新人教版高中数学必修五 第一章解直角三角形教案： 正弦定理和余弦定理
最新人教版高中数学必修五 正弦定理优质教案
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师是否可以用其他方法证明这一等式？
生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明 这一关系．
师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.
变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形.
解：∵sinB= ≈0.618 6,
∴B≈38°或B≈142°(舍去).
∴C=180°-（A+B）=22°.
∴C1= ≈22.
当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,
∴C2= ≈13.
(2)∵sinB= ≈0.505 1,
∴B1≈30°，B2≈150°.
由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或者由B＜A知B＜A,故B应为锐角).
由分配律可得
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∴|j| Cos90°+|j| Cos(90°-C)=|j| Cos(90°-A).
∴AsinC=CsinA.
∴ .
另外,过点C作与 垂直的单位向量j,则j与 的夹角为90°+C,j与 的夹角为90°+B,可得 .
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与 的夹角为90°-C,j与 的夹角为90°-B)
1.1 正弦定理和余弦定理
高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案
高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【一】教学准备教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3. 作业：教材P11 B组1、2题.高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
人教版高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案
教案【一】教學準備教學目標進一步熟悉正、余弦定理內容，能熟練運用余弦定理、正弦定理解答有關問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學重難點教學重點：熟練運用定理.教學難點：應用正、余弦定理進行邊角關係的相互轉化.教學過程一、復習準備：1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：1.教學三角形的解的討論：①出示例1：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.分兩組練習→討論：解的個數情況為何會發生變化?②用如下圖示分析解的情況.(A為銳角時)②練習：在△ABC中，已知下列條件，判斷三角形的解的情況.2.教學正弦定理與余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦.分析：已知條件可以如何轉化?→引入參數k，設三邊後利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判斷三角形的類型.分析：由三角形的什麼知識可以判別?→求角余弦，由符號進行判斷③出示例4：已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀.分析：如何將邊角關係中的邊化為角?→再思考：又如何將角化為邊?3.小結：三角形解的情況的討論;判斷三角形類型;邊角關係如何互化.三、鞏固練習：3.作業：教材P11B組1、2題.教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是學生學習了平面向量之後要掌握的兩個重要定理，運用這兩個定理可以初步解決幾何及工業測量等實際問題，是解決有關三角形問題的有力工具。
(2)重點、難點。
重點：正余弦定理的證明和應用難點：利用向量知識證明定理(二)教學目標(1)知識目標：①要學生掌握正余弦定理的推導過程和內容;②能夠運用正余弦定理解三角形;③瞭解向量知識的應用。
(2)能力目標：提高學生分析問題、解決問題的能力。
(3)情感目標：使學生領悟到數學來源於實踐而又作用於實踐，培養學生的學習數學的興趣。
(三)教學過程教師的主要作用是調控課堂，適時引導，引導學生自主發現，自主探究。
高中数学必修5第一章解三角形教案学案 正弦和余弦定理设计
第一章解三角形本章概览三维目标1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。
能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。
2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。
3．通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。
总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。
4．本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。
尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。
5．本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。
本章知识网络1.1 正弦定理和余弦定理第一版块三点剖析一、正弦定理及其证明正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。
(新课标)高中数学 第一章 解三角形教学设计 新人教A版必修5
（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 本章我们共学习了哪些内容？ 生本章我们学习了正弦定理与余弦定理师你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A，b 2=a 2+c 2-2acco s B， c 2=b 2+a 2-2baco s Cabc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=师很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解师 very good！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习推进新课 多媒体投影生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为生 这个题目以前做过的，A 与B的大小关系不定． 师 对吗？生我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧生 不对，应该先化简等式右边，得A +B 2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan2C=2． 从而有344142tan 12tan2tan 2-=-=-=C CC． 师 思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？ 生 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式． 生还有余切的二倍角公式． 师 你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口． 师 对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】 将一块圆心角为120°，半径为20 c m 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设∠M OA =θ，则|MP|=20sin θ,|OP |=20co s θ, 从而S=400sin θco s θ=200sin2θ， 即当4πθ=时，S m a x按图（2）的裁法：矩形的一边PQ 与弦AB 平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q 中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin 2340120sin sin 20=︒又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以S=|MQ |·|MN |=331600sin θsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］所以当θ=30°时，S m a x =33400由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到0.1°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ师 接下来怎么做呢？生 因为co s θ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值．师cos θ的最小值怎么求呢？ 生 因为cos θ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cos θ）=-41，所以θ的最大值为104.5°．（教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ因为cos θ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cos θ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2．因此，当n=3时，（cos θ）min =-41，所以θ的最大值为104.5°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ）A.26-B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．B ．C ．10.3D ．3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） A.d 1＞d 2B.d 1=d 2C.d 1＜d 2D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________． 2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,132.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=∙-+=-+=+BA BA B A ．因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ）， AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠∙∠=ABC BCA AB AC所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 例例3备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角；（3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B ca(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
人教版高一必修五第一章正弦定理和余弦定理
CD a sinB
S ABC
1 1 AB CD ac sin B 2 2
C a
同理：S ABC S ABC
1 ab sinC； 2 1 bc sin A. 2
b
B
c D
A
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比 相等.
