行列式的计算方法总结
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.例1 计算行列式004003002001000.解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有244=!项,但由于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a .显然,如果41≠j ,那么011=j a ,从而这个项就等于零.因此只须考虑41=j 的项,同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有41322314a a a a ,而()64321=τ,所以此项取正号.故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析:观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零.即:化为上三角形.解:将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…(1n +)行上去,可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计算.这类计算行列式的方法称为连加法.例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解: mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法.例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解:从最后一行开始每行减去上一行,有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式,虽然前n 行的和全相同,但却为零.用连加法明显不行,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解:将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此类推,得:13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解. 2.3.1 按某一行(或列)展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解:按最后一行展开,得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下:设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ,其中i A 是子式i M 对应的代数余子式.即nn nn nn nn nnB A BC A •=0, nn nn nnnn nn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.其中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解:使行列式D 变成1+n 阶行列式,即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行,得:D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始,每列乘以()1-加到第一列,得:100100000100000101111)1n D ------=( ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时,βcos 1=D . 当2=n 时,ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想,βn D n cos =.由上可知,当1=n ,2=n 时,结论成立.假设当k n =时,结论成立.即:βk D k cos =.现证当1+=k n 时,结论也成立.当1+=k n 时,βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开,得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =,()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-,所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立. 即:βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析:若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆,则特征方程有两个不等根,则1211--+=n n n Bx Ax D .② 若0=∆,则特征方程有重根21x x =,则()11-+=n n x nB A D . 在①②中, A ,B 均为待定系数,可令2,1==n n 求出.例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解:按第一列展开,得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D .作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时,B A +=9; 当2=n 时,B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ,所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行(列)法3.1.1 概念及计算方法拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值.拆行(列)法有两种情况,一是行列式中有某行(列)是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项之和,这时需保持行列式之值不变,使其化为两项和. 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解:把第一列的元素看成两项的和进行拆列,得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1,所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立,因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可同时构造一个容易求解的行列式,从而求出原行列式的值. 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值,那么就可以计算出A 的行列式.3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,证明:A 可逆当且仅当它的特征值全不为零. 证明:因为n A λλλ 21=,则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211,nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式,形状像个三角形,故称为“三角形”行列式.4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知,nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210,nn n c a c a c a a b b b2211012,n nn b b b a a c a c a c 211122,121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式,形状像个“爪”字,故称它们为“爪”字型行列式. 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”,均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为:“爪”字对角消竖横. 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321,其中.,2,1,0n i a i =≠分析:这是一个典型的“爪”字型行列式,计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上,原行列式可化为三角形行列式.解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122,nn na b c a b c a b c a2221110,n n nc a c a c a a b b b 2211012,0111222a cb ac b a c b a nn n ,121122c a c a b a b c a b nnn,n n n a c a c a c b b b a2211210,0121122a b b b c a c a c a nnn,nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式,形状像个“么”字,因此常称它们为“么”字型行列式. 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇,就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为:“么”字两撇相互消.注意:消第一撇的方向是沿着“么”的方向,从后向前,利用n a 消去n c ,然后再用1-n a 消去1-n c ,依次类推. 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解:从最后一行开始后一行加到前一行(即消去第一撇),得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式. 4.4.2 计算方法对于这样的行列式,可通过直接展开法求解. 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解:按第一列展开,得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式,叫做“三对角型”行列式. 4.5.2 计算方法对于这样的行列式,可直接展开得到两项递推关系式,然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明. 