方浩概率强化讲义

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强化班讲义

强化班讲义（概率统计）第一讲随机事件与概率内容提要（1）事件间的关系与运算（四种关系，三种运算）（2）概率及其简单性质（古典概型，几何概型，求逆公式，加法公式，减法公式）（3）条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes公式）（4）事件独立性与Bernoulli概型（独立性的实质及应用，Bernoulli概型的三个模型）典型问题分析问题1: 事件的表示与运算例1.1从一批产品中，每次取出一个（取后不放回），抽取三次，用表示“第i次取到的是正品”，下列结论中不正确的是：A.表示“至少抽到2个正品”B. 表示“至少有1个是次品”C.表示“至少有1个不是正品”D.表示“至少有1个是正品”【B】【解】、和分别表示为至少抽到2个正品，它们的并的运算也应该是至少抽到2个正品，其余选项都正确。

【寓意】本题实质是考查用事件的运算符号来描述一用普通语言表达的随机事件，以便今后运用公式计算概率.问题2: 概率（包括条件概率）的基本公式及应用技巧：利用概率、条件概率的性质、事件间的关系和运算进行求解。

Venn图的直观。

例1.2某城市居民中订阅A报的有45%，同时订阅A报及B报的有10%，同时订阅A报及C报的有8%，同时订阅A，B，C报的有3%，则“只订阅A报”的事件发生的概率为A．0.655 B．0.30 C．0.24 D．0.73 【B】【解】由题用表示订阅A报表示既订阅A报又订阅B表示既订阅A报又订阅C表示既订阅A、B、C三种报则只“只订阅A报”即事件由题意知又因为都是真包含在事件中故选B。

例1.3已知,且,则等于(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4 【A】【解】所以例1.4 设事件A,B,C满足,, 则A,B,C 中不多于一个发生的概率为多大? 【】【解】“不多于一个发生”等价于事件“A,B,C中有一个发生或者一个都不发生”注：遇到“至少”、“至多”的问题时，利用求逆公式。

例1.5 设事件A, B同时发生时, 事件C一定发生, 则（A）（B）（C）（D）【B】【解析】例1.6 设随机变量X,Y均服从正态分布, 若概率，则【】【解】因为X,Y均服从正态分布，所以二维连续形随机变量有相同的分布律（X,Y）与（Y,X），又连续性随机变量在一点的概率为零，所以的值为。

概率论与数理统计强化讲义_数三_

考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
概率论与数理统计强化讲义（数三）
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
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I 0.94 II Cn2 0.94 0.06 III 1 0.94
B 发生 A 不发生的概率相等，求 A 发生的概率.
第 2 页
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
【答案】
2 3
1 1 1 , P B A , P A B ,则 P A B ___ 4 3 2
例 8. P ( A ) 【答案】
1 3
题型二三大概型
方法点拨：三大概型是指古典概型、几何概型、伯努利概型。古典概型就是常说的排列组合问题，考的少，几何概型注意体积、面积的计算，伯努利概型，需要注意一下“至多”和“至少”的问题。例 1.在区间 -1,1 之间任取两个数 X，Y 则二次方程 t 2 Xt Y 0 有两个正根的概率为 ___ 【答案】
P max X , Y 0 =___

3 4 , P X 0 P Y 0 , 则 7 7
【答案】
5 7
设 A,B,C 是随机事件，且

考研概率强化讲义(全题目)资料

考研概率与数理统计第一章随机事件和概率第一节基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。

例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。

若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。

方浩级数讲义

方浩级数讲义
【实用版】
目录
1.方浩级数讲义简介
2.方浩级数的基本概念
3.方浩级数的性质
4.方浩级数的应用
5.总结
正文
【方浩级数讲义简介】
《方浩级数讲义》是一部关于级数理论的教材，作者是我国著名数学家方浩。