A
C 且 B 180 ( A C ) 105
b c 解：∵ sin B sin C
c sin B 10 sin 105 b 19 sin C sin 30
例2：在
ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°，解三角形
（角度精确到1 ° ，边长精确到1cm）. b sin A 28 sin 40 解：根据正弦定理， sin B 0.899 a 20 因为0＜B＜180 ，所以B 64或 116 （1）当B≈64°时， C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°
例题1
2
4
正弦定理
(1)在ABC中，已知b 12, A 30 ，
3.定理的应用举例 例1 在ABC 已知 解三角形. 变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
A 300 , B 1350 , a 2
,
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形（2）将 A=30° 变为B= 30° 呢？ 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
高中数学《正弦定理》教案4篇
高中数学《正弦定理》教案4篇高中数学《正弦定理》教案1教材地位与作用：本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与学校学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理的学问特别重要。
学情分析：作为高一同学，同学们已经把握了基本的三角函数，特殊是在一些特别三角形中，而同学们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。
教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。
(依据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标)教学目标分析：学问目标：理解并把握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
力量目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干净对称美和数学的实际应用价值。
教法学法分析：教法：采纳探究式课堂教学模式，在老师的启发引导下，以同学自主和合作沟通为前提，以“正弦定理的发觉”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让同学的思维由问题开头，到猜测的得出，猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
学法：指导同学把握“观看——猜测——证明——应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对任意三角形性质的探究。
让同学在问题情景中学习，观看，类比，思索，探究，动手尝试相结合，增添同学由特别到一般的数学思维力量，锲而不舍的求学精神。
教学过程(一)创设情境，布疑激趣“爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab 长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发同学关心别人的热忱和学习的爱好，从而进入今日的学习课题。
最新人教版高中数学必修5第一章《余弦定理》教案
《余弦定理》教案教学目标1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2．利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.3．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点难点1．重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；2．难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.教法与学法1．教法选择：“情境--问题”教学模式——“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”；2．学法指导：“自主——合作——探究”的学习方式，让学生自主探索学会分析问题和解决问题.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣c a b =-)()2222222cos :c a b a b ab cABC c a b ⋅-=+-=+- 即：△中三、思维拓展，课堂交流5,bc =四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析“余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用.2．学生现实分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识.在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣.总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点.3．教学价值分析在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题.本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构.。
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理复习课教案 新人教A版必修5-新人教A版高二必
《正弦定理和余弦定理》复习课〔四〕典例导航、知识拓展[例1]△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b〔b+c〕，求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，代入a2=b〔b+c〕中，得sin2A=sin B〔sin B+sin C〕sin2A－sin2B=sin B sin C因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin〔A+B〕≠0.所以sin〔A－B〕=sin B.所以只能有A－B=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论：该题假设用余弦定理如何解决?[例2]a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，〔1〕假设△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值；〔2〕假设a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状。
〔五〕变式训练、归纳整理[例3]a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，假设b cosC=(2a-c)cosB(1) 求角B(2) 设,求a+c的值。
剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。
此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。
〔解答略〕课时小结〔由学生归纳总结，教师补充〕1. 解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。
3. 用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。
sin ACB ∠45ACB ∠=︒，18060ABC ACB ACB ∴∠=-∠-∠=在Rt ABD ∆中，sin AD ABC AB∠=3002sin AD AB ∴=角形的问题，题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的23，23，23，引导学生考察A a sin ，B bsin ，Ccsin 的关系。
人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计
