中国矿业大学 概率论复习--典型考题汇总精品PPT课件
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概率论总复习ppt课件
解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
《概率论与数理统计》-课件 概率论的基本概念
解 以C记事件“母亲患病”,以N1记事件“第1个 孩子未患病”,以N 2记事件“第2个孩子未患病”.
已知 P(C ) 0.5, P( N1 C ) P( N2 C ) 0.5,
P(N1N2 C) 0.25, P(N1 C) 1, P(N2 C) 1. (1) P(N1) P(N1 C)P(C) P(N1 C)P(C)
6 3 3. 100 100 100
故 注意
p 17 10 3 1 12 . 100 2 25
只有当 B A 时才有 P( A B) P( A) P(B).
例7 设盒 I 有 6 只红球, 4 只白球; 盒 II 有7只红 球, 3只白球. 自盒 I 中随机地取一只球放入盒 II, 接着在盒 II 中随机地取一只球放入盒 I. (1) 然后在盒 I 中随机地取一只球 , 求取到的是红 球的概率. (2) 求盒 I 中仍有 6 只红球 4 只白球的概率.
以 B 记事件“至少有一个配对” , 则 B A1 A2 An .
(1) 由和事件概率公式
P(B) P( A1 A2 An )
n
n
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ),
n n 1 n(n 2)!, 1 1 2
n n 1 n
(n 2)!
于是
P(B) 1
1 2 nn
.
例4 将 6 只球随机地放入到3 只盒子中去, 求每 只盒子都有球的概率. 解 以 A 记事件 “每只盒子都有球” . A 发生分为三种情况 : (i) 3 只盒子装球数分别为 4, 1, 1, 所含的样本点数为
已知 P(C ) 0.5, P( N1 C ) P( N2 C ) 0.5,
P(N1N2 C) 0.25, P(N1 C) 1, P(N2 C) 1. (1) P(N1) P(N1 C)P(C) P(N1 C)P(C)
6 3 3. 100 100 100
故 注意
p 17 10 3 1 12 . 100 2 25
只有当 B A 时才有 P( A B) P( A) P(B).
例7 设盒 I 有 6 只红球, 4 只白球; 盒 II 有7只红 球, 3只白球. 自盒 I 中随机地取一只球放入盒 II, 接着在盒 II 中随机地取一只球放入盒 I. (1) 然后在盒 I 中随机地取一只球 , 求取到的是红 球的概率. (2) 求盒 I 中仍有 6 只红球 4 只白球的概率.
以 B 记事件“至少有一个配对” , 则 B A1 A2 An .
(1) 由和事件概率公式
P(B) P( A1 A2 An )
n
n
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ),
n n 1 n(n 2)!, 1 1 2
n n 1 n
(n 2)!
于是
P(B) 1
1 2 nn
.
例4 将 6 只球随机地放入到3 只盒子中去, 求每 只盒子都有球的概率. 解 以 A 记事件 “每只盒子都有球” . A 发生分为三种情况 : (i) 3 只盒子装球数分别为 4, 1, 1, 所含的样本点数为
概率论与数理统计期末复习PPT课件
P(B | A) P(B | A); (3)当0 P( A) 1, 0 P(B) 1时，
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
第1页/共50页
2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
第2页/共50页
3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
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2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
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3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计116页PPT
1
1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
2
2/4
3
3/4
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64 1/64 9/64 27/64 27/64
Ak
1 n
n i1
Xik
P k
证 X1,X2, ,Xn 独立、 同分布
X1k,X2 k, ,Xn k 独立、 同分布
E (X i k ) E (X k ) k , i 1 ,2 , ,n
辛钦大数定律
Ak
1 n
n i1
Xik
Pk
矩估计的基本思想：令
Akk k1,2,
⑴若X为连续型随机变量，设概率密度为
3 12
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2
试求θ的矩估计值。
解
n 16,
A1x11611
27
4
1 E ( X ) 1 2 3 ( 1 2 ) 3 3
令 A1 1,
3 3 7
4
θ的矩估计值为 ˆ 5 12
称为θ的矩估计量。
例1 设总体X 的概率密度为
(1)x, 0x1 其中 1
f(x)
0,
概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第二章
n 1000 2000 3000 4000 5000 pn 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993 买3000张彩票中奖率已达到95%，再多买2000张 中奖的概率仅增加了4.3%！
例5 80台同类型设备，各台工作相互独立，发生故
障的概率 p 0.01 ，有两种配备维修工人的方法：①
3 k1 2 5 5
,
k =1，2，3，…灯，每盏信号灯以概率
允许汽车通过,变量
表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,
求 的分布律。
解 由题意可知
，则 的分布律为
将
带入可得 的分布律为
二、常用的离散型随机变量及其分布（重点）
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量 的分布律为
证明 由
得
对于任意固定的 故有
Ⅲ.泊松分布
若随机变量 X 的分布律
P{X k} k e
k!
k 0,1, 2,
其中 0是常数 , 称 X 服从参数为 的泊松分布,
记为 X ~ () （或X ~ p()).