该书系统地讲述了级数的基本概念、性质和应用，旨在帮助读者深入理解级数理论并在实际问题中灵活运用。

【方浩级数的基本概念】
方浩级数是指形如 a_n * x^(n-1) 的无穷级数，其中 a_n 是各项的系数，x 是自变量。

方浩级数讲义中主要讨论了以下几种类型的级数：常数项级数、单调项级数、非单调项级数和广义级数。

【方浩级数的性质】
方浩级数具有很多重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解级数。

主要包括收敛性、发散性、级数的和、级数的积等。

其中，收敛性是指级数是否有一个有限的和，发散性是指级数没有有限的和。

【方浩级数的应用】
方浩级数在数学和实际问题中有广泛的应用，例如求解微分方程、概率论、数值分析等领域。

通过运用级数理论，我们可以将复杂的问题简化，
从而更容易地解决问题。

【总结】
《方浩级数讲义》是一部关于级数理论的教材，系统地讲述了级数的基本概念、性质和应用。

概率强化讲义

概率论与数理统计第一章随机事件和概率1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数：函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξ2、重要公式和结论第四章随机变量的数字特征第一节基本概念1、概念网络图⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→切比雪夫不等式矩方差期望一维随机变量⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧→协方差矩阵相关系数协方差方差期望二维随机变量2、重要公式和结论第五章大数定律和中心极限定理第一节基本概念1、概念网络图⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→辛钦大数定律伯努利大数定律切比雪夫大数定律大数定律⎭⎬⎫⎩⎨⎧→棣莫弗－拉普拉斯定理列维－林德伯格定理中心极限定理二项定理泊松定理2、重要公式和结论第六章数理统计的基本概念第一节基本概念1、概念网络图正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ 2、重要公式和结论第七章参数估计第一节基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论。

考研概率强化讲义(全题目)资料

例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。

2015方浩线性代数讲义2-1

2 可逆条件： A 0 （用定义或计算行列式） ○
9
3 性质： ○ 1 1 1 ( kA) k A 1 1 1 n 1 1 n ( AB ) B A ,( A ) ( A ) 1 1 ( A ) A 1 1 | A | | A|
15
（四）矩阵的初等变换（1）三种初等变换： 1 某一行（列）扩大 k 倍 ○ 2 互换两行（列） ○ 3 将第 i 行（列）的 k 倍加至第 j 行（列） ○ （2）三个初等矩阵： Ei k ，Eij k （对单位阵进行初等变换） E ij ，
16
Eij 1 Eij 1 1 性质： Ei k E i ； k E 1 k E k ij ij
* n 1 *
14

n
【注意】 1 逆，转置，伴随，n 次幂（两两可交换） ○
A1 A2 B1 B2 A1 B1 A2 B2 A A B B A B A B 4 4 3 4 4 3 3 3 A B X Y AX BZ AY BW 2 ○ C D Z W CX DZ CY DW
O -1 B
13
（3）伴随矩阵
1 定义： A ○
*
a
ij
n
A Aji
*
*

n
A A AA A E
( kA) k A * * * n * * ( AB ) B A ,( A ) A 2 性质： ○ n 2 * * ( A ) A A * n 1 | A || A |
aij bij 0
（2）数乘： kAmn Bmn kaij bij

