Ⅲ）利用两角差的余弦将所求关系式中的cos2（）及cos（）展开，利用平方关系计算即可证得结论成立．解答：（Ⅰ）解：当n=1时，α1=…（1分）当n≥2时，αn=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=n﹣…（3分）∵当n=1时，a1适合此式∴数列{αn}的通项公式为a n=n﹣…（5分）（Ⅱ）解：选择②，计算如下：β2=…（6分）m=sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=sin2+cos2﹣sin cos=1﹣sin=…（8分）（Ⅲ）证明：sin2θ+cos2（）﹣sinθcos（）…（9分）=sin2θ+（cos cosθ+sin sinθ）2﹣sinθ（cos cosθ+sin sinθ）…（10分）=sin2θ+cos2θ+sin2θ+sinθcosθ﹣sinθcosθ﹣sin2θ…（11分）=cos2θ+sin2θ=…（12分）点评：本题考查归纳推理，着重考查三角函数的化简求值，考查运算与推理证明能力，属于难题．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（1）运用两角和与差的正弦公式，化简f（﹣x）+f（x），再由由局部奇函数的定义，即可判断；（2）根据局部奇函数的定义，可得方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，运用换元法，令t=2x∈，则﹣2m=t+，求出右边的最值即可；（3）根据“局部奇函数”的定义可知，（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，即有方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．解答：解：（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜），f（﹣x）=sin（﹣x+φ）=﹣sin （x﹣φ），则f（﹣x）+f（x）=sin（x+φ）﹣sin（x﹣φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜，则0＜sinφ＜1，当x=时，f（﹣x）+f（x）=0成立，由局部奇函数的定义，可知该函数f（x）为“局部奇函数”；（2）根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为，所以方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，令t=2x∈，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈时，g（t）∈．所以﹣2m∈，即m∈．（3）根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，对称轴x=﹣=m，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣≤m＜2，综上得，1﹣≤m..点评：本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知可得P（3，r）=，解不等式可得最小r的取值；（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案．（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论．解答：解：（1）由题意得：P（3，r）=1+2+…+r=令＞36即r2+r﹣72＞0，解得r＞8∴最小的r=9．（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，从图中可以得出：后一层的点在n﹣2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以a r+1﹣a r=n﹣2，a1=1所以{a r}是首项为1公差为n﹣2的等差数列，所以P（n，r）=r+；（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，∴4﹣4（n﹣2）=0，∴n=3，故满足题意的数列为“三角形数列”．点评：本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．。
黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学测试卷理科资料
______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家1黄浦区2015学年第一学期高三年级期末调研测试数学试卷2016年1月一、填空题（本大题满分56分，共14题）1.不等式11<-x 的解集用区间表示为 .2.函数x x y 22sin -cos =的最小正周期是 .3.直线312=yx 的一个方向向量可以是 . 4.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为5.若无穷数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 .6.若函数x a y sin +=在区间[]ππ2，上有且只有一个零点，则a = . 7.若函数()221x a x x f -+-=为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 .8.若对任意不等于1的正数a ，函数()2+=x a x f 的反函数的图像过点P ，则点P 的坐标是 .9.（理）在()nb a +的二项式展开式中，若二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）.10.在ABC △中，若()()2sin 2cos =-++-+A C B B C A ,且2=AB ,则=BC . 11.为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中，随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续两天的概率是 (结果用最简分数表示）. 12.已知*∈N k ，若曲线222k y x =+与曲线xy k =无交点，则k = .13.已知点 ()()00,>m m M 和抛物线x y C 42=： ，过C 的焦点F 的直线与C 交于两点B A 、两点，若2== 则m = .14.若非零向量,,满足32=++，且⋅=⋅=⋅则与夹角为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15.已知复数z ，“0=+z z ”是“z 为纯虚数”的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家2 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 16.已知R x ∈，下列不等式中正确的是（ ） A 、y x 3121> B 、111122++>+-x x x x C 、211122+>+x x D 、11212+>x x 17.已知P 为直线b kx y +=上一动点，若点P 与原点均在直线02=+-y x 的同侧，则b k 、满足的条件分别为（ ）A 、2,1<=b k 、B 2,1>=b k 、C 2,1<≠b k ，D 、2,1>≠b k 18.已知4321,,a a a a ，是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若直线4321,,l l l l ，的长分别为4321,,a a a a ，，则（ ）A .对任意的d ，均存在以321,,l l l 为三边的三角形B 对任意的d ，均不存在以321,,l l l 为三边的三角形C 对任意的d ，均存在以432,,l l l 为三边的三角形D .对任意的d ，均不存在以432,,l l l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱AA '的长为10.（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积.（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积.______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家320. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB . （1）用α表示,A B 两点的坐标.（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥，求点M 的横坐标的取值范围.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，,E F 分别在,AB BC 边上，5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设,CF x AE y ==.（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值.AEF______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家422. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.（理）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于,A B 和,C D ，得到平行四边形ACBD .（1）当ACBD 为正方形，求该正方形的面积S .（2）若直线2l 和1l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值.（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求,a b 满足的关系式.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （理）已知12,,,n a a a 是由()n n N *∈个整数1,2,,n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足()11,2,,k k b n a k n =+-=，12,,,n c c c 是1,2,,n 从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++.（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足()1,2,,k k a b k n ==的数列{}n a .（2）写出()1,2,,k c k n =，并用含n 的式子表示n S .（3）利用()()()22212120n b b n b -+-++-≥.证明：()()12121216n b b nb n n n +++≤++及122n n a a na S +++≥.（参考：()()2221121216n n n n +++=++.）______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家5黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（理科） 2016年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ．(0,2) 2．函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ． π3．直线321x y=的一个方向向量可以是 ．(2,1) 4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为．5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．126．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ．17．若函数()f x 为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 ．(1,)+∞8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ．(1,2)-9．在()n a b +的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家6 为（结果用数字作答）．7010．在△ABC 中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC =．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．2512．已知k ∈Z ，若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．1±13．已知点(,0)M m （0m >）和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF FB =，且||||MF MA =，则m = ．11214．若非零向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，且ab bc c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为 ．43π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( B )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．A ．1123x x> B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+ 17．已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足的条件分别为 [答] ( A )．A ．1k =，2b <B ．1k =，2b >C ．1k ≠，2b <D ．1k ≠，2b >18．已知1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零．若线段1l ，2l ，3l ，4l 的长分别为1a ，2a ，3a ，4a ，则 [答] ( C )．A ．对任意的d ，均存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形B ．对任意的d ，均不存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形C ．对任意的d ，均存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形D ．对任意的d ，均不存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家7已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱AA '的长为10．（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积．（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积．[解]（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长， 而底面三角形ABC 的面积162S AC BC =⋅=，（2分） 周长43512c =++=，（4分）于是三棱柱的表面积2132ABC S ch S ∆=+=全．（6分）（2）如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高．（8分）因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得s i n 653A H A A ''=⋅︒=．（9分） 又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积6V S A H '=⋅=⨯12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ． （1）用α表示A 、B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若M A M B ⊥，求点M 横坐标的取值范围．