注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当
n 1时，即为（0—1）分布；当 n很大，p很小 时，
X 32 2 2 1 1 1 0
X X (e) e出现正面的个数 RX {0,1,2,3}
A1 {X 1} A2 {X X 1}
定义：设E是随机试验，它的样本空间为 X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数， 称 X 为随机变量。
注：如果e本身是数，则令 X = X(e) = e，那么X就
0
P(X =k)≥0,
P(X k) 1
即
a≥0 ,
k
k
a
中国矿业大学《高等数学》课件-第三章
由罗尔定理知至少存在一点
即定理结论成立 .
证毕
A
B
C
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
推论: 若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
格朗日中值公式 , 得
在 I 上为常数 .
令
则
推论2:
若函数
在区间(a , b)内每一点 x 处都有
则
和
最多相差一个常数,
即
(其中C为常数).
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
三、泰勒公式的应用
应用
目的－用多项式近似表示函数.
理论分析
近似计算
泰勒公式
第三章
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
然后使用洛必达法则.
8. 洛必达法则最好能与求极限的其他方法结合使用.
思考与练习
1. 设
是未定式极限 , 如果
是否
的极限也不存在 ? 举例说明 .
极限不存在 ,
原式
分析:
说明3)
分析:
3.
原式
洛
则
4. 求
解: 令
原式
洛
洛
求下列极限 :
解:
5.
洛
则
原式 =
解: 令
(用洛必达法则)
(继续用洛必达法则)
类似的例子如,
3) 若
例如,
极限不存在
不能用洛必达法则 !
中国矿业大学 概率论与数理统计PPT课件
11
第11页/共93页
③事件的积
且
A与B的积事件
表示事件A和B同时发生， 即： 当且仅当A与B同时发生时， 发生。通常简记为AB。
A B
12
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④事件的差 但
A与B的差事件
A-B 表示事件A发生但事件B不发生
⑤互斥事件(互不相容) ，则称A,B为互不相容事件
即：A、B不能同时发生。
一门数学分支。
3
第3页/共93页
第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算 二、频率与概率 三、等可能概型 四、条件概率 五、事件的相互独立性
4
第4页/共93页
第一章
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验 二、随机事件与样本空间 三、事件间的关系及其运算（重点）
5
第5页/共93页
一、随机试验
例：E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。 E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。
2. 性质： 0≤
≤1
20
20
第20页/共93页
30 若
两两互不相容
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过 大量掷硬币的试验，所得结果如下：
试验者
次数 正面的次数 正面的频率
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；
②随机现象： 在一定条件下，可能出现这样的结果 也可能出现那样的结果；
例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上； （结果不可事先预言）
[理学]概率论与数理统计课件中国矿业大学第六章
![[理学]概率论与数理统计课件中国矿业大学第六章](https://img.taocdn.com/s3/m/f51aca4b02768e9951e7384a.png)
有限总体及其分布来描述。 例如，研究某批灯泡的寿命时，这批灯泡中每个 灯泡的寿命是我们所关心的指标.
此总体就可以用随机变量X 或其分布函数 F (x)表示.
F(x) P{X x}
5
二 、样本
样本：在总体中抽取的部分个体。( X1, X 2, , X n )
第六章
一 、统计量的定义及常用的统计量 二 、几种常用的分布 三 、正态总体统计量的分布
11
一、统计量的定义及常用的统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进
行“加工”这，就要构造一些合适的依赖于样本 的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信 息集中起来。
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量.
