高斯小学奥数四年级下册含答案第09讲_排列组合公式

第九讲排列组合公式

开篇漫画中，小高要想说对口诀还真不容易！我们学过乘法原理，口诀第一个字有6种说法，第二个字有5种说法，依此类推，口诀这六个字有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．我们也可以这样理解：只有把口诀这六个字按照正确的顺序排列好，才能练成高思神掌．把六个字排成一列，就是我们这一讲要学习的排列．

排列公式：

从m 个不同的元素中取出n 个（n m ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个的排列数，记作n

m A ，它的计算方法如下：

比如，从1、2、3、4中挑两个数字组成一个两位数，十位上有1、2、3、4这4种选择，十位选定后，个位可以从剩下的三个数字中选，有3种选择．根据乘法原理可以知道，这样的两位数有4312⨯=个．我们也可以这样理解，要组成两位数相当于从1、2、3、4中

挑两个数字排成一行，有2

4

4312A =⨯=种排法，所以这样的两位数有12个．

关于排列数的计算，再给大家举几个例子：

455432120A =⨯⨯⨯=（从5开始递减地连乘4个数）；

3

8876336=⨯⨯=A （从8开始递减地连乘3个数）； 1100100=A （从100开始递减地连乘1个数）．

例题1

计算：（1）24A ；（2）4

10A ；

（3）42

66

3A A -⨯． 「分析」直接用公式计算，主要要从几开始乘，连乘几个数．

练习1

计算：（1）3

7A ；

（2）32

55

A A -．

生活中的许多问题其实就是排列问题．例如，你回家后，发现桌上有牛奶糖、巧克力和水果糖各一颗，你会按照什么顺序来吃这三种糖？先吃哪个再吃哪个，有多少种方式呢？这其实就是一个排列问题．

n

m A

例题2

小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？

「分析」本题要站成一排，顺序有没有影响？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是同一张还是两张不同的照片？ 练习2

有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？

与排列问题相对，生活中也存在着许多不需要排序的问题．例如，开运动会了，老师要选出一部分同学组成拉拉队，那么从全班同学中选出的这部分人有多少种可能呢？从全班同学中选出的这部分人，并不需要进行排序，这其实就是一个组合问题．

比如，要从1、2、3、4中挑两个不同的数，这时挑出1、2与挑出2、1都是一样的，挑出1、3与挑出3、1也是一样的．换句话说，能组成的两位数有24A 个，但每两个数字可

以对应2

2

2A =个两位数，在这里只算作同一种挑法． 因此，只是从1、2、3、4中挑两个数而不考虑顺序，有22

421226A A ÷=÷=种方法．这

就是组合公式的来由．

组合公式：

从m 个不同元素中取出n 个（n m ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从

m 个不同元素中取出n 个不同的组合数，记作n

m C ，它的计算方法如下：

()()[11]……=÷=⨯-⨯⨯-+÷n n n n

m m n n C A A m m m n A ．

给大家举几个例子：

从5个不同的元素中取出2个作为一组，有()()222

552542110C A A =÷=⨯÷⨯=种不同的

方法；

从5个不同的元素中取出3个作为一组，有()()3335

5354332110C A A =÷=⨯⨯÷⨯⨯=种不同的方法．

例题3

计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，3

10C ．

「分析」直接用公式计算，注意公式里每个数字的含义． 练习3

计算：（1）38C ；（2）3275

2C C ⨯-；（3）810C ．

例题4

墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？

「分析」从10张中取出7张给墨莫，这7张的顺序是否有影响呢？应该是排列数还是组合数呢？

练习4

阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？ 例题5

从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？

「分析」组4位数，其实是要从5个数字中选4个排成一排，如果用排列进行计算？千位是多少的数肯定比3000小？

例题6

有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？

「分析」我们不妨分步考虑：先让1个人借2本，然后再让1个人借3本，最后一个人借剩下的3本，那么一共有多少种情况呢？每一步改用排列还是组合呢？

课堂内外

古典小说中的排列组合

一般认为，中国古代社会科学发达，而自然科学和数学则相对落后．不过说中国古代数学落后，也不尽然，像数学中的“排列组合学”就发达得很，甚至渗透到社会各个层面．譬如，古人很早就总结出四象、五行、八卦、十天干、十二地支、十二生肖等等，没有高明的排列组合知识，怎能将这些东西捏在一起？在日常生活中，尤其是饭局上，主座、客座、主陪、副陪等的座位都是不能乱坐一气的，让那些习惯了圆桌会议的外国友人头疼不已．在中国古典小说中，这种“排列组合学”也是随处可见．在《三国演义》中，这种数学还不甚发达．也就是说刘备阵营有五虎大将，曹营有四大谋士等等．不过民间倒是对演义里的战将武功有一个排名．“一吕二赵三典韦，四关五马六张飞，七许八夏九姜维”．没办法，国人就是对这种排列组合异常着迷．在许多历史和公案小说中，这种数学到了令人眼花缭乱的地步．小说《隋唐演义》在这方面可以说是登峰造极．由于版本众多，各种说法也是热闹纷纭得很，大致有“一王三绝四猛十三杰十八条好汉”这样一个“超强战斗序列”．除了这样的武功排名的排列组合，在古典小说中还有其他的样式．像《封神演义》第九十九回中，姜子牙一下子封了三百六十五位正神，计有三山五岳、雷火瘟三部、五斗星恶煞、二十八宿、九曜星官、四圣元帅、四大天王等等，将一个天上一个地下给安排得滴水不漏、井井有条，却惟独忘了给自己留个位置．《西游记》中也有“七十二般变化”、“三十六般变化”、

“九九八十一难”，看来吴承恩老先生的乘法表学得不错，值得表扬．《红楼梦》里则有四大家族、金陵十二钗、副钗、又副钗等等，也是洋洋大观．