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解:按第一列展开,得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形,得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=, 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式,成为n 级的德蒙德行列式.4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明,可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= , 其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算,这时就需要结合多种计算方法,使计算简便易行.下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析:乍一看该行列式,并没有什么规律.但仔细观察便会发现,按第一行展开便可得到1-n 阶的形式.解:将行列式按第一行展开,得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解:从第一行开始,依次用上一行的()1-倍加到下一行,进行逐行相加,得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由德蒙德行列式,得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法(加边法)数学归纳法递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行(列)法构造法特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式“爪”字型行列式“么”字型行列式“两线”型行列式“三对角”型行列式范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式行列式的性质性质1 行列互换,行列式不变.即nna a a a a a a a a a a a a a a a a an2n1n22212n12111nn n2n12n 22211n 1211= .性质2 一个数乘行列式的一行(或列),等于用这个数乘此行列式.即=nnn2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nna a a a a a a a an2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行(或列)是两组数的和,那么该行列式就等于两个行列式的和,且这两个行列式除去该行(或列)以外的各行(或列)全与原来行列式的对应的行(或列)一样.即11121111211112111221212121212.nnn n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行(或列)对应元素相同或成比例,那么行列式为零.即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n=21212111211nnn n in i i in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.即=+++nn n n kn k k kn in k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置,行列式反号.即nn n n kn k k ini i n a a a a a a a a a a a a21212111211=-nnn n in i i kn k k n a a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行(或列)元素全为零,则行列式为零.即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211=a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 定义法适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.例1 计算行列式004003002001000.解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有244=!项,但由于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a .显然,如果41≠j ,那么011=j a ,从而这个项就等于零.因此只须考虑41=j 的项,同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有41322314a a a a ,而()64321=τ,所以此项取正号.故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:nn n nna a a a a a a a a a a a a2211nn3332232211312110000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析:观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零.即:化为上三角形.解:将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…(1n +)行上去,可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计算.这类计算行列式的方法称为连加法.例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解:m x x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法.例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解:从最后一行开始每行减去上一行,有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式,虽然前n 行的和全相同,但却为零.用连加法明显不行,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解:将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此类推,得:13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解. 2.3.1 按某一行(或列)展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解:按最后一行展开,得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 . 2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下:设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ,其中i A 是子式i M 对应的代数余子式.即nn nn nnnn nn B A B C A •=0, nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.其中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解:使行列式D 变成1+n 阶行列式,即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行,得:D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始,每列乘以()1-加到第一列,得:10100000100000101111)1n D ------=(()()1n 11n --=+.数学归纳法有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时,βcos 1=D . 当2=n 时,ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想,βn D n cos =.由上可知,当1=n ,2=n 时,结论成立.假设当k n =时,结论成立.即:βk D k cos =.现证当1+=k n 时,结论也成立.当1+=k n 时,βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开,得()βββββcos 2000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =,()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-,所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -=()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立. 即:βn D n cos =. 递推法技巧分析:若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .①若0≠∆,则特征方程有两个不等根,则1211--+=n n n Bx Ax D .②若0=∆,则特征方程有重根21x x =,则()11-+=n n x nB A D .在①②中, A ,B 均为待定系数,可令2,1==n n 求出.例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解:按第一列展开,得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D .作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时,B A +=9; 当2=n 时,B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ,所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 拆行(列)法3.1.1 概念及计算方法拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值.