12
定义1 设 X1, X 2,, X n 是来自总体X 的一个样本，
g (X1, X 2,, X n ) 为一实值连续函数，其不包含任何
未知参数，则称 g (X1, X 2,, X n ) 为一个统计量。 g (x1, x2,, xn ) 为 g (X1, X 2,, X n ) 的观测值。 注：g (X1, X 2,, X n ) 仍为随机变量。
i 1
n
n
ki
(
e )
e n
ki
i 1
n (1)
i1 ki !
i1 ki !
n
ki
e n i1
n
ki!
i 1
8
例2 设总体X ~ N (, 2 ),求样本 X1, X2 ,, Xn 的联合密度函数。
解: 由已知,总体X的密度函数为
f (x)
样本容量：样本中所含个体的数目n 。
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
此总体就可以用随机变量X 或其分布函数 F (x)表示.
F(x) P{X x}
5
二 、样本
样本：在总体中抽取的部分个体。( X1, X 2, , X n )
第六章
一 、统计量的定义及常用的统计量 二 、几种常用的分布 三 、正态总体统计量的分布
11
一、统计量的定义及常用的统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进
行“加工”这，就要构造一些合适的依赖于样本 的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信 息集中起来。
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量.
12
定义1 设 X1, X 2,, X n 是来自总体X 的一个样本，
g (X1, X 2,, X n ) 为一实值连续函数，其不包含任何
未知参数，则称 g (X1, X 2,, X n ) 为一个统计量。 g (x1, x2,, xn ) 为 g (X1, X 2,, X n ) 的观测值。 注：g (X1, X 2,, X n ) 仍为随机变量。
i 1
n
n
ki
(
e )
e n
ki
i 1
n (1)
i1 ki !
i1 ki !
n
ki
e n i1
n
ki!
i 1
8
例2 设总体X ~ N (, 2 ),求样本 X1, X2 ,, Xn 的联合密度函数。
解: 由已知,总体X的密度函数为
f (x)
样本容量：样本中所含个体的数目n 。
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》-课件 频率与概率 ,等可能概型(古典概型)
于是 P(B A) P(B) P( A).
又因 P(B A) 0, 故 P( A) P(B).
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. 证明 A S P( A) P(S) 1,
故 P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
2. 概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
25
处波动较小
0.50
247 0.494
2 0.2
24 0.48 251 0.502
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
0.8
27 0.54 258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
P( A)
k n
A 包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
3.计算公式推导
设试验 E 的样本空间为S={e1,e2,...,en}，由于 在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1 P(S)
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计PPT文档116页
中国矿业大学周圣武概率论与数理统 计
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
谢谢！
116
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人，、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
谢谢！
116
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人，、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第五章 2012
n
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
3
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
4
定义1 设随机变量序列 X1, X 2, , X n ，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
lim
n
P{|
X
n
a
|
}
1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 X n Pa .
5
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n a 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n a 的发生，而只是说他发生的
可能性很小. 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛
P{
X
7000
200} 1
2100 2002
0.95
200
11
例2 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式
估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 . 解 设每毫升白细胞数为X 依题意，EX =7300,DX =7002 所求为
又由于各次试验相互独立，所以
X1, X2,
, X n 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{| nA பைடு நூலகம் p | } 1
n
n
18
大数定律的本质特征是：大量独立随机变量在 变化过程中，它们的算术平均值，在n充分大时将 依概率收敛于一个确定的常数。
其中切比雪夫大数定律说明了平均值具有稳 定性；伯努利大数定律以严格的数学形式表达了频 率稳定于概率的事实；而辛钦大数定律则说明在实 际问题中“平均数法则”的合理性。
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
3
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
4
定义1 设随机变量序列 X1, X 2, , X n ，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
lim
n
P{|
X
n
a
|
}
1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 X n Pa .
