第14讲建立适当的坐标系描述图形的位置

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用坐标系解决实际问题

用坐标系解决实际问题在解决实际问题时，坐标系是一种常用且有效的工具。

通过建立坐标系，我们可以准确地描述物体的位置、方向和运动，以及计算相应的数值。

本文将介绍通过坐标系解决实际问题的方法和应用。

一、建立坐标系建立坐标系是解决实际问题的第一步。

我们通常使用直角坐标系，即二维平面上的X轴和Y轴。

X轴和Y轴的交点处称为原点，用O表示。

X轴向右为正方向，Y轴向上为正方向。

二、描述物体的位置在坐标系中，可以用一个有序数对(x, y) 来表示物体的位置。

其中，x 表示物体在X轴上的位置，y 表示物体在Y轴上的位置。

例如，一个物体位于坐标系的第一象限内，其位置可以表示为(3, 4)。

这意味着物体在X轴上的位置为3，Y轴上的位置为4。

三、描述物体的方向坐标系也可以帮助我们描述物体的方向。

常见的表示方法为使用角度来表示方向。

在二维平面坐标系中，通常以X轴正方向为基准，逆时针旋转的角度来表示方向。

例如，一个物体运动的方向与X轴成45度的角度，即表示为45度方向。

四、计算物体的位移通过坐标系，我们还可以计算物体在空间中的位移。

位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的变化量。

在坐标系中，可以根据两个位置点的坐标差值计算出位移。

例如，物体从点A(1, 2)移动到点B(4,6)，则物体的位移可以表示为(4-1, 6-2)，即(3, 4)。

五、计算物体的距离坐标系还可以帮助我们计算物体之间的距离。

在二维平面上，可以通过两点间的距离公式来计算。

设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的距离可以表示为√[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。

六、应用实例坐标系在解决实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用实例：1. 导航系统：通过建立地图坐标系，可以确定车辆或行人在空间中的位置，以及计算最短路径等导航信息。

2. 摄影测量学：通过建立空间坐标系，可以计算地物的三维位置和形状，进行地图制图和测量工作。

北师大版八年级数学上册3.2 平面直角坐标系第3课时建立适当的坐标系描述图形的位置

13. 请在所给网格中按下列要求操作： (1)请在网格中建立平面直角坐标系，使 A 点坐标为(0，2)，B 点坐标为(－2，0)； (2)在 x 轴上找一点 C，使得 △ABC 为等腰三角形，请画出所有符合条件的点 C，并直接写出相应的 C 点坐标.
解：(1)图略； (2)C(0，0)或(2，0)或(－2－2 0).
解：答案不唯一，由所建立坐标系的位置确定.
知识点由已知点的坐标求其他点的坐标 3. 如图的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋 ②的坐标为(－7，－3)，白棋③ 的坐标为(－6，－7)，画出直角坐标系，并写出黑棋①的坐标. 解：图略，黑棋①的坐标是(－3，－6).
4. 如图所示，建立适当的直角坐标系，使得小明家的坐标位置为(－2，1)，并写出小刚、小红、小颖家的坐标.
9. (中考·武威)中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)，“马”位于点(4，－2)，则“兵”位于点 (－1，1) .
10. 如图的围棋盘放在平面直角坐标系内，黑棋 A 的坐标为(－1，2)，请在图中画出平面直角坐标系，并写出白棋 B 的坐标.
坐标为(8，－4)，B 点的坐标(10，0).
12. (教材 P67 习题 T5 变式)温州一位老人制作的仿真郑和宝船尺寸如图，已知在某一平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(9，0).
(1)请你直接在图中画出该坐标系；
(2)写出其余五点的坐标. (3)仿真郑和宝船图中互相平行的线段有哪些？分别写出来.
解：(1)图略； (2)各点的坐标为：B(5，2)，C(－5，2)，D(－9，0)， E(－5，－2)，F(5，－2)； (3)EF∥BC，DE∥AB，CD∥AF.

小学数学技巧认识坐标系与形位置

小学数学技巧认识坐标系与形位置小学数学技巧-认识坐标系与形位置在小学数学中，认识坐标系和形位置是非常重要的基础知识。

通过学习和掌握这些技巧，学生们可以更好地理解和解决数学问题。

本文将为您介绍一些小学数学中关于坐标系和形位置的技巧。

一、认识坐标系坐标系是用来表示和定位平面上点的工具。

它由两条相互垂直的线段组成，一条是水平方向的x轴，一条是垂直方向的y轴。

这两条轴称为坐标轴，它们的交点称为原点O。

1. 坐标坐标是用来表示一个点在坐标系中位置的数对，通常用(x, y)表示。

其中，x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。

例如，点A的坐标可以表示为(2, 3)，表示它在x轴上的位置是2，在y轴上的位置是3。

2. 四象限根据坐标系的两个轴将平面分成四个部分，这四个部分分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

在第一象限中，x轴和y轴的坐标值都是正数；在第二象限中，x轴的坐标值是负数，y轴的坐标值是正数；在第三象限中，x轴和y轴的坐标值都是负数；在第四象限中，x轴的坐标值是正数，y轴的坐标值是负数。