拆行(列)法有两种情况,一是行列式中有某行(列)是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项之和,这时需保持行列式之值不变,使其化为两项和. 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解:把第一列的元素看成两项的和进行拆列,得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-110010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1,所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立,因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可同时构造一个容易求解的行列式,从而求出原行列式的值. 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值.构造1+n 阶的范德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值,那么就可以计算出A 的行列式. 3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,证明:A 可逆当且仅当它的特征值全不为零. 证明:因为n A λλλ 21=,则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 三角形行列式 4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211,nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式,形状像个三角形,故称为“三角形”行列式. 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知,nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a22113332232211312110000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210,n nnc a c a c a a b b b2211012,nnn b b b a a c a c a c 211122,121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式,形状像个“爪”字,故称它们为“爪”字型行列式.4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”,均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为:“爪”字对角消竖横. 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321,其中.,2,1,0n i a i =≠分析:这是一个典型的“爪”字型行列式,计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上,原行列式可化为三角形行列式.解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. “么”字型行列式4.3.1 概念形如nn n b b b a a c a c a c 211122,n nna b c a b c a b c a2221110,n n nc a c a c a a b b b 2211012,111222a cb ac b a c b a nnn ,121122c a c a b a b c a b n nn,nn na c a c a cb b b a2211210,121122a b b b c a c a c a nnn,nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式,形状像个“么”字,因此常称它们为“么”字型行列式. 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇,就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为:“么”字两撇相互消.注意:消第一撇的方向是沿着“么”的方向,从后向前,利用n a 消去n c ,然后再用1-n a 消去1-n c ,依次类推. 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解:从最后一行开始后一行加到前一行(即消去第一撇),得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.“两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式. 4.4.2 计算方法对于这样的行列式,可通过直接展开法求解. 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a0000000D 12211-=. 解:按第一列展开,得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.“三对角”型行列式 4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式,叫做“三对角型”行列式. 4.5.2 计算方法对于这样的行列式,可直接展开得到两项递推关系式,然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明. 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解:按第一列展开,得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形,得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=, 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .Vandermonde 行列式 4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式,成为n 级的范德蒙德行列式.4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明,可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值.构造1+n 阶的范德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算,这时就需要结合多种计算方法,使计算简便易行.下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析:乍一看该行列式,并没有什么规律.但仔细观察便会发现,按第一行展开便可得到1-n 阶的形式.解:将行列式按第一行展开,得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解:从第一行开始,依次用上一行的()1-倍加到下一行,进行逐行相加,得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D . 再由范德蒙德行列式,得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值.构造1+n 阶的范德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有:()()∏≤<≤-+++=ni j j i n n x x x x x D 121 .。
行列式计算方法归纳总结
2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) n级排列:由1,2.3…n组成的一个有序数组称为一个n级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n 阶行列式aaaaa a a a a a a a a a a a nnn n n nn n321333323122322211131211 <I>等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积.ja j a j a j a nn332211的代数和,这里jj j j n,,,,321为1,2,3,……,n 的一个排列,每一项<Ⅱ>都按下列规则带有符号,当jj j j n,,,321是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当jj j j n,,,,321是奇排列时,<Ⅱ> 带有负号.例2.1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑. (3)其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说(3)式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.2递推法无论是初等数学,还是高等数学,递推公式都有着非常广泛的运用。
