高考数学《二项式定理》

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二项式定理-高考数学复习

＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
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2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
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二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x －）5的展开式中 x 的系数是（

A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x －）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5

－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
⁠
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝

高考数学二项式定理

二项式定理1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，它表示第r ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C rn (r ∈{0,1,2，…，n })2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C mn ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.考向一通项公式的运用【例1】（1）(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)（2）⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为。

（3））(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为。

（4）展开式中x 2的系数为。

【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出【举一反三】1．展开式中项的系数是（）A．270 B．180 C．90 D．452．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14 B．28 C．56 D．1123．在的展开式中，含项的系数为A． B． C． D．4．的展开式中的系数是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.【举一反三】1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．402．若x 4(x ＋4)8＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 12(x ＋3)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝（）. A ．4B ．8C ．12D ．113．已知二项式展开式中含项的系数为，则实数的值是（）A ．B ．C ．D ．4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于【套路总结】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.A．B．C．D．考向三二项式定理单调性【例3】若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A．200 B．110 C．210 D．150【举一反三】1．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（）A．10 B．42 C．50 D．1822．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项A．4 B．3 C．2 D．13．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.。

高考数学二项式定理考点考情分析

高考数学二项式定理考点考情分析考试要求 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[微点提醒](a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )解析二项式展开式中C k n an －k b k 是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(选修2－3P31T4改编)(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1n C.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习A1(3)改编)C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 018＋C 22 018＋C 42 018＋…＋C 2 0182 018的值为( ) A.2 B.4C.2 019D.2 018×2 019解析原式＝22 01922 018－1＝22＝4.答案 B4.(2018·全国Ⅲ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40.答案 C5.(2019·东营调研)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N ＋)是一个递增数列，则k 的最大值是( ) A.5B.6C.7D.8解析由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6. 答案 B6.(2018·浙江卷)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________.解析该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12rx 8－4r 3.令8－4r 3＝0，解得r ＝2，所以所求常数项为C 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.答案 7考点一通项公式及其应用多维探究角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(2019·北京海淀区二模)(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( )A.5B.－10C.－32D.－42(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________. 解析 (1)由于⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r·(－2)r＝C r 5·(－2)r·x r －52，故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42.(2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12kx 10－2k3 . 由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N . 令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.答案 (1)D (2)454x 2，－638，45256x －2规律方法求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可.角度2 求二项展开式中特定项的系数【例1－2】 (1)(多项式是积．的形式)(2017·全国Ⅰ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A.15B.20C.30D.35(2)(多项式是和．的形式)已知(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中含x 3的系数为－2，则a 等于( ) A.2 3B.2C.－2D.－1(3)(三项展开式问题)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60解析 (1)因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4，因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.(2)(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中x 3的系数为C 33a 3＋C 35(－1)3＝a 3－10＝－2，则a3＝8，解得a ＝2.(3)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中，两个取因式中x 2，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.答案 (1)C (2)B (3)C规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.(2)在(1－3x )7＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中，若x 2的系数为19，则a ＝________. 解析 (1)由二项式定理可得，展开式中含x 3y 3的项为x ·C 35(2x )2(－y )3＋y ·C 25(2x )3(－y )2＝40x 3y 3，则x 3y 3的系数为40.(2)(1－3x )7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中x 2的系数为C 67(－3x )6＋C 16(x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＝C 67x 2＋C 16x 2a ，则a C 16＋C 67＝19，解得a ＝2.答案 (1)40 (2)2考点二二项式系数与各项的系数问题【例2】 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.(2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________. 解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案 (1)3 (2)1或－3规律方法 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. 【训练2】 (1)(2019·烟台模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( ) A.5B.40C.20D.10(2)(2018·湘潭三模)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A.29B.29－1C.39D.39－1解析 (1)由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，令x ＝1得3n ＝243，即n ＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r ·C r 5·x 15－4r，令15－4r ＝7，得r ＝2，∴展开式中x 7的系数为22×C 25＝40.(2)(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39， ∴a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1. 答案 (1)B (2)D考点三二项式系数的性质多维探究角度1 二项式系数的最值问题【例3－1】 (2019·上海崇明区二模)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.7解析根据⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r 20·x 20－4r3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0，3，6，9，12，15，18，∴x 的指数是整数的项共有7项. 答案 D角度2 项的系数的最值问题【例3－2】已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n的展开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项为________.