名师示范课第一章 解三角形1.1.2 余弦定理（名师：王历权）一、教学目标1.核心素养通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型;（2）能证明余弦定理;（3）应用余弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题.4.学习难点余弦定理的证明.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用?2.预习自测1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c .解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c .（二）课堂设计1.知识回顾（1）在三角形中大边对大角,大角对大边.（2）三角形的面积:C ab S sin 21=. （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究问题探究一 另一类解三角形问题●活动一 回顾旧知理论上正弦定理可解决两类问题:（1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角;（2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.●活动二 整合旧知,探求边角新关系如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗?应用正弦定理显然无法求解三角形.Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢?问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.因而,有2222222(sin )(cos )2cos a CD BD b A c b A b c bc A =+=+-=+-,同理,我们可以得到:2222222cos ,2cos b c a ac B c a b ab C =+-=+-,. 或者222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,22222(sin )(cos )a CD BD b A b A c =+=+-A bc c b cos 222-+=, 若△ABC 中∠A 为直角呢?我们可以得到A bc c b c b a cos 222222-+=+=. 余弦定理:对于任意的一个三角形,都有2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. ●活动二 发现公式证明新方法,反思过程结合问题条件与结论涉及边长与角度,能否用向量的办法证明余弦定理?A B如图在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AB BC BC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+o u u u r u u u r u u u r u u u r 22cos 2a B ac c +-=.即B ac a c b cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.反思:对向量等式+=平方法即得B ac a c b cos 2222-+=,过程中哪些方法值得总结?另外向量等式BC AB AC +=有哪些丰富的内涵?等式中隐藏了哪些信息?问题探究三 利用余弦定理能解决哪些三角形的问题? ●活动一 初步运用,运用定理解三角形例1 在ΔABC 中,已知a ＝7,b ＝10,c ＝6,求A 、B 和C.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:∵222cos 0.7252b c a A bc+-==,∴A≈44° ∵222cos 0.80712a b c C ab+-==,∴C≈36°, ∴B ＝180°－(A ＋C)≈100°.点拨:知道三边利用余弦定理可以求任意一个内角的余弦值.例2 在ΔABC 中,已知a ＝2.730,b ＝3.696,C ＝82°28′,解这个三角形.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:由C ab b a c cos 2222-+=,得c ≈4.297∵222cos 0.77672b c a A bc+-=≈,∴A≈39°2′, ∴B ＝180°－(A ＋C)＝58°30′(∵sin sin 0.6299a C A c=≈,∴A=39°或141°(舍))点拨:在已知两边和夹角的条件下,用余弦定理求出另一边,再用余弦定理或正弦定理可以求解整个三角形.例3 在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点:余弦定理】详解:选C,由正弦定理有sin cos sin cos B A A B =,即sin()0A B -=,所以ABC ∆是等腰三角形.又解,由余弦定理知acb c a a bc a c b b 22222222-+=-+,整理得a b = 点拨:灵活使用正余弦定理是解题关键.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数余弦定理非常对称美观,三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成了可定量计算的公式了,它可以求解如下两类解三角形的问题:（1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.利用余弦定理解三角形时会出现无解、一解或多解等多种情况吗?3.课堂总结【知识梳理】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222222cos cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2c a b b c a ac B B ca +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2a b c c a b ab C C ab +-=+-⇔=. 【重难点突破】（1）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,它揭示的是三角形中边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.（2）在余弦定理中含三边和一边的对角这四个元素,利用方程的思想,知三可求一.（3）解三角形问题时,一般先画出示意图,根据题目的结构特征,灵活运用正弦定理或余弦定理及其变式,这不仅是解决有关问题的切入点,更是找到解题捷径所在.4.随堂检测1.已知在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A.－41B.41C.－ 32D.32 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为（ ） A.3400米33400米 C.2003米米【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A3.在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 132C. 16D. 4 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B5. 在ABC ∆中,等式C b a B A b a s in )()s in ()2222-=-+（成立的充要条件是（ ）A.b a =B.090=∠CC.90a b C =∠=︒且D. 90a b C =∠=︒或【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A（三）课后作业基础型 自主突破1.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A.90°B.120°C.135°D.150°【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B2. 已知b a ,为ABC ∆的边,,A B 分别是b a ,的对角,且32sin sin =B A ,求a b b+的值. 【知识点:余弦定理;正弦定理】解:25 3.已知三角形的一个角为60°,面积为310,周长为20,求此三角形的各边长.【知识点:余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:5,7,8 .4.已知锐角三角形三边分别为3,4,a ,则a 的取值范围为（ ）A.15a <<B.17a << 5a << 7a <<【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论、数形结合】解:C5.如图,在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒,向山顶前进100m 后,又从点B 测得斜度为45︒,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度θ.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:θ = 4294︒6.在ABC ∆中,=53AB AC =，,D 为BC 中点,且4=AD ,求BC 边长.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:2能力型 师生共研7. 如图,在四边形ABCD 中,已知A D C D ⊥, 10,14AD AB ==,60BDA ∠=︒, 135BCD ∠=︒,求BC 的长.【知识点:余弦定理】解:288.在ABC ∆中,求证: 0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a .【知识点:正弦定理、余弦定理】解:左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边.9.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:余弦定理】解:三边长为4,5,6.10.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a .