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.例1 计算行列式0004003002001000.解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有244=!项,但由于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a .显然,如果41≠j ,那么011=j a ,从而这个项就等于零.因此只须考虑41=j 的项,同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有41322314a a a a ,而()64321=τ,所以此项取正号.故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析:观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零.即:化为上三角形.解:将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…(1n +)行上去,可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计算.这类计算行列式的方法称为连加法.例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解: mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法.例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解:从最后一行开始每行减去上一行,有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式,虽然前n 行的和全相同,但却为零.用连加法明显不行,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解:将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此类推,得:13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1 按某一行(或列)展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解:按最后一行展开,得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下:设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ,其中i A 是子式i M 对应的代数余子式.即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0, nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.其中,添加行与列的方式一般有五种:首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解:使行列式D 变成1+n 阶行列式,即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行,得:D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始,每列乘以()1-加到第一列,得:100100000100000101111)1n D ------=( ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时,βcos 1=D . 当2=n 时,ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想,βn D n cos =.由上可知,当1=n ,2=n 时,结论成立.假设当k n =时,结论成立.即:βk D k cos =.现证当1+=k n 时,结论也成立.当1+=k n 时,βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开,得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =,()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-,所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立. 即:βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析:若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆,则特征方程有两个不等根,则1211--+=n n n Bx Ax D .② 若0=∆,则特征方程有重根21x x =,则()11-+=n n x nB A D . 在①②中, A ,B 均为待定系数,可令2,1==n n 求出.例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解:按第一列展开,得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D .作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时,B A +=9;当2=n 时,B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ,所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行(列)法3.1.1 概念及计算方法拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值.拆行(列)法有两种情况,一是行列式中有某行(列)是两项之和,可直接利用性质拆项;二是所给行列式中行(列)没有两项之和,这时需保持行列式之值不变,使其化为两项和. 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解:把第一列的元素看成两项的和进行拆列,得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1,所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立,因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可同时构造一个容易求解的行列式,从而求出原行列式的值. 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的范德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值,那么就可以计算出A 的行列式.3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ,,21是n 级矩阵A 的全部特征值,证明:A 可逆当且仅当它的特征值全不为零. 证明:因为n A λλλ 21=,则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211,nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式,形状像个三角形,故称为“三角形”行列式. 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知,nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210,nn n c a c a c a a b b b2211012,n nn b b b a a c a c a c 211122,121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式,形状像个“爪”字,故称它们为“爪”字型行列式. 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”,均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为:“爪”字对角消竖横. 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321,其中.,2,1,0n i a i =≠分析:这是一个典型的“爪”字型行列式,计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上,原行列式可化为三角形行列式.解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122,nn na b c a b c a b c a2221110,n n nc a c a c a a b b b 2211012,0111222a cb ac b a c b a nn n ,121122c a c a b a b c a b nnn,n n n a c a c a c b b b a2211210,0121122a b b b c a c a c a nnn,nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式,形状像个“么”字,因此常称它们为“么”字型行列式. 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇,就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为:“么”字两撇相互消.注意:消第一撇的方向是沿着“么”的方向,从后向前,利用n a 消去n c ,然后再用1-n a 消去1-n c ,依次类推. 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解:从最后一行开始后一行加到前一行(即消去第一撇),得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式. 4.4.2 计算方法对于这样的行列式,可通过直接展开法求解. 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解:按第一列展开,得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式,叫做“三对角型”行列式.4.5.2 计算方法对于这样的行列式,可直接展开得到两项递推关系式,然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明. 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解:按第一列展开,得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形,得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=, 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式,成为n 级的范德蒙德行列式.4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明,可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的范德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= , 其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算,这时就需要结合多种计算方法,使计算简便易行.