行列式的计算方法总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点, 选择合适的计算方法.
(2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综 合运用以上方法,
--------(每一列提出相应的公因子)
--------(将第列加到第一列)
. 其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相 同. ,. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用 逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变). 例子: . 例子:
6. 利用范德蒙德行列式. 计算行列式: 解: 令: ,这是一个级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得.可看做是关于的一个次多项式. 另一方面,将按最后一列展开,可得一个关于的多项式,其中的系数与所求 行列式的关系为. 由来计算的系数得:,
故有 其它的例子: ……每一行提公因子,
7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳) 证明当时, 证明时,将按第一行(或第一列)展开得,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式. 例子: 计算行列式 解: 按第一行展开得: ,将此式化为: (1) 或 (2) 利用递推公式(1)得: ,即. (3) 利用递推公式(2)得: ,即. (4) 由(3)(4) 解得: 其它的例子 ,按第一行展开可得 ,此时令则, 变形为,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里即是方程的两Leabharlann Baidu根. 9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解 成两个容易求的行列式的和. 例子: : 除第一行外,其余各行加上第一行的倍,所得行列式按第一列展开,按第 一列展开. , 故, 由的对称性质,亦可得,这两个式子中削去,可得结论, .
行列式的计算方法总结:
1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理). 几个特别的行列式: ,,其中分别是阶的方阵. 例子: , 利用Laplace定理,按第行展开,除级子式外其余由第行所得的级子式均为 零. 故,此为递推公式,应用可得 . 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例: -----()
(2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综 合运用以上方法,
--------(每一列提出相应的公因子)
--------(将第列加到第一列)
. 其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相 同. ,. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用 逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变). 例子: . 例子:
6. 利用范德蒙德行列式. 计算行列式: 解: 令: ,这是一个级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得.可看做是关于的一个次多项式. 另一方面,将按最后一列展开,可得一个关于的多项式,其中的系数与所求 行列式的关系为. 由来计算的系数得:,
故有 其它的例子: ……每一行提公因子,
7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳) 证明当时, 证明时,将按第一行(或第一列)展开得,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式. 例子: 计算行列式 解: 按第一行展开得: ,将此式化为: (1) 或 (2) 利用递推公式(1)得: ,即. (3) 利用递推公式(2)得: ,即. (4) 由(3)(4) 解得: 其它的例子 ,按第一行展开可得 ,此时令则, 变形为,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里即是方程的两Leabharlann Baidu根. 9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解 成两个容易求的行列式的和. 例子: : 除第一行外,其余各行加上第一行的倍,所得行列式按第一列展开,按第 一列展开. , 故, 由的对称性质,亦可得,这两个式子中削去,可得结论, .
行列式的计算方法总结:
1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理). 几个特别的行列式: ,,其中分别是阶的方阵. 例子: , 利用Laplace定理,按第行展开,除级子式外其余由第行所得的级子式均为 零. 故,此为递推公式,应用可得 . 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例: -----()