二、形位置形位置是指图形在平面上的相对位置关系。

通过学习形位置的技巧，学生们可以更好地理解和描述图形之间的关系。

1. 直角、钝角和锐角当两条线段相互垂直时，我们称其为直角。

直角通常用一个框住的小方块表示。

当两条线段的夹角大于90度但小于180度时，称其为钝角。

钝角通常用一个小圆角表示。

当两条线段的夹角小于90度时，称其为锐角。

锐角通常用一个小尖角表示。

2. 平行和垂直当两条线段在平面上没有交点且始终保持相同的间隔时，我们称这两条线段为平行线段。

平行线段通常用双竖线“||”表示。

当两条线段相互垂直时，我们称其为垂直线段。

垂直线段通常用一个小正方形表示。

3. 内角和外角对于一个多边形而言，内角是指任意两条边所夹的角。

外角是指一个内角的补角，即与内角相邻且不共线的角。

三、实例运用通过以下实例，我们可以更好地理解和应用坐标系和形位置的技巧。

数学七年级下册：第14讲用坐标表示地理位置套真题

数学七年级下册：第14讲用坐标表示地理位置一、单选题1. 已知小明从点O出发，先向西走10米，再向南走20米，到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（）A . AB . BC . CD . D2. 红领巾公园健走步道环湖而建，以红军长征路为主题，如图是利用平面直角坐标系画出的健走步道路线上主要地点的大致分布图，这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，如果表示遵义的点的坐标为，表示腊子口的点的坐标为，那么这个平面直角坐标系原点所在位置是A . 泸定桥B . 瑞金C . 包座D . 湘江3. 如图所示是做课间操时，小明、小红、小刚三人的相对位置，如果用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，则小红的位置可表示为（）A . （0，0）B . （0，1）C . （1,0）D .4. 小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A 的坐标为（1，0），那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是（）A . （3.2，1.3）B . （﹣1.9，0.7）C . （0.8，﹣1.9）D . （3.8，﹣2.6）5. “健步走”越来越受到人们的喜爱，某个“健步走”小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园，所走路线为:森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方.如图，设在奥林匹克公园设计图上玲珑塔的坐标为,森林公园的坐标为, 那么水立方的坐标为（）A .B .C .D .6. 根据下列表述，能确定位置的是（）A . 孝义市府前街B . 南偏东C . 美莱登国际影城3排D . 东经，北纬7. 如果7年2班记作，那么表示（）A . 7年4班B . 4年7班C . 4年8班D . 8年4班8. P点横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是A . （-3，5）或（-3，-5）B . （5，-3）或（-5，-3）C . （-3，5）D . （-3，-5）9. 如图，军训时七班的同学按教官的指令站了7排8列，如果第7排第8列的同学的位置在队列的东北角，可以用有序数对来表示，那么表示站在西南角同学的位置的有序数对是（）A .B .C .D .10. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（）A . （﹣2，3）B . （0，﹣5）C . （﹣3，1）D . （﹣4，2）二、填空题11. 已知点P在第二象限，且横坐标与纵坐标的和为1，试写出一个符合条件的点P ________．12. 如图，将某动物园中的猴山，狮虎山，熊猫馆分别记为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将猴山M，狮虎山N用坐标分别表示为和，则熊猫馆P用坐标表示为________.13. 如图，把“QQ”笑脸图标放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B 的坐标为，则嘴唇C点的坐标是________．14. 如下图，五间亭的位置是________，飞虹桥的位置是________，下棋亭的位置是________，碑亭的位置是________．15. 如图，射线OA表示北偏西36°，且∠AOB=154°，则射线OB表示的方向是________．16. 如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（________）→（________）→（________）→ （1，3）.三、解答题17. 如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点向东的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，并分别写出火车站以北（包括火车站）各地点的坐标．（每个正方形边长是1）18. 某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．19. 这是一个学校的示意图，已知大门的坐标为（1，—1）,行政楼坐标为（—1，1），画出平面直角坐标系,并写出另外四个地点的坐标.20. 如图所示，求出A，B，C，D，E，F，O点的坐标．21. 如图的方格中有25个汉字，如四1表示“天”，请沿着以下路径去寻找你的礼物：（1）一1→三2→二4→四3→五1一二三四五1力习天的2 会上是学好3 帅就更棒努4 优最行了可能爱秀明哥（2）五3→二1→二3→一5→三4 （3）四5→四1→一2→三3→五2．。

第14讲课题学习图案设计(5种题型)(原卷版)

第14讲课题学习图案设计（5种题型）【知识梳理】一．利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．二．利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．三．作图旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．四．利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．五．几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．【考点剖析】一．利用轴对称设计图案（共4小题）1．（2023•都昌县校级模拟）如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．（2023•常德三模）如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图②所示的方法用若干个图形①玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用2n+1个这样的图形①拼出来的图形②的总长度为（）A．a+2nb B．a+4nb C．（1﹣n）a+3nb D．3．（2023•武胜县模拟）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）4．（2023•宁波模拟）如图，方格纸上画有两条线段，请再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形（找出符合条件的所有线段）．二．利用平移设计图案（共3小题）5．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．6．（2023•安次区二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心、吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个”方胜”图案，则点D、B′之间的距离为（）A．1cm B．2cm C．D．7．（2023春•东海县期中）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A．B．C．D．三．作图旋转变换（共11小题）8．（2023•道外区三模）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2C2C2；（3）连接C1C2请直接写出C1C2的长为．9．（2023•横山区三模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（4，4）．（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2（A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）10．（2023•滨湖区一模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为．11．（2023•宽城区校级模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、A、B、C、E、F、I在格点上，D、G在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中，画出△OAB关于点O的中心对称图形；（2）在图②中，画出直线EM，使得EM∥CD；（3）在图③中，点H是线段FG上一点，画出△HGN，使得S△HGN＝S△HGI，且点N与点I不重合．12．（2023•富锦市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，5），B（2，4），C（4，2）．（1）△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（6，﹣4），画出△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段AC在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．13．（2023春•禅城区月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，点A1的坐标是；（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，点B2的坐标是；（3）在x轴上求作点P，使PB+PC的值最小．（只需画图作出点P，不需要写作法，也不需要求点P的坐标）14．（2023•砀山县一模）如图，在12×12正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣3，5），C（﹣2，2）．（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△AB1C1，点B，C的对应点分别为点B1，C1，请画出△AB1C1；（2）将△ABC平移至△A2B2C2，其中点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，且点C2的坐标为（﹣2，﹣4），请画出平移后的△A2B2C2．15．（2023•朝阳区校级三模）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）．（1）将AC绕着点C顺时针旋转90°，在图①中作出旋转后的对应线段CD．（2）在图②中作线段AE，使点E在边BC上，且．（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．16．（2023•伊通县四模）如图①、图②均是4×1的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中画△BCG，使△BCG与△ABC关于某条直线对称；（2）在图②中画△ABH，使△ABH与△ABC关于某点成中心对称．17．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；（3）填空：∠OCB的度数为．18．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；（2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD．四．利用旋转设计图案（共14小题）19．（2022秋•宁波期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q20．（2022秋•雄县校级期末）在如图3所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有（）A．0种B．1种C．2种D．3种21．（2023•衡水模拟）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（）A．B．C．D．22．（2022秋•龙川县校级期末）亦姝家最近买了一种如图（1）所示的瓷砖．请你用4块如图（1）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（2）、图（3）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）23．（2023•蜀山区校级一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转度形成的．24．（2023•江北区一模）如图，下列3×4网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．请将以上两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可．25．（2023•宁波模拟）如图，正三角形网格中，已知两个小三角形被涂黑．（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的涂法）；（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．26．（2023春•薛城区期中）如图，在5×5的正方形网格中，有4个小正方格被涂黑成“L形”．（1）如图1，用2B铅笔在图中再涂黑3个小正方格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）如图2，用2B铅笔在图中再涂黑3个小正方格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形．27．（2023•鄞州区校级一模）如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．28．（2023•沂水县二模）下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．29．（2022秋•丰台区期末）图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（）A．144B．120C．72D．6030．（2023•余姚市一模）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（1）使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）31．（2023•扶余市四模）如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．32．（2023•五华县校级开学）有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，两位木匠工师傅通过测量可知∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，现要将其拼成正方形，思考一段时间后，一位木工师傅说“我可以将这两块木板拼成一个正方形．”另一位木工师傅说“可以将一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形．”两位师傅把每一块木板都只分割一次，你知道他们是怎么做的吗？画出图形，并说明理由．五．几何变换的类型（共5小题）33．（2023春•舞钢市期中）如图是一张正方形的网格纸，图中4条线段的端点都在网格纸的格点上，对于这4条线段之间变换的描述不正确的是（）A．线段CD可以由线段AB平移得到B．线段EF可以由线段AB先旋转再平移得到C．线段GH可以由线段AB先旋转再平移得到D．线段GH不能通过线段EF平移和旋转变换得到34．（2023•南京模拟）如图，△A′B′C′是由△ABC经过轴对称得到的，△A′B'C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．③④35．（2023•北海二模）（1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图是5×5的正方形网格，A，B，C，D，E均是格点，∠ACB＝90°，△ABC≌△DEC，请你判断△ABC是通过怎样的变换得到△DEC的？填；（2）在（1）的条件下，连接AD，BE，探究AD与BE的位置关系．36．（2022•龙岗区一模）如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF．（1）求证：△F AC≌△BAE；（2）图中△BAE可以通过一次变换得到△F AC，请你说出变换过程．37．（2023•蚌埠模拟）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为．（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．（3）直接写出AC与y轴交点的坐标．【过关检测】一、单选题1．（2020秋·全国·九年级专题练习）如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF，旋转长方形ABCD能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个2．（2022秋·全国·九年级专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（）A．②③④B．①③⑤C．①②③D．①③④3．（2021秋·全国·九年级专题练习）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．4．（2022秋·全国·九年级专题练习）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（）A．4040B．4044–πC．4044D．4044＋π5．（2021秋·全国·九年级专题练习）在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如右图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式( ).A．B．C．D．6．（2022·全国·九年级专题练习）关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的7．（2021秋·全国·九年级期末）如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）A．①②B．①③C．①④D．③⑤8．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180 ，之后所得到的图形是（）A．B．C．D．9．（2020秋·九年级单元测试）如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处()A．A B．B C．C D．D10．（2018·河北·模拟预测）在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是（）A．①或②B．③或④C．⑤或⑥D．①或⑨二、填空题11．（2021秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，若点P(x－2，x)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是______ ．12．（2021秋·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的直角顶点C的坐标为(1,0)，点A在x轴正半轴上，且2AC=．将ABC绕点C逆时针旋转90︒，则旋转后点A的对应点的坐标为________．13．（2021·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′关于原点对称，则点B′的坐标为________________．14．（2021·九年级课时练习）点A（a，2）与点B（8，b）关于原点对称，则a＝___，b＝____．15．（2022秋·九年级单元测试）△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD长度的范围是__________．16．（2022秋·九年级课时练习）把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为__________；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角α的度数是__________（α为锐角）．17．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO△△ADO△△BCO△△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为______．18．（2022秋·九年级课时练习）如图，点P是等边△ABC外一点，AP= 2，BP= 3，则PC的最大值为_______三、解答题19．（2019秋·全国·九年级专题练习）请认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．(2)请在图（2）中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征（用阴影表示）．20．（2022秋·吉林·九年级校考阶段练习）如图所示是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，挍下列要求选取三个涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．21．（2023秋·吉林·九年级统考期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）22．（2022秋·广东河源·九年级校考阶段练习）亦姝家最近买了一种如图（1）所示的瓷砖．请你用4块如图（1）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（2）、图（3）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）的正方形网格，点A，B，C在格点上．23．（2022春·浙江·九年级校考阶段练习）图①、图②均为65(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．的正方形网格，每个小正方形边长均为1．按要24．（2023·吉林·统考一模）图①、图②和图③都是55求分别在图①、图②和图③中画图：(1)在图①中画等腰ABC，使其面积为3，并且点C在小正方形的顶点上；(2)在图②中画四边形ABDE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D，E两点都在小正方形的顶点上；(3)在图③中画四边形ABFG，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F，G两点都在小正方形的顶点上；25．（2023·安徽合肥·校联考二模）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，猜想：在图（n ）中，特征点的个数为___________（用n 表示）；(2)如图，将图（n ）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心1O 的坐标为()1,2x ，则1x =___________；图（2023）的对称中心的横坐标为___________．。