解析由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n ＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. 设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k ，令⎩⎨⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎨⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎨⎧11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k ，解得83≤k ≤113. ∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.答案－8 064 －15 360x 4规律方法 1.二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为2C n n；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为12Cn n-或12Cn n+.2.二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得.【训练3】已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， (x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A.5B.6C.7D.8解析由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！m ！（m ＋1）！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.答案 B[思维升华]1.二项式定理及通项的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.(2)运用二项式定理一定要牢记通项T k ＋1＝C k n an －k b k，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.(3)在通项T k ＋1＝C k n an －k b k (n ∈N *)中，要注意有n ∈N *，k ∈N ，k ≤n ，即k ＝0，1，2，…，n .2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. [易错防范]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17B.－17C.7D.－7解析由T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，得x ＝－17. 答案 B2.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 答案 A3.(2019·广州测试)使⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 3n(n ∈N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.6解析 T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3r＝12r C r n x 2n －5r ，令2n －5r ＝0，得n ＝52r ，又n ∈N *，所以n 的最小值是5. 答案 C4.(2018·邯郸二模)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A.15B.45C.135D.405解析令⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n中x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴4n2n ＝64，解得n ＝6，∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r·x 6－32r ，令6－32r ＝3，求得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32＝135.答案 C5.(2019·枣庄二模)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 10·x 10－2r，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310，令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 答案 D6.(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 A7.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A.63B.64C.31D.32解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.答案 A8.若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A.2nB.3n －12C.2n ＋1D.3n ＋12解析设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ，则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)，所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f (1)＋f (－1)2＝3n ＋12.答案 D 二、填空题9.(2017·山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.解析 (1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r ，令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2，由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4. 答案 410.(2018·石家庄调研)(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 1011.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k·(－1)k ，令5－k ＝3，则k ＝2，所以T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.答案 1012.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是__________(用数字作答). 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －15＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －15＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5的展开式中通项公式：T r ＋1＝C r 5(－1)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x r，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x r的通项公式： T k ＋1＝C k r(2x )r －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝2r －k C k r x r －2k，令r －2k ＝0，则k ＝0，r ＝0；k ＝1，r ＝2；k ＝2，r ＝4.因此常数项为C 05(－1)5＋C 25×(－1)3×2×C 12＋C 45×(－1)×22C 24＝－161.答案－161能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2019·河南百校联盟模拟)(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A.600B.360C.－600D.－360解析由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 4622(－1)4＝－600.答案 C14.在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01910的展开式中，含x 2项的系数为( )A.10B.30C.45D.120解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01910＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋1x 2 01910＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 019＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 01910，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45. 答案 C15.(2019·安徽江南十校联考)若(x ＋y －1)3(2x －y ＋a )5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x 且x 的次数为1的项的系数为________(用数字作答). 解析令x ＝y ＝1⇒(a ＋1)5＝32⇒a ＝1，故原式＝(x ＋y －1)3(2x －y ＋1)5＝[x ＋(y －1)]3[2x ＋(1－y )]5，可知展开式中x 的系数为C 13＋C 33(－1)3C 15·2＝－7.答案－716.设(1－ax )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a (a ≠0)，则实数a ＝________.解析已知(1－ax )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，两边同时对x 求导，得2 018(1－ax )2 017(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2 018a 2 018x 2 017，令x ＝1得，－2 018a (1－a )2 017＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a ，又a ≠0，所以(1－a )2 017＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2. 答案 2新高考创新预测17.(多填题)已知（2－x ）71＋x ＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0＋a 1＋x，那么a 0＋a ＝______；a 4＝______.解析取x ＝0，则27＝a 0＋a ，∴a 0＋a ＝128.由已知可得(2－x )7＝(1＋x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0＋a 1＋x ，则⎩⎨⎧－C 07x 7＝a 6x 7，C 17x 6·2＝（a 5＋a 6）x 6，－C 27x 5·22＝（a 4＋a 5）x 5，∴⎩⎨⎧a 6＝－1，a 5＋a 6＝14，a 4＋a 5＝－84，∴⎩⎨⎧a 6＝－1，a 5＝15，a 4＝－99.答案 128 －99。

高考数学复习：二项式定理

思维升华
(1)赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n 的展开式中各项的系数和为 g(1)，(a＋bx)n 的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n 的展开式中偶数项的系数和为12[g(1) －g(－1)].
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
，
令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6；令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5，所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
因为(x－2y)8 的展开式中含 x6y2 的项为 C28x6(－2y)2＝112x6y2，所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－

