人教A版新教材高中数学必修第二册：第八章 立体几何初步 综合测验

立体几何初步综合测验

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列结论正确的是( )

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．

B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．

C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．

答案：D

2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )

A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变

B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变

C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°

D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同

解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．

答案：B

3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )

A．4S B．4πS

C．πS D．2πS

解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，

则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.

答案：C

4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3

，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2

B ．18 cm 2

C ．12 3 cm 2

D ．12 cm 2

解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为

34a 2 cm 2，易求得高为6

3

a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34

a 2＝183(cm 2

)．

答案：A

5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面

体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )

A ．16π B．32π C ．36π D．64π

解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对

角线长为12

＋

6

2

＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2

＝16π.

答案：A

6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过

点B 的所有直线中( )

A ．不一定存在与a 平行的直线

B ．只有两条与a 平行的直线

C ．存在无数条与a 平行的直线

D ．存在唯一与a 平行的直线

解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线

中不存在与a 平行的直线．故选A.

答案：A

7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的

射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )

A ．16和12

B ．15和13

C ．17和11

D ．18和10

解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM

＝9，ND ＝5，

∴x 2

－81＝(28－x )2

－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.

如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝1

4

A 1

B 1，则

多面体P －BCC 1B 1的体积为( )

A.83

B.163 C ．4 D ．5

解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42

×1＝163.

答案：B

9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，

则异面直线BD 与AC 所成的角为( )

A ．30° B．45° C ．60° D．90°

解析：如图，取B 1C 1的中点E ，连接BE ，DE ，则AC ∥A 1C 1∥DE ，则∠BDE 即为异面直

线BD 与AC 所成的角(或其补角)．由条件可知BD ＝DE ＝EB ＝5，所以∠BDE ＝60°，故选C.

答案：C

10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

答案：B

11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )

A．30° B．60°

C．90° D．120°

解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.

∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝

2

2

，且CM⊥BM，AM⊥BM，

∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．

∵AC＝1，MC＝AM＝

2

2

，∴∠CMA＝90°.

答案：C

12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为( )

A.29

2

B.

13

5

C.17

5

D.

119

5