5
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n a 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n a 的发生，而只是说他发生的
可能性很小. 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛
P{
X
7000
200} 1
2100 2002
0.95
200
11
例2 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式
估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 . 解 设每毫升白细胞数为X 依题意，EX =7300,DX =7002 所求为
又由于各次试验相互独立，所以
X1, X2,
, X n 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{| nA பைடு நூலகம் p | } 1
n
n
18
大数定律的本质特征是：大量独立随机变量在 变化过程中，它们的算术平均值，在n充分大时将 依概率收敛于一个确定的常数。
其中切比雪夫大数定律说明了平均值具有稳 定性；伯努利大数定律以严格的数学形式表达了频 率稳定于概率的事实；而辛钦大数定律则说明在实 际问题中“平均数法则”的合理性。
第概率论与数理统计课件(中国矿业大学)八章 2012
H 0 : 0.5
H1 : 0.5
x 0 统计量： Z n
x 0 z . 拒绝域：| Z | n 2
1 代入计算，x (0.497 0.512) 0.511 9 x 0 Z Z 0.025 1.96, 2.2 Z 2 1.96 2 n
H1 : 40
拒绝域为 z z x -0 3.125 计算 z / n
查表 z z0.05 1.645
z z
所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。
⒉ σ2未知，检验μ （t 检验法）
1 n 可用样本方差 S 2 ( X k X ) 2 代替σ2 n 1 k 1
H 0 : 0
H1 : 0
——U 检验
x 0 统计量：Z n
x 0 z . 拒绝域： | Z | n 2
例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖 当机器正常时, 重是一个随机变量X, 且 其均值为μ=0.5公斤, 标准差σ=0.015公斤. 某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所 包装的糖9袋,称得净重为(公斤):（=0.05） 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 问机器是否正常? 解：先提出假设 0.512
2
,
2
未知，
从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分，⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为
全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H 0 : 0 70 H1 : 70
中国矿业大学北京《概率论与数理统计》2019-2020学年第一学期期末试卷A
第1页(共3页)中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》试卷(A 卷)得分：注意：可能用到的上分位点0.0250.051.96, 1.65u u ==一、填空题（每空3分，共30分）1.将3个小球随机地放入4个大杯子中，则3个球恰好在同一个杯子中的概率为.2.设()0.4,()0.3P B P A B =-=，则()P A B =.3.设随机变量(2,9)X N ，则{58}P X ≤≤=.4.随机变量X 服从参数为1泊松分布，Y 并服从（0,1）上的均匀分布，且X 、Y 相互独立，则(2)E X Y -=，(2)D X Y -=。
5.设总体(,0.09)X N μ ，129,,,X X X 是来自X 的样本，已知 4.2x =，则μ的置信度为95%的置信区间为直接使用相应的上分位点表示）.6.设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，μ为总体均值，令1ˆniii c Xμ==∑，其中12,,,n c c c 为非负常数.若ˆμ为μ的一个无偏估计量，则1ni i c ==∑.7.设X 和Y 是两个连续型随机变量，且3(0,0),7P X Y ≥≥=4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=，则(0|0)P X Y <≥=，(max(,)0)P X Y ≤=。
8.设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从分布。
二、（12分）某产品只由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的5%，80%，15%，其次品率分别为0.03，0.01，0.02，求（1）从这批产品中任取一件是次品的概率；（2）已知从这批产品中随机取出的一件为次品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大？题号一二三四五六七八得分阅卷人…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：姓名：学号：……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…第2页(共3页)三、（12分）已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)01()0cx x x f x -<<⎧=⎨⎩其它，（1）确定常数c ；（2）求X 的分布函数()F x ；（3）求12P X ⎧⎫<⎨⎩⎭；（4）设21Y X =+，求Y 的概率密度函数.四、（12分）设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为求（1）(,)X Y 的边缘分布律{}i P X x =，{}j P Y y =（直接填入上表）；（2）求{11}P X Y =-=；（3）Z XY =的分布律.（请将后两问的解答写在右上方的空白处）五、（12分）设随机变量),(Y X 的概率密度为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,（1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否独立；（2）求(,)COV X Y .…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：姓名：学号：……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…第3页(共3页)六、（8分）一个工厂生产一个系统由100个独立起作用的部件构成，在该产品运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为使整个产品起作用，至少要有85个部件正常工作，试用中心极限定理估算整个系统起作用的概率。
概率论与数理统计第一二三章复习PPT
当 X k (0 k n) 时，得X的分布律
X0
1
k
n
pk
qn
C
1 n
pq
n
1
C
k n
pkqnk
pn
E:将一枚均匀骰子抛掷3次. 令X 表示3次中出现“4”点的次数
X ~ B(3,1/6)，
X的分布律是：
P{
X
k}
C3k
1 6
k
5 6
3k
,
k
0,1,
2,3.
Y b(3, p)
p P{X 1}
连续型随机变量的边缘分布
设连续型随机变量 ( X,Y )的概率密度为 f ( x, y )， 则 ( X,Y )的联合分布函数为
F x, y P{ X x,Y y} y x f u,v dudv
则 ( X,Y )关于 Y 的边缘分布函数为
FY y PY y PX ,Y y F , y
1
2 f (x)dx
1 2
2xdx
1
2
0
4
P{Y
2}
C32
(
1 4
)2
(
3 4
)
9 64
泊松分布
设随机变量 X所有可能的取值为一切 自然数 0,1,2，， 而取各个值的概率为
P{ X k } k e , k 0,1,2, ,
k!