概率统计第一部分讲义

2015考研数学综合强化课概率论与数理统计主讲老师：方浩第一章随机事件与概率（一）随机试验和样本空间1.[随机试验]2.[样本空间]: 随机试验所有可能发生的结果组成的集合[样本点]: 随机试验的每个可能结果3.[基本事件]:样本空间中的一个样本点组成的单点集4.[随机事件]:样本空间的子集5.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记作Ω.6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为φ.(二) 事件的关系和运算1.事件间的关系(1) 包含：A B⊃(2) 相等：.=A B(3) 和：A B.(4) 积：A B(5) 差: =-A B AB(6)互斥(互不相容)：ABφ=.(7)对立(互逆)：A B=Ω，A Bφ=. 对立事件记为B A=.2.运算律(1)交换律：;==A B B A A B B A(2)结合律：()()=A B C A B C=()()A B C A B C(3)分配律：()()()=A B C A B A C(4)对偶律(摩根律)：,==A B A B A B A B(三)概率的定义与性质 1.概率的定义(1)非负性： ()0P A ≥.(2)规范性： ()1P Ω=.(反之不成立) (3)可列可加性：12,,A A 两两互不相容 1212()()()P A A P A P A =++2.概率的性质(1)非负性： 0()1P A ≤≤.(2)规范性： ()0,()1P P ∅=Ω=.(3)有限可加性：12,,,n A A A 两两互不相容1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++.(4) ()1()P A P A =-.3.基本公式[加法公式]()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()31231231,j()i i j i i P A A A P A P A A P A A A ==-+∑∑[减法公式]()()()()P A B P A P AB P AB -=-=[逆事件] ()1()P A P A =-（四）三大概型 1.古典概型()AA n P A n=Ω中基本事件的个数中基本事件总数 2.几何概型()A P A =Ω的长度（或面积、体积）的长度（或面积、体积）3.伯努利概型[定义]：随机试验只有两个可能结果：A 和A ；每次试验A 发生概率相等()P A p =[结论]：n 重伯努利试验，事件A 发生k 次的概率：(,)(1)(0,1,2,,)kkn kk nB n pC p p k n -=-= .（五）条件概率，乘法公式，独立性1.条件概率：()0P A >，A 发生条件下B 发生的概率()()()P AB P B A P A =2.条件概率的性质(1) 非负性：0(|)1P B A ≤≤ (2) 规范性：(|)1P A Ω=(3) 逆事件：(|)1(|)P A B P A B =- (4) 加法公式：121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-减法公式：12112(|)()(|)P A A B P A B P A A B -=-3.乘法公式()()()P AB P B A P A = 12121211()()()()n n n P A A A P A A A A P A A P A -=4.两个事件的独立性定义：()()()P AB P A P B =,称事件,A B 相互独立. 推论：设0()1P A <<，,A B 独立()(|)(|)P B P B A P B A ⇔==性质：,A B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立5.三个事件的独立性1)()()()=；P AB P A P B2)()()()P AC P A P C=；3)()()()=；P BC P B P C4)()()()()=；P ABC P A P B P C满足1-3：称三个事件,,A B C两两独立. 满足1-4：称三个事件,,A B C相互独立.(六)全概率公式与贝叶斯公式 1.完备事件组：若事件1,n A A =Ω,1i j A A i j n φ=≤≠≤，称事件1,,n A A 是一个完备事件组.2.全概率公式：1()()()ni i i P B P A P B A ==∑.3.贝叶斯公式：()1()()()()j jj niii P B A P A P A B P A P B A ==∑[题型一概率的基本计算] 【例1.1】()___A B C=()()A AB C()()B A B C()()()C A B A C()()()D A B A C【P332，例1】事件,A B ，满足1()()2P A P B ==和()1P A B =则有( )（A ）A B =Ω （B ）AB φ= （C ）()1P A B = （D ）()0P A B -=【例】设事件,A B互不相容,则（）()()0A P AB=()()()()=B P AB P A P B()()()=-C P A P B1()()1D P A B=【P332，例2】设,Y X 为2个随机变量，且{}30,Y 07P X ≥≥=,{}{}4007P X P Y ≥=≥=则(){}max ,0=___P X Y ≥【P328，4】设,,A B C 是随机事件，且()()()14P A P B P C ===,()()0P AB P BC ==,()18P AC =,求,,A B C 都不发生的概率【例】()()===,则P A P B P AB()0.3,0.4,0.5()___P B A B=【例】设相互独立的事件A,B都不发生的概率是1，且A发生B不发生的概率与B发生A不发生9的概率相等，求A发生的概率【例】()()111(),,432P A P B A P A B ===,则()___P A B =[题型二三大概型]【例】()0,1之间任取两个数，乘积小于12的概率____【例】区域()22:20D x y x y +≤≥内任取一点，求该点与坐标原点的连线和X 轴正方向所围成的夹角小于3π的概率【P329，7】设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后，以概率0.8出厂，以概率0.2定为不合格，不能出厂，现该厂生产了(2)台仪器(设各台n n≥生产过程相互独立).求(I)所有机器都能出厂的概率α.(II)其中恰好有两件能出厂的概率β.(III)至少有两件不能出厂的概率θ.[题型三条件概率与独立性]【P328，例1】设,A B 是两个随机事件,()()01,0P A P B <<> ()()P B A P B A =则下列选项中正确的是___()()() A A B A B =P P ()()()B A B A B ≠P P ()()()()C AB A P B =P P ()()()()D AB P A P B ≠P【例】设0()1,0()1P A P B <<<<，(|)(|)1P A B P A B += 则( )（A ）A,B 互不相容（B ）A,B 互逆（C ）A,B 相互独立（D ）A,B 不独立【P329，例3】将一枚硬币连续投掷两次，定义事件1A ：第一次出现正面，2A ：第二次出现正面，3A ：正反面各出现一次，4A ：两次都是出现正面，则下列说法正确的是（）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立【例】设,,A B C是三个相互独立的随机事件，且<<，则下列给定的四对事件中不一定相互0()1P C独立的是 ( )()A A B与C()B A C与C-与CC A B()D AB与C()【题型四全概率公式与贝叶斯公式】【P327，例4】在1,2,3,4中任取1个数为X，再从1,X中任取一个数为Y，则{}2___P Y==【P326，例3】设工厂A,B的产品的次品率分别为1%和2%，现在从由产品A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取1件（1）求该产品是次品的概率（2）已知取出为次品，求该次品属于A生产的概率【例 1.9】设有甲、乙两个箱子，甲箱中有m只白球，n个红球，乙箱中有a个白球，b个红球，现从甲箱中任意取出一只放入乙箱，再从乙箱中任取出一球，求（1）从乙中取出的是白球的概率（2）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是白球的概率（3）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是红球的概率【例】甲乙两名运动员进行打靶训练，每次打靶甲中靶的概率为0.5，乙中靶的概率为0.3，甲乙两人都中靶的概率为0.2，每次打靶中只要有一人中靶就称为此次打靶合格，第n次()3n>打靶α=合格恰好是第3次合格的概率___63。