[解]（1）由题设，A 点坐标为(cos ,sin )αα，（2分）其中222k k αππ<<π+（k ∈Z ）．（3分） 因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分）（2）设(,0)M m （0m ≠），于是(cos ,sin )MA m αα=-，(sin ,cos )MB m αα=--， 因为M A M B ⊥，所以0MA MB ⋅=，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）整理得2(cos sin )0m m αα--=，由0m ≠，得cos sin 4m αααπ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，（10分）此时222k k αππ<<π+，且24k απ≠π+，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且242k αππ+≠π+（k ∈Z ）得cos 4απ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭． 因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-．（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E 、OAB CFEABC A 'B 'C 'H______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家8 F 分别在AB 、BC 边上．5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设CF x =，AE y =． （1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值．[解]（1）直角三角形AOE 中，tan 5y AOE ∠=，直角三角形COF 中，tan 4x COF ∠=． 正方形OABC 中，由4EOF π∠=，得4AOE COF π∠+∠=，于是tan()1AOE COF ∠+∠=，代入并整理得5(4)4x y x-=+．（4分）因为05x ≤≤，04y ≤≤，所以5(4)044x x -+≤≤，从而449x ≤≤．（6分）因此，5(4)4x y x -=+ （449x ≤≤）．（2）()OABC OAE OCF EBF S S S S S ∆∆∆=-++1154[54(4)(5)](20)22y x y x xy =⨯-++--=-，（8分）将5(4)4x y x-=+代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤==++-⎢⎥++⎣⎦，（10分） 当449x ≤≤时，3244x x +++≥，当且仅当1)x =时，上式等号成立．（12分） 因此，三角形池塘OEF 面积的最小值为20(21)平方米，此时4(21)x =米．（14分）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值． （3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式． [解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组2222,1y x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将y x =代入椭圆方程，解得22221222a b x x a b ==+．______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家9根据对称性，可得正方形ACBD 的面积22212244a S ba b x =+=．（4分）（2）由题设，不妨设直线1l 的方程为y kx =（0k ≠），于是直线2l 的方程为y kx =-．设00(,)P x y ，于是有2200221x y a b +=，又1d，2d =，（6分）222222200000012222()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++，将2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入上式， 得22222222022212222212211x b k x b k x b a a d d k k ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++，（8分） 对于任意0[,]x a a ∈-，上式为定值，必有2220b k a -=，即b k a=±，（9分）因此，直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a-，此时222212222a b d d a b +=+．（10分） （3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b +=．（11分）② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x y a b +=，整理得2222222220000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+，（13分） 同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=，即12120x x y y +=，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b 满足的关系式为22111a b +=．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++．______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家10 （1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a ．（2）写出k c （1,2,,k n =），并用含n 的式子表示n S ．（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-++-≥， 证明：1212(1)(21)6n b b nb n n n +++++≤及122n n a a na S +++≥．（参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++．）[证明]（1）若k k a b =（1,2,,k n =），则有1k k a n a =+-，于是12k n a +=．（2分） 当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数， 因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a 4分 [解]（2）(1)k c n k =--（1,2,,k n =）．（6分） 因为(1)k c n k =+-，于是122n n S c c nc =+++[(1)1]2[(1)2][(1)]n n n n n =+-++-+++-222(12)(1)(12)n n n =++++-+++2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（10分）[证明]（3）先证121(1)(21)62n n n b b n b n +++++≤．222222222121212(1)(2)()(12)2(2)()n n n b b n b n b b nb b b b -+-++-=+++-+++++++ ①，这里，1k k b n a =+-（1,2,,k n =），因为1a ，2a ，…，n a 为从1到n 按任意次序排列而成，所以1b ，2b ，…，n b 为从1到n 个整数的集合，从而22222212=12n b b b n ++++++，（12分） 于是由①，得22222212120(1)(2)()2(12)2(2)n n b b n b n b b nb -+-++-=+++-+++≤，因此，22212212n b b nb n ++++++≤，即121(1)(21)62n n n b b n b n +++++≤．（14分）再证122n n a a na S +++≥．由1k k b n a =+-，得12122(1)2(1)(1)n n b b nb n a n a n n a +++=+-++-+++-21212(1)[1(1)2(1)(1)](2)(2)2n n n n n n n n a a na a a na +=++++++-+++=-+++16分因为121(1)(21)62n n n b b n b n +++++≤，即2121(1)(2(11))6)(22n n n a a n n n a n +-+++++≤， 所以2121(1)(21)(1)(1)(2)2266n n n n n n n a a n n a n ++++++-+=+≥， 即122n n a a na S +++≥．（18分）______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家 11。
上海市浦东新区2015届高三上学期期末考试(一模)数学试题
......〔 2〕mgh1mv 1 2〔1 分〕B 0 dv 1 2I 13R2B 0dv 1UI 12R〔1 分〕39U 2h〔1 分〕8gB 02d2〔 3〕2U 2RB 0 dv 22B 0dv 2〔1 分〕3R 3对甲棒，由动能定理，有mgLsin 37mgL cos37 Q 总1mv 2 2 1mv 12， 〔1 分〕22式中 Q 总为克制安培力所做的功，转化成了甲、乙棒上产生的热量；Q 总1mgL 27mU 22 8B 02 d 2Q2Q 总 1mgL9mU 2〔1 分〕3 3 4B 02d 2〔 4〕B x 沿斜面向下；〔1 分〕〔两棒由静止释放的高度越高， 甲棒进入磁场时的安培力越大， 加速度越小， 而乙棒只有摩擦力越大加速度才越小，故乙棒所受安培力应垂直斜面向下〕从不同高度下落两棒总是同时到达桌面，说明两棒运动的加速度时刻一样。
对甲棒，根据牛顿第二定律，有mgsinmg cosB 02d 2 v ma〔1 分〕2R对乙棒，根据牛顿第二定律，有2mg sin(2mg cos B x1 B 0 dvd)2ma 〔1 分〕B x B 0 d 2v B 02d 2v2 2R8R2RB x4B 0 32B 0〔1 分〕操作Ⅱ 中计算机屏幕上可能出现的U － t 关系图像有三种可能，如图〔c 〕所示。
〔 2 分〕UOt 0 tt 0为金属棒刚进入磁场的时刻。
图〔 c 〕所有： 中华资源库ziyuanku。
上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试(一模)物理试题 Word版含解析
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终考试物理试卷2015年1月7日（本卷测试时间为120分钟，满分150分）考生注意：1．答卷前，务必将姓名、准考证号等填写清楚；2．第I卷（1-20题)由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卷上。
考生应将代表正确答案的小方格用2B铅笔涂黑。
注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
答案不能涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分；3．第II卷（21-33题）考生应用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上。
第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案，而未写出主要演算过程的不能得分，有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
第I卷（共56分）一、单项选择题（共16分，每小题2分。
每小题只有一个正确选项。
）1．关于处理物理问题的思想与方法，下列说法中正确的是（）（A）伽利略在研究自由落体运动时采用了微元法（B）在探究平均速度实验中使用了等效替代的思想（C）法拉第在研究电磁感应现象时利用了理想实验法（D）在探究加速度与力、质量的关系实验中使用了理想化模型的思想方法【答案】B【命题立意】本题旨在考查物理学史。
【解析】A、伽利略在研究自由落体运动时采用了理想实验和逻辑推理的方法．故A错误；B、平均速度能粗略表示物体运动的快慢，在探究平均速度实验中使用了使用了等效替代的思想．故B正确；C、法拉第在研究电磁感应现象时利用了控制变量法．故C错误；D、在探究加速度与力、质量的关系实验中使用了控制变量的思想方法．故D错误。
故选：B。
【举一反三】在学习物理知识的同时，我们还学习科学研究的方法，常用的方法有：控制变量法、等效替代法、理想实验法、类比法等等。
2．若一匹马拉一辆车，但没有拉动，下列说法中正确的是（）（A）马拉车的力小于地面对车的摩擦力（B）马拉车的力与车拉马的力是一对平衡力（C）马拉车的力与地面对车的摩擦力是一对平衡力（D）马拉车的力与地面对车的摩擦力是一对作用力与反作用力【答案】C【命题立意】本题旨在考查作用力和反作用力。
【解析版】上海市黄浦区高三上学期期末(一模)考试数学(理)试题Word版含解析
考试试卷黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）2014.1.9考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.函数()()21log 2+-=x x x f 的定义域是 ．2.己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x xx x B ,02|， 则()=B A C U.3.已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是 . 【答案】()0)f x x =?【解析】试题分析：首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点(2,4)，说明原函数图象过点(4,2)，设()af x x =，则42a =，则12a =，故()0)f x x =≥. 考点：幂函数，反函数的性质.4.方程22937=-⋅xx的解是 .5.己知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.6.已知向量()θθsin ,cos =，()2,1-=,若a ∥b ，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是 ． 【答案】5 【解析】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a ∥b 得cos sin 12θθ=-，即sin 2cos θθ=-，代入求值式即得． 考点：向量平行．7.三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为8.各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.9.1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．【答案】5005 【解析】试题分析：其二项展开式的通项公式为30515611515((1)rr rr r r r T C C x --+==-，令30506r -=，即6r =，所以常数项为第7项66715(1)5005T C =-=．考点：二项展开式的通项公式．10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示）11.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为34π，则圆锥的体积是________3cm .12.从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是 ．【答案】1.09 【解析】试题分析：在统计学中，一般用样本来估计总体，即本题中我们用样本的标准差来估计总体的标准差，对容量为n 的样本，其方差为22221111()n n i i i i s x x x x n n ===-=-∑∑，本题中样本容量为50，计算出2 1.16s =，因此标准差为 1.09s =≈，此即为总体400人的成绩的标准差．考点：方差与标准差，总体与样本．13.设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bman =时等号成立），己知+∈R y x ,k x y +恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是14.．己知数列{}n a 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________． 【答案】1017072 【解析】试题分析：这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有211a a -=，322a a +=，433a a -=，544a a +=，…，201520142014a a +=，201620152015a a -=，我们的目的是求201612342016S a a a a a =+++++，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即n 为偶数的式子相加），将会得到234520142015242014a a a a a a ++++++=+++，好像离目标很近了，但少12016a a +，而1a 与2016a 分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到1201622105()()a a a a +-+=二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】C 【解析】试题分析：这是考查不等式的性质，由于0ab >，因此不等式11a b<两边同乘以ab 可得b a <，即a b >，16.已知空间两条直线n m ,，两个平面βα,，给出下面四个命题： ①；n m n m αα⊥⇒⊥,,‖ ②αβα≠⊂m ,‖，β≠⊂n n m ⇒；③；n m n m αα‖,‖,‖⇒ ④。