高考数学二轮三轮总复习专题课件专题4第14讲空间向量与立体几何理北师大

第14讲 │ 主干知识整合
2．夹角计算公式 (1)线线角：直线与直线所成的角为 θ，如两直线的方向向量分别为 a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|； (2)线面角：直线与平面所成的角为 θ，如直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|； (3)面面角：两相交平面所成的角为 θ，两平面的法向量分别为 n1 和 n2，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况以决定 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是 cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.
于是 cos〈A→C，A→1B1〉＝|AA→→CC|·|AA→→11BB11|＝3×42
＝ 2
32.
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 32.
第14讲 │ 要点热点探究
(2)易知A→A1＝(0,2 2，0)，A→1C1＝(－ 2，－ 2， 5)．设平面 AA1C1 的法向量 m＝(x，y，z)，
第14讲 │ 要点热点探究
► 探究点二利用空间向量求空间角和距离例 2 [2011·天津卷] 如图 14－3 所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA1＝2 2，C1H⊥平面 AA1B1B，且 C1H ＝ 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值； (2)求二面角 A－A1C1－B1 的正弦值； (3)设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN⊥平面 A1B1C1，求线段 BM 的长．
图 14－1
第14讲 │ 要点热点探究
【分析】建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明 E→F∥A→B即可证明第一问，第二问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直，第三问使用平面法向量的方法求解．

平面直角坐标系与几何图形的综合(解析版)

第14讲平面直角坐标系与几何图形的综合【知识点睛】❖ 平面直角坐标系知识网络系统图各问题归纳总结若点()11y x A ，、()22y x B ，、()b a P ，问题一：若点P 在x 轴上，则b=0；若点P 在y 轴上，则a=0；若点P 在第一象限，则a ＞0，b ＞0；若点P 在第二象限，则a ＜0，b ＞0；若点P 在第三象限，则a ＜0，b ＜0；若点P 在第四象限，则a ＞0，b ＜0；问题二：若点A 、B 在同一水平线上，则21y y =；若点A 、B 在同一竖直线上，则21x x =；若点P 在第一、三象限角平分线上，则b a =；若点P 在第二、四象限角平分线上，则b a -=；问题三：点()b a P ，关于x 轴对称的点P 1坐标为()b a P -，1；点()b a P ，关于y 轴对称的点P 2坐标为()b a P ，-2；点()b a P ，关于原点对称的点P 3坐标为()b a P --，3；问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”；问题五：线段AB 的中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y x x ，；若点A 、B 在同一水平线上，则AB=21x x -；若点A 、B 在同一竖直线上，则AB=21y y -；若点A 、B 所在直线是倾斜的，则AB=()()221221y y x x AB -+-=（两点间距离公式）问题六：点()b a P ，到x 轴的距离=|b|；点()b a P ，到y 轴的距离=|a|；问题七：割补法，优先分割，然后才是补全问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样）注意横纵坐标的规律可能不同。

【类题训练】1．如图，A （8，0），B （0，6），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点C 的坐标为（）A ．（10，0）B ．（0，10）C ．（﹣2，0）D ．（0，﹣2）【分析】根据勾股定理求出AB ，根据坐标与图形性质解答即可．【解答】解：由题意得，OB ＝6，OA ＝8， ∴AB ＝＝10，则AC ＝10， ∴OC ＝AC ﹣OA ＝2， ∴点C 坐标为（﹣2，0），故选：C ．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（5，3），则线段AB 上任意一点的坐标可表示为（）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（）A．点A与点D的纵坐标相同B．点A与点B的横坐标相同C．点A与点C的纵坐标相同D．点B与点D的横坐标相同【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．故选：A．4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B可表示为点B（2，30），则D点可表示为（）A．D（0，90）B．D（90，0）C．D（90，5）D．D（5，90）【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），故选：D．5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m 的值是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．【解答】解：∵直线AB∥x轴，∴m﹣1＝3﹣m，解得：m＝2，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P 从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2022，﹣1）C．（2021，﹣1）D．（2022，0）【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（）A．（1，1）B．（3，1）C．（3，3）D．（1，3）【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，点P运动一周需要8秒，2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（）A．10B．11C．12D．14【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．【解答】解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤0B．﹣1≤a≤1C．1≤a＜2D．0＜a≤1【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，∴a＜3﹣a，解得：a＜1.5，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的4个都在线段AB上，∴3≤3﹣a＜4．解得：﹣1＜a≤0，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB 上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．【解答】解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4∴∠B′CD＝30°，B′D＝2根据勾股定理得DC＝2∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选：C．11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D 在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A （1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于．【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解答】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q 的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠4，∴|0﹣y|＝2，解得y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．（1）求AC，AB的长；（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，过点A作AH⊥BC于点H，∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，在Rt△OAB中，AB＝，在Rt△ACH中，AC＝；（2）∠CAB是直角，理由：由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，∵，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠CAB是直角．16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为，所以△ABC面积的大小为．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，故答案为：4，20；【再探新知】（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，故答案为：36，37.5，不合适；（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：36，36，合适；（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：合适；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且P A＝PB，①求证：P A⊥PB；②求OA+OB的值；（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且P A＝PB，③求OA﹣OB的值；④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（2，2），∴PE＝PF＝2，在Rt△APE和Rt△BPF中，，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴BF＝AE，∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，∴OA﹣2＝OB+2，∴OA﹣OB＝4；④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝2，∵A（8，0），∴OA＝8，∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，∴点B的坐标为（0，﹣4）．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．（1）点A的坐标为；点D的坐标为；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为；②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），∴BC＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴A（1，4），D（5，4），故答案为：（1，4），（5，4）；（2）①如图：共有3个，故答案为：3；②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），∵区域W内恰好有3个整点，∴2＜m≤3或6≤m＜7．19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．请完成下列各题．（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为．（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，∴P′的坐标为（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）；（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），∴PP'∥x轴，∴PP'＝|kt|，又∵OP＝t，PP'＝3OP，∴|kt|＝3t，∴k＝±3；（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，又∵xy＝﹣8，∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，∴m﹣2n＝±4，∵点A在第四象限，∴x＞0，即m﹣2n＝4．20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，∴|a﹣3|＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，∵AO＝3，∴点P运动3秒时，点P在线段AB上，且AP＝3，∴点P的坐标是（3，3）；如图，作PE∥AO．∵CB∥AO，PE∥AO，∴CB∥PE，∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；（3）存在．∵t≠0，∴点P可能运动到AB或BC或OC上．①当点P运动到AB上时，2t≤7，∵0＜t≤，P A＝2t﹣OA＝2t﹣3，∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，∴P A＝2×2﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，∵点P到x轴的距离为4，∴t＝4，解得t＝8，∵≤t≤5，∴此种情况不符合题意；③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，∴14﹣2t＝t，解得：t＝，∴PO＝﹣2×+14＝，∴点P的坐标为（0，）．综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．2122。