(2) 2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理、余弦定理】证明:(1)左边＝)(222c b a --B B c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=222222222222222222222222)(2222)(22)(b c a b c a a c b a c b R a b c b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 右边==+-=0)11(Rabc 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R B A R A b a b B a A 故原命题得证探究型 多维突破11.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略 ;（2）3:112.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.（1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a . （2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==, 当2=x 时15max =S .自助餐1. 在ABC ∆中,已知60A ︒=,1b =,,则sin sin sin a b c A B c ++++为( )A. B. C. D. 【知识点:正弦定理、余弦定理、三角形面积;数学思想:数形结合】 解:B.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则ABC ∆的面积是( )A.3B.9 32C.3 32D.3 3【知识点:余弦定理、三角形面积】解:C.3. 在ABC ∆中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）C.-D.- 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.4.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:B.5.已知ABC ∆中,A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且,试判断ABC ∆的形状. 【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:等边三角形.6.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ;(2)若sin sin A C =,求C . 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:（1）120︒;（2）15︒或45︒8. 在ABC ∆中,若22299190a b c +-=,试求tan tan (tan tan )tan A B A B C+的值. 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:59。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理》优质课教案_14
《正弦定理》（第一课时）教学设计一、教学内容分析本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A 版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。
课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时更是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。
本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，形成疑问，激发学生探究欲望，提出斜三角形的边角关系的猜想；第二，带着疑问，对猜想进行验证，首先对特殊的斜三角形边角关系进行验证和实验探究验证，其次是严密的数学推导证明；第三，得到正弦定理，解决引例，首尾呼应，并学以致用，简单应用。
正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化，从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。
这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。
这其实是一个推陈出新的过程。
通过这三个层次，探索——发现——证明，从实际中来，到实际中去。
通过课堂，体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。
二、学情分析本节课内容基本上安排在高一下学期或高二上学期讲授。
(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：①勾股定理：222a b c += ②三角函数式，如：sin a A c =，cos b A c= (2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：① ②大边对大角，小边对小角 ③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型 三、教学策略与学法指导教学策略：本节课采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——实验探究验证猜想——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。
最新人教版高中数学必修5第一章《正弦定理和余弦定理》教案
《正弦定理和余弦定理》教案教学目标1．掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.2．通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.3．通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系.教学重点难点1．重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；2．难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.教法与学法1．教法选择：启发引导,讲练结合，归纳总结;2．学法指导：通过一些典型的例题来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析“正余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值.本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第三节课，其主要任务是在课型上属于“习题教学课”.布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者.因此，做好“正余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.2．学生现实状况分析学生已经了解正余弦定理，但是应用不熟练，容易出现的误区：（1）在已知两边及其中一边对角的条件下，求其它边角问题，对于这类问题利用正弦定理和余弦定理都可解决．解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当的选用定理运用好的方法解题．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不能出现漏解或是增解的情况．（2）在利用正、余弦定理解与三角形有关的问题时,必须注意“三角形内角和为0180”、“在一个三角形中，大边对大角”等三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系对角范围的制约,以免产生错解.。
数学必修五人教版1.1 正弦定理和余弦定理 教案
1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：C A BBCA如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A c B（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
人教课标版高中数学必修五《正弦定理和余弦定理(第1课时)》教案(1)-新版