上海市黄浦区2015届高三英语一模试卷及答案(官方版)
Family-friendly facilities 33___________(develop) for a new golfing demographic(人群) in the following years, 34__________ more women are playing the game and men and women eir leisure time together.
There is no official ranking system to indicate which institutions are better than others, 28__________several unofficial rankings are listed by magazines and associations. However, educators urge caution in using a ranking table and emphasize that 29___________(good) choice for one student may be very different for another.
Children’s engagement with the game will increase. In China, golf is recognized as a game 35___________teaches children important life principles. Free golf training is offered to kinder-gartners and some parents are now prepared to spend up to 300,000 yuan a year on lessons for their children.
高考数学一模考试试题2015年黄浦高三一模(文)
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文)（2015年1月8日）一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果， 每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A =I ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m +（其中i 是虚数单位，R m n ∈、）的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ．6．若函数213()2x ax a f x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示）8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则lim n nAS →∞＝ ．9．已知某圆锥体的底面半径3r=，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ． 11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点， 则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 (用符号<“”连接起来)． 12．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌 有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）．13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=- . 若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ．14．已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=u u u r u u u r r2QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,若||=||PQ BC λu u u r u u u r，则正实数λ= .二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线 都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件16．已知向量(3,4)a =-r，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈r u r u u r 、成立的一组向量12,e e u r u u r是 [答] ( )．A ．12(0,0)(1,2)e e ==-u r u u r ，B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-u r u u r，C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-u r u u r ，D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-u r uu r ，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是 [答] ( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：则其中真命题是 [答] ( ) ． （1）对任意C z ∈，都有(z)0D >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立；（3）若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =； （4）对任意12C z ∈、z ，结论1221(z ,z )=(z ,z )D D 恒成立．A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(4)C ．(2)(4)D ．(2)(3)三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是 所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC （1）求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； （2）求以E B F P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数()cos cos 2,R f x x x x x =-∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ；（2）设函数1()()h x f x x=-，试判断函数()y h x =在区间(1,0)-上的单调性，并说明你的理由．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 定义：若各项为正实数的数列{}n a满足*1N )n an +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”.已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x=点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上. （1）试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；（3）从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y L，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===L ．若数列{}n z 是首项为111()2m z-=，公比为*1(,N )2kq m k =∈的无穷等比 数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=u u u r u u u r．直线l 是过点D 的任意一条直线．（1）求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；（2）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||2GH =，求直线l 的方程； （3）设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，求以||GH 的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程．黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文)参考答案和评分标准(2015年1月8日)说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题1．1(1,]2--； 2．(1,)+?； 3．3p ； 4．2； 5．212y x =； 6．(,0]-?；7．2425-； 8．2； 9．36p ； 1011．m n a b <<<； 12．234425；13．112x <≤； 14．12． 二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．解：（1）联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF P . 又1CAC ∠是直角三角形1ACC 一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角. 由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5.（2）由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅．∵113322222EBF S EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅．20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解：（1）∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，，∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈. （2）∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈. 又0A π<<，∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得∴512B AC ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=.21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解：（1）1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++Q ，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x ∴->-=-++.1()1g x ∴-<<. 由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y ++==--. 1()lg1x f x x+∴=-，(1,1)D =-. （2）答：函数()y h x =在区间(1,0)-上单调递减.理由：由(1)可知，11111()()lg lg11x xh x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-U .对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x x h x h x x x x x-++-=+++=+--，所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x --+++在(0,1)上单调递减， 于是，1lg 1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减.依据奇函数的性质，可知， 函数()y h x =在(1,0)-上单调递减.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 解：（1）答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +Q 点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+. 又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明（2）*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈Q，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==Q ,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.（3）由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，11121312m k -∴=-．化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤.又101m -=或时，113122k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kkk ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩ 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）依据题意，可得点(,)N y x .(,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+u u u r u u u r． 又212AN BN x ⋅=u u u r u u u r ，222112y x x ∴+-=. ∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=. （2）若直线l y P轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-．由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立（因点D 在椭圆内部）．又||2GH =，2=2=，解得2k =±．所以，所求直线:1)2l y x =±-． （3）Q 当直线l y P轴时，||GH =，点O 到圆心的距离为1.即点O 在圆外，不满足题意.∴满足题意的直线l 的斜率存在，设为k ，则:(1)l y k x =-.设点1122(,)(,)H x y G x y 、，由(2)知，212221224,2122.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩进一步可求得12221222,21.21k y y k k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩依据题意，有OG OH ⊥u u u r u u u r ， 12120x x y y ∴+=，即22222202121k k k k --+=++，解得k = ∴所求圆的半径1||25r GH ===，圆心为12124(,)(,2255x x y y ++=±.∴所求圆的方程为：22418()(5525x y -+±=.。
