2019最新第二二重积分的计算法数学
第2节 二重积分的计算法
23
例 2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D : 0 a,0 2 .
ex2 y2dxdy 2 d ae2 d
0
0
D
(1 ea2 ).
24
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
y x 所围的闭区D 域.
y
解法1.
将D看作X–型区域,
则D
:
1
y
x
y
yx
2x
2
1 x 2 1
I dx x ydy
11
1
1 2
x
y2
x dx
1
0 1x2 x
解法2.
2
2
1 2
x3
1
将D看作Y–型区域,
2
2
1x dx9
28则Fra bibliotekD:
y 1
x y
2 2
2
I dy x ydx
1 2
x2y
2d
y
y
2y
1 2
y3
1y
1
1
dy9 8
8
例 2
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
9
例3. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x2
I d x 2 f ( x, y)d y d x
二重积分的简单计算
探秘二重积分的计算方法
二重积分是高等数学中的一个重要概念，用于求解平面上某个区域内的面积，也被称为二重积分面积公式。
下面，我们将探讨二重积分的简单计算方法。
首先，二重积分的计算需要先确定被积函数和积分区域。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，其在直角坐标系下的边界可以用以下公式表示：
∬f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dA
接下来，我们需要根据积分区域D的形状来确定积分的范围。
当积分区域为直角坐标系下有界区域时，我们可以采用以下方法求解：
1. 积分区域为矩形时，通常采用先对x积分后对y积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA = ∫ab∫cd f(x,y)dxdy
其中，积分范围为a≤x≤b，c≤y≤d。
2. 积分区域为三角形时，可采用先对y积分后对x积分的方法，即：
∫∫f(x,y)dA=∫cd∫h1(x)h2(x) f(x,y)dydx
其中，积分范围为c≤y≤d，h1(x)≤y≤h2(x)。
3. 积分区域为梯形时，可采用换元法将积分区域转化为矩形的形式，即：
∫∫f(x,y)dA=∫ab∫g1(y)g2(y) f(x,y)dxdy
其中，积分范围为g1(y)≤x≤g2(y)，a≤y≤b。
以上是二重积分计算的基本方法，希望能对您有所帮助。
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分计算方法
二重积分计算方法
二重积分是指同时计算两个复杂变量，如空间或一维时间尺度上均有复杂变量，即进行双重多元积分运算。
二重积分法是科学研究和工程分析的β解析最常用的
计算方法。
由于经常需要解决复杂的数学问题，因此二重积分的计算在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
二重积分计算方法是以一维自变量再组合成双维自变量，它首先将单重积分划
分为两个子题，即沿着一个方向进行单重积分，其次再沿着另一个方向进行单重积分。
例如，有一个变量专为u，如果将u偏导后的复杂函数用二维变量X和y来表示，则：
du=f(x,y)dxdy
二重积分可以通过两个步骤来完成:在第一步中，x先作为自变量，上下限的
特定的h, k ,f (x, y) 求定积分，第二步中，y作为自变量，对每一个固定的x，求解特定h, k 等积分。
二重积分法在微分方程、概率理论、拟静力学，拉格朗日
方法以及费马多元法等领域得到了广泛应用。
此外，二重积分法可以进行在线计算，在互联网领域有着重要应用。
现代技术
在二重积分法方面取得了新的进展，特别是机器学习等技术对二重积分法的计算和应用有着深远的影响。
现有的技术可以更加聪明的理解和处理信息，这也大大提高了利用二重积分法研究互联网数据的效率。
综上所述，二重积分计算方法是一种数学运算的技术，在现代科学和工程领域，它被广泛应用于多种多样的领域，特别是在互联网领域，二重积分法为研究者提供了更大的可能性，研究互联网数据更快更有效地获取信息。
2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
高等数学《二重积分的计算》
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
xydxdy
1
0
dy
1 y
y2
sin
xy
d
x
o
1x
D
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
d
2
dx
1
x 1 x
x2 y2
dy
D
2(x3
1
x)dx
1 4
x
4
1 2
x
2
2 1
9. 4
例 5 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
D {(x, y) | 0 x y , 0 y 1} ,
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
0
1 1 y2
y2 x y 2x x2
例 8
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分有许多应用，如精密物理、化学和工程中物体的性质数学模型，是描述物体的物理性质或者内部结构的一种数学工具。