立体几何建坐标系

立体几何建坐标系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何建坐标系是描述和研究立体图形的重要工具之一。

在三维空间中，我们通常使用三维直角坐标系来描述立体图形的位置和形状。

这种坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z 轴，它们分别对应三维空间中的长度、宽度和高度。

在这个坐标系中，每个点都可以通过三个坐标值来表示，分别表示点在x轴、y轴和z轴上的位置。

用立体几何建坐标系描述一个物体时，首先需要确定一个原点，该原点是坐标轴的交点，通常我们取它为立体图形的重心或者其特定的某一个点。

然后，可以通过在坐标轴上确定一个单位长度来建立坐标系的比例尺。

接下来，可以通过测量物体在x、y、z三个方向上的长度、宽度和高度，来确定物体各个点的坐标值，从而描述整个物体的形状和位置。

利用立体几何建坐标系可以方便地计算立体图形的体积、表面积、中心质心等属性。

通过将三维立体图形分解成一系列的立方体、长方体或圆柱体等基本的几何图形，可以利用数学方法求解各部分的体积，并将它们相加得到整个立体图形的体积。

而对于复杂的立体图形，可以将其分解成多个简单的几何图形，再逐一计算其属性，最后综合得出结果。

这样的方法虽然有时会比较繁琐，但是却是一种较为准确和可靠的计算方式。

立体几何建坐标系不仅可以用于描述静态的立体图形，还可以用于描述立体图形的运动和变形。

通过不断变化物体各个点的坐标值，可以描述其在三维空间中的移动、旋转、缩放等动作。

通过改变一个立方体各个顶点的坐标值，可以实现它在空间中的旋转或者平移。

通过计算不同时间点上各个点的坐标值，可以还原出整个立体图形的运动轨迹，从而研究它的运动规律。

利用立体几何建坐标系还可以进行三维坐标系下的几何投影。

在三维空间中，物体的形状对应着它在每个坐标轴的投影，在三维坐标系下可以进行正投影、侧视投影等操作，将三维空间中的立体图形映射到二维平面上，便于我们观察和研究。

这种投影方法在建筑设计、工程制图等领域中有着广泛的应用。

选修第14课简单图形的极坐标方程

(2) 建立相应的直角坐标系，求出直角坐标方程，化为极坐标方程，请你试试。
【变式】：从极点作圆 2a cos 的弦,求各弦中点的轨迹方程.
8sin 例3：在极坐标系中，求圆锥曲线的准线方程． 2 cos
【引导分析】此类问题一般化为直接坐标方程求解。
五、解题反思
1．要正确理解点的极坐标的概念，曲线的极坐标方程的概念，注意与直角坐标系的区别和联系； 2．在处理问题的过程中，要选择恰当的坐标系，也可以
题4：在极坐标系中，圆C : 10cos 和直线3 cos 4 sin 30 0 相交于A, B两点，则线段AB的长为
【分析】本题可以化为直接坐标方程求解．
．
要点归纳
(1) 强化点的极坐标的概念，尤其是与直角坐标的区别； (2) 要求学生熟悉简单图形的极坐标方程；
将题目所给坐标系进行转化，以便于问题的处理．
(3)
理解曲线极坐标方程的概念，熟悉曲线极坐标方程的求
法。
2 例1：在极坐标系中，求过点P 4, 且与极轴垂直的直线的极 3 坐标方程. 【分析】极坐标系下，曲线极坐标方程的求法与直角坐标系下曲线方程求法类似的，也有定义法、直译法、相关点法等．
（1）如何直接求曲线的极坐标方程？（2）本题也可先化为直角坐标，求出直线方程再还原为直线的极坐标方程．请你试试。
【点评】
观察两点P,Q的特征，选择题1中的两种方法之一求解．
【点评】
题3：方程 cos( )表示的曲线是以 4 1 半径为的圆． 2

为圆心，
1、你能够直接看出圆心的极坐标吗？ 2、化为直接坐标试试．
3、对于形如： 2r cos( )(r, 为常数)的极坐标方程，你能确认它表示圆心为（r，），半径为r的圆吗？

浙江专版中考数学第三章函数第14讲二次函数的应用精讲本课件

6
(1)求雕塑高 OA； (2)求落水点 C，D 之间的距离； (3)若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF，OE＝10 m， EF＝1.8 m，EF⊥OD.问：顶部 F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．
解：(1)当 x＝0 时，y＝－1 (0－5)2＋6＝11 ，∴点 A 的坐标为
6
6
2
2
EF·EH×40 ＝ (20 ＋ 30)×5×20 ＋ (10 ＋ 20)×5×60 ＋
20×10×40＝22 000；
解：(2)E F ＝(20－2x )米，E H ＝(30－2x )米，参考(1)，由题意得：y＝(30＋30－2x)·x·20＋(20＋20－2x)·x·60＋(30 －2x)(20－2x)·40＝－400x＋24 000(0＜x＜10)；
题型三二次函数的应用——几何图形类
例 3.用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘米)的平方成正比，当 x＝3 时，W＝3.
பைடு நூலகம்
(1)求 W 与 x 的函数关系式； (2)如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为 x(厘米)，Q＝W 厚－W 薄． ①求 Q 与 x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？[注：(1)及(2)中的①不必写 x 的取值范围]
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有 2 万、3 万和 2 万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降 1 元，将有 600 人原计划购买甲种门票的游客和 400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降 10 元，求景区六月份的门票总收入；

3.2.3 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置课件 2024-2025学年北师大版八上

变长方形为不规则的四边形
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的
每个顶点都在格点上.
(1)在图中建立合适的平面直角坐标系，使点A的坐标为(1，2)，
点B的坐标为(2，－3)；
解：建立平面直角坐标系
如解图①所示；
第10.3题图
第10.3题解图①
(2)四边形ABCD的面积为
16
9.五子棋起源于中国，规则为：双方各执一色，黑先白后，先形成五子连
色者获胜.如图，若白棋A的位置记为(1，2)，黑棋B的位置记为(－2，－
1)，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是
(用坐标表示).
第9题图
(0，－1)
10.1 坐标原点不在长方形的顶点处
如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以BC的中点为坐标原点，BC
(m，n)，(4，3)，则点B的坐标是
(－4，3)
第12题图
.
⁠
13.如图是老北京城一些地点的分布示意图.已知东直门和宣武门的坐标
分别为(3.5，4)和(－2，－1).
(1)在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出(－4，2)表示的地点；
解：根据题意，建立平面
直角坐标系如解图所示，
第8题图
根据解图可得，(－4，2)
为 1，求点 A 的坐标.
BC = 6，三角形的高为4
即横坐标为1，纵坐标
距离x轴为4的点
A 点坐标为( 1 , 4 ) 或 ( 1 , -4 )
A( 1 , 4 )
B( -4 , 0 )
C( 2 , 0 )
6. 如图，长方形ABCD的两条边AB，BC的长分别为3，5，建立平面直角
坐标系，若要使其中三个顶点在坐标轴上，且点C的坐标为(5，－3)，则