下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析:乍一看该行列式,并没有什么规律.但仔细观察便会发现,按第一行展开便可得到1-n 阶的形式.解:将行列式按第一行展开,得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解:从第一行开始,依次用上一行的()1-倍加到下一行,进行逐行相加,得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式,得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解:虽然n D 不是范德蒙德行列式,但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值. 构造1+n 阶的范德蒙德行列式,得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开,得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ,其中,1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支,而行列式是线性代数中的一个重要概念。
行列式计算方法是线性代数的基础知识,掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结,希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 行列式的定义。
在开始介绍行列式的计算方法之前,我们先来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A,它的行列式记作|A|,定义为:|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。
其中,σ是1到n的一个排列,P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积,Σ表示对所有可能的排列求和。
2. 行列式的计算方法。
接下来,我们将介绍几种常见的行列式计算方法。
2.1 余子式法。
余子式法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A,它的行列式可以通过递归的方式计算得到。
具体步骤如下:对于n阶方阵A,选择第i行(或第j列)展开,得到A的余子式Mij;计算Mij的行列式|Aij|,其中Aij是Mij的转置矩阵;根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|,计算得到行列式|A|。
2.2 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法,它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A,它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。
具体步骤如下:对于n元线性方程组Ax = b,其中A是系数矩阵,x是未知数向量,b是常数向量,如果A是非奇异矩阵(即|A| ≠ 0),则方程组有唯一解;解出方程组的每个未知数,可以得到方程组的解向量x;根据克拉默法则,方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|,其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。
2.3 对角线法则。
对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A,它的行列式可以通过对角线法则计算得到。
行列式的计算技巧窍门情况总结
行列式的计算技巧窍门情况总结行列式是线性代数中重要的概念之一,它在解决线性方程组、矩阵的逆等问题中起着关键作用。
本文将总结行列式的计算技巧和窍门,帮助读者更好地掌握行列式的计算方法。
1.定义行列式是一个方阵所对应的一个标量值。
对于一个n阶方阵A,它的行列式记作det(A),A,或者D(A)。
对于2阶和3阶方阵,行列式的计算较为简单,可以直接应用定义进行计算。
例如对于2阶方阵A:abcd对于3阶方阵A:abcdefghidet(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
2.初等变换法初等变换法是一种常用的计算行列式的方法。
初等变换指的是对行列式的行(或列)进行以下操作:①互换两行(列);②其中一行(列)与其它行(列)相加(或相减,可取加减系数为1和-1);③其中一行(列)乘以一个非零常数。
这些操作不改变行列式的值。
通过使用初等变换,可以将行列式转化为更简单的形式,从而更容易计算。
例如,在计算3阶行列式时,我们可以使用初等变换将行列式化为上三角形式,这样计算起来会更加简便。
3.拆分法则行列式有一个重要的性质,即它是线性的。
也就是说,如果将一个方阵的其中一行(列)按一定的方式进行拆分并相加(或相减),则行列式的值不变。
这个性质对于简化行列式的计算非常有帮助。
例如,在计算3阶行列式时,可以选择将第一列按照一定方式进行拆分,然后相加或相减。
这样可以将行列式化简为两个2阶行列式的形式,从而更容易计算。
4.分块矩阵法对于大规模的方阵,计算行列式将变得较为复杂。
分块矩阵法是一种较为高效的计算行列式的方法。
分块矩阵法的基本思想是将一个大的方阵分割为若干个小的方阵,并利用分块矩阵的性质进行计算。
这样可以将复杂的计算问题化简为对小方阵的计算问题,从而降低了计算的难度和复杂度。
5.逆序数法逆序数法是一种计算行列式的方法,它利用了逆序数和奇偶性的关系。
逆序数是指在一个排列中,逆序对的个数。
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结行列式(Determinant)是线性代数中的一个重要概念,它是一个与方阵相关的数值。
计算行列式可以帮助我们解决线性方程组、求解特征值等问题。
在数学和工程领域中,行列式经常被使用到。
本文将对计算行列式的几种常见方法进行总结和介绍。
1. 定义首先,我们需要了解行列式的定义。
对于一个n阶方阵A,它的行列式记作|A|或det(A)。
行列式的值是根据方阵的元素通过一定的规则计算而得,可以表示为:|A| = a11 * a22 * ... * ann + a12*a23*...*ann*a21 + ... + ann*a1n*a2n*...*an-1n- a1n*a22*...*an-1n*a21 - ... - ann*a1n*a2n*...*a(n-1)(n-1)其中,a(ij)表示方阵A的第i行第j列的元素。
2. 公式法公式法是计算行列式的常见方法之一,它适用于二阶和三阶方阵。
对于二阶方阵A,其行列式计算公式为:|A| = a11*a22 - a12*a21对于三阶方阵A,其行列式计算公式为:|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33通过这些行列式的公式,我们可以方便地计算二阶和三阶方阵的行列式。
3. 初等行变换初等行变换是通过对行进行一系列操作来变换方阵的形式从而简化行列式的计算。
我们常用的初等行变换操作有三种:交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。
例如,对于一个三阶方阵A,如果我们想计算其行列式但是发现有一个行是0,那么我们可以通过交换两行的操作,将该行移到最后一行。
这样,原方阵的行列式就等于新方阵的行列式。
同时,通过某一行乘以非零常数和某一行加上另一行的倍数的操作,可以将方阵变为上三角阵或下三角阵,进一步简化行列式的计算。
4. 拆线法拆线法是计算高阶方阵的行列式常用的方法,对于n阶方阵,其行列式可以通过n-1阶方阵的行列式来计算。
行列式的几种求法
行列式的求法有多种,以下简单进行总结。
一、逆序定义法行列式的逆序法定义如下:1212121112121222(,,......,)12,,......,12(1)......n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里,12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列,12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数,求和是对所有的排列求的,因此,该和式一共有!n 项,每项都是n 个数相乘,并得计算逆序数,计算量巨大。
因此,一般而言,逆序法定义具有理论上研究的意义,而比较少用于求行列式。
但是,如果行列式的项中有大量的0,那么用逆序法计算可能会很简单。
以下举例如下:例1:求1122nna a a。
解答:1212121122(,,......,)12,,......,(1)......n n nj j j j j nj j j j nna a a a a a τ=-∑只当11j =,22j =,……,n j n =,其项才可能非零。
因此,1122(1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n nnna a a a a a a a a a a a τ=-=-=例2、求12nd d d 。
解答:12121212(,,......,)12,,......,(1)......n n nj j j j j nj j j j nd d a a a d τ=-∑只当1j n =,21j n =-,……,1n j =,其项才可能非零。
因此,1(1)2(,1, (1)21,2,1,112(1) (1)......n n n n n n n n nd d a a a d d d d τ---=-=- 。
例3、求121n nd d d d -。
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
X2
Xn
1
X2
Xn
n1Βιβλιοθήκη x2mXnn
0
m
0
Xi
m
Xi
m
1
i 1
1
X2
Xnm
0
0
m
m
i 1
n
1
m.
i
X2
n
Xn
Xi
Xi
滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时, 这种方法叫滚动消去法.
