第05章时间序列模型
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第05章时间序列模型
2020/11/24
第05章时间序列模型
ห้องสมุดไป่ตู้
• 在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是 对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊 的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够 有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首 先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问 题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动 项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动 平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、 估计及识别方法。
阶自相关；备选假设为：序列存在 p 阶自相关。 • 如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说 明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中， 通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系数 和偏自相关系数。如果，各阶Q-统计量都没有超过由 设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即 不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相 关系数都接近于0。
如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有
显著区别。
• 本例 1 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在
1阶序列相关。1 阶滞后的Q-统计量的 P 值很小，拒绝原假设，残差序
列存在一阶序列相关。
第05章时间序列模型
•3 . 序列相关的LM检验 • 与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不
第05章时间序列模型
• 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关
和偏自相关系数，以及Ljung-Box Q-统计量来检验序列 相关。Q-统计量的表达式为：
• (5.1.7)
•其中：rj 是残差序列的 j 阶自相关系数，T 是观测值的 个数，p是设定的滞后阶数 。
第05章时间序列模型
• p 阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在 p
• 考虑美国消费CS 和GDP及前期消费之间的关系，数据 期间：1947年第1季度～1995年第1季度，数据中已消除了 季节要素，建立如下线性回归方程：
•
t = 1, 2, , T
• 应用最小二乘法得到的估计方程如下：
•
•
t = (1.93) (3.23) (41.24)
•
R2=0.999 D.W.=1.605
第05章时间序列模型
• EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。
• 1．D_W统计量检验
• Durbin-Watson 统计量（简称D_W统计量）用于检 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联 系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：
•
(5.1.6)
•D_W统计量检验的原假设： = 0，备选假设是 0。
第05章时间序列模型
• 反之，如果，在某一滞后阶数 p，Q-统计量超过设
定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列 存在 p 阶自相关。由于Q-统计量的 P 值要根据自由度 p 来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有 效的重要因素。 • 在EViews软件中的操作方法： • 在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogramQ-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数 以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残 差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的 P 值。
第05章时间序列模型
• （1）估计回归方程，并求出残差et
•
(5.1.8)
• （2）检验统计量可以基于如下回归得到
•
(5.1.9)
• 这是对原始回归因子Xt 和直到 p 阶的滞后残差的回归。 LM检验通常给出两个统计量：F 统计量和 T×R2 统计量。 F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检 验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数 T 乘以 回归方程（5.1.9）的 R2。一般情况下，T×R2统计量服从
第05章时间序列模型
• 由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序 列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳 的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概 念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞 速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检 验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本 思想及误差修正模型。
第05章时间序列模型
•例5.1(续) 序列相关LM检验
• LM统计量 显示，在5%的 显著性水平拒绝 原假设，回归方 程的残差序列存 在序列相关性。 因此，回归方程 的估计结果不再 有效，必须采取 相应的方式修正 残差的自相关性。
第05章时间序列模型
• 例5.2: 含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验
第05章时间序列模型
• §5.1.3 扰动项存在序列相关的 • 线性回归方程的修正与估计
• 线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型
估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予 正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的 不利影响。
• 通常可以用AR(p) 模型来描述一个平稳序列的自相 关的结构，定义如下：
第05章时间序列模型
•§5.1 序列相关及其检验
•§5.1.1 序列相关及其产生的后果
• 对于线性回归模型
•
(5.1.1)
• 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
•
(5.1.2)
• 如果扰动项序列 ut 表现为：
•
(5.1.3)
•即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立 的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serial correlation)。
•
t = 1, 2, , T
第05章时间序列模型
•应用最小二乘法得到的估计方程如下： •
•
t =（-1.32） （154.25）
•
R2=0.80 D.W.=0.94
第05章时间序列模型
• 选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：
• 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。
•
(5.1.10)
•
(5.1.11)
第05章时间序列模型
• 其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10）
的扰动项，参数 0，1， 2，，k 是回归模型的系数。 式（5.1.11）是扰动项 ut 的 p 阶自回归模型，参数 1，2， ，p 是 p 阶自回归模型的系数，t 是无条件扰动项ut自
第05章时间序列模型
• 2 . 相关图和Q -统计量
• 1. 自相关系数
• 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系
数和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后 k 阶
的自相关系数由下式估计
•
（5.2.26）
•其中 是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。 称 rk 为时间序列 ut 的自相关系数，自相关系数可以部分的 刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列 ut 的邻近数
第05章时间序列模型
• Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足： • 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵 X。 • 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不 再有效。 • 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 • 其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、 Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数 场合。
第05章时间序列模型
• 由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方 差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：
• (5.1.4)
•特别的，如果仅存在
• (5.1.5)
•称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问
题。
第05章时间序列模型
• 如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应
用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者 低估。因此，检验参数显著性水平的 t 统计量将不再可 信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：
第05章时间序列模型