第14讲平面直角坐标系

第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P 到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a ，a －3)在一、三象限的角平分线上，求a 的值．05．已知两点A (－3，m )，B (n ，4)，AB ∥x 轴，求m 的值，并确定n 的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A 、B 两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A 、B 为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C 、D 的坐标．【解法指导】平行x 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ∥x 轴，则|AB |＝|x 1－x 2|；若AB ∥y ，则|AB |＝|y 1－y 2|，则(1)A (2，2)，B (2，－1)；(2)3；(3)C (5，2)，D (5，－1)或C (－1，2)，D (－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD 是平行四边形，且AD ∥x 轴，说明，A 、D 两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A 、B 、C 、D 四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A (0，4)，B (－3，0)，C (3，0)要画出平行四边形ABCD ，请根据A 、B 、C 三点的坐标，写出第四个顶点D 的坐标，你的答案是唯一的吗？03hmsr=&hmmd【例6】平面直角坐标系，已知点A (－3，－2)，B (0，3)，C (－3，2)，求△ABC 的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高． (2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC ＝Ｓ△ABD ＝Ｓ△BCD ＝12·3·5－12·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (―3，―1)，B (1，3)，C (2，－3)，△ABC 的面积．02．如图，已知A (－4，0)，B (－2，2)，C ,0，－1)，D (1，0)，求四边形ABDC 的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n，所以S10＝8×10＝80个．【变式题组】01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OA n B n，推测A n的坐标是_____________，B n的坐标是_____________．【解法指导】由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知，每变换一次，顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，纵坐标不变．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．演练巩固反馈提高01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A ．六楼6号B ．北偏西400C ．文昌大道10号D ．北纬260，东经1350 05．在坐标平面内有一点P (a ，b )，若ab ＝0，则P 点的位置是( )A ．原点B ．x 轴上C ．y 轴上D ．坐标轴上06．已知点P (a ，b )到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，且|a －b |＝b －a ，则点P 的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M (5，a )，N (b ，－2)，①若直线MN ∥x 轴，则a ＝______，b ＝__________； ②若直线MN ∥y 轴，则a ＝___________，b ＝_________．08．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2010次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2010的位置，则P 2010的横坐标x 2010＝___________•09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是______________•10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A ．(2，3)B ．(2，－3)C ．(－2，3)D ．(－2，－3)11．点P 位于x 轴的下方，距y 轴3个单位长度，距x 轴4个单位长度，则点P 的坐标是____________．12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n ，m)表示第n 排，从左到右第m 个数，则表示实数25的有序数对是______________．13．已知点A (－5，0)，B (3，0)，(1)在y 轴上找一点C ，使之满足S △ABC ＝16，求点C 的坐标；(2)在平面直角坐标系内找一点C ，使之满足S △ABC ＝16的点C 有多少个？这样的点有什么规律．(3)14．若y 轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的________________方向．15．如图在平面直角坐标系中A (0，1)，B (2，0)，C (2，1.5)(1)求△ABC 的面积；(2)如果在第二象限内有一点P (a ，12)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动，问何时S△ＰBC＝4？并求此时P点的坐标．培优升级奥赛检测01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限．02．若点A(6－5a，2a－1)．(1)点A在第二象限，求a的取值范围；(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；(3)点A能否在坐标原点处？为什么？03．点P{－12，－[ －|1－12| ]}关于y轴对称点的坐标是_____________．04．已知点Ａ(2a＋3b，－2)与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a＋b＝__________．05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．06．已知点P1(a－1，5)在第一、三象限角平分线上，点P2(2，b－8)在第二、四象限角平分线上，则(－a＋b)2010＝___________．07．无论x为何实数值，点P(x＋1，x－1)都不在第_________象限•08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为_________．09．若点P(x，y)在第二象限，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．10．若点A(2x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点A的坐标是__________．11．已知线段AB平行于y轴，若点A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________．12．已知A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求B点的坐标．13．如图，B(2，4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．(1)当D 在OC 上运动时，直线BD 能否将长方形ABCD 的面积分为1:2两部分，若能，求点D 的坐标，若不能，请说明理由；(2)当点D 运动到CB 上时，经过多长时间△ABD 的面积等于14矩形ABCO 的面积？并求此时D 点的坐标．14．已知：A (a －35，2b ＋23)，以A 点为原点建立平面直角坐标系． (1)试确定a 、b 的值；(2)若点B (2a －75，2b ＋2m )，且AB 所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m 的值．第15讲平面直角坐标系（二） AB CDO －2 xy考点•方法•破译1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2．了解可以用不同的方式确定物体的位置.3．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换.经典•考题•赏析【例1】在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后得到B点的坐标是 .【解法指导】在平面直角坐标系中，将点P（x,y）向右或向左平移a个单位，可以得到P’（x+a,y）或P’（x－a,y），将点P（x,y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到P’（x,y+b）或P’（x,y－b）.一句话：右、上作加，左、下作减.即B点的坐标为（－4,5），所以B点的坐标为（－4,5）.【变式题组】01．在平面直角坐标系中，将点A（5，－2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到点B的坐标是 .02. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－4）平移到点N（－1,4），是经过了先向，再向，而得到的.03．点A（－5，－b）经过先向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点B（a,－1），则ab＝ .【例2】△ABC三个顶点坐标分别是A（4,3）B（3,1）C（1,2）⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A1B1C1，再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2，求△A2B2C2三个顶点的坐标.⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5，纵坐标不变得到△A3B3C3，则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5，横坐标不变得到△A4B4C4，则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？【解法指导】平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同.解：⑴A2(5,1)B2（4，－1）C2（2,0）；⑵△A3B3C3与△ABC大小相等，形状相同，△A3B3C3是△ABC向左平移5个单位得到的；⑶A4（4,8）B4（3,6）C4（1,7），△A4B4C4与△ABC大小相等，形状相同，△A4B4C4是△ABC向上平移5个单位得到的.【变式题目】01.如图将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（1,7），（0,2）（3,5）B（1,7），（0,2）（4,5）C（1,7），（2,2）（3,5）D（1,7），（2,2）（3,3）02.将正方形向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得到的顶点坐标分别是（－1,2），（3,2），（3，－2），（－1，－2），则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为：3.