第一章解三角形1.1.1正弦定理一、教学目标1.核心素养通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系.（2）能证明正弦定理.（3）应用正弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题.4.学习难点正弦定理的证明与三角形解的个数的判断.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P1－P4.思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪些应用?任务2默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理.2.预习自测1.在一个三角形中,各边和它对角的（）的比相等.A.正弦B.余弦C.正切D.角度答案:A.解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形 外接圆的直径长度.2.下列各式可以表示△ABC 的面积的是（ ） A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.ab sin C 答案:C.3.在正弦定理中asin A 的值表示△ABC 的（ ） A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径 答案:D.解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度. （二）课堂设计 1.知识回顾（1）三角形内角和为180o .（2）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. （3）在三角形中大边对大角.（4）三角形的面积:S ＝111222a b c ah bh ch ==（其中h a ,h b ,h c 分别为边a ,b ,c 上的高）. （5）我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一 回顾旧知,回忆边角关系在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢?通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若C 为直角,锐角A 的正弦sin A ＝=ac对边斜边.同理,sin B ＝b c .●活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC 中,根据正弦函数的定义有:sin a A c =,sin b B c =,sin 1C =,即sin a c A =,sin b c B =,sin c c C=. ∴sin sin sin a b cA B C==.问题探究二 上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. ●活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度, 分别计算,,sin sin sin a b cA B C的值,并观察三个值的关系. 然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化,sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明sin a A ＝sin b B ＝sin c C这个结论吗? 在锐角△ABC 中,你能找出a sin B ,b sin A 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么?在锐角△ABC 中,sin ,sin a B b A 表示的线段都是AB 边上的高CD . 因而,有a sin B ＝b sin A ,则sin sin a b A B=,同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin cC . 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,()sin 180sin CD a B b A =-=o ,因而,有sin sin a B b A =,则sin aA ＝sin b B, 同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 正弦定理:对于任意的一个三角形,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动三 反思过程,发现面积新公式结合a sin B ,b sin A 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,a sin B ,b sin A 的几何意义为AB 边上的高CD ,则由三角形面积111222a b c S ah bh ch ===, 有11sin 22c S ch ac B ==,或11sin 22c S ch bc A ==,以此类推,还有1sin 2S ab C =.所以111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===.●活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC 的外接圆,试探究sin aA的几何意义.设⊙O 为△ABC 的外接圆,连接CO 并延长交⊙O 于点A ′,连接A ′B ,则∠A ＝∠A ′, 在△A ′BC 中,A ′C 为直径,则∠A ′BC 为直角,2sin a A C R A '==',故2sin aR A=,其中R 为三角形外接圆的半径.通过转化与化归的思想,将∠A 转化为∠A ′,最关键的是将一般三角形中a 与∠A 的关系转化为直角三角形中的a 与∠A ′的关系,不难得到sin aA＝2R ,则2sin sin sin a b cR A B C===. 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方法?结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到21sin 2sin sin sin 24abc S ab C R A B C R===等形式. 问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形的问题?●活动一 初步运用,运用定理解三角形一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例1 在△ABC 中,已知A ＝30°,B ＝45°,a ＝2,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:根据三角形内角和定理,C ＝180°－(A ＋B )＝105°,根据正弦定理,b ＝sin sin a B A ＝c ＝sin sin a CA. 点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边,或知道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为180°这个条件的运用.在解三角形时,我们在知道三角形的三个元素（至少有一边）时,可以求出另三个元素,称“知三求三”.例2 在△ABC 中,已知A ＝60°,a ＝3,b 解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】详解:根据正弦定理,sin sin b A B a ==,且b ＜a ,则B ＜A ,故B ＝45°,所以C ＝75°,sin sin a C c A ==. 点拨:在已知一角和两边（其中一边为该角的对边）的条件下,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛选或排除,当然可以两者结合使用.例3在△ABC 中,已知A ＝45°,a ＝2,b 解三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论、数形结合】详解:根据正弦定理,sin B ＝sin b Aa,且b ＞a ,则B ＞A ,故B ＝60°或120°,当B ＝60°时,C ＝75°,解得sin c=1sin a CA；当B ＝120°时,C ＝15°,解得sinc=1sin a CA. 点拨:和例2类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为B ＝60°而造成漏解.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨论满足条件的三角形的解的个数?在△ABC 中,已知a ,b ,A ,结合例2、例3分析,在求出sin B 后,B 的解的个数决定了三角形解的个数.不难看到,当A 为直角或钝角时,a ＞b ,B 必为锐角,有唯一解；a ≤b ,无解. 当A 为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数.A以C 为圆心,a 为半径作圆弧,观察该圆弧能否与c 边相交,(1)当a ＜b sin A 时,无解； (2)当a ＝b sin A 时,一解； (3)当b sin A ＜a ＜b 时,两解； (4)当a≥b 时,一解.通过这个方法,我们进一步可以验证当A 为直角或钝角时的情形,(1)当a ≤b 时,无解； (2)当a ＞b 时,一解.●活动三 归纳提升,综合应用新知识利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1.已知两角和任意一边,求其他的边和角； 2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.例4 在△ABC 中,已知A＝60°,b ＝2,c ＝3,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理】 详解:1sin 2S bc A ==. 点拨:直接应用三角形的面积公式即可.例5在△ABC 中,已知A ＝120°,a ＝3,b 判断三角形的解的个数,如有解,求△ABC 的面积S .【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:由A 为钝角,且a ＞b ,故此三角形有唯一解.