例4计算行列式Dn
1
2
3
n 1
n
1
2
3
n 1
n
1
1
1
1
1
2
0
0
0
2
Dn
1
1
1
1
1
2
2
0
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
解:从最后一行开始每行减去上一行,
例7解行列式Dn
解:从第三行开始,每行都减去上一行;再从第三列开始,每列都加到第二列,得
a a a
b
0 0
0 0 0 0
n 1 a a a
b n 2
0 0 0
?
n 2
0
2.4升阶法
(n1)
0
1n1
2.5数学归纳法
有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法
去证明•对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.
COS
2cos
例9计算行列式Dn
2cos
2cos
2 cos
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结1. 引言行列式是线性代数中的重要概念,用于描述线性方程组的性质以及向量空间的基本性质。
在实际应用中,行列式计算是非常常见的操作。
本文将总结常用的线性代数行列式计算方法,并通过具体的例子进行说明。
2. 行列式的定义行列式是一个将矩阵映射为一个标量的函数。
设A为一个n阶方阵,则其行列式记作|A|,它由元素a_ij组成的n×n矩阵所决定。
行列式的计算方法有多种,下面将介绍其中几种常用的方法。
3. 基本行列变换法基本行列变换法是求解行列式值的一种常见方法。
它包括以下三种基本行列变换:3.1 行交换行交换是将两行互换位置的操作。
当行交换次数为偶数次时,行列式的值保持不变;当行交换次数为奇数次时,行列式的值取负。
例如,对于一个3×3矩阵 A:A = [a b c][d e f][g h i]如果我们交换第一行和第三行,得到矩阵 B:B = [g h i][d e f][a b c]则有 |A| = -|B|。
3.2 行倍加行倍加是将某一行乘以一个非零常数,并加到另一行上去的操作。
行倍加不改变行列式的值。
例如,对于一个3×3矩阵 A:A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第一行的2倍加到第二行上,得到矩阵 C:C = [a b c][2a+e 2b+f 2c+f][g h i]则有 |A| = |C|。
3.3 行倍乘行倍乘是将某一行乘以一个非零常数的操作。
行倍乘改变行列式的值。
例如,对于一个3×3矩阵 A:A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第三行乘以2,得到矩阵 D:D = [a b c][d e f][2g 2h 2i]则有 |A| = 2|D|。
4. Laplace展开法Laplace展开法是求解行列式值的另一种常用方法。
它基于以下原理:设A是一个n阶方阵,将A的第i行第j列的元素记为a_ij,则A的行列式可展开为a_ij 与其余元素构成的n-1阶矩阵的行列式的代数余子式之和。
行列式的计算技巧与方法总结
a11
a12 a1n c2 cn .
b1 c1 b2 c2 bn cn b1 an1
性质 4
bn c1 an1
an 2
ann
an1
an 2 ann
an 2 ann
如果行列式中有两行(或列)对应元素相同或成比例,那
ai 2 ain a k1 =ak 2 akn a i1 an 2 ann a n1
a11 0 a n1 a12 a1,n -1 0 0 a n2 a n,n -1
a k 2 a kn a in a nn
于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开 式中的项的一般形式是 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a 4 j4 . 显然, 如果 j1 4 , 那么 a1 j1 0 ,
4
从而这个项就等于零.因此只须考虑 j1 4 的项,同理只须考虑
j 2 3, j 3 2, j 4 1 的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有 a14 a 23 a 32 a 41 ,而 4321 6 ,所以此项取正号.故 0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 4321 a14 a 23 a32 a 41 24 . = 1 0 0
x1 m x2 x1 x2 m 例 3 计算行列式 Dn x1 x2
xn xn . xn m
x
解: D n
n
x
i 1 n
i 1 n
i
m
x2
xn xn
i
m x2 m m x2
高等代数行列式计算方法总结
关系式,再用递推关系及某些低阶(2阶,1阶)
行列式的值求出 D 的值)
高等代数行列式计算方法总结
(六)拆项法(主对角线上、下元素相同)
ax1 a 1) Dn a ax2
a a.
解:
aa
axn
ax1 a D n a ax2
a ax1 a a a ax2
aa aaa
a0 a0
axn
x1 0 0 x2
1b b
a (n1)b 1 a b
1b a
1b
ri r1 a(n1)b0ab
i2,3, n 00
b
0 (a b )n 1 a (n 1 ) b .
ab
高等代数行列式计算方法总结
1 23 2 34 2) D n1 n 1 n 12
n1 n n1 .
n3 n2 n2 n1
解
123 D n(n1) 1 3 4
1,2
1 n ai
i1 bi n1) 0
0
a1 b1 0
an 0 bn
b1b2
bn(1
n i1
ai bi
).
