方浩概率强化讲义
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Cov( X ,Y ) DX DY
10
3.性质 (1)Cov( X ,Y ) Cov(Y , X ) (2)Cov( X , X ) EX 2 E2 X DX (3)Cov(aX ,bY ) abCov( X ,Y ) (4)Cov( X ,a) 0 (5)Cov(aX1 bX2 ,cY1 dY2 )
1.k阶原点矩：E X k
2.k阶中心矩：E X E X k
16
[题型一 期望与方差的计算]
【 例 4.22 】 设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为
F ( x) 0.3( x) 0.7( x 1) ， 其 中 ( x) 为 2
标准正态的分布函数，则 EX （ ）
（A）0
33
【 例 】 随 机 变 量 X ,Y 都 服 从 N 0,1 ，
U X Y ,V X Y ，则随机变量U ,V 必( )
A不独立
B独立
C 不相关不一定独立
D相关
34
【 例 】 X ,Y N 0,1;2,2;0.3 ，
U X Y ,V X Y ，则随机变量U ,V 必( )
EX ab
2
G p
D
X
(1
p) p2
U a,b
D X b a2
12
8
6.指数分布: X E
EX 1
D
X
1
2
7.正态分布 X ~ N (, 2 )
EX
DX 2
9
(三)协方差
1.定义:Cov( X ,Y ) E X E X Y E Y
2.计算：
Cov( X ,Y ) E XY E X E Y
○6 E X 2 E2 X D X
6
4.常见分布的期望与方差
1.0 1分布
EX p
D X p(1 p)
2.二项分布： X Bn, p
E X np
D X np(1 p).
3.泊松分布: X P( )
E(X)
DX
7
4.几何分布: X
EX 1
p
5.均匀分布: X
（A）PY 2X 1 1 （B）PY 2X 1 1 （C）PY 2X 1 1 （D）PY 2X 1 1
N 1,4，
29
【例】将一枚硬币重复掷n次，以 X 和Y 分别 表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相关系数等于( )
A 1
B0
C 1
D1
2
30
【例】设将一颗骰子重复抛掷n次，随机变 量 X 表示点数小于 3 的次数，Y 表示点数不 小于 3 的次数 （1） X ,Y 是否独立，请说明理由 （2）说明 X Y 与 X Y 不相关 （3）求3X Y 与 X Y 的相关系数
f x, y,已知数学期望E XY 存在
(1)若随机变量 X ,Y 相互独立，且数学期望
EX , EY 都存在，证明 E XY E X E Y
(2) 若
f
x,
y
2e x2
y
,
0,
学期望E XY Y
x 0, y 0 ， 求 数
其它
19
【 例 】 设 二 维 随 机 变 量 (X ,Y ) 在 区 域
（B）0.3
（C）0.7
（D）1
17
【例】设两个随机变量 X ,Y 相互独立，且都 服 从 均 值 为 0, 方 差 为 1 的 正 态 分 布 , 设
2 Z X Y
（1）求Z的概率密度 fZ z
(2) 求 EZ, DZ
18
【 例 】 随 机 变 量 (X ,Y ) 的 联 合 概 率 密 度 为
Xi
则(
)
25
(A)Cov
X1
,Y
2
n
(B)Cov X1,Y 2
(C)
D
X1
Y
n
n
2
2
(D)
D
X1
Y
n
n
1
2
26
【 例 】 设 随 机 变 量 X ,Y 的 概 率 密 度 为
f
x,
y
1,
0,
y x,0 x 1 其它
，
求
EX , EY ,Cov X ,Y
27
【例】随机变量 X ,Y 分别服从正态分布，
第四章 随机变量的数字特征
1
（一）期望与方差 1.[期望定义] 离散型（求和）
一维： E X xi pi i 1
二维：E Z E g( X ,Y ) g( xi , y j )pij i1 j1
2
连续型（积分）
一维：E X
x f ( x)dx
二维：
E Z E g(X ,Y )
acCov( X1,Y1 ) adCov( X1,Y2 ) bcCov( X2 ,Y1) bdCov( X2,Y2 )
11
(7)若 X 和Y 相互独立，则Cov（X ,Y） 0.
12
(四)相关系数
1.定义:XY
Cov(X ,Y )
D X DY
2.性质:
(a) XY 1
(b) XY 1存在a,b，使PY aX b 1，
22
【例】 设随机变量 X N 0,1服从参数为 1
的指数分布，则E Xe2X ___
23
【例】设随机变量 X P ，Y P 2 且
E X 2 6,则E Y 2 ___
24
[题型二 协方差与相关系数]
【例】随机变量
X
1，X
，
2
，X
n
n
1独立同分
布，方差为
2
0,Y
1 n
n i 1
A不独立 B独立 C 不相关但不一定独立 D相关
35
Βιβλιοθήκη Baidu
D x, y 0 x 1,| y | x 上 服 从 均 匀 分 布 ，
求随机变量Z 2X 1的方差D(Z ).