其中 0是常数 .则称 X 服从参数为 的泊松分布， 记为 X ~ π( ), 或X ~ P( ).
= f ( x, y)dxdy =2 e(2x y)dxdy
D
O
x
G
G
D
= 2
+
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2010.07 三 P33
参考答案与评分标准
2011.01 三 P35
答案与评分标准
三、中心极限定理
2011.07 独立同分布
答案与评分标准
2011.01 （二项分布相关的中心极限定理）
四、极大似然估计、矩估计
2011.07
答案与评分标准
2009.01 P28（六）较难
五、假设检验与区间估计
① z 0 时 FZ (z) 0
y x y
② 0 z 1时
xy z
FZ (z) 3xdxdy
G
G x
z1
z
x
1
x
dx 3xdy dx 3xdy
0
0
z
xz
3 z 1 z3 22
③ z 1 时 FZ (z) 1
所以
0,
FZ
(
z)
3 2
z
1 2
z3,
1,
z 0, 0 z 1,
重点1：单总体均值双边检验（方差已知、未知）
2013.01 某车间生产铜丝铜，丝的主要质量指标是折断力 X 的大小。由资料可认为 X ~ N (570,82 ) 今换了一批原料， 从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，现抽出10 个样品，测得其折断力（斤）为
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
z 1.
故 Z = X -Y 的概率密度为
f
Z
(
z)
3 2
(1
z
2
),
0 z 1,
0,
others.
作业
• P88 4 • 十年考题： • 2007年7月第三题
2e(x2 y) , f (x, y)
0, 1)求P{X+Y<1}
x 0, y 0 else
2)求Z=X+2Y的概率密度
检验其折断力大小有无差别。 （ =0.05）
⑵ 求μ的置信水平为0.95的置信区间。
解 此问题就是已知方差 2 82
检验假设 H0 : 570 H1 : 570
检验统计量 拒绝域为
X -0 ~ N (0,1) / n
| z | | x -0 | z / 2
由已知可得 x 575.2 , n 10 计算 | z | | x -0 | 5.2 10 2.055
2013.01 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
f
(x,
y)
3x,
0,
0 x 1,0 y x, others.
试求随机变量 Z X Y 的概率密度。
解 FZ (z) P{X Y z}
f (x, y)dxdy x yz
结合概率密度的非零区域可得
y x y
xy z
G x
z1
⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
(x
s n
t
/
2
(n
1))
(63.5
15 36
t0.025
(35))
(58.425, 68.575)
重点2、方差与均值的检验
• 2010.01 P32
重点3、均值的单边检验 重点4、方差的单边检验
例5 某零件的长度 X ~ N (, 2 ), , 2未知，实测
/ n 8
查表 z 2 1.96 | z | z 2 1.96 所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 认为折断力大小有差别。
例6 某次考试的考生成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X ~ N (, 2 ), , 2未知，
从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分，⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
33
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
其中10个零件的长度量为：8.1，7.9，8.2，8.0，
8.2，7.8，7.9，8.2，8.1，8.0，问是否有理由认
为零件的长度大于8.0？ （=0.05)
解 先提出假设 H0 : 0 8.0 H1 : 8.0
拒绝域为
t
x -0
s/ n
t (n 1)
计算 t 1.0284
查表得 t (n 1) t0.05 (9) 1.8331 所以 t t0.05 (9)
概率论与数理统计 总复习---典型考题
2013.06.27
一、全概率公式与贝叶斯公式
2010.07二P33（典型题、简单）
答案及评分标准
2011.01 P34（非典型题、难度中等）
答案及评分标准
2012.01（难度中等—结合其它公式）
答案及评分标准
二、联合概率密度、边缘概率密度、 独立性判别
解 提出假设 H0： 2 80；H1： 2 80
2 (n 1)s2 ~ 2 (n 1)
2 0
拒绝域为
2
(n 1)s2
2 0
2 (n 1)
其中
2
9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
六、其它
• 2009.05 P30 四 • 2007.07 P22 三 • 2013.01 第 五题
全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H0 : 0 70 H1 : 70
拒绝域为
|t
|
| x -0
s/ n
|
t / 2 (n
1)
计算 | t | 2.6
2010年7月P33
t0.025 (35) 2.0301 | t | 2.6
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。
故没有落在拒绝域之内，拒绝 H1 ，接受H0 不能认为零件的标准长度大于8.0。
例7 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化 时间为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71. 问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等
于80 ? (=0.05) , 熔化时间 X ~ N (, 2 )
参考答案与评分标准
2011.01 三 P35
答案与评分标准
三、中心极限定理
2011.07 独立同分布
答案与评分标准
2011.01 （二项分布相关的中心极限定理）
四、极大似然估计、矩估计
2011.07
答案与评分标准
2009.01 P28（六）较难
五、假设检验与区间估计
① z 0 时 FZ (z) 0
y x y
② 0 z 1时
xy z
FZ (z) 3xdxdy
G
G x
z1
z
x
1
x
dx 3xdy dx 3xdy
0
0
z
xz
3 z 1 z3 22
③ z 1 时 FZ (z) 1
所以
0,
FZ
(
z)
3 2
z
1 2
z3,
1,
z 0, 0 z 1,
重点1：单总体均值双边检验（方差已知、未知）
2013.01 某车间生产铜丝铜，丝的主要质量指标是折断力 X 的大小。由资料可认为 X ~ N (570,82 ) 今换了一批原料， 从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，现抽出10 个样品，测得其折断力（斤）为
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
z 1.