2015方浩概率强化讲义3

【P347，例 3】二维随机变量( X ,Y )概率密度
1,0 x 1,0 y 2 x f ( x, y) 0, 其他
(1)求 X ,Y 的边缘概率密度 f X (x), fY (y) (2)求 Z 2 X Y 的概率密度 f Z ( z )
【 P352 ，例 1 】设随机变量 X ,Y 独立同分布，且 X 分布函数为 F x ，则 Z max X ,Y 的分布函数为（）
F ( , y ) F ( x , ) F ( , ) 0
3 单调不减： F ( x , y )分别关于 x , y 单调不减 ○
4 右连续性： F ( x , y )分别关于 x , y 右连续 ○
4.边缘分布函数：
FX ( x ) P X x P X x ,Y F ( x, )
F x, y 1
x , y .分别求随机变量 X ,Y

2
A arctan x B arctan 2 y ，
的边缘分布函数.
[题型二二维离散型随机变量] 【P351，2】袋子中有 1 只红球，2 只黑球， 3 只白球，现有放回的从中取两次，每次取一球，以 X ,Y 分别表示两次取球中取到红球与黑球的个数.
B fY y
D f X x /
fY y
1 1 【例】已知( X ,Y ) ~ N (0,0; , ;0) 2 2
(1) Z X 2 Y 2,求随机变量 Z 的概率密度
fZ z
3Y (2)求概率 P X 2
【例】设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为 2 x 2 xy y f ( x , y ) Ae , x .

2015方浩概率强化讲义4

5
[方差的性质]
1 Da 0 ○ 2 D(aX ) a 2 D X ○ 3 D( X a ) D X ○ 4 D X Y D X D Y 2cov X ,Y ○ 5 若 X ,Y 相互独立， D X Y D X D Y ○ 6 E X 2 E2 X D X ○
2 2 2 2 2 2
2 2
(D) EX EX EY EY
33
【例】随机变量 X ,Y 都服从 N 0,1 ， U X Y ,V X Y ，则随机变量U ,V 必( )
A 不独立 C 不相关不一定独立
B 独立 D 相关
31
【例4.31】
32
[题型三不相关与独立性] 【P162,5】设随机变量 X ,Y 服从二维正态
分布，则随机变量 X Y , X Y 不相关的充分必要条件为（） (A) EX EY (C) EX EY
2 2
(B) EX EX EY EY
15
(六)随机变量的矩 1. k 阶原点矩： E X k 2. k 阶中心矩： E X E X

k

16
[题型一期望与方差的计算]
【例 4.22 】设随机变量 X 的分布函数为 x 1 F ( x ) 0.3( x ) 0.7( ) ，其中 ( x ) 为 2 标准正态的分布函数，则 EX （）（A）0 （C） 0.7 （B） 0.3 （D）1
第四章
随机变量的数字特征
1
（一）期望与方差 1.[期望定义] 离散型（求和）一维： E X xi pi