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是：A（0,0）B（6,0）C（5,5）⑴求△ABC的面积；⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，再向右平移2个单位长度得到△A2B2C2，试求△A2B2C2三个顶点的坐标；⑶试说明△A2B2C2与△ABC的形状、大小有什么关系？【例3】在平面直角坐标中，点A（1,2）平移后的坐标A’（－3,3），按照同样的规律平移其它点，则下列哪种变换符合这种规律（）A．（3,2）→（4，－2）B．（－1,0）→（－5，－4）C（2.5，－1/3）→ (－1.5,2/3) D(1.2,5) → (－3.2,6)【解法指导】先仔细分析平移规律：点A（1,2）→A’（－3,3），规律是：横坐标减少4，纵坐标增加1，再依据规律作出正确的判断.【解】依据坐标平移规律，故选C．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，点A（－2,3）平移后的坐标为A’（2，－3），按照同样的规律平移（1，－2），得到 .02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A(－1,4)的对应点C（4,7），则点B（－4，－1）的对应点D的坐标是 .03．将点P(m－2,n+1),沿x轴负方向平移3个单位长度得到P1（1－m,2）,求点P的坐标. 04．平面直角坐标系中，△ABC个顶点的坐标分别是A（6,8），B（－2,0），C（－5，－3），△DEF各顶点的坐标是D（0，3），E（8,11），F（－3,0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△DEF是不是由△ABC平移得到的？如果是请回答平移规律；如果不是，请说明理由.【例4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个长度单位），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置.光岳楼金凤广场动物园【解法指导】若以金凤广场为坐标原点O，过点O的水平线为x轴，取向右为正方向；过点O的竖直直线为y轴，取向上为正方向，即可建立平面直角坐标系，各景点坐标的位置就可以表示出来.【解】以金凤广场为坐标原点O，，建立如图所示的直角坐标系.所以：⑴光岳楼（1,1）⑵金凤广场（0,0）；⑶动物园（6,5）.【变式题组】01．如图为某市旅游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置.02．如图是传说中的一个藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，现金的寻宝人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏宝地点.【例5】某村是一个古树名木保护模范村，仅百年以上树龄的古树就有5棵，第一棵古松树在小刚家的院子里，第二棵古松树在小刚家东南方向2000米处，第三棵古松树在小刚家北偏西30•方向1000米处，第四棵古松树在小刚家正东1000米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西45•方向1500米处，请你画图表示这五棵古树的位置.【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置.【解】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，比列尺为1:50000，即1厘米表示500米.那么五棵数的位置如图所示.【变式题组】01．如图，为一公园内运动园的平面示意图：A为孔雀园，B为猴山，C为鹦鹉园，D为天鹅园，E为熊猫园，F为师虎园.现以孔雀园来说：⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上？要想确定猴山的位置，还需要什么数据？⑵与孔雀园距离相等的有几个园？它们是什么园？⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据？请借助刻度尺、量角器，说出狮虎园距鹦鹉园的位置？【例6】如图，早直角坐标系中，第一次将∆OAB变换成∆OA1B1，第二次将∆OA1B1变换成∆OA2B2，第三次将∆OA2B2变换成∆OA3B3，已知A（1,3），A1（2,3），A2（4,3）A3（8,3），B（2,0），B1（4,0），B2（8，0），B3（16,0）.⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再次将∆OA3B3变换成∆OA4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是；⑵若按⑴题找到的规律，将∆OAB进行了n次变换，得到∆OA n B n,推测A n的坐标是，B n的坐标是 .【解法指导】此题为猜想题，解这类题一般步骤是：⑴＜1＞观察：高清观察的对象；＜2＞分析：分析个数之间的关系，如：和、倍、分等数量关系；＜3＞对比：在分析个数据的情况下，找出个数据之间的区别和联系，为归纳作准备；＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来；⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法.分析：观察图形，可知A n的横坐标是2n,而B n的横坐标是按2n+1变化的.解：⑴A4(16,3),B4(32,0);A n(2n,3),B n(2n+1,0).【变式题组】01.（菏泽.淄博）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有个.【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，将坐标为（0,0),(5,0), (4,3), (1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一个图案，不画图形，回答下列问题.若每个点的横坐标保持不变，纵坐标变成原来的2倍，将所得各点用线段依次连接起来，那么所得的图案与原来图案相比有什么变化？若横坐标保持不变，纵坐标分别加2呢？若纵坐标保持不变，横坐标分别加2呢？若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1呢？若纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1呢？【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被拉长为原来的2倍；⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了2个单位；⑶所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了2个单位；⑷所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于x轴成轴对称.⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于y轴成轴对称.欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的规律即可.演练巩固反馈提高01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变，而纵坐标分别加4，连接三个点所得到三角形是三角形ABC（）A．向左平移4个单位得到B．向上平移4个单位得到C．向右平移4个单位得到D．向下平移4个单位得到02. 将三角形ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标分别减5，连接三个点所得到三角形是由三角形ABC（）A．向左平移5个单位得到B．向右平移5个单位得到C．向上平移5个单位得到D．向下平移5个单位得到03.（日照市）在平面直角坐标系中，把点P(－2,1)向右平移一个单位，则得到的对应点P’的坐标是（）A．（－2,2）B．（－1,1）C．（－3,1）D．（－2,0）04．如右图，将三角形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（2,2），（3,4），（1,7）B．（－2,2），（4,3），（1,7）C．（－2,2），（－5,－3），（0,－1）D．（－2,2），（－5,3），（0，－1）05．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直角坐标系内画出各点.其中顺序正确的是（）A．⑴，⑵，⑶B．⑵，⑴，⑶C．⑶，⑴，⑵D．⑴，⑶，⑵06．如图，图是由图1经过变换得到的，下列说法中错误的是（）A．将图1先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到图2B．将图1先向上平移6个单位，再向右平移4个单位得到图2C．将图1先向上平移6个单位后，再沿y轴翻折180•可得到图2D．将图1先向右平移4个单位后，再沿x轴翻折180•可得到图207．在象棋中，“马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点，图中“马”现在的位置用（6,2）表示，要想“马”走现在“帅”的位置（如图），至少需要步，写出“马”所走的路线（只要写出一种） .08.（泸州）如图是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请以某景点为原点，建立平面直角坐标系（保留坐标系的痕迹），请用坐标表示下列景点的位置.⑴动物园，⑵烈士陵园 .09.（永州）如图所示，要把线段AB平移，使得点A到达点A‘(4,2)，点B到达点B’，那么点B‘的坐标是 .10．华英学校七年级二班的三位同学：李丽，王明，张倩，他们从家到学校的路线分别是：⑴李丽出家门口向东走50米，再向南走100米，可到学校；⑵王明出家门口向西100米，再向南走150米，可到学校；⑶张倩出家门口向东走100米，再向北走50米，可到学校.根据以上条件建立坐标系，画出李丽、王明、张倩家的位置及学校的位置.11. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.⑴计算△ABC的面积；⑵将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；⑶写出所得△A1B1C1和△ABC的形状、大小有什么关系？培优升级奥赛检测01. 在平面直角坐标系内，已知点（2m,m－4）在第四象限内，且m为偶数，那么m的值为 .02. 已知点P1（a－1,5）在第一、三象限角平分线上；点P2（2，b－8）在二、四象限角平分线上，则（－a+b）2004＝ .03．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，以矩形的对角线交点为坐标原点，平行于边的直线为坐标轴，建立直角坐标系，则四个顶点的坐标为 .04．在正方形ABCD中，A、B、C三点坐标分别为（1,2）、（－2,1）、（－1，－2），则顶点D的坐标为 .05．无论x为何实数值，点p(x+2,x－2)都不在第象限.06．如果点A(ba,1)在第一象限，则点B(－a2,ab)在第（）象限.A．一B．二C．三D．四07．若点的坐标满足，则点P必在（）.A．原点上B．x轴上C．y轴上D．x或y轴上08．已知x、y实数，且P(x,y)的坐标满足x2+y2＝0，则点p必在（）A．原点上B．x轴正半轴上C．y轴正半轴D．x轴负半轴上09．（遵义）如图所示，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.设坐标轴的单位长度为1厘米，整点P从原点O出发，速度为1厘米/秒，且整点P 作向上或向右运动，运动的时间（秒）与整点（个）的关系如下表“整点P从原点O出发的时间（秒）可以得到整点P的坐标可以得到整点P的个数1 (0,1)(1,0) 22 (0,2)(1,1)(2,0) 33 (0,3)(1,2)(2,1)(3,0) 4………根据上表中的规律，回答下列问题：⑴当整点P从点O出发4秒时，可以得到的整点P的个术士为个；⑵当整点P从点O出发8秒时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；⑶当整点P从点O出发秒时，可以到达整点（16,4）的位置.。

