第三章 线性算子与线性泛函

这 意 味 着 x0 (t )的 F -级 数 在 t 0点 是 发 散 的 。
精品课件
第二节 Hahn-Banach定理
• n维赋范线性空间上的线性泛函与n元数组一一对 应，有着具体的形式。
• 有限维赋范线性空间上的线性泛函和线性算子都 是连续的，那无穷维的情形呢，是否有非零的连 续线性泛函，如果有，是否足够多？
• 解决该问题的基本的想法之一：将我们熟悉的有 限维上的泛函进行推广、延拓。
• 这节是考虑的实赋范线性空间，对复的情形，类 ຫໍສະໝຸດ Baidu结论都是成立的，不在赘述
精品课件
• 设X是实线性空间，称X上泛函p是次可加正 齐次的，如果满足 (1)p(xy)p(x)p(y);
(2)p(ax)ap(x),(a0,x,yX).
在 函 数 x(t)在 [a,b] 上 积 分 近 似 计 算 中 ， 我 们 通 常 考 虑 形 如 ：
b x(t)dt
a
Ak x (tk )(a t0 t1 tn b )
0 k n
（ 3）
需要讨论的是什么条件下，当n 时，上式的误差趋于0?
现 在 可 证 公 式 (3) 对 每 个 连 续 函 数 x C [a , b ]都 收 敛 ， 即
• 例如：求元素的范数就是这种泛函 • 定理1.(Hahn-Banach)：设p是实线性空间X
第三章 线性算子与线性泛函
• 一致有界原理（共鸣定理）及其应用 • Hahn-Banach定理，非零有界线性算子存在
性定理 • 共轭空间与共轭算子 • 开映射、逆算子及闭图形定理 • 算子谱理论简介
精品课件
第一节 共鸣定理及其应用
• 定义：设A是距离空间X的子集，若A在X中的任意 一个非空开集中均不稠密（A没有内点），则称A 是稀疏(疏朗)集；称X是第一纲的，若X可表示成 至多可数的稀疏集的并；不是第一纲的X称为是第 二纲的。
b
Ak x(tk )
x(t)dt
a
（n ）
0 k n
当且仅当以下两个条件成立 :
（ 3'）
(i)存 在 常 数 M 0， 使 得 | Ak | M ; 0 k n
(ii)公 式 （ 3'） 对 每 个 多 项 式 函 数 都 是 收 敛 的 。
精品课件
Fourier级数的发散性问题
• 法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热 流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程， 并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想， 虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了 深远的影响，成为傅里叶分析的起源。
令 t 0,即 点 赋 值 泛 函(Sn x)(0)是 X R的 有 界 线 性 泛 函 ，
计
算
其
范
数
为
||
Sn
||
1
sin[(n 1 / 2)s]
|
| ds
2 sin(s / 2)
1
2 n 1 2
|
sin u
u
|
du
(n
).因 此
sup
n0
||
Sn
||
.
从 而 由 共 鸣 定 理 ， 必 有 x0 X ,使 得 lim (Sn x)(0)不 存 在 ；
证 明 ： 用 X 表 示 R上 以 2 为 周 期 的 连 续 函 数 全 体 ， 赋 予
范 数 || x || m ax{| x(t) |; t }, 那 么 X 是 一 Banach空 间 。
对 每 个 x X , 其 F - 级 数 的 前 n + 1 项 的 部 分 和 记 为( S n x )(t )。
n
精品课件
共鸣定理的应用
• 1.机械求积公式的收敛性 • 2. Lagrange插值公式的发散性定理：差值
多项式作为连续函数的近似表达时，插值 点的无限增多不能更好的逼近插值函数。 • 3. Fourier级数的发散性问题：存在连续 的周期函数，其Fourier级数在给定点发散。
精品课件
1.机 械 求 积 公 式 的 收 敛 性
• 例子：X=有理数集，定义距离d(x,y)=|x-y|,则X 是第一纲的，每个单点集是X中的疏朗集。
• 定理1(Baire纲定理)：完备的距离空间是第二纲 的。
• 推论1:欧式空间、Banach空间、Hilbert空间、有 界线性算子空间L(X,Y)都是第二纲的。
精品课件
第一节 共鸣定理及其应用
本节主要涉及有界线性算子的收敛性和一致有界问题。
由我们以前的知识，一般来说，收敛序列都是有界的。
问题：设X是赋范线性空间,有界线性算子族Aα | α Γ B X,Y ,如果满足条件:x X,Aαx| α Γ是X中的 有界集.问Aα |α Γ是否为B X,Y 中的有界集?
精品课件
1927年 ,波 兰 数 学 家 Banac（h 巴 拿 赫 ） 和 Steinhaus(斯 帝豪斯)给出的共鸣定理(一致有界定理)回答了这个问题. 这个定理也是Banach空间理论的基石之一.
• 在积分变换中，F-变换是大家熟悉的，为让 符 号Σ与积分的交换，应当对F-级数(1)的收敛性加 以必要的限制,如一致收敛性。因为可能存在不一 致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数 。
• 大量的事实让人们误以为：“ƒ的傅里叶级数一定 能收敛于 ƒ自身”
精品课件
3. 存 在 以 2 为 周 期 的 连 续 函 数 ， 其 F-级 数 在 给 定 点 发 散 。
定理1.(Banach-Steinhaus定理)：设X 是Banach空间，
Y 是 赋 范 线 性 空 间 ， 算 子 族 {T; } B( X ,Y ) 满 足 :
sup || T x || , x X .那 么 sup || T || .
推 论1： 设 fn 是 Banach空 间 X 上 的 一 列 有 界 线 性 泛 函,
如果 fn 在X的每点x处有界, 那么 fn一致有界.
精品课件
精品课件
精品课件
定理2.设X,Y都是Banach空间，则B(X,Y)在强收敛意义下是
完备的。
定理3：设X是赋范线性空间，Y是Banach空间， {Tn}B(X,Y) 满足条件：(1){||Tn ||}是有界数列； (2)在X中的某一稠密子集G中的每个元素x,{Tn(x)}都收敛. 则{Tn}强收敛于某一个算子TB(X,Y),且||T||lim||T||.