二项式定理高考常见题型及其解法

第二讲二项式定理高考常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】1、二项式定理：∑=-∈=+nk kkn k nnn b aCb a 0*)()(N2、二项展开式的通项： )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r +1项.3、二项式系数：).0(n r C r n ≤≤4、二项式系数的性质： ⑴ ).0(n k C C k n n k n ≤≤=-⑵ ).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n ⑶ 若n 是偶数，有n nn nn n nn C CC C C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数2nn C 最大.若n 是奇数，有n nn nn n n n nnC C C C C C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n n nn C C 和相等且最大.⑷ 各二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:021312n n n n n C C C C -++=++=【典型考题】一、求二项展开式：1．“（a +b ）n”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式.解：原式=4)13(xx +=24)13(xx +=])3()3()3()3([14434224314442CCCCC x x x x x ++++=)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xxx x小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的. 2． “（a -b ）n ”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式.分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nnnn n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质. 二、通项公式的应用：1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x xa -的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r rr rr rr r r x aC x x aC T令3923=-r ，即8=r ，依题意，得492)1(894889=⋅⋅---aC ，解得1-=a2．确定二项展开式的常数项例5．103)1(x x -展开式中的常数项是解：rr rr rr r xCxx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-= ，令0655=-r ，即6=r .所以常数项是210)1(6106=-C小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴ 3．求单一二项式指定幂的系数例6．（03全国）92)21(xx -展开式中x 9的系数是 .解：29191()()2rr rr T x xC -+=-=182911()()2rr r r x xC --=18391()2rr x x C --令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：339121()22C -=-，∴填212-三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，x 2的系数等于解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，x 3项的系数是 . 解：在展开式中，3x 的来源有：⑴第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008.四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项例9．求101的展开式的中间项；解：,)1()(310101r r r r xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为5555610(252x C =-.小结：当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n n baC ；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222nnnnb a C . 2、求有理项例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(r rr rrr r xxr T CC--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项.小结：⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.3、求系数最大或最小项 ⑴ 特殊的系数最大或最小问题例11．（2000上海）在二项式（x -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 . 解：rrr r xT C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为5511(1)462C-=- ⑵一般的系数最大或最小问题例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r CT ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即8!8!2(1)!.(9)!(2)!.(10)!8!8!2(1)!.(9)!!(8)!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪----⎪⎨⎪⨯≥⎪---⎩1212219k k k k ⎧≥⎪⎪--⇒⎨⎪≥⎪-⎩，解得43≤≤k ，故系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =. ⑶系数绝对值最大的项例13．在（x -y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是 .解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理，故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -.五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和（参考例题2）例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 . 解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+，令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+-故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多.例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a .分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值. 解：rrr r x T C)1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0六、利用二项式定理求近似值例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算.解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ，且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计.∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=-小结：由122(1)1...nn n n n n x x x x C C C +=++++，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值. 七、利用二项式定理证明整除问题例17．求证：5151-1能被7整除. 证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.49515151505051249251501515151-+++++C C C C C=49P +1251-（*∈N P ）又 1)2(1217351-=-=（7+1）171-=01216171716151717171717.7.7.7.....71C C C C C +++++- =7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除.小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数. 八、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例18 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得 131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……二项式定理中的五大热点二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一，本文总结出了近年高考中的五大热点题型，供参考. 一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项，x 3项的系数等)及有理项，无理项，或逆向问题，常是先写出其通项公式1r T +＝r n r r n C a b -，然后再据题意进行求解，有时需建立方程才能得以解决. 例1 9)12(xx -的展开式中，常数项为．(用数字作答)．解：由99921991(2)(1)2rrr r rr r r r T C x C x ----+⎛⎫=-=-∙∙∙ ⎝．令9－r －2r ＝0，得r ＝6．故常数项为63679(1)2672T C =-∙∙=．故填672．练习：1．10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为_______．[15]2．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4－(x －1)5的展开式中，x 2的系数是_______．[－20]3．9a x ⎛-⎝展开式中x 3的系数为94，常数a ＝______．[4] 二、系数配对型是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题，通常转化为乘法分配律问题来解决.例2 (x 2＋1)(x －2)7的展开式中x 3项的系数是______.解：由x 3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：因此，x 3项的系数是()4472C -＋()6672C -＝1008．练习：(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）．[179]三、系数和差型是指求二项展开式系数的和或差等问题，常可用赋值法加以解决. 例3 若2004220040122004...(12)x a a x a x a x -=++++(x ∈R )，则=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a (用数字作答)．解：取x ＝0，得a 0＝1；取x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004＝(1－2)2004＝1．故010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++ ＝2003a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004)＝2003＋1＝2004．评注：若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n．则有①a 0＝f (0)，②a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)；③a 0－a 1＋a 2－…＝f (－1)；④a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-；a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --．练习：若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为_________．[1]四、综合应用型应用意识是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等式、求组合数及求余数等问题.例4 9192除以100的余数是_______．解：9192＝(90＋1) 92＝0929290C ＋1919290C ＋…＋9029290C ＋919290C ＋9292C＝M ×102＋92×90＋1(M 为整数) ＝100M ＋82×100＋81． ∴ 9192除以100的余数是81．练习：⑴求0.9986近似值(精确到0.001)．[0.998]⑵设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C _________．[1(71)6n-]五、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例5 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．练习：若(1－2x )9展开式的第3项为288，则2111lim ()nx xxx→∞+++的值是_________．[2]。