2024年新八年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系

第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例距离的较小值称为点点的若点的若，两点为点的若点是若点的长距为的坐标为，试说明：中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点“”(1)直接写出点A，B的“－”(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（）A．B．C．D．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．一、单选题1．（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（）A．B．C．D．2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（）A．19B．20C．21D．21.53．（2024七年级下·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（）A．B．C．D．二、填空题4．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，…那么点的坐标为5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积（用含有k的式子表示）6．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．（1）点的“长距”为；（2）若点是“完美点”，则的值为；三、解答题7．（23-24七年级下·重庆潼南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴交于点F．(1)求点A、B的坐标；(2)求点F的坐标；(3)y轴上是否存在一点P，使的面积和的面积相等，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由．8．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．(1)点的“长距”为______；(2)若点是“完美点”，求的值；(3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．9．（2024七年级下·天津·专题练习）如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，．(1)______，点到轴的距离为______．(2)求四边形的面积．(3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是，的坐标是．(2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是，的坐标是．11．（23-24八年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点．(1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________；(2)已知，，，直线经过点．①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________；②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围．12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，其中、、满足等式．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为，当四边形为正方形时，解答下列问题．(1)__________，__________，__________；当点在线段上时，的长度为___________．（用含的代数式表示）(2)当时，求三角形的面积．(3)当时，三角形的面积为__________．(4)当时，直接写出的值．第14讲解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、规律、新定义问题【题型一利用补形法或分割法求图形的面积】例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积．【答案】15【分析】本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可．【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F．∵点，，，∴，，∴，，，，．所以四边形的面积是15．【变式1-1】（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【答案】(1)，，(2)的面积为9．【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形．（1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可；（2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：点，点，点；故答案为：，，；（2）解：的面积．【变式1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，(1)在平面直角坐标系中画出．(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可；（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【详解】（1）如图，即为所求；（2）【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．【变式1-3】已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求的面积；(3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．【答案】(1)，，(2)11.5(3)见解析【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可；（3）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可．【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；（2）的面积；（3）∵点经平移后对应点为，∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．如图，【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．【题型二与图形面积相关的点的存在性问题】例2.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t 秒．(1)求点A、C的坐标；(2)在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时，_________；(3)点，在点P的运动过程中，是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)2秒或8秒(3)当或时【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平方和二次根式的非负性，一元一次方程的应用，（1）由平方和二次根式的非负性即可求出a，b的值，即可求出点A、C的坐标．（2）由点A，点C的坐标即可求出点B的坐标，然后根据当点P到的距离为2个单位长度时，分两种情况，即可求出t的值．（3）先根据已知条件，求出，然后根据P在上，P在上，P在上，P在上时，根据已知条件，建立关于t的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解∵，∴，，∴，，∴，，∴，（2）由（1）可知，，∴，当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或者，∴秒或秒∴秒或秒，故答案为：2秒或8秒．（3）存在，理由如下：∵，∴，，∵，，轴，轴，∴，∴，，∴，∴，①当P在上时，，即时，，∴∴，解得，舍去②当P在上时，，即时，，∴∴，解得③当P在上时，，即时，∴，∴，解得，舍去④当P在上时，，即时，∴∴，解得综上，当或时【变式2-1】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，(1)求的面积．(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【答案】(1)16(2)或【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键；（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；（2）设点D的坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可．【详解】（1）解：；（2）设点D的坐标为，．解得．∴满足条件的点D的坐标为或；【变式2-2】（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式(1)请求出、、三点的坐标：(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为；(2)；(3)存在这样的点M，点M的坐标为或．【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．（1）根据非负数的性质求解即可；（2）求出，，再用计算即可；（3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，；∴点坐标为，点坐标为，点坐标为；（2）解：过点作于，则，∵，，∴，，∴，，∴；（3）解：存在，点M的坐标为或，理由如下：假设存在这样的点M，设为，则，∵，∴∵，由题意得解得：或，∴存在这样的点M，点M的坐标为或．【变式2-3】（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．(1)求点的坐标及四边形的面积；(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．【答案】(1)，(2)存在，或(3)①正确，【详解】（1），．点，点．根据平移规律可得，．（2）坐标轴上存在点满足．当点在轴上时，，．．点的坐标为或；当点在轴上时，，．．点的坐标为或．综上，点的坐标为或或或．（3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点，．．．．．①正确．【题型三平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例3.（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．(1)点的“短距”为______；(2)若点的“短距”为3，求m的值；(3)若，两点为“等距点”，求k的值．【答案】(1)7(2)4或(3)或【分析】本题主要考查新定义下点到坐标轴的距离，（1）根据新定义，求得点B到坐标轴的距离即可；（2）根据新定义得到，求解即可；（3）根据新定义分别找到点C和点D到坐标轴的距离，再分类讨论与2的大小，列出对应的等式即可求得答案；【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为和7，根据定义得点的点的“短距，且，∴，解得或．（3）点C到x轴的距离为，到轴的距离为，到当时，，则或，解得或（舍）．当时，，则或，解得或（舍）．综上，k的值为或．2023上八年级统考期中）轴的距离的较大值称为点点的“长距”若点是若点的长距为的坐标为，试说明：【答案】(1)3(2)或见解析【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的完美点”．）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为点是∴，∴或，解得或；）解：点的长距为∴，解得，∴，∴点D的坐标为，y轴的距离都是完美点”．中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点和谐点”．例如，点的一对“和谐点是点与点点的一对“和谐点”坐标是与；若点的一对重合，则y的值为若点C的一个坐标为，求点(1)(3)或【分析】（1）根据“2）根据和谐点”的含义及两点重合即可完成；的坐标为，根据）解：由题意得：，，所以点的一对坐标是与；故答案为：；）解：由题意得：，，所以点的一对“和谐点坐标是与；又点的一对重合，，，故答案为：6（3）解：设，的一个“和谐点坐标为，则，，；；若点C的另一个“和谐点”坐标为，则，，；；综上，点C的坐标为或．【点睛】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义．【变式3-3】在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：(3)点D为A，B的“k”系和点．①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．【答案】(1)（-1，1）(2)（，）(3)①，②或【分析】（1）直接根据系和点的定义分别求出点的横坐标与纵坐标即可；（2）设出点C的坐标，根据系和点的定义列出方程，解方程即可得到答案；（3）①根据系和点的定义将k代入计算即可；②求出AB的长度，同时表示出AB边上的高，列出方程解出k的值即可．【详解】（1）解：∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴点A，B的“－”系和点的横坐标为，纵坐标为，∴点A，B的“－”系和点坐标为（-1，1）．（2）解：∵点A为B，C的“－3”系和点，设点C坐标为（m，n），∴，，解得，．∴点C的坐标为（，）．（3）解：①∵点D为A，B的“k”系和点，设点D坐标为（a，b）则，，∴点D的坐标为；②∵点A（4，－1），B（－2，－1），∴．∵点D到AB的距离为，三角形ABD的面积为6，∴，解得或，∴符合条件的k的值为或．【点睛】本题考查新定义问题，图形与坐标，解题的关键是正确理解新定义的含义列出代数式表示出点的横纵坐标．【题型四平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例4. （23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平面直角坐标中，动点M从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点M第2024次运动到点（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查点的运动规律，能根据点的运动发现第次为正整数）运动后，动点的坐标是是解题的关键．依次求出前几次运动后点的坐标，再根据坐标的变化规律即可解决问题．【详解】解：由题知，第1次运动后，动点的坐标是；第2次运动后，动点的坐标是；第3次运动后，动点的坐标是；第4次运动后，动点的坐标是；第5次运动后，动点的坐标是；第6次运动后，动点的坐标是；第7次运动后，动点的坐标是；由此可见，第次为正整数）运动后，动点的坐标是．又，即第2024次运动后，动点的坐标是，即．故选：D【变式4-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【答案】【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次接着运动到点，…，∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∵，则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶，故答案为∶．【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，设一动点自处向下运动1个单位长度至处，然后向左运动2个单位长度至处，再向上运动2个单位长度至处，再向左运动2个单位长度至处，再向下运动2个单位长度至处，，如此继续运动下去，设，，2，3，，则的坐标是．【答案】【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题，能通过计算发现点坐标变化的规律是解题的关键．【详解】解：根据点的运动方式可知，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；，由此可见，点的横坐标为，纵坐标为，当时，，，所以点的坐标为，所以点的坐标为，故答案为：．【变式4-3】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是．【答案】【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，解答本题的关键是找到循环规律．先根据即可得到，再根据，则，可得．即可作答．【详解】解：由图可得，，，∵∴，即，∴，，故答案为：【题型五平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例5. （23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有一菱形且，点O，B在y轴上，，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转，点B的落点依次为…，连续翻转2023次，则的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接交y轴于点D，根据条件可以求出，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点向右平移1348（即）到点，即可求出点的坐标．【详解】连接交y轴于点D，如图所示，∵四边形是菱形，∴，，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，画出第5次､第6次､第7次翻转后的图形，由图可知:每翻转6次，图形向右平移4，∵，∴点向右平移1348（即）到点，，∵的坐标为，∴的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．【变式5-1】（2024·云南·模拟预测）如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律．【详解】根据规律、、、、、、、、，；每个一个循环，，依次规律在次循环后与纵坐标一致，横坐标分别为：为、为、为、为；为、为、为、为；依次规律与横坐标为减，∴横坐标为，则坐标是，故选：．【变式5-2】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为．【答案】【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．【详解】解：正方形边长为，，正方形是正方形的对角线为边，，点坐标为，同理可知，点坐标为，同理可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即，，的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，的坐标为，，故答案为：．【变式5-3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点，点．将矩形绕点A顺时针旋转，每次旋转，当第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形等致死点，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据矩形的性质作出旋转后的图形，然后找到C点的坐标规律，并按照规律解答即可．【详解】解：如图：将矩形绕点A顺时针旋转，可知：，，则：每旋转4次则回到原位置，∵，∴第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次，∴当第2023次旋转结束时，点C对应的坐标是．故答案为：．。