它的定义及应用非常清楚，但是它的四则运算的公式却一直都很模糊，很多人都不知道它的各种公式。
为了让大家明确了解二重积分四则运算的公式，本文将介绍二重积分的四则运算的公式，以及计算的实例和它们相关的理论。
首先，我们介绍二重积分四则运算的加法公式，它的计算方式为： $$ iint limits_U f(x,y) dx dy+iint limits_V g(x,y) dx dy=iint limits_{Ucup V} [f(x,y)+g(x,y)] dx dy $$ 其中，f(x,y)和g(x,y)分别为U和V区域上的函数，U和V构成的是两个二重积分的区域。
可以看出，在U和V区域上，可以计算出f和g函数的二重积分，将两个二重积分相加，就可以得到U和V构成的全新区域求出的函数f+g的二重积分。
计算它们的加法公式就是上述所示。
接下来，我们看看二重积分的减法公式，它的计算方式为：$$ iint limits_U f(x,y) dx dy-iint limits_V g(x,y) dx dy=iint limits_{Usetminus V} [f(x,y)-g(x,y)] dx dy $$ 它的计算方式与加法公式类似，也是将U和V区域构成的新区域求出的函数f-g的二重积分来计算，只不过是将f和g的函数进行减法运算，而加法是进行加法，其他的步骤都是一样的。
接下来，我们介绍二重积分的乘法公式，它的计算方式为：$$ iint limits_U f(x,y) dx dycdot iint limits_V g(x,y) dx dy=iint limits_Uiint limits_V [f(x,y) cdot g(x,y)] dx dy $$它的计算方式与上面两个公式不同，它不是求U和V构成的新区域求出的函数，而是在U和V区域分别求出函数f(x,y)和g(x,y)的乘积，然后求出U和V区域两两乘积的积分即可。
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用
二重积分的计算方法及其在面积质量等问题中的应用二重积分的计算方法及其在面积、质量等问题中的应用二重积分是微积分中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学等。
本文将介绍二重积分的计算方法，并探讨其在面积、质量等问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分表示在平面上对一个二元函数在某个有限区域上的积分。
计算二重积分的方法主要有以下两种：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来实现，即先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
设有二元函数$f(x, y)$在区域$D$上连续，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(x, y)dxdy$$其中，$D$表示积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$投影到$xoy$平面得到$D'$，确定$D'$的边界方程；2) 写出$x$在$D'$上的范围表达式，如$a(x)\leq x \leq b(x)$；3) 对$x$进行积分，得到$y$的积分上、下限，即$c \leq y \leq d$；4) 得到二重积分的计算公式：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \int_{a(x)}^{b(x)}\int_c^d f(x, y)dydx$$2. 极坐标系下的二重积分当积分区域具有较高的对称性时，采用极坐标系下的二重积分可以简化计算过程。
在极坐标系下，一个点的坐标由径向$r$和极角$\theta$表示。
设有二元函数$f(r, \theta)$，则该二重积分的计算公式如下：$$\iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$其中，$D$表示换算后的积分区域。
具体计算过程如下：1) 将积分区域$D$由极坐标系给出，确定$r$的上、下限以及$\theta$的范围；2) 根据所给的积分区域，将被积函数$f(x, y)$转换为$f(r, \theta)$；3) 按照换元法，将直角坐标系下的被积函数$f(x, y)$转换为极坐标系下的被积函数$f(r, \theta)$；4) 利用换元后的公式计算二重积分：$$\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_D f(r, \theta)r drd\theta$$通过以上两种计算方法，可以灵活地计算二重积分，适用于不同的问题需求。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
第二二重积分的计算法-资料
例1 化二重积分 f (x, y)d为二次积分
D
(写出两种积分次).序
(1)D是由y轴、y 1及y x围成的区域;
(2)D是由x轴、圆x2 y2 2x 0在第一象限及直线
x y 2围成的区域.
解(1： )f(x,y)d
D 11
dx f (x, y)dy
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
2020/2/10
例 3计 x 算 d y,其 D 是 中由 y 1 、 直 x2 及 线 yx
D
所围成 . 的闭区域
解:解法(1)积分区域如图
次序.