高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习

二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理

高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数．知识点二二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。

高三数学教案《二项式定理》四篇

高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。

也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。

这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。

学完本课后，此题就不难求解了。

（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。

奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。

）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。

第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。

）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。

高三数学二项式定理(知识点和例题)

二项式定理1．知识精讲：（1）二项式定理：()nn n r r n r n n n n n nb C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T rnr n aba C )(()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- （*∈N n ）特别地：()n n n r n r n n n n nx C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）其中，rn C ——二项式系数。

而系数是字母前的常数。

例1．n nn n n n C C C C 1321393-++++ 等于（） A ．n4 B 。

n43⋅ C 。

134-n D.314-n 解：设nnn n n n n C C C C S 1321393-++++= ，于是： n n n n n n n C C C C S 3333333221++++= =13333332210-+++++nn n n n n n C C C C C故选D例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：（1）7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,2211kn nkn n n n n n n nn n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

高考数学考点44利用二项式定理求指定项试题解读与变式

考点44 利用二项定理求指定项一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;注意：①展开式共有n+1项；②a 按降幂排列b 按升幂排列，b a ,幂指数之和为n ；③系数依次为nn n n n C C C C ,,,,210Λ。

④注意区分二项式系数与某一项的系数, 二项式系数是),,2,1,0(n r C rn Λ=，而系数既包括二项式系数也包括二项式中系数和符号展出部分（2）二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=. （3）二项式定理系数性质：①0≤k ≤n 时，kn n k n C C -=．②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值. ③各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝n 2，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n .2.命题规律展望：二项式定理是高考的热点和重点，主要考查利用二项式定理或通项公式计算二项式展开式或三项式或两个二项式乘积的特定项或特定项系数，难度为基础题，分值为5分. 二、题型与相关高考题解读 1.求展开式中的特定项或特定系数 1.1考题展示与解读例1【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【命题意图探究】本题主要考查利用二项展开式通项公式计算已知指定项系数求二项式的指数问题，是基础题. 【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步，根据所求的指数求解所求的项． 1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】二项式51x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A. 10B. 10-C. 5D. 5- 【答案】B【解析】展开式的通项为()()11552151r rr r T C x-+=-，令()115502r -=得3r =，所以展开式中的常数项为3510C -=-，故选B.【变式2：改编结论】若6nx x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C【变式3：改编问法】若022sin 4n x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A. 8B. 16C. 24D. 60 【答案】C【解析】∵()()2022sin =2sin cos 2cos sin |240n x dx x x dx x x ππππ⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭⎰=2cos cos0sin sin0422ππ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，∴42y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为42142r r rr T C y -+=⋅⋅，令420r -=，即2r =，∴二项式42y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是224224C ⋅=，故选C2.求三项式展开式的指定项 2.1考题展示与解读例2【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数，是基础题【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选 C.