上海市黄浦区高三上学期期末调研测试数学文试题
黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（文科） 2016年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式的解集用区间表示为 ． 2．函数的最小正周期是 ．3．直线的一个方向向量可以是 ．4．若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ． 5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ． 6．若函数在区间上有且只有一个零点，则 ． 17．若函数()f x 为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为 ． 8．若对任意不等于的正数，函数的反函数的图像都过点，则点的坐标是 ．9．在的二项展开式中，若二项式系数的和为，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）． 10．在△中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且，则 ．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续天中随机抽取天进行紧急疏散演练，那么选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）． 12．已知，若曲线与曲线无交点，则 ． 1 13．已知点（）和抛物线：，过的焦点的直线与交于、两点，若，且，则 ． 14．若非零向量，，满足，且，则与的夹角为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数，“”是“为纯虚数”的 [答] ( B )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 16．已知，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．A ．B ．C ．D ．17．已知为直线上一动点，若点与原点均在直线的同侧，则、满足的条件分别为 [答] ( A )．A ．，B ．，C ．，D ．，18．已知，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零．若线段，，，的长分别为，，，，则 [答]( C )．A ．对任意的，均存在以，，为三边的三角形B ．对任意的，均不存在以，，为三边的三角形C ．对任意的，均存在以，，为三边的三角形D ．对任意的，均不存在以，，为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为10． （1）若侧棱垂直于底面，求该三棱柱的表面积． （2）若侧棱与底面所成的角为，求该三棱柱的体积． [解]（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长， 而底面三角形的面积，（2分） 周长，（4分）于是三棱柱的表面积．（6分）（2）如图，过作平面的垂线，垂足为，为三棱柱的高．（8分）因为侧棱与底面所成的角为，所以，可计算得sin 60A H AA ''=⋅︒=（9分）又底面三角形的面积，故三棱柱的体积6V S A H '=⋅=⨯=（12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，已知点是单位圆上一点，且位于第一象限，以轴的正半轴为始边、为终边的角设为，将绕坐标原点逆时针旋转至． （1）用表示、两点的坐标；（2）为轴上异于的点，若，求点横坐标的取值范围． [解]（1）由题设，点坐标为，（2分） 其中（）．（3分）因为，所以点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即．（5分）（2）设（），于是，(sin ,cos )MB m αα=--，因为，所以，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）整理得2(cos sin )0m m αα--=，由，得cos sin 4m αααπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（10分）此时，且，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且（）得cos 4απ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，且． 因此，点横坐标的取值范围为．（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上．米，米，，设，．（1）试用解析式将表示成的函数；（2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值． [解]（1）直角三角形中，，直角三角形中，．O AB CFEABC A 'B 'C 'H正方形中，由，得，于是tan()1AOE COF ∠+∠=， 代入并整理得．（4分） 因为，，所以，从而．（6分） 因此， （）．（2）()OABC OAE OCF EBF S S S S S ∆∆∆=-++1154[54(4)(5)](20)22y x y x xy =⨯-++--=-，（8分）将代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤==++-⎢⎥++⎣⎦，（10分）当时，，当且仅当时，上式等号成立．（12分）因此，三角形池塘面积的最小值为平方米，此时米．（14分） 综上，，满足的关系式为． 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）． （1）当时，写出数列和，使得．（2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列．（3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示．（参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++．） [解]（1），，；，，．（2分） ，，；，，．（4分） [证明]（2）若（），则有，于是．（6分）当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数． 因为，，…，均为正整数，所以不存在满足（）的数列．（10分） [解]（3）（）．（12分）因为，于是122(1)12[(1)2][(1)]n c c nc n n n n n +++=+-++-+++-（14分）222(12)(1)(12)n n n =++++-+++ （16分） 2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（18分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形． （1）若，，且为正方形，求该正方形的面积．（2）若直线的方程为，和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，证明：． （3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式． [解]（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和．（1分）点、的坐标、为方程组22,1169y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将代入椭圆方程，解得．根据对称性，可得正方形的面积．（4分） [证明]（2）由题设，直线的方程为，（6分）于是，，（8分）22222222221222222222()()2()2bx ay bx ay b x a y a b d d b a b a b a a b -+++=+==++++．（10分） [解]（3）设与圆相切的切点坐标为，于是切线的方程为．点、的坐标、为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当或时，均为正方形，椭圆均过点，于是有．（11分） ② 当且时，将代入，整理得2222222220000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是，（13分）同理可得．（15分）因为为菱形，所以，得，即，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得，由， 得，即．（18分） 综上，，满足的关系式为．。
黄浦区2015年高三数学文理一模试卷
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)(2015年1月8日)一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A = ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的 大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m +(其中i 是虚数单位，R m n ∈、)的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ． 6．若函数213()2x ax af x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示)8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ ． 9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ． 11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 (用符号<“”连接起来)．12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答)．13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-= ( 1.1)1A -=- . (理科)若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ． (文科) 若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ． 14．(理科)已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且 2320a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 . (文科) 已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC += 2QA QB QC BC ++=,若||=||PQ BC λ,则正实数λ= .二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的 [答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件16．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是 [答] ( )． A ．12(0,0)(1,2)e e ==-， B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-， C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-， D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是[答] ( )． A ．4 B ． 5 C ． 6 D ． 718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：(1)对任意C z ∈，都有(z)0D >；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立；P(3)若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =； (4)(理科)对任意123C z z ∈、z 、，结论131223(z ,z )(z ,z )(z ,z )D D D ≤+恒成立，则其中真命题是[答]( )． (文科)对任意12C z ∈、z ，结论1221(z ,z )=(z ,z )D D 恒成立，则其中真命题是[答]( )． A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4) D ．(2)(3) 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题 卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．(1)求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； (2)(理科)求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积． (文科)求以E B F P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数()cos cos 2,R f x x x x x =-∈．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数． (1)求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ； (2)(理科)设1()()h x f x x=-，若函数()y h x =在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数()y h x =在区间(1,0)-内必有唯一的零点(假设为t )，且112t -<<-．(文科) (2) 设函数1()()h x f x x=-，试判断函数()y h x =在区间(1,0)-上的单调性，并说明你的理由． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．