高数上册第三章

河北科技大学《高等数学》（上册）第三章

一. 单项选择题

1. 函数()sin f x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭

内 【 D 】 A.有最大值 B.有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.既无最大值又无最小值

2. 函数()y f x =在0x 处取得极大值，则必有 【

D 】 A.0()0f x '= B.0()0f x ''<

C.0()0f x '=且0()0f x ''<

D.0()0f x '=或0()f x '不存在

3.对函数38y x =+在区间[0,1]上应用拉格朗日中值定理时，所得中间值ξ为【 B

】 A.3

C.1

3 D.1

3-

4. 曲线233y x x =-的拐点为 【 C

】 A.(2,1) B.(2,1)- C.(1,2) D.(1,2)-

5. 已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则 【 B

】 A.3a =-，0b =，且1x =为函数()f x 的极小值点

B.0a =，3b =-，且1x =为函数()f x 的极小值点

C.3a =-，0b =，且1x =为函数()f x 的极大值点

D.0a =，3b =-，且1x =为函数()f x 的极大值点

6. 曲线324

x y x +=的图形应为 【 D

】 A.在(,0)-∞和(0,)+∞内凸 B.在(,0)-∞内凹，在(0,)+∞内凸

C.在(,0)-∞内凸，在(0,)+∞内凹

D.在(,0)-∞和(0,)+∞内凹

7. 函数32()23f x x x =-的极小值为 【 A 】

A.1-

B.1

C.0

D.不存在

8.

使函数()=f x 【 A 】

A.[0,1]

B. [1,2]

C. [1,1]-

D. [2,2]-

9. 设函数()f x 的导函数()(1)(21)f x x x '=-+，则在区间1(,1)2

内，()f x 单调【 B 】 A.增加，曲线()y f x =为凹的 B.减少，曲线()y f x =为凹的

C.减少，曲线()y f x =为凸的

D.增加，曲线()y f x =为凸的

二、填空题

1. 设()f x 在[,]a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()f b f a e e -= _.

2.2x y =的麦克劳林公式中n x 项的系数为 .

3.

曲线y =的拐点坐标为 .

三. 计算下列各题

1. 求43()21f x x x =-+的凹凸区间与拐点.

2. 求.函数23()(5)f x x x =-的极值.

3. 求函数3210496y x x x

=-+的单调区间和极值. 4.求极限10lim (,,3→⎛⎫++ ⎪⎝⎭

x x x x x a b c a b c 均大于零且不为1). 5.确定,,a b c 的值，使得32y x ax bx c =+++有拐点(1,1)-，且在0x =处有极值.

四. 证明题

1. 证明，当0x ≥时，(1)ln(1)arctan x x x ++≥.

2.证明：当0x >时，2

ln(1)2

x x x -<+. 3. 证明：当02x π<<时，31tan 3

x x x >+.

4.证明：当0>x 时，ln(1).1<+<+x x x x

5.设(),()f x g x 二阶可导且0()(),(0)(0),(0)(0).x f x g x f g f g ''''''>>==时 证明：0()().x f x g x >>时恒有

五.证明题

1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =.证明：

（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；

（2）存在不同的两点,(0,1)ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=.

2. 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且在不同的点处存在相等的最 大值，且()()f a g a =，()()f b g b =，证明：

（1）存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη=； （2）存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.

3. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0))A f 与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<.证明：（1）在(0,1)内至少存在两点1ξ，2ξ，使得12()()f f ξξ''=；（2）在(0,1)内至少存在一点η，使得()0f η''=.

4.设函数()f x 处处可导，1x 和2x 是函数的两个零点，且12x x <。证明：至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()0f f 'ξ+ξ=.