20
【 例 4.14 】 设 X 的 分 布 律 为
PX
k
2k 3k1
,k
0,1, 2
，求期望与方
差E X ,DX .
21
【例】设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分
布，则E X 2e2X ___
当a 0时，XY 1；a 0时，XY 1.
13
(c)XY 0称随机变量 X ,Y 不相关. X ,Y 相互独立，则 X ,Y 必不相关；
若 X ,Y 不相关，则 X ,Y 不一定独立(二维正态 分布除外)
若 X ,Y 相关，则 X ,Y 必不独立；
14
(五)独立性与不相关问题
15
(六)随机变量的矩
(5) X ,Y 相互独立 E( XY ) E X E Y ；
5
[方差的性质]
○1 Da 0 ○2 D(aX ) a2D X ○3 D( X a) D X
○4 D X Y D X DY 2cov X ,Y ○5 若 X ,Y 相互独立， D X Y D X DY
g( x, y) f ( x, y)dxdy
3
2.[方差定义]
D X E X 2 E X 2
4
3.期望与方差的性质 [期望的性质] (1) E(a) a；
(2) E(aX) aE X ； (3) E( X Y ) E X E Y ； (4) E aX b aEX b
31
【例4.31】
32
[题型三 不相关与独立性]
【P162,5】设随机变量 X ,Y 服从二维正态
分布，则随机变量 X Y , X Y 不相关的 充分必要条件为（ ）
(A) EX EY
(B) EX 2 EX 2 EY 2 EY 2
(C) EX 2 EY 2
(D) EX 2 EX 2 EY 2 EY 2
且 X 1,32 ，Y 0,42 ，且相关系数XY 0.5，
令Z X Y
32
（1）求E Z , D Z
（2）求 X , Z 的相关系数，别说明是否独立 （3）求Z 的分布 （4）随机变量2X Y 与 X Y 的相关系数
28
【例 4.12】设随机变量 X N 0,1,Y
且相关系数XY 1，则（ ）
10
3.性质 (1)Cov( X ,Y ) Cov(Y , X ) (2)Cov( X , X ) EX 2 E2 X DX (3)Cov(aX ,bY ) abCov( X ,Y ) (4)Cov( X ,a) 0 (5)Cov(aX1 bX2 ,cY1 dY2 )
1.k阶原点矩：E X k
2.k阶中心矩：E X E X k
16
[题型一 期望与方差的计算]
【 例 4.22 】 设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为
F ( x) 0.3( x) 0.7( x 1) ， 其 中 ( x) 为 2
标准正态的分布函数，则 EX （ ）
（A）0
33
【 例 】 随 机 变 量 X ,Y 都 服 从 N 0,1 ，
U X Y ,V X Y ，则随机变量U ,V 必( )
A不独立
B独立
C 不相关不一定独立
D相关
34
【 例 】 X ,Y N 0,1;2,2;0.3 ，
U X Y ,V X Y ，则随机变量U ,V 必( )
EX ab
2
G p
D
X
(1
p) p2
U a,b
D X b a2
12
8
6.指数分布: X E
EX 1
D
X
1
2
7.正态分布 X ~ N (, 2 )
EX
DX 2
9
(三)协方差
1.定义:Cov( X ,Y ) E X E X Y E Y
2.计算：
Cov( X ,Y ) E XY E X E Y
○6 E X 2 E2 X D X
6
4.常见分布的期望与方差
1.0 1分布
EX p
D X p(1 p)
2.二项分布： X Bn, p
E X np
D X np(1 p).