定义：若各项为正实数的数列{}n a 满足*1N )n a n +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”.已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上.(1)试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； (2)记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；(3)从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===.(理科)若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值．(文科) 若数列{}n z 是首项为111()2m z -=，公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；(2)设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||2GH =，求直线l 的方程； (3)(理科)若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P (点P 不同于点O A B 、、)，直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．(文科) 设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，求以||GH 的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程．黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)参考答案和评分标准(2015年1月8日)说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题1．1(1,]2； 8．2；2．(1,)； 9．36；3．3； 10；4．2； 11．m n ；5．212y x ； 12．234425； 6．(,0]； 13． (理)514x <≤；(文) 112x <≤； 7．2425 ； 14．(理)3；(文) 12． 二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角.由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5. (理) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅． ∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅．(文) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等． ∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅． ∵113322222EBFS EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅．20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.(2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴113sin 22242ABC S ac B ∆==⋅=. 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解(1)1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<.由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y ++==--.1()lg1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. (理)证明 (2)由(1)可知，11111()()lg lg11x xh x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x x h x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减， 于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知，函数()y h x =在(1,0)-上单调递减，且在(1,0)-上的图像也是不间断的光滑曲线.又199100100()2lg30,()lg1992021009999h h -=-+<-=-+>->, 所以，函数()y h x =在区间(1,0)-上有且仅有唯一零点t ，且112t -<<-.(文) (2) 答：函数()y h x =在区间(1,0)-上单调递减. 理由：由(1)可知，11111()()lg lg11x xh x f x x x x x x+-=-=-=+-+. 可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x xh x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减， 于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知， 函数()y h x =在(1,0)-上单调递减.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+.又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈． ∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列. 证明(2) *1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(理)(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，1116216312m k -∴=- ． 化简，得116631622k m -+=．若13m -≥，则1166316631663++16222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤.又101m -=或时，116631622k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得. 3,6.m k =⎧∴⎨=⎩(文) (3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 11121312m k -∴=- ． 化简，得113122k m -+=．若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤. 又101m -=或时，113122k m -+>, ∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kk k ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 解(1)依据题意，可得点(,)N y x .(,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+．又212AN BN x ⋅=， 222112y x x ∴+-=.∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=.(2) 若直线ly轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-．由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立(因点D 在椭圆内部)．又||2GH =，=2=，解得k =所以，所求直线:1)2l y x =±-． (理)证明(3)直线l 与线段AB 交于点P ，且与点O A B 、、不重合，∴直线l 的斜率k 满足：11,0k k -<<≠．由(2)可得点(0,)P k -，可算得21212222,2121k k y y y y k k -+==-++．又直线121211:1,:1y y HA y x GB y x x x -+-=+=． 设点(,y )Q Q Q x ，则由11221111.y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得12211111Q Q y y x y y x --=⋅++(此等式右边为正数).∴101Q Q y y ->+，且222121212222112121(1)1()()1(1)1Q Q y y x y y y y y y x y y y y ---++=⋅=+++++=21+1k k ⎛⎫⎪-⎝⎭． ∴1111Q Q y k y k-+=+-，解得1Q y k =-. 1(0,)(,)1Q OP OQ k x k∴⋅=-⋅-=为定值.(文) (3)当直线ly轴时，||GH =，点O O 在圆外，不满足题意.∴满足题意的直线l 的斜率存在，设为k ，则:(1)l y k x =-.设点1122(,)(,)H x y G x y 、，由(2)知，212221224,2122.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩进一步可求得12221222,21.21k y y k k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩ 依据题意，有OG OH ⊥，12120x x y y ∴+=，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 即22222202121k k k k --+=++，解得k = ∴所求圆的半径1||25r GH ===，圆心为12124(,)(,2255x x y y ++=±. ∴所求圆的方程为：22418()(5525x y -+±=.。
上海市普陀区2015届高三12月质量调研(一模)数学理试题 Word版含答案
2014学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷考生注意：2014.121.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相．．．．．．．．．应位置，本卷上任何解答都不．．．．．．．．．．．．．作评分依据．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若集合}1lg |{<=x x A ，∈==x x y y B ,sin |{R }，则=B A .2. 若1lim=+∞→an ann ，则常数=a .3. 若1>x ，则函数112-+-=x x x y 的最小值为 .4. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-π=x y 4tan 的单调递减区间是 . 5. 方程1)7lg(lg =-+x x 的解集为 .6. 如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 .8. 函数22)(2+-=x x x f （0≤x ）的反函数是 .9. 在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含2x 项的系数为 （结果用数值表示）.10. 若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 内，则实数m 的取值范围是 .11. 在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S .ABC1C 1B 1A 第6题12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的最大值是 . 13. 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=+00log )(1x ax x x f x a ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 .14. 如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面 内的四点组()k j i P P P P ,,,1 （101≤<<<k j i ）共有 个.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15．设a 、∈b R ，且0<ab ，则…………………………………………………………………………（ ）)(A ||||b a b a -<+ )(B ||||b a b a ->+ )(C ||||||b a b a -<- )(D ||||||b a b a +<-16.“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件17.要得到函数x y 2sin =的图像，只需将函数⎪⎫⎝⎛-=2cos πx y 的图像………………………………（ ）)(A 向左平移8π个单位 )(B 向右平移8π个单位 )(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4π个单位18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点， 沿向量的方向依次为121,,,-n P P P ，记3 498第14题131-n 2k 第18题AP AP T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，若给出四个数值:①429 ②1091③18197 ④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（ ）)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)23()6(==ππf f（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N * （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若a 、∈b R 且0≠a ，证明：函数a bx ax x f -+=2)(必有局部对称点；（2）若函数c x f x+=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数c 的取值范围； （3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.2014学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. )10,1[-2.13.34.⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈） 5.}5,2{6.21arctan7.),3()2,2(+∞- 8.)2(11)(1≥--=-x x x f 9.70 10.1>m 11.3 12.4113. a b ≤<0 14. 33二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．【解】 （1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)23(2)6(ππf f 得，⎩⎨⎧==+283a b a ……2分，解得⎩⎨⎧==322b a ……3分将2=a ，34=b 代入x x b x a x f c o ss i n si n )(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分 （2）由（1）得，1]6)(2s i n [2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622s i n 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g ……8分函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。