高等代数行列式计算方法总结
(五)递推公式法
ab ab 0 1 ab ab
Dn 0 1 ab
000 000
00 00 0 0.
ab ab 1 ab
解
Dn按 c1展开 (ab)Dn1abDn2
D n a x 1 x n 1 a x 1 x 2 x n 2 x n a x 1 x 2 x n 3 x n 1 x n
a x 1 x 2 x 4 x n a x 1 x 3 x 4 x n x n x n 1 x 3 x 2 D 1
a ( x 1 x 2 x n 1 x 1 x 2 x n 2 x n x 1 x 3 x n x 2 x 3 x n )
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的计算技巧与方法总结1、记住性质,这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为TD 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D =则nnnn n n T a a a a a a a a a D212221212111=.性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即.TD D =注 由性质1知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i⨯γ(或k C i⨯).推论 1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n inin i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质 5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作jikr r +;以数k 乘第j 列加到第i 列上,记作jikc c +.2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若210101321-=D , 则.213102011D DT=-=例3(1)01212111001211121---=--(第一、二行互换). (2)12110211012110121---=--(第二、三列互换)(3)0725011011=(第一、二两行相等) (4)0337224112=---(第二、三列相等)例4(1)02222510211=--因为第三行是第一行的2倍.(2)075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--. 例6 设,1333231232221131211=a a a a a aa a a 求.53531026333231232221131211a a a a a aa a a ----解 利用行列式性质,有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7(1).110111311103111132+=++=(2)()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=.例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-. 因此022131233212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9(1)13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.(2)33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D .解 先将第一行的公因子3提出来:,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-7216011264802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r-+ 15100010811202131----3445r r +.4025001080011202131=---例12计算.3111131111311113=D解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2,3,4行同时加到第1行,可提出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r rr r --- .4820000200002011116=注:仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a ---解 根据行列式的特点,可将第1列加至第2列,然后将第2列加至第3列,再将第3列加至第4列,目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a =例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a ad c b a cb a ba ad c b aD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始,后一行减前一行:Dr r r r r r ---33412.363023200c b a b a a c b a b a a cb a b a a dc b a +++++++++3423r r r r --.20200ba aab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dcba =++++三、 行列式按行(列)展开(降阶法)1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ija 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ija 的余子式, 记为ijM , 再记ijj i ij M A +-=)1(称ijA 为元素ija 的代数余子式.引理(常用) 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ija 外都为零,则该行列式等于ija与它的代数余子式的乘积,即ijij A a D =定理 1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++=或).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jninj i j i ≠=+++或.,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式(常用) 直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时,一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理(一般少用)定义 2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kk j j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中ki i ,,1为k 阶子式M 在D 中的行标,kj j j ,,,21为M 在D 中的列标.注:行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行(列)展开的性质.定理 2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:(1)214121312-- (2)120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2).3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式.5021011321014321---=D解521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式.532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn -----1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ----1100011100111101111111111)1(1x x x x n -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x xxx例19设,3142313*********------=D D 中元素ija 的余子式和代数余子式依次记作ijM 和ijA ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A+++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A3413r r r r +-11202250111111---11222511---=12c c +.42052001202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M34r r +311501121)1(0010313150111251---=----312r r -.0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式 2100321003210032 的值.解 按第一行和第二行展开2100321003210032=2132)1(21322121+++-⨯2031)1(31023121+++-⨯+2030)1(32033221+++-⨯+0121+-=.11-=。
(完整版)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档
12 1 11 2 (2) 0 1 1 0 1 1 (第二、 三列互换)
2 1 0 2 0 1
1 (3) 1
5
10 1 0 0 (第一、二两行相等) 27
2 1 1 (4) 4 2 2 0 (第二、三列相等)
7 3 3
1 例 4(1) 0
2
1 1 2
2 5 0 因为第三行是第一行的 2 倍. 22
性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D DT . 注 由性质 1 知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的 列也同样具有. 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质 3 用数 k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k 乘此行列式, 即
1 4 10
2 8 35
(2)
0 因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的 4
0 0 14
1 4 5 7
倍.
