实验4

实验四 连续时间LTI 系统的时域分析实验目的：掌握系统的单位冲激响应的概念，掌握LTI 系统的卷积表达式及其物理意义，掌握卷积的计算方法、卷积的基本性质，掌握利用MATLAB 计算卷积的编程方法，并利用所编写的MATLAB 程序验证卷积的常用基本性质，掌握MATLAB 描述LTI 系统的常用方法及有关函数，掌握利用MATLAB 来分析求解连续系统时域响应的方法，理解各种时域响应的含义。

实验原理：1 LTI 系统的卷积模型给定一个连续时间LTI 系统，在系统的初始条件为零时，用单位冲激信号δ(t)作用于系统，此时系统的响应信号称为系统的单位冲激响应（Unit impulse response ），一般用h(t)来表示。

需要强调的是，系统的单位冲激响应是在激励信号为δ(t)时的零状态响应（Zero-state response ）。

离散时间LTI 系统的单位序列响应的定义与连续时间LTI 系统的单位冲激响应相同，只是离散时间单位冲激函数δ[n]的定义有所不同。

系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念，对于一个系统，如果我们知道了该系统的单位冲激响应，那么，该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。

也就是说，系统的输入信号x(t)、x[n]和输出信号y(t)、y[n]之间的关系可以用一个数学表达式来描述，这个数学表达式为⎰∞∞--=τττd t h x t y )()()( （4.1）(a)∑∞-∞=-=k k n h k x n y ][][][ （4.1）(b)这个表达式就是LTI 系统的卷积模型，它是根据系统的线性性和时不变性以及信号可以分解成单位冲激函数经推理得到的。

这个表达式实际上告诉了我们一个重要的结论，那就是，任意LTI 系统可以完全由它的单位冲激响应h(t)/h[n]来确定。

由于系统的单位冲激响应是零状态响应，故按照式1.11求得的系统响应也是零状态响应。

式1.11中的积分运算叫做卷积积分，求和运算叫做卷积和，是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。

卷积的计算通常可按下面的五个步骤进行（以卷积积分为例）：1. 该换两个信号波形图中的横坐标，由t 改为τ，τ变成函数的自变量；2. 把其中一个信号反褶，如把h(τ)变成h(-τ)；3. 把反褶后的信号做移位，移位量是t ，这样t 是一个参变量。

在τ坐标系中，t > 0时图形右移， t < 0时图形左移。

4. 计算两个信号重叠部分的乘积x(τ)h(t-τ)；5. 完成相乘后图形的积分。

借助MATLAB 的内部函数conv()可以很容易地完成两个信号的卷积积分运算。

其语法为：y = conv(x,h)。

其中x 和h 分别是两个作卷积运算的信号，y 为卷积结果。

为了正确地运用这个函数计算卷积，这里有必要对conv(x,h)做一个详细说明。

conv(x,h)函数实际上是完成两个多项式的乘法运算。

例如，两个多项式p 1和p 2分别为：432231+++=s s s p 和 1234232+++=s s s p这两个多项式在MATLAB 中是用它们的系数构成一个行向量来表示的，如果用x 来表示多项式p 1，h 表示多项式p 2，则x 和h 分别为x = [1 2 3 4]h = [4 3 2 1]在MATLAB 命令窗口依次键入>> x = [1 2 3 4];>> h = [4 3 2 1];>> y=conv(x,h)在屏幕上得到显示结果：y = 4 11 20 30 20 11 4这表明，多项式p 1和p 2的乘积为：411203020114234563++++++=s s s s s s p正如前所述，用MATLAB 处理连续时间信号时，独立时间变量t 的变化步长应该是很小的，假定用符号dt 表示时间变化步长，那么，用函数conv()作两个信号的卷积积分时，应该在这个函数之前乘以时间步长方能得到正确的结果。

也就是说，正确的语句形式应为：y = dt*conv(x,h)。

对于定义在不同时间段的两个时限信号x(t)，t 0 ≤ t ≤ t 1，和h(t)，t 2 ≤ t ≤ t 3。

如果用y(t)来表示它们的卷积结果，则y(t)的持续时间范围要比x(t)或h(t)要长，其时间范围为t 0+t 2 ≤ t ≤ t 1+t 3。

这个特点很重要，利用这个特点，在处理信号在时间上的位置时，可以很容易地将信号的函数值与时间轴的位置和长度关系保持一致性。

例1:根据给定的两个连续时间信号x(t) = t[u(t)-u(t-1)]和h(t) = u(t)-u(t-1)，编写程序，完成这两个信号的卷积运算，并绘制它们的波形图。