方浩概率强化讲义

f x, y,已知数学期望E XY 存在
(1)若随机变量 X ,Y 相互独立，且数学期望
EX , EY 都存在，证明 E XY E X E Y
(2) 若
f
x,
y
2e x2
y
,
0,
学期望E XY Y
x 0, y 0 ，求数
其它
19
【例】设二维随机变量 (X ,Y ) 在区域
第四章随机变量的数字特征
1
（一）期望与方差 1.[期望定义] 离散型（求和）
一维： E X xi pi i 1
二维：E Z E g( X ,Y ) g( xi , y j )pij i1 j1
2
连续型（积分）
一维：E X
x f ( x)dx
二维：
E Z E g(X ,Y )
（B）0.3
（C）0.7
（D）1
17
【例】设两个随机变量 X ,Y 相互独立，且都服从均值为 0, 方差为 1 的正态分布 , 设
2 Z X Y
（1）求Z的概率密度 fZ z
(2) 求 EZ, DZ
18
【例】随机变量 (X ,Y ) 的联合概率密度为
（A）PY 2X 1 1 （B）PY 2X 1 1 （C）PY 2X 1 1 （D）PY 2X 1 1
N 1,4，
29
【例】将一枚硬币重复掷n次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相关系数等于( )
A 1
B0
C 1
D1
2
30
【例】设将一颗骰子重复抛掷n次，随机变量 X 表示点数小于 3 的次数，Y 表示点数不小于 3 的次数（1） X ,Y 是否独立，请说明理由（2）说明 X Y 与 X Y 不相关（3）求3X Y 与 X Y 的相关系数

2015方浩线性代数讲义4-1

2 , , ○ 1 2
,t 线性无关 ,t 线性表出
t n r A
3 Ax 0 的任一解都可由 , , ○ 1 2
（3）求基础解系的方法：具体方程：初等变换；抽象方程：从解的结构寻找；（4）齐次方程通解： k11 k22
ktt
（三）非齐次方程组的解（1）解的判定
第四章
1. 基本概念 1 齐次方程组： ○ a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a1 x1 am 2 x2
线性方程组
a 1 n xn 0 a 2 n xn 0 a mn xn 0
（I）
x11 x2 2
bs
（五）公共解与同解公共解：联立方程 Ax 0, Bx 0求解；同解：一个方程的基础解系满足另一方程；反之亦然
x11 x2 2 Amn x b
xn n b
（二）齐次方程组的解（1）判定：
nm
必有非零解答 A 0 必有非零解
n r A 必有非零解
nm
nm
（2）基础解系：向量组1 ,2 ,
,t 称为齐次线
性方程组 Ax 0的基础解系，若 1 , , ○ ,t 是 Ax 0的解 1 2
xn n 0；
Ax 0
2 非齐次方程组 ○ a11 x1 a12 x2 a 1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 a mn xn bm
（II）
（5）重要结论若1 , 2 s 是非齐次方程（II）的解，则
1 k k ○ 1 2

2015方浩概率强化讲义2

【P66，5】设随机变量 X 服从参数为的指 X 数分布.求Y 1 e 的概率密度
37
【例 2.13,R】设随机变量 X U 0, ,求随机变量Y sin X 的概率密度.
38
【例 2.14】随机变量 X 的概率密度为，
1 , 1 x 0 2 1 f X x , 0 x 2 ，Y X 2 ,求Y 的概率 4 其它 0,
, k 0,1,
, n;
6
(3) 泊松分布(参数 0)
P X k
e
k
k!
, k 0,1, 2,
; X ~ P ( )
(4) 几何分布(参数为 p 0,1 )
P X k (1 p)
(5) 超几何分布
7
k 1
p, k 1,2, ; X
B p2 p1 p3 D p1 p3 p2
35
【例】设随机变量 X 概率密度为， f x Ae , x aX b N 0,1 a 0 ，求 A，a, b
x 1 2
2
且
36
[题型三随机变量函数的分布]