3.泊松分布: X P( )
E(X)
DX
7
4.几何分布: X
EX 1
p
5.均匀分布: X
（A）PY 2X 1 1 （B）PY 2X 1 1 （C）PY 2X 1 1 （D）PY 2X 1 1
N 1,4，
29
【例】将一枚硬币重复掷n次，以 X 和Y 分别 表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相关系数等于( )
A 1
B0
C 1
D1
2
30
【例】设将一颗骰子重复抛掷n次，随机变 量 X 表示点数小于 3 的次数，Y 表示点数不 小于 3 的次数 （1） X ,Y 是否独立，请说明理由 （2）说明 X Y 与 X Y 不相关 （3）求3X Y 与 X Y 的相关系数
f x, y,已知数学期望E XY 存在
(1)若随机变量 X ,Y 相互独立，且数学期望
EX , EY 都存在，证明 E XY E X E Y
(2) 若
f
x,
y
2e x2
y
,
0,
学期望E XY Y
x 0, y 0 ， 求 数
其它
19
【 例 】 设 二 维 随 机 变 量 (X ,Y ) 在 区 域
（B）0.3
（C）0.7
（D）1
17
【例】设两个随机变量 X ,Y 相互独立，且都 服 从 均 值 为 0, 方 差 为 1 的 正 态 分 布 , 设
2 Z X Y
（1）求Z的概率密度 fZ z
(2) 求 EZ, DZ
18
【 例 】 随 机 变 量 (X ,Y ) 的 联 合 概 率 密 度 为
Xi
则(
)
25
(A)Cov
X1
,Y
2
n
(B)Cov X1,Y 2
(C)
D
X1
Y
n
n
2
2
(D)
D
X1
Y
n
n
1
2
26
【 例 】 设 随 机 变 量 X ,Y 的 概 率 密 度 为
f
x,
y
1,
0,
y x,0 x 1 其它
，
求
EX , EY ,Cov X ,Y
27
【例】随机变量 X ,Y 分别服从正态分布，
第四章 随机变量的数字特征
1
（一）期望与方差 1.[期望定义] 离散型（求和）
一维： E X xi pi i 1
二维：E Z E g( X ,Y ) g( xi , y j )pij i1 j1
2
连续型（积分）
一维：E X
x f ( x)dx
二维：
E Z E g(X ,Y )
acCov( X1,Y1 ) adCov( X1,Y2 ) bcCov( X2 ,Y1) bdCov( X2,Y2 )
11
(7)若 X 和Y 相互独立，则Cov（X ,Y） 0.
12
(四)相关系数
1.定义:XY
Cov(X ,Y )
D X DY
2.性质:
(a) XY 1
(b) XY 1存在a,b，使PY aX b 1，
22
【例】 设随机变量 X N 0,1服从参数为 1
的指数分布，则E Xe2X ___
23
【例】设随机变量 X P ，Y P 2 且
E X 2 6,则E Y 2 ___
24
[题型二 协方差与相关系数]
【例】随机变量
X
1，X
，
2
，X
n
n
1独立同分
布，方差为
2
0,Y
1 n
n i 1
A不独立 B独立 C 不相关但不一定独立 D相关
35
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D x, y 0 x 1,| y | x 上 服 从 均 匀 分 布 ，
求随机变量Z 2X 1的方差D(Z ).
20
【 例 4.14 】 设 X 的 分 布 律 为
PX
k
2k 3k1
,k
0,1, 2
，求期望与方
差E X ,DX .
21
【例】设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分
布，则E X 2e2X ___
当a 0时，XY 1；a 0时，XY 1.
13
(c)XY 0称随机变量 X ,Y 不相关. X ,Y 相互独立，则 X ,Y 必不相关；
若 X ,Y 不相关，则 X ,Y 不一定独立(二维正态 分布除外)
若 X ,Y 相关，则 X ,Y 必不独立；
14
(五)独立性与不相关问题
15
(六)随机变量的矩
(5) X ,Y 相互独立 E( XY ) E X E Y ；
5
[方差的性质]
○1 Da 0 ○2 D(aX ) a2D X ○3 D( X a) D X
○4 D X Y D X DY 2cov X ,Y ○5 若 X ,Y 相互独立， D X Y D X DY
g( x, y) f ( x, y)dxdy
3
2.[方差定义]
D X E X 2 E X 2
4
3.期望与方差的性质 [期望的性质] (1) E(a) a；
(2) E(aX) aE X ； (3) E( X Y ) E X E Y ； (4) E aX b aEX b
31
【例4.31】
32
[题型三 不相关与独立性]
【P162,5】设随机变量 X ,Y 服从二维正态
分布，则随机变量 X Y , X Y 不相关的 充分必要条件为（ ）
(A) EX EY
(B) EX 2 EX 2 EY 2 EY 2
(C) EX 2 EY 2
(D) EX 2 EX 2 EY 2 EY 2
且 X 1,32 ，Y 0,42 ，且相关系数XY 0.5，
令Z X Y
32
（1）求E Z , D Z
（2）求 X , Z 的相关系数，别说明是否独立 （3）求Z 的分布 （4）随机变量2X Y 与 X Y 的相关系数
28
【例 4.12】设随机变量 X N 0,1,Y
且相关系数XY 1，则（ ）