【解题能力要求】转化思想，运算求解能力【方法技巧归纳】三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】()()62x y x y z -++的展开式中， 232x y z 的系数为（）A. 30-B. 120C. 240D. 420 【答案】B【变式2：改编结论】()4x y z ++的展开式共（）项 A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】B【解析】因为()()()()4443144x y z x y z C x y C x y z ⎡⎤++=++=+++⎣⎦+()2224C x y z ++()334444C x y z C z ++,所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，故选B .【变式3：改编问法】已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】1203.两个二项式乘积展开式的指定项 3.1考题展示与解读例3【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（） A ．15B ．20C ．30D ．35【命题意图探究】本题主要考查考查利用二项式定理展开式求指定项及分类整合思想，是基础题. 【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】B【解析】()()()()4512233441223344554444455555511x x C C x C x C x C xCC x C x C x C x C x -+=-+-++++++()()234234514641510105x xx x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为3223311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.【变式2：改编结论】()522131x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（）A. -3B. -2C. 2D. 3 【答案】C【变式3：改编问法】已知：＝992210)1()1()1(-++-+-+x a x a x a a Λ，则6a ＝（）A. －28B. －448C. 112D. 448 【答案】A 【解析】，当第一个因子取时，第二个因子取当第一个因子取1时，第二个因子取，故a 6＝，故选A.4.二项式系数与各项的系数问题 4.1考题展示与解读例4【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【命题意图探究】本题主要考查利用通项公式与二项定理展开式的系数性质，是基础题. 【答案】92【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】 (1)“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可． (2)当n 为偶数时，展开式中中间一项的二项式系数最大，；当n 为奇数时，展开式中中间两项项的二项式系数最大.4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知二项式31nx x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）【答案】28【变式2：改编结论】已知()()4501521x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，则12345a a a a a ++++=______. 【答案】2-【解析】先令0x =，得： 02a =，再令1x =得： 0123450a a a a a a +++++=，即 1234520a a a a a +++++=，所以123452a a a a a ++++=-，故填2-. 【变式3：改编问法】已知()()62701271...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（）A. 35B. 20C. 5D. 5- 【答案】D【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=⋅-∴=，而3a 表示3x 的系数，()()3232366115a C C ∴=-+-=-，故选D.三、课本试题探源选修修2-3 P40 页复习参考题 A 第8（2）题：求18)319(xx +展开式的常数项.【解析】r rr r xx C T )31()9(18181-+==2318183363rrr x C --,则02318=-r，解得12=r ，所以展开式的常数项为1218123363C ⨯-=18564.四．典例高考试题演练1.【广西贺州市桂梧高中2018届第四次联考】()713x -的展开式的第4项的系数为（） A. 3727C - B. 4781C - C. 3727C D. 4781C 【答案】A【解析】由题意可得()713x -的展开式的第4项为()33733331771327T C x C x -+=⨯⨯-=-，选A.2.【2018届云南师范大学附属中学月考（二）】若的展开式中常数项为，则实数的值为（）A. B. C. -2 D.【答案】D 【解析】的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得，故选D ．3.【广东省深圳市南山区2018届入学摸底考】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=L ( )A. 2123n +B. ()2413n -C. 123n -⨯D. ()2313n -【答案】B【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=L()12223333nn n n n C C C ⨯+⨯+⨯L = ()001222333313nn n n n n C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯-L ()()221314133n n ⎡⎤=+-=-⎣⎦选B.4.【广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中2018届9月联考】()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭求的展开式的常数项是（）A. 15B. -15C. 17D. -17 【答案】C【解析】611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式： ()()()661661T 11,r 0,1,2,,6rrrr rr r x x --+⎛⎫=-=-=⋯ ⎪⎝⎭痧，分别令r −6=0，r −6=−2，解得r =6，r =4.∴()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是2×66ð+1×46ð=17,故选：C.5.【广西桂林市柳州市2018年届综合模拟金卷（1）】已知2nx x ⎛- ⎝⎭的展开式中第4项的二项式系数为20，则2nx x ⎛- ⎝⎭的展开式中的常数项为（） A. 60 B. 60- C. 80 D. 80- 【答案】A6.【四川省双流中学2018届9月月考】在()62x -展开式中，二项式系数的最大值为m ，含5x 项的系数为n ，则nm =（） A. 53 B. 53- C. 35 D. 35-【答案】D【解析】因为6n =是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为3620m C ==时，含5x 项的系数为()161212n C =-⨯=-，则123205n m =-=-，应选D 。