根据正弦定理,sin 1sin 2b A B a ==,则B ＝30°,C ＝180°－(A ＋B )＝30°,所以1sin 2S ab C ==. 点拨:三角形的面积求解需要两边及夹角,因此要先通过正弦定理求B ,再用内角和定理求C ,再用公式即可.例6 已知△ABC 的外接圆半径为1,41sin ,cos 53A B ==-,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理,两角和的正弦公式；数学思想:转化与化归】详解:由()113sin sin sin cos cos sin 535C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⋅-+= ⎪⎝⎭则242sin sin sin 25S R A B C ==⋅=点拨:在已知三角形外接圆半径时,通过正弦定理转化面积公式显得更快一些,当然也可以利用a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B 求出C 的两条夹边再求面积,是一样的道理. 3.课堂总结 【知识梳理】 (1)在△ABC 中,2sin sin sin a b c R A B C===（R 为△ABC 的外接圆半径）. (2)在△ABC 中,111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===. (3)设A 为△ABC 的最大角,已知a ,b ,A ,解三角形时解的个数判定为:若A 为锐角,①a ＜b sin A ,无解；②a ＝b sin A ,一解；③b sin A ＜a ＜b ,两解；④a ≥b ,一解.若A 为直角或钝角,①a ≤b ,无解；②a ＞b ,一解. 【重难点突破】(1)运用正弦定理时,有时需对它进行变形,如::sin :sin :sin a b c A B C =等,不论怎么变形,最终都需要将2R 约去.(2)运用正弦定理求解三角形时,若已知条件是两边和其中一边的对角,则可能无解、一解或两解,判断方法是三角形中大角对大边,大边对大角.(3)用正弦定理来解边角关系问题时,基本思路是统一角或统一边,这是三角形的变形问题常用的方法. 4.随堂检测1.在△ABC 中,A ＝45°,a ＝则sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A.1C.2D.4【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】 解:D 根据s i n a A ＝sin b B ＝sin cC＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C ,则sin sin sin a b c A B C ++++＝2R ＝sin aA＝4,故选D.2.在△ABC 中,已知b c ＝1,B ＝45°,则a ＝（ ）11【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】 解:B 根据正弦定理,sin C ＝sin c B b ＝12,因为c ＜b ,则C ＜B ,故C ＝30°,则A ＝105°,所以a ＝sin sin c AC,故选B.3.在△ABC 中,已知b cos A ＝a cos B ,则△ABC 的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形【知识点:正弦定理的应用,两角差的正弦公式；数学思想:数形结合】 解:B 根据sin a A ＝sin b B＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,则2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ,即sin(A －B )＝0,得A ＝B ,故△ABC 为等腰三角形,故选B.4.在△ABC 中,A ＝30°,B ＝105°,c ＝4,则△ABC 的外接圆的面积为（ ） A.4πB.8πC.16πD.32π【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解:B 由C ＝180°－(A ＋B )＝45°,得2R ＝sin cC＝R ＝圆面积S ＝πR 2＝8π,故选B.5.在△ABC 中,若a ＝C ＝13,S △ABC ＝则b ＝_________ . 【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解 由cos C ＝13,得sin C ,根据S ＝12ab sin C ＝得b ＝（三）课后作业基础型 自主突破1.已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆==︒=︒中，求和. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 解:由A a sin =B b sin =sin cC,180()105B A C =︒-+=︒,解得210=a ,2565+=b .2.在60,1,ABC b B c a ∆=︒=中，求.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 解:由B b sin =sin cC,得sin C ＝12,因为c ＜b ,所以C ＜B ,则C ＝30°,则A ＝90°,故△ABC 为直角三角形,所以222=+=c b a .3.45,2,,ABC c A a b B C ∆==︒=中，求和.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:sin ,sin sin sin a c c A C A C a =∴===Qsin ,60c A a c C <<∴=︒Q 或120︒.sin6075,1sin c BC B b C ∴=︒=︒===当时，,sin12015,1sin c B C B b C ∴=︒=︒===当时，，1,75,60b B C ∴==︒=︒或1,15,120b B C =︒=︒.4.ABC ∆中,222sin sin sin A B C =+,则ABC ∆为( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【知识点:正弦定理；数学思想:转化与化归】解:A 由正弦定理得a 2＝b 2＋c 2,则故△ABC 为直角三角形,故选A.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos A ＝b sin B ,则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A.－12B.12C.－1D.1【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:D 由正弦定理及a cos A ＝b sin B ,得sin A cos A ＝sin 2B .则sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.6.在△ABC 中,C ＝120°,c 2－c 2cos 2A ＝3,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:2 由c 2－c 2cos 2A ＝c 2sin 2A ＝3,故c sin A ,由正弦定理,a ＝sin sin c A C＝2. 能力型 师生共研7.在ABC ∆中,B A sin sin >是B A >的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:必要条件、充分条件与充要条件的判断,正弦定理】解:C 首先,由正弦定理得2R sin A ＞2R sin C ,故a ＞c ,由大边对大角,有A ＞C ；其次,由A ＞C ,得a ＞c ,即2R sin A ＞2R sin C ,故sin A ＞sin C .故选C.8.在锐角ABC ∆中,若2,1==b a ,则边c 的取值范围是（ ） A.)5,0( B.)5,1( C.)5,3(D.(1,3)【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 应用极端原理,当B 为直角时,c ＝ 3 ,当C 为直角时,c ＝5,因△ABC 为锐角三角形,故 3 ＜c ＜5,故选C.9.在ABC ∆中,已知︒===45,2,B b x a ,如果利用正弦定理解三角形时有两解,则x 的取值范围是（ ） A.222<<x B.222≤<xC.2>xD.2<x【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 因三角形有两解,则a sin B ＜b ＜a ,x ＜2＜x ,解得2＜x ＜故选A. 10.在ABC ∆中,求证:2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:二倍角的余弦,正弦定理；数学思想:转化与化归】解:sin sin a b A B =⇒sin sin A B a b =⇒22sin sin ()()A B a b= ⇒2222sin sin A B a b =⇒221cos 21cos 2A B a b --=⇒2222cos 2cos 211A B a b a b-=-. 探究型 多维突破11.已知ABC ∆,B ∠的平分线交AC 于点D ,求证:DC AD BC AB ::=.