上海市静安区2015届高三上学期期末教学质量检测(一模)数学理试题 Word版含详解
静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟理卷（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。
2．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 答案：25628=考点：二项式定理解法：将1x =-代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。
3．不等式01271<--x 的解集是 . 答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。
4．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 . 答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。
5．已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S .答案：)212(4n n-考点：数列分组求和，等比数列求和。
备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。
同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。
AB CDP6．已知两个向量a ，b 的夹角为303=，b 为单位向量，t t )1(-+=, 若c ⋅=0，则t = . 答案： 2考点：向量的数量积：解法：由于b 与c 、a 、b 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b 。
黄浦区高三一模理科数学试题及答案
黄浦区2015学年度高三数学二模试卷（理科） 20XX 年1月一、填空题（本大题满分56分）1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ． 2．函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ．3．直线321x y=的一个方向向量可以是 ． 4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ． 6．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ．7．若函数()f x 为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 ．8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ， 则点P 的坐标是 ．9．在()n a b +的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）．10．在ABC ∆中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC = ． 11.为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练， 那么选择的2天恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）。
12.已知k Z ∈,若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = 。
13.已知点(,0)(0)M m m >和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A B 、两点， 若2AF FB =，且MF MA =，则m = 。
14.若非零向量,,a b c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为 。
二、选择题（本大题满分20分）15．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答]（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16．已知x R ∈，下列不等式中正确的是 [答]（ ）A ．1123x x > B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+ 17.已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的两侧，则k b 、满足的条件分别为 [答]（ ） .A 1, 2k b =< .B 1, 2k b => .C 1, 2k b ≠< .D 1, 2k b ≠>18.已知1234,,,a a a a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若线段1234,,,l l l l 的长分别为1234,,,a a a a ，则 [答]（ ）.A 对任意的d ，均存在以123,,l l l 为三边的三角形 .B 对任意的d ，均不存在以123,,l l l 为三边的三角形 .C 对任意的d ，均存在以234,,l l l 为三边的三角形 .D 对任意的d ，均不存在以234,,l l l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）19．本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分．已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱AA '的长为10． （1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积．（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积．20．本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分．如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限， 以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ． （1）用α表示A B 、两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥， 求点M 横坐标的取值范围．ABC A ''C 'H21．本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ， E F 、分别在AB BC 、边上．5OA =米，4OC =米， 4EOF ∠=π，设CF x =，AE y =． （1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值．22．本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A B 、和C D 、，得到平行四边形ACBD ．（1）当ACBD 为正方形，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值。
上海市黄浦区2015年中考数学一模试卷(答案解析版)
2015年上海市黄浦区中考数学一模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（）A． c•sinα B． c•cosα C． c•tanα D． c•cotα2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A． a＞0，c＞0 B． a＜0，c＞0 C． a＞0，c＜0 D． a＜0，c＜03．如果||=3．||=2，且与反向，那么下列关系中成立的是（）A．= B．=﹣ C．= D．=﹣4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC的是（）A．= B．= C．= D．=5．抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 36．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若S△ADE：S△BDE=1：2，则S ：S△BEC=（）△ADEA． 1：4 B． 1：6 C． 1：8 D． 1：9二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．如果=，那么的值是．8．计算：tan60°﹣cos30°= ．9．如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x2的图象重合，那么这个二次函数的解析式可以是．（只要写出一个）．10．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是．11．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=2，BC=3，那么的值是．12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD=1，BC=3，那么BD长是．13．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是．15．正六边形的中心角等于度．16．在直角坐标平面内，圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），那么圆O 与x轴的位置关系是．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，分别以A、B为圆心的两圆外切，如果点C在圆A内，那么圆B的半径长r的取值范围是．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足为点E，连结AE，∠AEB=∠C，且cos∠C=，若AD=1，则AE的长是．三、解答题（共7小题，满分78分）19．如图，已知两个不平行的向量、．（1）化简：2（3﹣）﹣（+）；（2）求作，使得=﹣．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．20．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．21．已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．（1）求证：=；（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．22．如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB蛾高度，小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的D处测得楼顶A的仰角是30°（点B、C、E在同一直线上，且AB、DE均与地面BE处置），求楼AB的高度．23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．24．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=（x﹣3）2向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．（1）求∠OBA的正切值；（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求△ABC的面积；（3）点D的平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA=∠OBA时，求点D坐标．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．2015年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（）A． c•sinα B． c•cosα C． c•tanα D． c•cotα考点：锐角三角函数的定义．分析：根据题意画出图形，进而利用sinA=，求出即可．解答：解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=c，∴sinA=，∴BC=AB•sinA=c•sinα，故选：A．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A． a＞0，c＞0 B． a＜0，c＞0 C． a＞0，c＜0 D． a＜0，c＜0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：首先根据开口方向确定a的符号，再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此解决问题．解答：解：∵图象开口方向向上，∴a＞0；∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，∴c＜0；∴a＞0，c＜0．故选：C．点评：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．3．如果||=3．||=2，且与反向，那么下列关系中成立的是（）A．= B．=﹣ C．= D．=﹣考点： *平面向量．分析：由||=3．||=2，且与反向，根据平面向量的定义，即可求得答案．解答：解：∵||=3，||=2，∴||=||，∵与反向，∴=﹣．故选D．点评：此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意理解平面向量的定义是解此题的关键．4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC的是（）A．= B．= C．= D．=考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当=或=时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断．解答：解：当=或=时，DE∥BD，即=或=．故选D．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．5．抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先根据判别式的值得到△=﹣3＜0，根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，所以抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．解答：解：∵△=12﹣4×（﹣1）×（﹣1）=﹣3＜0，∴抛物线与x轴没有交点，而抛物线y=﹣x2+x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），∴抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．故选B．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若S△ADE：S△BDE=1：2，则S ：S△BEC=（）△ADEA． 1：4 B． 1：6 C． 1：8 D． 1：9考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ADE∽△ABC，进而证明S△ABC=9S△ADE；运用S△BDE=2S△ADE，得到S△BEC=6S△ADE，即可解决问题．解答：解：∵，且S△ADE：S△BDE=1：2，∴，；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴S△ABC=9S△ADE，而S△BDE=2S△ADE，∴S△BEC=6S△ADE，∴S△ADE：S△BEC=1：6．故选B．点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．如果=，那么的值是．考点：比例的性质．分析：根据合比性质，可得答案．解答：解：由=，那么==，故答案为：．点评：本题考查了比例的性质，利用合比性质：=⇒=．8．计算：tan60°﹣cos30°= ．考点：特殊角的三角函数值．