程序如下：% Program1_6% This program computes the convolution of two continuou-time signalsclear;close all;t0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01;t = t0:dt:t1;x = u(t)-u(t-1);h = t.*(u(t)-u(t-1));y = dt*conv(x,h);subplot(221)plot(t,x), grid on, title('Signal x(t)'), axis([t0,t1,-0.2,1.2])subplot(222)plot(t,h), grid on, title('Signal h(t)'), axis([t0,t1,-0.2,1.2])subplot(212)t = 2*t0:dt:2*t1;plot(t,y), grid on, title('The convolution of x(t) and h(t)'), axis([2*t0,2*t1,-0.1,0.6]), xlabel('Time t sec')例2:已知两有限长序列x[k]=[ 1,2,1,1,0,-3;k=0,1,2,3,4,5],h[k]= [1,-1,1;k=0,1,2]。

计算离散卷积和y[k]=x[k]*h[k]并绘出其波形。

程序如下：x=[1,2,1,1,0,-3];>> h=[1,-1,1];>> y=conv(x,h);%计算卷积>> subplot(3,1,1);stem([0:length(x)-1],x);>> subplot(3,1,2);stem([0:length(h)-1],h);>> subplot(3,1,3);stem([0:length(y)-1],y);xlabel('k');ylabel('y[k]');例3:已知两有限长序列x[k]=[ -0.5,0,0.5,1;k=-1,0,1,2],h[k]= [1,1,1;k=-2,-1,0]。

计算离散卷积和y[k]=x[k]*h[k]并绘出其波形。

x=[-0.5,0,0.5,1];>> kx=-1:2;>> h=[1,1,1];>> kh=-2:0;>> y=conv(x,h);>> k=kx(1)+kh(1):kx(end)+kh(end);>> stem(k,y);>> xlabel('k');ylabel('y');2 用线性常系数微分方程描述连续时间LTI 系统线性常系数微分方程或差分方程是描述LTI 系统的另一个时域模型。

一个连续时间LTI 系统，它的输入信号x(t)输出信号y(t)关系可以用下面的微分方程来表达∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( (4.2) 式1.12中，max (N, M)定义为系统的阶。

式1.12描述了LTI 系统输入信号和输出信号的一种隐性关系（Implicit relationship ）。

为了求得系统响应信号的显式表达式（Explicit expression ），必须对微分方程和差分方程求解。

在MATLAB 中，一个LTI 系统也可以用系统微分方程的系数来描述，例如，一个LTI 连续时间系统的微分方程为)()(2)(3)(22t x t y dt t dy dtt y d =++ (4.3) MATLAB 则用两个系数向量num = [1]和den = [1 3 2]来描述该系统，其中num 和den 分别表示系统微分方程右边和左边的系数，按照微分运算的降阶排列。

3 连续系统的时域响应MATLAB 的内部函数impulse()，step()，initial()，lsim() 可以用来计算并绘制连续时间LTI 系统的单位冲激响应，单位阶跃响应，零输入响应和任意信号作用于系统的零状态响应。

（1） 连续系统的单位冲激响应的计算impulse(sys)可用来计算并画出连续系统的冲激响应，其中sys 可由函数tf(b,a)获得，b 和a 分别是系统函数H(s)的分子多项式和分母多项式的系数矩阵。

例4:已知描述某连续系统的微分方程为''''()5()6()2()8()y t y t y t x t x t ++=+，计算该系统的单位冲激响应()h t 。

a=[1,5,6];b=[2,8];sys=tf(b,a);h=impulse(sys);plot(h);（2） 连续系统单位阶跃响应的计算step(sys)可用来计算并画出连续系统的阶跃响应，其中sys 可由函数tf(b,a)获得，b 和a 分别是系统函数H(s)的分子多项式和分母多项式的系数矩阵。

例5:已知描述某连续系统的微分方程为''''()5()6()2()8()y t y t y t x t x t ++=+，计算该系统的单位阶跃响应()g t 。

a=[1,5,6];b=[2,8];sys=tf(b,a);h=step(sys);plot(h);（3） 连续系统零状态响应的计算lsim(sys,x,t)用来计算并画出系统在输入信号x 作用下的零状态响应，t 为定义时间范围的向量。

例6:已知描述某连续系统的微分方程为''''()5()6()2()8()y t y t y t x t x t ++=+，计算在输入为()t e u t -时的零状态响应。

a=[1,5,6];b=[2,8];sys=tf(b,a);t=0:0.1:10;x=exp(-t);y=lsim(sys,x,t);plot(t,y);实验内容：实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部范例程序。