2020高考数学10.2 二项式定理

1.二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求的项. 2.求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
2.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到0,字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数为 C0n , C1n ,…, Cnn1 , Cnn .
解析设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
则各项系数的和为a0+a1+…+a10,
奇数项系数的和为a0+a2+…+a10,
偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数的和.
(1)二项式系数的和为 C100 + C110 +…+ C1100 =210. (2)令x=y=1,各项系数的和为(2-3)10=(-1)10=1.
二二项式系数的性质及应用
例2
(2018河北邯郸二模,9)在

x

3 x
n

的展开式中,各项系数和与二项
式系数和之比为64,则x3的系数为 ( )
A.15 B.45 C.135 D.405

新高考数学二项式定理精品课件

5. 在的展开式中,有理项共有项.
课前基础巩固
4
[解析] 的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·36-r·,若6-r为整数,则r=0,2,4,6,故有理项共有4项.
6. 已知的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和之比为64,则n等于 .
课前基础巩固
6
[解析] 二项式的展开式中各项系数的和为(1+3)n=4n,二项式系数的和为2n.因为各项系数的和与二项式系数的和之比为64,所以=2n=64,解得n=6.
课堂考点探究
ACD
将x=-1代入(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;二项式(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,所以当r为奇数时,(-2)r为负数,即ai<0(其中i为奇数),当r为偶数时,(-2)r为正数,即ai>0(其中i为偶数),所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.故选ACD.
(2)在的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答)
课堂考点探究
240
[解析]的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=(-1)r×26-r,令6-2r=2,解得r=2,∴的展开式中x2的系数为24=240.
考向1 二项式系数例2 (1)[2021·衡水模拟] 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为 .
课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn

高考数学《二项式定理》真题含答案

高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______．答案：5解析：方法一二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项．答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。

二项式定理 2025年高考数学基础专项复习

D选项， +
2 5
的展开式的通项公式为+1

3
2
=
3
2
C5 5−
⋅

2 −2
=
C5
⋅
3
2 5− 2 ，0
≤ ≤ 5，且为整数，当 = 0
3
2
时，5 − = 5，满足要求，当 = 2时，5 − = 2，满足要求，当 = 4时，5 − = −1，满足要求，综上，展
（2）若 = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + ,则展开式中各项系数之和为 1 ,偶次项系数之和为
0 + 2 + 4 + ⋯ =
1 + −1
2
,奇次项系数之和为1 + 3 + 5 + ⋯ =
1 − −1
2
，令 = 0，可得0 = 0 .
结论正确的是( ACD )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
C.展开式中所有偶次项的系数的和为
【解析】对于A， 1 − 2
= 1 − 2
32 023 −1
2
2 023 ，则
0

+ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2 023 = 1 = −1，
1 − −1
1 = C30 + C41 = 1 + 4 = 5；2 = C31 −1
2 + 3 + 4 = 3 + 7 + 0 = 10.
1
+ C42 = 3；3 = C32 −1

高考数学-14-3二项式定理课件-人教版

• (2)解法一：展开式中x10的系数满足1＝a10C100 ∴a10＝1 • 展开式中x9的系数满足0＝a9C90＋a10C101，∴a9＝－10.故选D.
• 解法二：x2＋x10＝[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10展开式中a9 ＝C101(－1)1＝－10.故应选D. • (3)令x＝1，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝5n ；
• (3)C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝________.
• [解析] (1)(x2－2x－3)10＝[(x－1)2－4]10展开式中(x－1)2 的系数a2＝C101(－4)9，∴a2＝－10·49 • 令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310 • 令x＝0，得a0－a1＋a2－a3＋…－a19＋a20＝310 • ∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0，a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310 (2)解法一：原式＝x－11－{1[－－[－x－x1－]1]5} ＝x－1＋x x－16 ∴展开式中 x2 的系数为 C63(－1)3＝－20.
• 求证：3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)． • [证明] 利用二项式定理3n＝(2＋1)n展开证明． • 因为n∈N*，且n＞2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项， (2＋1)n＝2n＋Cn1·2n－1＋…＋Cnn－1·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1 ＞2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1. • 故3n＞(n＋2)·2n－1.
• 1．二项式定理
• (a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋ …＋Cnnbn.(n∈N＋) • 通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)． • 2．二项式系数 • (1)定义：Cn0，Cn1，Cn2，…Cnk，…Cnn 叫做二项式系数．