分析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．解答：解：原式=﹣=．故答案为：．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．9．如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x2的图象重合，那么这个二次函数的解析式可以是y=3（x+2）2+3 ．（只要写出一个）．考点：二次函数图象与几何变换．专题：开放型．分析：先设原抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线y=3x2重合可知a=3，然后根据平移的性质写出解析式，答案不唯一．解答：解：先设原抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k，∵经过平移后能与抛物线y=3x2重合，∴a=3，∴这个二次函数的解析式可以是y=3（x+2）2+3．故答案为：y=3（x+2）2+3．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．10．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 1 ．考点：二次函数的性质．分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，∴m﹣1=0，解得m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．11．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=2，BC=3，那么的值是．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例可得=，代入可求得答案．解答：解：∵AD∥BE∥FC，∴==，故答案为：．点评：本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD=1，BC=3，那么BD长是．考点：相似三角形的判定与性质．分析：如图，证明∠A=∠BDC，∠ADB=∠DBC，得到△ABD∽△DCB，列出比例式即可解决问题．解答：解：如图，∵AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠DBC，∴△ABD∽△DCB，∴AD：BD=BD：BC，而AD=1，BC=3，∴BD=．故答案为．点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是解题的基础和关键．13．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案．解答：解：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，∴水平距离BC==6（m），则该斜坡的坡比是：=．故答案为：．点评：此题主要考查了坡度的定义，正确把握定义是解题关键．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出cosA=cos∠BCD进而求出即可．解答：解：如图所示：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，∵CD=3，BD=2，∴BC=，∴cosA=cos∠BCD===．故答案为：．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．15．正六边形的中心角等于60 度．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．解答：解：∵正六边形的六条边都相等，∴正六边形的中心角==60°．故答案为：60．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．16．在直角坐标平面内，圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），那么圆O 与x轴的位置关系是相切．考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：确定圆O的半径，然后根据点O到x轴的距离与圆的半径的大小进行判断即可．解答：解：∵圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），∴圆的半径为=5，∵O到x轴的距离为5，∴圆O与x轴的位置关系是相切，故答案为：相切．点评：本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形的性质的知识，解题的关键是求得圆的半径，难度不大．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，分别以A、B为圆心的两圆外切，如果点C在圆A内，那么圆B的半径长r的取值范围是0＜r＜2﹣．考点：点与圆的位置关系．分析：首先根据题意求得斜边AB和直角边AC的长，要使得点C在圆A内圆A的半径就满足比AC长、比AB短，从而得解．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，AC==，∵以A、B为圆心的两圆外切，∴两圆的半径的和为2，∵点C在圆A内，∴圆A的半径长r的取值范围是0＜r＜2﹣，故答案为：0＜r＜2﹣．点评：考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足为点E，连结AE，∠AEB=∠C，且cos∠C=，若AD=1，则AE的长是．考点：梯形；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．分析：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，先求得四边形ABCD是平行四边形，四边形EGFH是矩形，从而求得FC=AD=1，GE=FH，由cos∠C=求得CH，然后根据勾股定理求得FH，最后根据cos∠AEB=即可求得AE的长．解答：解：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，∵AD∥BC，BE⊥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，FH⊥DC，AF⊥BE，∴FC=AD=1，∠FHC=90°，∠AG，E=90°，∵cos∠C==，∴HC=，∴FH==，∵FH⊥DC，AF⊥BE，BE⊥CD，∴四边形EGFH是矩形，∴GE=FH=，∴cos∠AEB=，∵∠AEB=∠C，且cos∠C=，∴cos∠AEB==，∴AE===．故答案为．点评：本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，作出辅助线关键直角三角形、平行四边形、矩形是本题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．如图，已知两个不平行的向量、．（1）化简：2（3﹣）﹣（+）；（2）求作，使得=﹣．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．考点： *平面向量．分析：（1）直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时的符号变化；（2）利用三角形法则求解即可求得答案．解答：解：（1）2（3﹣）﹣（+）=6﹣2﹣﹣=5﹣3；（2）如图，=，=，则==﹣．∴即为所求．点评：此题考查了平面向量的运算与作法．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．20．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：（1）把原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点分别代入函数解析式，求得a、b、c的数值得出函数解析式即可；（2）把函数解析式化为顶点式，得出顶点坐标即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．（2）y=﹣2x2﹣3x=y=﹣2（x+）2+，抛物线的顶点坐标为（﹣，）．点评：此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用配方法求得顶点坐标．21．已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．（1）求证：=；（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．考点：垂径定理；角平分线的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据角平分线的性质得OE=OF，根据垂径定理得AE=BE，CF=DF，则可利用“HL”证明Rt△OBE≌Rt△ODF，得到BE=DF，则AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到=，所以=；（2）在Rt△POE中，由于∠BPO=45°，则可判断△POE为等腰直角三角形，所以OE=PE=1+AE，则OE=1+BE，然后在Rt△BOE中根据勾股定理得（1+BE）2+BE2=52，解方程求出BE即可得到AB．解答：（1）证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴OE=OF，AE=BE，CF=DF，在Rt△OBE和Rt△ODF中，，∴Rt△OBE≌Rt△ODF，∴BE=DF，∴AB=CD，∴=，∴+=+，即=；（2）解：在Rt△POE中，∵∠BPO=45°，∴△POE为等腰直角三角形，∴OE=PE=PA+AE=1+AE，而AE=BE，∴OE=1+BE，在Rt△BOE中，∵OE2+BE2=OB2，∴（1+BE）2+BE2=52，解得BE=﹣4（舍去）或BE=3，∴AB=2BE=6．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线的性质和勾股定理．22．如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB蛾高度，小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的D处测得楼顶A的仰角是30°（点B、C、E在同一直线上，且AB、DE均与地面BE处置），求楼AB的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过点D作DF⊥AB于点F，设AB的长度为x米，则AF=x﹣20米，在Rt△ABC和Rt △ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE=BE﹣CB，代入数值求出x的值．解答：解：过点D作DF⊥AB于点F，则四边形BFDE为矩形，设AB的长度为x米，则AF=x﹣20米，在Rt△ABC中，∵∠ACB=60°，∴BC=，在Rt△ADF中，∵∠ADF=30°，∴DF=（x﹣20），∵AB=DF，CE=60米，∴（x﹣20）﹣=60，解得：x=30+30．即楼AB的高度为（30+30）米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）证明B、C、E、D四点共圆，得到∠ADE=∠ACB，即可解决问题．（2）如图，作辅助线，证明EM=EF；由sinα=，sinα=，得到，根据ME=EF，即可解决问题．解答：（1）证明：∵∠ABE=∠ACD，∴B、C、E、D四点共圆，∴∠ADE=∠ACB，而∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．（2）解：过点E作EM⊥AB，EF⊥BC；∵BE平分∠ABC，∴EM=EF；设∠ADE=∠ACB=α，则sinα=，sinα=，∴，而ME=EF，∴DE=CE．点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定等几何知识点．24．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=（x﹣3）2向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．（1）求∠OBA的正切值；（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求△ABC的面积；（3）点D的平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA=∠OBA时，求点D坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）设平移后的抛物线表达式为y=（x﹣3）2+k，把A（8，0）代入表达式可得k的值，可得出平移后的抛物线表达式，把把x=0代入得y的值，可得出B坐标，即可得出tan∠OBA的值．（2）利用平移后的抛物线可得出点C的坐标，从而得出直线AC的解析式，由AC与y轴交于点E，可得出点E的坐标，利用S△ABC=S△BCE+S△ABE求解即可，（3）设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，利用角的关系可得△NAD∽△DAB，由相似比可得AD2=AN•AB，由FN∥BO，可得AN=AB，再结合AF2+m2=AD2，即可求出点D的坐标．解答：解：（1）设平移后的抛物线表达式为y=（x﹣3）2+k，把A（8，0）代入表达式解得k=﹣，∴平移后的抛物线表达式为y=（x﹣3）2﹣，如图，把x=0代入得y=（x﹣3）2﹣，得y=﹣4，∴B（0，﹣4），在RT△AOB中，tan∠OBA==2，（2）把y=6代入y=（x﹣3）2﹣，解得x1=﹣4或x2=10（舍去），∴C（﹣4，6），如图，∴直线AC解析式为y=﹣x+4，设AC与y轴交于点E，则点E的坐标为（0，4），∴S△ABC=S△BCE+S△ABE=BE•|C横坐标|+BE•OA=16+32=48，（3）如图，设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，∵FN∥BO，∴∠OBA=∠DNA，∵∠BDA=∠OBA∴∠BDA=∠DNA，∴△NAD∽△DAB，∴=，即AD2=AN•AB，∵FN∥BO，∴==，∴AN=AB，设点D的坐标为（3，m），由题意得AF2+m2=AD2，即52+m2=（4）2，解得m=5（负值舍去），∴点D（3，5）．点评：本题主要考查了二次函数综合题涉及勾股定理，相似三角形，三角形面积等知识，解题的关键是确定平移后的抛物线表达式．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．考点：四边形综合题．分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，证得△ACF≌△AEF，得出BE=2，进一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性质得出CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可；（2）作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，利用△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据y=0，得出x的定义域即可；（3）分三种情况探讨：①当BH=BG时，②当GH=GB，③当HG=HB，分别探讨得出答案即可．解答：解：（1）∵AB=8，BC=6，∴AC=10，∵AF⊥CE，∴∠AFC=∠AFE=90°，∵点F是线段CE的中点，∴CF=EF，在△ACF和△AEF中，∴△ACF≌△AEF，∴AE=AC=10，∴BE=2，∵∠CGF=∠AGB，∠GFC=∠ABG，∴∠FCG=∠GAB，∠CBE=∠ABG，∴△CBE∽△ABG，∴=，即=，BG=，∴CG=，∵∠GCF=∠BCE，∠CFG=∠CBE，∴△CGF∽△CBE，∴=，又CE=2CF，∴2CF2=BC•CG，∴CF=，∴GF==；（2）如图，作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，∵AF⊥CE，∴ON∥BM∥CE，∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，∴==，=，==，∴=，又∵△CBE∽△ABG，∴=，BE=x，∴BG=x，∴=，则y=（0＜x＜）．（3）当△BHG是等腰三角形，①当BH=BG时，△AHD∽△BHG，=，则5+y=6，y=1，由y=，解得x=3；②当GH=GB，得出∠AHD=ABH，不存在；③当HG=HB，得出∠HGB=∠HBG=∠OCB不存在．所以BE=3．点评：此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识设计的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想．。