北师大版数学8年级上册学案第3课时建立适当的坐标系描述图形的位置

第3课时建议适当的坐标系描述图形的位置1.能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标；2.能根据一些特殊点的坐标复原坐标系；3.经历建立坐标系描述图形的过程，进一步发展数形结合意识.知识探究自学指导：阅读课本P65，完成下列问题.建立直角坐标系的一般步骤：1.建立坐标系，选择一个适当的参考点为原点，确定坐标轴正方向；2.根据具体问题，确定恰当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度.自学反馈1.如图，方格纸上有M，N两点，若以N为原点建立平面直角坐标系，则点M的坐标为（3，4）；若以M点为原点建立平面直角坐标系，则点N的坐标为（）A.（-3，-4）B.（4，0）C.（0，-2）D.（2，0）2.某市区的几个旅游景点在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知图中每个小正方形的边长均为1个单位长度，且山峡会馆的坐标是（4，-1），则其他各景点的坐标分别为：光岳楼；金凤广场；动物园；湖心岛．活动1 小组讨论例1如图, 矩形ABCD的长宽分别是6 , 4 , 建立适当的坐标系,并写出各个顶点的坐标.解: 如图,以点C为坐标原点, 分别以CD , CB所在的直线为x 轴,y 轴建立直角坐标系. 此时C点坐标为( 0 , 0 ).由CD长为6, CB长为4, 可得D , B , A的坐标分别为D( 6 , 0 ), B( 0 , 4 ),A( 6 , 4 ) .在上面的问题中，你还可以怎样建立直角坐标系？与同伴交流.例2 如图，正三角形ABC 的边长为 4 , 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .解:如图,以边BC 所在的直线为x 轴,以边BC 的中垂线y 轴建立直角坐标系.由正三角形的性质可知AO=32 ,正三角形ABC 各个顶点A , B , C 的坐标分别为A (0 , 32 )，B ( -2 , 0 )，C ( 2 , 0).活动2 跟踪训练1.如图所示，四边形ABCD 是边长为6的正方形，请你建立一个适当的平面直角坐标系，并分别写出A ，B ，C ，D 的坐标．2.如图是某市旅游景点的示意图.试建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示出各景点的位置.3.如图，在一次部队军事对抗演习中甲方已经找到了乙方坐标为A （2，1）和B （-2，1）的两个警卫营的位置，并且知道乙方的指挥所的位置为（3，3），除此之外不知道其他信息，如何确定乙方的指挥所所处的位置？课堂小结关于建立平面直角坐标系，你有哪些经验？教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分.【预习导学】自学反馈1.A2.（0，0）（-2，-1.5）（6，5）（-1.5，1）【合作探究】活动2 跟踪训练1.（答案不唯一）以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，并以点A为坐标原点，则点A，B，C，D的坐标分别是（0，0），（6，0），（6，6），（0，6）．2.答案不唯一，如建立如图所示的平面直角坐标系，则各景点位置的坐标分别为：科技大学（0，0），大成殿（2，3），钟楼（1，6），雁塔（3，8），中心广场（5，4），映月湖（9，1），碑林（9，8）.3.连接AB，作线段AB的中垂线记为y轴，以AB的中点为起点，以AB的四分之一为一个单位长度向下作一个单位为坐标原点，过原点作AB的平行线记为x轴，建立平面直角坐标系，找到（3，3）即可．。

用坐标来确定位置

在极坐标系中，每个点P的位置由一个长度r（表示点P到原点的距离）和一个角度θ（表示点P与正方向的夹角）确定。
点的坐标表示
在极坐标系中，点的坐标表示为(r, θ)，其中r是长度，θ 是角度。
例如，点P的坐标可以表示为(3, 60°)，表示点P到原点的距离为3个单位，与正方向的夹角为60°。
距离和方位的计算
方位
方位是指一个点相对于另一个点的位置。在直角坐标系中，方位可以通过角度来表示。例如，点B相对于点A的方位可以通过tan⁻¹[(y2 - y1) / (x2 - x1)]来计算，结果以度数表示。
03
极坐标系
极坐标系的定义
极坐标系是一种用于描述平面内点的位置的坐标系，它由一个原点、一个正方向和长度单位组成。
GIS系统基于地理坐标，可以用于城市规划、资源管理、环境监测等领域。
航空和航海中的应用
01
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飞行路线
飞机和航班的飞行路线是通过地理坐标来确定的，确保安全和准确的导航。
航海
船只的航行也需要依靠地理坐标来确保航线的准确性和安全性。
气象预报
航空和航海的气象预报也是基于地理坐标来提供准确的天气信息。
01
在极坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算，即d = √(Δr² + Δθ²)。
02
方位角可以通过角度差来计算，即Δθ = |θ2 - θ1|，其中θ1和
θ2分别是两个点的角度。
另外，极坐标系中的角度通常以正方向为0°，逆时针方向为正，
03
因此角度可以是负数。
04
地理坐标系
地理坐标系的定义
标注坐标值
根据需要标注出各点的坐标值，以便于描述和定位物体在空

九年级数学第14讲动点问题探究_坐标系中动点问题教案

、翻折教学过程一、课堂导入动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。

主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．二、复习预习1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

平移不改变图形的形状和大小。

图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。

2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

三、知识讲解考点1 单点运动及双点运动问题关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。

解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。

考点2 图形运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。

这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。

对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。

考点3 线运动问题解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化．由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.四、例题精析考点一单点运动问题例1如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P 运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C． D.考点二双点运动问题例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标.考点三图形运动问题例3如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝，OM=；（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。