【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】证明:在ABD ∆内,利用正弦定理得:sin sin sin sin AB AD AB ADB ADB ABD AD ABD∠==∠∠∠即 在BCD ∆内,利用正弦定理得:sin ,.sin sin sin BC DC BC BDC BDC DBC DC DBC∠==∠∠∠即 ∵BD 是B 的平分线,∴sin sin ABD DBC ∠=∠.∵sin sin ADB BDC ∠=∠, ∴sin sin sin sin AB ADB BDC BC AD ABD DBC CD ∠∠===∠∠,∴AB AD BC DC =. 12.在ABC ∆中,已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=,求证:222,,c b a 成等差数列. 【知识点:两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理,等差数列；数学思想:转化与化归】证明:由已知得sin()sin()B C B C +-sin()sin()A B A B =+-,cos 2cos 2cos 2cos 2B C A B -=-,1cos 21cos 21cos 22222B A B ---⋅=+, ∴2222sin sin sin B AC =+,由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2,故a 2,b 2,c 2成等差数列.自助餐1.在ABC ∆中,45a b B ===︒,则A 为（ ）A.233ππ或 B.3πC.566ππ或 D.6π 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合、分类讨论】 解:A 由sin a A =sin b B,得sin A,则A ＝60°或120°,故选A. 2.在ABC ∆中,2sin b A =,则B =( )A.3πB.6πC.233ππ或 D.566ππ或【知识点:正弦定理】解:C 由sin aA =sin bB ,得sin B ,故选C.3.在ABC ∆中,已知2,60a b A ==︒,则符合条件的三角形的个数有（） A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:B 由a ＞b ,故A ＞B ,则三角形只有一解,故选B.4.在△ABC 中,cos A ＝－13,a ＝3,b ,则符合条件的三角形的个数有（）A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 由cos A ＜0,得A 为钝角,又a ＜b ,故此三角形无解,故选C.5.在ABC ∆中,45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于（ ）C.12【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 由三角形内角和为180°知A ＝75°,故B 角最小,从而b 为最小边,由正弦定理,b故选A. 6.在△ABC 中,a cos A ＝b cos B ,则△ABC 的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知识点:正弦定理】解:D 由a cos A ＝b cos B 及正弦定理,得sin A cos A ＝sin B cos B ,即sin2A ＝sin2B , 则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°,则A ＝B 或A ＋B ＝90°,△ABC 为等腰或直角三角形,故选D.7.在△ABC 中,若b ＝10,B ＝π4,tan A ＝2,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:410 由tan A ＝sin A cos A ＝2,得sin A ＝255,又∵b ＝10,B ＝π4,根据正弦定理,得a ＝b sin A sin B ＝10×25522＝410. 8.已知函数()sin()6f x x π=+,ABC △三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f B C +=,a ＝3,b ＝1,则ABC △的面积S ＝__________.【知识点:正弦定理】解:34 由()1f B C +=,得()sin 1B C π++=,又()7,666B C πππ++∈,所以62B C ππ++=, 得23A π=,由正弦定理sin sin B A b a =,得1sin 2B =,则6B π=,6C π=,则面积1s i n 2S ab C =9.如图所示,扇形AOB 中,∠AOB ＝60°,OB ＝1,在弧AB 上有一动点P ,过P 作平行于OB 的直线和OA 交于点C ,则△POC 面积的最大值为______________.【知识点:正弦定理,解三角形,三角恒等变换；数学思想:数形结合】解:312 设∠AOP ＝θ,∵CP ∥OB ,∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ,∴∠OCP ＝120°.在△POC 中,由正弦定理,得1sin120°＝CP sin θ,有CP ＝23sin θ. 又OC sin(60°－θ)＝1sin120°,有OC ＝23sin(60°－θ). 因此△POC 的面积为S ＝12CP ·OC sin120°＝12·23sin θ·23sin(60°－θ)×32＝13sin θsin(60°－θ)＝13sin θ(32cos θ－12sin θ)＝123[cos(2θ－60°)－12],θ∈(0°,60°). 故当θ＝30°时,S 取得最大值为312.10.已知在ABC ∆中,452A a c ∠=︒==，，,解此三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论】解:由sin a A ＝sin c C,得sin C C ＝60°或120°,sin6075,1sin c B C B b C =︒=︒===+当时，,sin12015,1sin c B C B b C =︒=︒===当时，，所以16075b C B =+=︒=︒，，或112015b C B =︒=︒，，. 11.在ABC ∆中,如果lg lg lgsin a c B -==-且B 为锐角,试判定三角形的形状.【知识点:对数的运算性质,正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:由条件有sin B 及c ,因为B 为锐角,则B ＝45°,A ＝135°－C ,由c ,得sin C A －C )＝cos C ＋sin C ,则cos C ＝0,C ＝90°,A ＝45°,故△ABC 为等腰直角三角形.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若b ＝3,求△ABC 的周长l 的最大值.【知识点:正弦定理,三角恒等变换,正弦函数的值域；数学思想:转化与化归】解:(1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1,得2cos A cos C (sin A sin C cos A cos C －1)＝1.∴2(sin A sin C －cos A cos C )＝1,∴cos(A ＋C )＝－12,∴cos B ＝12.又0＜B ＜π,∴B ＝π3.(2)由正弦定理,得2R ＝b sin B ＝2,则a ＝2R sin A ＝2sin A ,c ＝2R sin C ＝2sin(2π3－A ),∴l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin(2π3－A )＋3＝2sin A ＋3cos A ＋sin A ＋ 3＝3sin A ＋3cos A ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.∵A ∈[0,2π3],且A ≠π6,A ≠π2,∴当A ＝π3时,l max ＝3 3.故△ABC 的周长的最大值为3 3.。
新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理》优质课教案_15
【名师点拨】(1)已知两角一边或已知两边及一边的对角，解三角形时，可利用正弦定理求解，解题时要根据图形或利用“大角对大边”判断解的个数．
(2)若题目中给出关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式时可通过正弦定理进行边角互化．
【名师点拨】(1)在解三角形问题时，若已知三角形的三边或已知两边及其夹角时用余弦定理，当题目中已知的等式含有余弦定理的形式时也使用余弦定理．
2.0
对本堂课的重点、难点掌握如何
1.5
对本堂课兴趣浓厚，在学习中感到快乐
1.5
我能认真听老师讲课，听同学发言
1.5
自由表达，遇到我会回答的问题都主动举手了
1.5
我能在不懂时向别人请教
1.5
我已养成良好的完成作业的习惯
1.5
我能得到老师的表扬、同学的赞赏
1.5
独立思考，并能有条理地表达自己不同的看法。
(2)余弦定理中的公式及变形式较多，因此在做题时要结合已知条件，选取合适的公式，以防止运算量过大或计算失误．
三角形面积公式与向量的综合应用
正余弦定理的实际应用
正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型为选择题、填空题和解答题，主要利用正、余弦定理及三角形的面积公式，与三角恒等变换相结合解三角形，其中，以实际问题为背景，结合向量或几何知识构建综合性试题也是一个可能发展的方向，常见的题型有：求距离、求高度、求角度等.