f ( x )dx 1
9
3. 分布函数的性质 (1) F x 为连续函数（ f x 不一定连续） (2) P X a F a F a 0 0.
b a
(3) P{a X b} F (b) F (a ) f ( x )dx （只管积分，不管端点的开闭） (4) 若 f x 在 x 处连续，则 F x f x
G p .
(三)一维连续型随机变量 1.[ 定义 ] ： F ( x ) P{ X x }

方浩概率强化讲义

2015考研数学综合强化课概率论与数理统计主讲老师：方浩1第一章随机事件与概率2（一）随机试验和样本空间1.[随机试验]2.[样本空间]: 随机试验所有可能发生的结果组成的集合[样本点]: 随机试验的每个可能结果3.[基本事件]:样本空间中的一个样本点组成的单点集4.[随机事件]:样本空间的子集35.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记作Ω.6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为φ.45 (二) 事件的关系和运算 1.[事件间的关系] (1) 包含： A B ⊃ (2) 相等： A B = (3) 和： A B (4) 积： A B(5) 差: =A B AB -(6)互斥(互不相容)：AB φ=.(7)对立： A B =Ω，A B φ=.记为B A =.6 2.[运算律](1)交换律：;A B B A A B B A == (2)结合律：()()A B C AB C =()()A B C AB C = (3)分配律：()()()A B C A B A C =(4)对偶律(摩根律)：,A B A B A B A B ==7 (三)概率的定义与性质 1.[概率的定义](1)非负性： ()0P A ≥.(2)规范性： ()1P Ω=.(反之不成立) (3)可列可加性：12,,A A 两两互不相容 1212()()()P A A P A P A =++8 2.[概率的性质](1)非负性： 0()1P A ≤≤.(2)规范性： ()0,()1P P ∅=Ω=.(3)有限可加性：12,,,n A A A 两两互不相容1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++.(4) ()1()P A P A =-.9 3.[基本公式][加法公式]()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()31231231,j()i i j i i P A A A P A P A A P A A A ==-+∑∑[减法公式]()()()()P A B P A P AB P AB -=-=[逆事件] ()1()P A P A =-10 （四）三大概型 1.古典概型()AA n P A n=Ω中基本事件的中基本事件 2.几何概型()A P A =Ω的度（或面积、体积）的度（或面积、体积）11 3.伯努利概型[定义]：随机试验只有两个可能结果：A 和A ；每次试验A 发生概率相等()P A p =[结论]：n 重伯努利试验，事件A 发生k 次的概率：(,)(1)(0,1,2,,)k k n kk n B n p C p p k n -=-= .（五）条件概率，乘法公式，独立性1.条件概率：()0P A>，A发生条件下B发生的概率() ()()P AB P B AP A=1213 2.条件概率的性质(1) 非负性：0(|)1P B A ≤≤ (2) 规范性：(|)1P A Ω=(3) 逆事件：(|)1(|)P A B P A B =- (4) 加法公式：121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+- 减法公式：12112(|)()(|)P A A B P A B P A A B -=-14 3.[乘法公式]()()()P AB P B A P A =12121211()()()()n n n P A A A P A A A A P A A P A -=4.两个事件的独立性定义：()()()=,称事件,A B相互独立.P AB P A P B推论：设0()1<<，P A,A B独立()(|)(|)⇔==P B P B A P B A性质：,A B独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立155.三个事件的独立性1)()()()=；P AB P A P B2)()()()P AC P A P C=；3)()()()=；P BC P B P C4)()()()()=；P ABC P A P B P CA B C两两独立. 满足1-3：称三个事件,,A B C相互独立. 满足1-4：称三个事件,,1617 (六)全概率公式与贝叶斯公式 1.完备事件组：若事件1,n A A =Ω,1i j A A i j n φ=≤≠≤，称事件1,,n A A 是一个完备事件组.18 2.