故 Z = X -Y 的概率密度为
f
Z
(
z)
3 2
(1
z
2
),
0 z 1,
0,
others.
作业
• P88 4 • 十年考题： • 2007年7月第三题
2e(x2 y) , f (x, y)
0, 1)求P{X+Y<1}
x 0, y 0 else
2)求Z=X+2Y的概率密度
检验其折断力大小有无差别。 （ =0.05）
⑵ 求μ的置信水平为0.95的置信区间。
解 此问题就是已知方差 2 82
检验假设 H0 : 570 H1 : 570
检验统计量 拒绝域为
X -0 ~ N (0,1) / n
| z | | x -0 | z / 2
由已知可得 x 575.2 , n 10 计算 | z | | x -0 | 5.2 10 2.055
2013.01 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
f
(x,
y)
3x,
0,
0 x 1,0 y x, others.
试求随机变量 Z X Y 的概率密度。
解 FZ (z) P{X Y z}
f (x, y)dxdy x yz
结合概率密度的非零区域可得
y x y
xy z
G x
z1
⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
(x
s n
t
/
2
(n
1))
(63.5
15 36
t0.025
(35))
(58.425, 68.575)
重点2、方差与均值的检验
• 2010.01 P32
重点3、均值的单边检验 重点4、方差的单边检验
例5 某零件的长度 X ~ N (, 2 ), , 2未知，实测
/ n 8
查表 z 2 1.96 | z | z 2 1.96 所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 认为折断力大小有差别。
例6 某次考试的考生成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X ~ N (, 2 ), , 2未知，
从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分，⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
33
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
其中10个零件的长度量为：8.1，7.9，8.2，8.0，
8.2，7.8，7.9，8.2，8.1，8.0，问是否有理由认
为零件的长度大于8.0？ （=0.05)
解 先提出假设 H0 : 0 8.0 H1 : 8.0
拒绝域为
t
x -0
s/ n
t (n 1)
计算 t 1.0284
查表得 t (n 1) t0.05 (9) 1.8331 所以 t t0.05 (9)
概率论与数理统计 总复习---典型考题
2013.06.27
一、全概率公式与贝叶斯公式
2010.07二P33（典型题、简单）
答案及评分标准
2011.01 P34（非典型题、难度中等）
答案及评分标准
2012.01（难度中等—结合其它公式）
答案及评分标准
二、联合概率密度、边缘概率密度、 独立性判别
解 提出假设 H0： 2 80；H1： 2 80
2 (n 1)s2 ~ 2 (n 1)
2 0
拒绝域为
2
(n 1)s2
2 0
2 (n 1)
其中
2
9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
六、其它
• 2009.05 P30 四 • 2007.07 P22 三 • 2013.01 第 五题
全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H0 : 0 70 H1 : 70
拒绝域为
|t
|
| x -0
s/ n
|
t / 2 (n
1)
计算 | t | 2.6
2010年7月P33
t0.025 (35) 2.0301 | t | 2.6
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。
故没有落在拒绝域之内，拒绝 H1 ，接受H0 不能认为零件的标准长度大于8.0。
例7 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化 时间为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71. 问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等
于80 ? (=0.05) , 熔化时间 X ~ N (, 2 )