上海市十三校2015届高三第一次联考数学(理)试题word版含答案
高三学科测试 数学试题（理科）考斯时间 120分钟 满分150分一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合1{|0},{|12}1x A x B x x x -=<=-<+，则B C A = 2、椅子tan 2α=-，则sin 3cos sin cos αααα-=+ 3、在复平面中，复数2(1)(3i i i++是虚数单位）对应的点在第 象限 4、函数()2sin 3f x x =+的最小正周期是5、已知函数()22(2)2x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 3)f =6、已知()351log log 2014f x a a b x =++，若12015()20142014f =，则(2014)f =7、满足2arccos()arccos(2)x x >的实数x 的取值范围是 8、设n a是(1(2,3,4,)n n = 的展开式中x 的一次项的系数，若11(1)n n n n a b a +++=，则nb 的最小值是 9、若存在整数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是10、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （用数字作答）11、已知函数()2(0)f x x k x k k =-+->，若当34x ≤≤时，()f x 能取到最小值，则实数k 的取值范围是 12、已知数列{}n a 中，1112,1n n a a a +==-+，若k 是5的倍数，且2k a =，则k = 13、如果一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则区间[]1,200内的所有“神秘数”之和为14、已知0m >，12m ≠，直线1:l y m =与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，直线24:1l y m =+与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影程长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值是二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，Ian 高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
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上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试（一模）数学(理)试卷(2015年1月8日)一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R ，集合{}1|||1|2A x x B x x ⎧⎫=<=>-⎨⎬⎩⎭，，则U (C )B A = ．2．函数()f x =的定义域是 ．3．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的 大小是 ．4．若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i|n m +(其中i 是虚数单位，R m n ∈、)的值是 ．5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ． 6．若函数213()2x ax af x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示) 8．已知二项式*(12)(2,N )nx n n +≥∈的展开式中第3项的系数是A ，数列{}n a *(N )n ∈是公差为2的等差数列，且前n 项和为n S ，则limn nAS →∞＝ ． 9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．10．若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ．11．已知 R,,m n m n αβαβ∈<<、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n =---的零点，则m n αβ、、、四个数按从小到大的顺序是 (用符号<“”连接起)．12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答)．13．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=- . (理科)若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ． (文科) 若(21)3A x +=，则实数x 的取值范围是 ． 14．已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且 2320a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=,则角C 的大小是 . 二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的[答] ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 16．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是 [答] ( )．A．12(0,0)(1,2)e e ==-，B ．12(1,3)(2,6)e e =-=-，C ．12(1,2)(3,1)e e =-=-，D ．121(,1)(1,2)2e e =-=-，17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是[答] ( )． A ．4 B ． 5 C ． 6 D ． 718．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()||z ||||||D z a b ==+，P1212(,z )||z ||D z z =-．给出下列命题：(1)对任意C z ∈，都有(z)0D >；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则()(z)D z D =恒成立； (3)若12(z )(z )D D =12(z z C)∈、，则12z z =；(4)对任意123C z z ∈、z 、，结论131223(z ,z )(z ,z )(z ,z )D D D ≤+恒成立，则其中真命题是[答]( )．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题 卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．(1)求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； (2)求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数101(),R 101xx g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数． (1)求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D ； (2)设1()()h x f x x=-，若函数()y h x =在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数()y h x =在区间(1,0)-内必有唯一的零点(假设为t )，且112t -<<-．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．定义：若各项为正实数的数列{}n a 满足*1N )n a n +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”.已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上.(1)试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； (2)记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；(3)从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y ===.若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值． 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线y x =对称，且212AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；(2)设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且||2GH =，求直线l 的方程； (3)若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P (点P 不同于点O A B 、、)，直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．数学试卷(理)参考答案和评分标准(2015年1月8日)说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题1．1(1,]2--； 8．2；2．(1,)+ ； 9．36p ；3．3p ； 10；4．2； 11．m n a b <<<； 5．212y x =； 12．234425； 6．(,0]- ； 13． 514x <≤； 7．2425-； 14．3p ； 二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A BC D -中，有ACEF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角.由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5.(2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅． ∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅．20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)∵()cos cos2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.(2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<，∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解(1)1012()1,R 101101x x x g x x -==-∈++，()1g x ∴<.又1011x +>，2211110101x∴->-=-++. 1()1g x ∴-<<.由101101x x y -=+，可解得1110,lg 11xy y x y y ++==--.1()l g1xf x x+∴=-，(1,1)D =-. 证明 (2)由(1)可知，11111()()lg lg 11x xh x f x x x x x x+-=-=-=+-+.可求得函数()h x 的定义域为1(1,0)(0,1)D =-.对任意1x D ∈，有1111()()lg lg 011x xh x h x x x x x-++-=+++=+--， 所以，函数()y h x =是奇函数. 当(0,1)x ∈时，1x 在(0,1)上单调递减，12=111x x x--+++在(0,1)上单调递减，于是，1lg1xx-+在(0,1)上单调递减. 因此，函数()y h x =在(0,1)上单调递减. 依据奇函数的性质，可知，函数()y h x =在(1,0)-上单调递减，且在(1,0)-上的图像也是不间断的光滑曲线.又199100100()2lg 30,()lg1992021009999h h -=-+<-=-+>->, 所以，函数()y h x =在区间(1,0)-上有且仅有唯一零点t ，且112t -<<-.22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+.又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明(2)*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 1116216312m k -∴=- ． 化简，得116631622k m -+=．若13m -≥，则1166316631663++16222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤.又101m -=或时，116631622k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得.3,6.m k =⎧∴⎨=⎩23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解(1)依据题意，可得点(,)N y x .(,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+．又212AN BN x ⋅=， 222112y x x ∴+-=.∴所求动点M 的轨迹方程为22:12x C y +=.(2) 若直线l y轴，则可求得|GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行于y 轴．设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-．由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=．设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有212221224,212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩且0∆>恒成立(因点D 在椭圆内部)．又||GH =2=2=，解得2k =±．所以，所求直线:1)2l y x =±-． 证明(3)直线l 与线段AB 交于点P ，且与点O A B 、、不重合，∴直线l 的斜率k 满足：11,0k k -<<≠．由(2)可得点(0,)P k -，可算得21212222,2121k k y y y y k k -+==-++．又直线121211:1,:1y y HA y x GB y x x x -+-=+=．设点(,y )Q Q Q x ，则由11221111.y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得12211111Q Q y y x y y x --=⋅++(此等式右边为正数). ∴101Q Q y y ->+，且222121212222112121(1)1()()1(1)1Q Q y y x y y y y y y x y y y y ---++=⋅=+++++=21+1k k ⎛⎫⎪-⎝⎭． ∴1111Q Q y k y k-+=+-，解得1Q y k =-. 1(0,)(,)1Q OP OQ k x k∴⋅=-⋅-=为定值.。