1
4x2
2
4x2
(1)dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1x2
1
0
2x
(2)dx f (x, y)dy 11 x
2020/2/10
解:(1)D1{x(,y)|0x1, 1x2y 4x2} D2{x(,y)|1x2， 0y 4x2} 由此可得 D的区 图 ,域 如 形下图
2020/2/10
公(式 1中 ) 积分 X域 型为 域，特D 点 内是 部穿 且 行y于 轴的直 D的 线边 与界相交.不多于两
2020/2/10
公(式 2)中积分 Y域 型为 域，特 穿D 点 过 内是 部且 平行 x轴 于的直 D的 线边 与界相交.不多于
2020/2/10
若积分区域X既型 非域，也Y非型域，可用平 于x轴(或平行y于 轴)的直线将区 D分域成几个小区域， 每个小区域X都型 是域或 Y型域，区D上 域的二重积 分就是这些小区二 域重 上积 的分的 . 和
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
第二二重积分的计算法
D
1y
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
1
y3 )dy
2
[y2
y4 8
]12
11 8
例4 计算二重积分 ex ydxdy,其中区域D是由x 0、
D
x 1、y 0 和y 1围成的矩型.
解 : ex ydydx
D
11
[ ex e ydy]dx
00
1
交换积分次序
11
左边 dx e y f (x)dy
0 x2
1
f (x)e y |1x2 dx
0
1
f (x)(e ex2 )dx 右边
0
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri2
解 : xyd [ xydx]dy
D
1 y 2
2
[
-1
yx 2 2
]
y y
2
2
dy
1 2
2
[
-1
y(
y
2)2
y5 ]dy
55 8
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
显然这样计算比较麻烦.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
二重积分的计算法
rkrkk
d rd rd
2021/10/10
k
rk
rk
20
Df(x,y)dD f(rco ,srsin )rdrd
rd d
1. 极点在积分区域外
dr
d r
Dr2()
r2()
o
r1()o r1()
设 D: 1() r 2(),则 D f(rc o,rsi)n rdrd
d
1 2 ( ())f(rco,rs si)n rdr
（先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。
2021/10/10
9
例 1 改 变 积 分 1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
解 积分区域如图
0 x1 Dx :0 x1x
0 y1 Dy :0 x1 y
y1x
原 式
2(y) f(x,y)dx
D
c
1(y)
2021/10/10
4
当被积函数 f(x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x,y)
f2(x,y)均非负
D f ( x ,y ) d x d y D f 1 ( x ,y ) d x d y
D f2(x,y)dxdy
0
0
0
2021/10/10
1 e y2 2
1 0
1 2
1
1 e
.
17
例8．求I= x y1 x 2 y 2 d x d y ,D :y x ,x 1 ,y 1 围 成 ；
D
y
2二重积分的计算方法
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解： y 2ax 2a
y 2ax x2
a
x a a2 y2
a
2a
原式=
a
dy
0
a y2
a2 y2
f ( x, y)dx
2a
a
dy
0
2a a
a2 y2
f ( x, y)dx
D1
S
D2
又 I ex2 y2 dxdy
S
R ex2dx R e y2dy ( R e x2dx)2;
0
0
0
I1 e x2 y2dxdy D1
2 d
R e r2 rdr
(1 e R2 );
0
0
4
同理 I 2
y)dxdy
1[ 0
y
y 2
(
x
2
y)dx]dy
D
33 . 140
例2 计 算 xyd , 其 中D是 由 抛 物 线y2 x及
D
y x 2所 围 成 的 闭 区 域 。
解： （如图）将D作Y型 (先x后y) y
2
y2
2
xyd
dy
1
y2
xydx
分次序.
解：积分区域如图
y 3
x 3 y
0 y 1,0 x 2 y 1
1 y 3,0 x 3 y
0 x 2, 1 x y 3 x 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
D
rdrd为极坐标系中的面积元素
把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标， 则有
x r cos y r sin dxdy rdrd
由极点与积分区域的位置，可分为三种情况讨论.
(1)极点在积分区域之外，积分区域为
1( ) r 2 ( ),
2( )
次序.