教学设计方案
课题名称：正余弦定理复习课(第一课时）
学科年级：
高一数学
教材版本：
新人教A版必修5§1.1
一、教学内容分析
二、教学目标
三、学习者特征分析
四、教学过程
复习回顾理主干
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()
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1.1 正弦定理和余弦定理【知识要点】1. 正弦定理：在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 是三 角形ABC 的外接圆的半径，则有===2sin sin sin a b cR A B C。
文字语言表述为：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
2.余弦定理：在三角形ABC 中，有：222222222=+-2cos ;=a +-2cos ;=+-2cos a b c bc A b c ac B c a b ab C ；变形后：222222222+-+-+-cos =,cos =,cos =222b c a a c b a b c A B C bc ac ab。
3. 解三角形的基本类型及解法a. 一般的，把三角形的三个内角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角 形的元素。
已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
b. 解三角形有一下几种类型：（1）已知一边和两角 （2）两边和夹角 （3）三边 （4）两边和其中一边对角4. 判断三角形的形状常见结论：（1）若222+=a b c ，则C=90︒（2）若222+a b c >，则C <90︒ （3）若222+a b c <，则C 90>︒ （4）sin 2sin 2,+=2A B π=若则A=B,或A B5. 三角形的综合问题【知识应用】1. 研究三角形问题的一般有两种思路：一是边化角，二是角化边。
在解题时要结合题设，发现题设结构，再结合正弦定理解决。
【J 】例1 （1）三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
若c=2,6,120b B ==︒，则a=______。
（2）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3)cos cos ,cos b c A a C A -=则=________。
【L 】例2 （1）在三角形ABC 中，已知45,30,c 10A B =︒=︒=，求b（2）在三角形ABC 中，已知45,2,2A a b =︒==，求B【C 】例3 （1）在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=2b ，3A C π-=，求sin B 的值。
（2）三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果2()a b b c =+， 求证：A=2B 。
2. a. 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一。
b. 余弦定理也为求三角形的有关量（如面积、外接圆半径）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛。
【J 】例1 在三角形ABC 中，::2:6:(31)a b c =+，求三角形各内角度数。
【L 】例2 （1）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若222()a c b +-tanB =3ac,则角B 的值为______。
（2）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_______。
【C 】例3 （1）在三角形ABC 中，若222()sin :sin :sin 3:2:4,cos a c b A B C C +-=则=___ （2）在三角形ABC 中，角A=60,16,2203AC ︒=面积为，BC 的长度为_______。
3.已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 （a 、B 、C ）正弦定理 有A+B+C=180︒，求角A ；由正弦定理求出b 与c ；在有 解时只有一解两边和夹角 （a 、b 、C ）余弦定理 正弦定理由余弦定理求出第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180︒求出另一角；在有解时只有一解三边（a 、b 、c ）余弦定理 有余弦定理求出角A ，B ；在利用A+B+C=180︒求出C ；在有解时只有一解两边和其中一边的对角 （a 、b 、A ）正弦定理由正弦定理求出角B ；有A+B+C=180︒求出角C ；再利用正弦定理求出第三边c ；可有一解、两解或无解熟练掌握下列知识对解三角形有帮助：1sin()sin ,cos()cos ,tan()tan ,cossin 22C A BA B C A B C A B C ++=+=-+=-=（） （2）在三角形ABC 中，熟记并会证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=∙∙（3）等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角也对大边。
（4）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
【J 】例1 在三角形ABC 中，已知26,623,43a b c ==+=，求角A ，B ，C【L 】例2 （1）在三角形ABC 中，已知60B =︒，最大边与最小边的比为312+，则三角形的最大角为_______。
（2）在三角形ABC 中，60,1,3,sin sin sin a b cA b AB C++=︒=++其面积为则=______。
【C 】例3 1. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =- （1）求sinC 的值 （2）当2,2sin sin a A C ==时，求b 及c 的长2. 在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3cos ,215B AB BC →→=∙=-且（1）求三角形ABC 的面积 （2）若a=7，求C4. a. 判断三角形的形状特征，必须从研究三角形与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，暴露出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断。
b. 对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般的，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系。
在利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形进行转化、化简，从而得出结论。
c. 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合使用；另一个是角，走的是三角变形途径，通常运用正弦定理。
【J 】例1 在三角形ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则三角形ABC 的形状是_______。
【L 】例2在三角形ABC 中，若2222b sin sin 2cos cos Cc B bc B C +=，判断三角形形状【C 】例3 在三角形ABC 中，()()3,2cos sin sin a b c a b c ab A B C +++-==，判断三角形ABC 的形状。
（分别用边和角的关系来判断）5. a. 利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时，要注意一下关系式的运用： sin()sin ;cos()cos A B C A B C +=+=-；sincos ;cos sin 2222A B C A B C++== b. 在解决三角形的综合问题时，要将正弦定理、余弦定理与三角恒等变换，代数恒等变换等变形方法结合起来，进行转化，化简，从而得到结论。
【J 】例1 在三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 为80︒， 2()a b b c =+，求角C 的度数。
【L 】例2 在三角形ABC 中，22,,,tan tan 6,4c a b C A B π=>=∙=且有求a 、b 及此时三角形的面积。
【L 】例3 在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，证明：222sin()sin a b A B c C--=【C 】例4 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3c o s -b c o s A =5a B c ， （1）求tan cot A B 的值 （2）求tan()A B -的最大值总结：1. 理解并掌握正弦定理的内容，能运用正弦定理解答两类三角形问题。
2. 理解并掌握余弦定理的内容，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题。
3. 通过实例，体会正弦定理、余弦定理的内容，使用正弦定理、余弦定理解三角形的过程和方法。
练习题：1. 已知三角形ABC 中，1,3,30a b A ===︒，则B=______。
2. 在三角形ABC 中，面积S=22(),cos a b c A --则=______。
3. 在三角形ABC 中，若32,30,2b ac B ABC =+=︒三角形的面积为,则b=-_______。
4. 三角形的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m=（c-a,b-a ）,n=(a+b,c), 若m//n （1）求角B 的大小 （2）求sinA+sinC 的范围5. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边所对边分别为a 、b 、c,且A=60︒，c=3b ，求 （1）ac的值 （2）cot cot B C +的值。