• 如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看， 这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释 变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 D.W.值就不能 作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如 果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优 度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍的 其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这 里采用 LM 统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：
•
（5.2.28）
•这是偏自相关系数的一致估计。
第05章时间序列模型
• 要得到k,k的更确切的估计，需要进行回归
• t = 1, 2, , T （5.2.29） •因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当 ut 对 ut-1，…，ut-k 作回归时 ut-k 的系数。称之为偏相关是因为它度量了k 期 间距的相关而不考虑 k -1 期的相关。
第05章时间序列模型
•例5.1: 利用相关图检验残差序列的相关性
• 考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总 投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的 平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票据利息。 回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， inv表示。实际利息率的近似值 r 则是通过贴现率R减去价格 指数变化率 p 得到的。样本区间：1963年～1984年，建立 如下线性回归方程：
第05章时间序列模型
• 如果序列不相关，D.W.值在2附近。
• 如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。 • 如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。 • 正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观 测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明 残差序列存在强的正一阶序列相关。
渐进的 2(p) 分布。
第05章时间序列模型
• 在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于 设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性 水平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于 设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关 性。 • 在EView软件中的操作方法： • 选 择 View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行 Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验 序列的最高阶数。
• LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的 序列相关性。
第05章时间序列模型
• 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：
• 本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。
各阶滞后的Q-统计量的P值都小于1%，说明在1%的显著性水平下，
拒绝原假设，残差序列存在序列相关。
据之间存在多大程度的相关性。
第05章时间序列模型
• 2．偏自相关系数
• 偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，
ut 与ut-k 之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k
度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下
•
（5.2.27）
•其中：rk 是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。
• ① 在线性估计中OLS估计量不再是有效的；
• ② 使用OLS公式计算出的标准差不正确； • ③ 回归得到的参数估计量的显著性水平的检验 不再可信。
第05章时间序列模型
•§5.1.2 序列相关的检验方法
• EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但 首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的 序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如， 在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变 量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导 致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显 著的变量引入到解释变量中。
同，Breush-Godfrey LM检验（Lagrange multiplier，即 拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序 列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量 的情况下，LM检验仍然有效。 • LM检验原假设为：直到 p 阶滞后不存在序列相关， p 为预先定义好的整数；备选假设是：存在 p 阶自相关。 检验统计量由如下辅助回归计算。
2020/11/24
第05章时间序列模型
ห้องสมุดไป่ตู้
• 在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是 对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊 的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够 有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首 先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问 题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动 项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动 平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、 估计及识别方法。
阶自相关；备选假设为：序列存在 p 阶自相关。 • 如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说 明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中， 通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系数 和偏自相关系数。如果，各阶Q-统计量都没有超过由 设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即 不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相 关系数都接近于0。
如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有
显著区别。
• 本例 1 阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在
1阶序列相关。1 阶滞后的Q-统计量的 P 值很小，拒绝原假设，残差序
列存在一阶序列相关。
第05章时间序列模型
•3 . 序列相关的LM检验 • 与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不
第05章时间序列模型
• 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关
和偏自相关系数，以及Ljung-Box Q-统计量来检验序列 相关。Q-统计量的表达式为：
• (5.1.7)
•其中：rj 是残差序列的 j 阶自相关系数，T 是观测值的 个数，p是设定的滞后阶数 。
第05章时间序列模型
• p 阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在 p
• 考虑美国消费CS 和GDP及前期消费之间的关系，数据 期间：1947年第1季度～1995年第1季度，数据中已消除了 季节要素，建立如下线性回归方程：
•
t = 1, 2, , T
• 应用最小二乘法得到的估计方程如下：
•
•
t = (1.93) (3.23) (41.24)
•
R2=0.999 D.W.=1.605
第05章时间序列模型
• EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。
• 1．D_W统计量检验
• Durbin-Watson 统计量（简称D_W统计量）用于检 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联 系。对于扰动项 ut 建立一阶自回归方程：
•
(5.1.6)
•D_W统计量检验的原假设： = 0，备选假设是 0。
第05章时间序列模型
• 反之，如果，在某一滞后阶数 p，Q-统计量超过设
定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列 存在 p 阶自相关。由于Q-统计量的 P 值要根据自由度 p 来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有 效的重要因素。 • 在EViews软件中的操作方法： • 在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogramQ-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数 以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果残 差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都 接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的 P 值。
第05章时间序列模型
• （1）估计回归方程，并求出残差et
•
(5.1.8)
• （2）检验统计量可以基于如下回归得到
•
(5.1.9)
• 这是对原始回归因子Xt 和直到 p 阶的滞后残差的回归。 LM检验通常给出两个统计量：F 统计量和 T×R2 统计量。 F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检 验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数 T 乘以 回归方程（5.1.9）的 R2。一般情况下，T×R2统计量服从
第05章时间序列模型