1
4x2
2
4x2
(1) dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1 x 2
1
0
2x
(2) dx f (x, y)dy 11 x
解 : (1)D1 {(x, y) | 0 x 1, 1 x2 y 4 x2} D2 {(x, y) | 1 x 2，0 y 4 x2} 由此可得区域D的图形, 如下图
1 (x0 )
一般地,a x b，x为[a,b]上的任一点，过x且平行
于yOz面的平面，截曲顶柱体所得的截面的面积为
2 (x)
A(x) f (x,y)dy
1 (x)
曲顶柱体的体积用定积分中，已知截面积的函数求
体积的计算方法
b
b 2 (x)
V A(x)dx [ f (x,y)dy]dx
a
a 1(x)
b 2 (x)
f (x, y)d [ f (x, y)dy]dx (1)
D
a 1(x)
上式的右端的积分也叫做先对y、后对x的二次
积分.也常记作
b 2 (x)
f (x, y)d dx f (x, y)dy
(1' )
D
a 1(x)
积分区域D为 1( y) x 2 ( y),
0x
1y
dy f (x, y)dx
00
(2) f (x, y)d
D
1 2xx2
dx f (x, y)dy
0
0
2 2x
dx f (x, y)dy
10
1 2 y
dy f (x, y)dx
0 1 1 y 2
例2 画出下列累次积分的积分区域，并交换累次积分的
22
xyd [ xydx]dy
D
1y
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
1
y3 )dy 2
[y2
y4 8
]12
11 8
例4 计算二重积分 ex ydxdy,其中区域D是由x 0、
D
x 1、y 0 和y 1围成的矩型.
解 : ex ydydx
划分积分区域如图
1 4x2
2 4x2
dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0 1 x 2
10
1 4 y2
2 4 y2
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
0 1 y 2
1
0
(2)由原累次积分可知积分区域为: D {(x, y) |1 x 2, 1 y x} x
D
1 y 2
2
[
-1
yx 2 2
]
y y
2
2
dy
1 2
2
[
-1
y(
y
2)2
y5 ]dy
55 8
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
显然这样计算比较麻烦.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
[ 3x2 y2dy]dx
00
1
[
x
2
y
3]10x源自2dx0
1
x2 (1
0
x2 )3dx
16 315
如果先对x积分, 后对y积分, 则有
1 1 y
3x2 y2d [ 3x2 y2dx]dy
D
00
积分运算比较困难.
例6 计算二重积分 (2x y)dxdy,其中D是由直线y 1、
D
0
(3)极点在积分区域内, 积分区域为D
0 r ( ), 0 2π
2π ( )
f (r cos ,r sin )rdrd [ f (r cos ,r sin )rdr]d
D
00
由二重积分性质(3)区域D的面积为:
2 ( )
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
lim
0 i1
f
(ri
cosi
, ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
或： f (x,y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd
1
xy) |31( yy3)
2
dy
3
解法(2)先对y积分,
后对x积分,
(2x y)dxdy
D
0 2x3
2 3x
dx (2x y)dy dx (2x y)dy
1 1
01
0
(2xy
1
y2 2
)
|12
x
3
dx
2
(2xy
0
y2 2
n
D
f
(x,
y)d
lim 0 i 1
f
(i ,i ) i
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri2
i
1 2
(2ri
ri )ri
i
_
ri ri
i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
c
c 1(y)
d 2 (y)
f (x,y)d [ f (x, y)dx]dy (2)
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，
这个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
D
c 1(y)
二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关
键.
公式(1)中积分域为X 型域，特点是穿过D内部且平 行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.
公式(2)中积分域为Y 型域，特点是穿过D内部且 平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.
若积分区域既非X 型域，也非Y 型域，可用平行 于x轴(或平行于y轴)的直线将区域D分成几个小区域，使 每个小区域都是X 型域或Y 型域，区域D上的二重积 分就是这些小区域上的二重积分的和.
例3 计算 xyd ,其中D是由直线y 1、x 2及y x
D
所围成的闭区域.
解 : 解法(1) 积分区域如图
2x
xyd [ xydy]dx
D
11
2
[x
1
y2 2
]1x dx
2
1
(
x3 2
x)dx 2
[x4 8
x2 4
]12
11 8
解法(2)积分区域如图
积分区域D如下图.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其 积分区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
11
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也 可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视 积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
f (r cos ,r sin )rdrd [ f (r cos ,r sin )rdr]d
D
1 ( )
(2)极点在积分区域边界, 积分区域D为
0 r ( ),
( )
f (r cos ,r sin )rdrd [ f (r cos ,r sin )rdr]d
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分的计算 f (x, y)d f (x, y) 0
D
积分区域D 1(x) y 2 (x),
a xb
二重积分的几何意义
f (x, y)d 的值等于以D为底，曲面z f (x, y)为顶
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
立体在第一卦限部分可看作一个曲顶柱体.它的底为 D {(x, y) | 0 y R2 x2 ,0 x R},
它的顶是柱面z R2 x2 ,于是
V1 R2 x2d
D R R2 x2
D
为x2 y2 2 y 0及x y所围在第一象限部分.