1 0 2 2 0 4
10 2
例 5 若 D 3 1 0 , 则 3 1 0 (2) 3 1 0 2D
1 2 1 1 2 1
1 2 1
4 0 2 10 2 又 12 1 0 4 3 1 0 4D .
1 23
例 1 计算三阶行列式 4 0 5 1 0 6
1 23 解 4 0 5 1 0 6 2 5(1) 3 4 0 3 0 (1) 1 5 0 4 2 6
1 0 6
10 48 58.
但是对于四阶或者以上的行列式,不建议采用定义,最常采用的是行列式 的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
注: 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上,记作 ri krj ; 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作
行列式的计算技巧与方法总结
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k a i1
a i2 a in .
a n1 a n2 a nn
a n1 a n2 a nn
性质 3 如果行列式的某一行(或列)是两组数的和,那么该行列
式就等于两个行列式的和,且这两个行列式除去该行(或列)以外的
各行(或列)全与原来行列式的对应的行(或列)一样.即
从二、三阶行列式的内在规律引出 n 阶行列式的定义.
设有 n2 个数,排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 a1n a21 a22 a2n , an1 an2 ann
即 n 阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的
乘积
a1j1 a2 j2 anjn
⑴
的代数和,这里 j1 j2 jn 是1,2,,n 的一个排列,每一项⑴都按下列规
1.行列式的概念及性质
1.1 n 阶行列式的定义
我们知道,二、三阶行列式的定义如下:
a 11 a 21
a 12 a 22
= a11a22 a12 a 21 ,
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12 a a 21 33 a13a22 a31.
式中的项的一般形式是 a1 j1 a 2 j2 a3 j3 a4 j4 .显然,如果 j1 4此只须考虑 j1 4 的项,同理只须考虑
j2 3, j3 2, j4 1的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
a14 a23a32 a41 ,而 4321 6 ,所以此项取正号.故
a11 0 0 0
行列式的计算方法总结大全
行列式的计算方法总结大全
行列式的计算方法有很多种,以下是其中一些常见的方法:
1. 代数余子式法:利用代数余子式展开式,将行列式按某一行或某一列展开,然后计算各项的代数余子式的乘积之和,即可求出行列式的值。
2. 递推法:利用递推关系式,将行列式按某一行或某一列展开,然后逐步递推,即可求出行列式的值。
3. 归纳法:利用归纳法,通过观察和分析较小的行列式,逐步归纳出行列式的展开规律,然后逐步展开,即可求出行列式的值。
4. 矩阵相乘法:将行列式转换为矩阵相乘的形式,然后利用矩阵相乘的性质,计算行列式的值。
5. 元素替换法:利用元素替换的性质,将行列式中的某些元素替换为已知的值,然后逐步简化,即可求出行列式的值。
以上是常见的行列式计算方法,不同的行列式可能需要采用不同的方法进行计算。
在具体计算时,需要根据具体情况选择适合的方法。
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故有 其它的例子: ……每一行提公因子,
7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳) 证明当时, 证明时,将按第一行(或第一列)展开得,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式. 例子: 计算行列式 解: 按第一行展开得: ,将此式化为: (1) 或 (2) 利用递推公式(1)得: ,即. (3) 利用递推公式(2)得: ,即. (4) 由(3)(4) 解得: 其它的例子 ,按第一行展开可得 ,此时令则, 变形为,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里即是方程的两个根. 9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解 成两个容易求的行列式的和. 例子: : 除第一行外,其余各行加上第一行的倍,所得行列式按第一列展开,按第 一列展开. , 故, 由的对称性质,亦可得,这两个式子中削去,可得结论, .
注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点, 选择合适的计算方法.
(2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综 合运用以上方法,
--------(每一列提出相应的公因子)
-----Leabharlann --(将第列加到第一列). 其它的例子:特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相 同. ,. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用 逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变). 例子: . 例子:
行列式的计算方法总结:
1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理). 几个特别的行列式: ,,其中分别是阶的方阵. 例子: , 利用Laplace定理,按第行展开,除级子式外其余由第行所得的级子式均为 零. 故,此为递推公式,应用可得 . 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例: -----()