• 由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序 列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳 的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概 念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞 速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检 验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本 思想及误差修正模型。
第05章时间序列模型
•例5.1(续) 序列相关LM检验
• LM统计量 显示，在5%的 显著性水平拒绝 原假设，回归方 程的残差序列存 在序列相关性。 因此，回归方程 的估计结果不再 有效，必须采取 相应的方式修正 残差的自相关性。
第05章时间序列模型
• 例5.2: 含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验
第05章时间序列模型
• §5.1.3 扰动项存在序列相关的 • 线性回归方程的修正与估计
• 线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型
估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予 正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的 不利影响。
• 通常可以用AR(p) 模型来描述一个平稳序列的自相 关的结构，定义如下：
第05章时间序列模型
•§5.1 序列相关及其检验
•§5.1.1 序列相关及其产生的后果
• 对于线性回归模型
•
(5.1.1)
• 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
•
(5.1.2)
• 如果扰动项序列 ut 表现为：
•
(5.1.3)
•即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立 的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serial correlation)。
•
t = 1, 2, , T
第05章时间序列模型
•应用最小二乘法得到的估计方程如下： •
•
t =（-1.32） （154.25）
•
R2=0.80 D.W.=0.94
第05章时间序列模型
• 选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：
• 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。
•
(5.1.10)
•
(5.1.11)
第05章时间序列模型
• 其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10）
的扰动项，参数 0，1， 2，，k 是回归模型的系数。 式（5.1.11）是扰动项 ut 的 p 阶自回归模型，参数 1，2， ，p 是 p 阶自回归模型的系数，t 是无条件扰动项ut自
第05章时间序列模型
• 2 . 相关图和Q -统计量
• 1. 自相关系数
• 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系
数和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列 ut 滞后 k 阶
的自相关系数由下式估计
•
（5.2.26）
•其中 是序列的样本均值，这是相距 k 期值的相关系数。 称 rk 为时间序列 ut 的自相关系数，自相关系数可以部分的 刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列 ut 的邻近数
第05章时间序列模型
• Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足： • 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵 X。 • 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不 再有效。 • 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。 • 其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、 Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数 场合。
第05章时间序列模型
• 由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方 差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：
• (5.1.4)
•特别的，如果仅存在
• (5.1.5)
•称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问
题。
第05章时间序列模型
• 如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应
用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者 低估。因此，检验参数显著性水平的 t 统计量将不再可 信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：
第05章时间序列模型
• 如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看， 这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释 变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 D.W.值就不能 作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如 果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优 度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍的 其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这 里采用 LM 统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：
•
（5.2.28）
•这是偏自相关系数的一致估计。
第05章时间序列模型
• 要得到k,k的更确切的估计，需要进行回归
• t = 1, 2, , T （5.2.29） •因此，滞后 k 阶的偏自相关系数是当 ut 对 ut-1，…，ut-k 作回归时 ut-k 的系数。称之为偏相关是因为它度量了k 期 间距的相关而不考虑 k -1 期的相关。
第05章时间序列模型
•例5.1: 利用相关图检验残差序列的相关性
• 考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总 投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的 平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票据利息。 回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， inv表示。实际利息率的近似值 r 则是通过贴现率R减去价格 指数变化率 p 得到的。样本区间：1963年～1984年，建立 如下线性回归方程：
第05章时间序列模型
• 如果序列不相关，D.W.值在2附近。
• 如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。 • 如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。 • 正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观 测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明 残差序列存在强的正一阶序列相关。
渐进的 2(p) 分布。
第05章时间序列模型
• 在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于 设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性 水平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于 设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关 性。 • 在EView软件中的操作方法： • 选 择 View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行 Breush-Godfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验 序列的最高阶数。
• LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的 序列相关性。
第05章时间序列模型
• 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：
• 本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。
各阶滞后的Q-统计量的P值都小于1%，说明在1%的显著性水平下，
拒绝原假设，残差序列存在序列相关。
据之间存在多大程度的相关性。
第05章时间序列模型
• 2．偏自相关系数
• 偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，
ut 与ut-k 之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k
度量。在 k 阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下
•
（5.2.27）
•其中：rk 是在 k 阶滞后时的自相关系数估计值。
• ① 在线性估计中OLS估计量不再是有效的；
• ② 使用OLS公式计算出的标准差不正确； • ③ 回归得到的参数估计量的显著性水平的检验 不再可信。
第05章时间序列模型
•§5.1.2 序列相关的检验方法
• EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但 首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的 序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如， 在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变 量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导 致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显 著的变量引入到解释变量中。
同，Breush-Godfrey LM检验（Lagrange multiplier，即 拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序 列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量 的情况下，LM检验仍然有效。 • LM检验原假设为：直到 p 阶滞后不存在序列相关， p 为预先定义好的整数；备选假设是：存在 p 阶自相关。 检验统计量由如下辅助回归计算。