全概率公式：1()()()ni i i P B P A P B A ==∑.3.贝叶斯公式：()1()()()()j jj niii P B A P A P A B P A P B A ==∑[题型一概率的基本计算]A B C=【例】()___()()A AB C()()B A B C()()()C A B A C()()()D A B A C19【例】事件,A B满足1 ()()2P A P B==和()1P A B =则有( ) （A）A B=Ω（B）ABφ=（C）()1P A B=（D）()0P A B-=20【例1.2】设事件,A B互不相容,则（）()()0A P AB=()()()()=B P AB P A P B()()()1=-C P A P B()()1D P A B=2122 【例】设,Y X 为2个随机变量，且{}30,Y 07P X ≥≥=,{}{}4007P X P Y ≥=≥=则(){}max ,0=___P X Y ≥23 【例 1.15】设,,A B C 是随机事件，且()()()14P A P B P C ===,()()16P AC P BC ==,()0P AB =,求,,A B C 都不发生的概率24 【例】()()()0.3,0.4,0.5P A P B P AB ===,则()___P B A B =【例1.28，Z】设相互独立的事件A,B都不发生的概率是1，且A发生B不发生的概率与B发生A9不发生的概率相等，求A发生的概率2526 【例】()()111(),,432P A P B A P A B ===,则()___P A B =27 [题型二三大概型]【例1.19】在区间()-1,1之间任取两个数,X Y ，则二次方程20t Xt Y ++=有两个正根的概率为____【例】设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后，以概率0.8出厂，以概率0.2定为不合格，不能出厂，现该厂生产了(2)台仪器(设各台生产n n≥过程相互独立).求(I)所有机器都能出厂的概率α.(II)其中恰好有两件能出厂的概率β.(III)至少有两件不能出厂的概率θ.2829 [题型三条件概率与独立性]【P17，2】已知()01P B <<,()()()1212P A A B P A B P A B ⎡⎤+=+⎣⎦,则下列选项中正确的是（）（A ）()()()1212P A A B P A B P A B ⎡⎤+=+⎣⎦（B ） ()()()1212P A B A B P A B P A B +=+30 (C) ()()()1212P A A P A B P A B +=+(D) ()()()()()1122P B P A P B A P A P B A =+31【例】设,A B 是两个随机事件,()()01,0P A P B <<> ()()P B A P B A =则下列选项中正确的是___ ()()() A A B A B =P P()()()B A B A B ≠P P()()()()C AB A P B =P P()()()()D AB P A P B ≠P32【P22，2】设(|)(|)1P A B P A B += 则( )（A ） A,B 互不相容（B ）A,B 互逆（C ）A,B 相互独立（D ）A,B 不独立33【例1.11】将一枚硬币连续投掷两次，定义事件1A ：第一次出现正面，2A ：第二次出现正面，3A ：正反面各出现一次，4A ：两次都是出现正面，则下列说法正确的是（）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立【例】设,,A B C是三个相互独立的随机事件，且<<，则下列给定的四对事件中不一定相互0()1P C独立的是 ( )()A A B与C()B A C与C-与CC A B()D AB与C()34【题型四全概率公式与贝叶斯公式】【例1.8】在1,2,3,4中任取1个数为X，再从1,X中任取一个数为Y，则{}2___P Y==35【例】设工厂A,B的产品的次品率分别为1%和2%，现在从由产品A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取1件（1）求该产品是次品的概率（2）已知取出为次品，求该次品属于A生产的概率36【例】设有甲、乙两个箱子，甲箱中有m只白球，n个红球，乙箱中有a个白球，b个红球，现从甲箱中任意取出一只放入乙箱，再从乙箱中任取出一球，求（1）从乙中取出的是白球的概率（2）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是白球的概率（3）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是红球的概率37【例】甲乙两名运动员进行打靶训练，每次打靶甲中靶的概率为0.5，乙中靶的概率为0.3，甲乙两人都中靶的概率为0.2，每次打靶中只要有一人中靶就称为此次打靶合格，第n次()3n>打靶α=合格恰好是第3次合格的概率___383963。

方浩概率论讲义教材数一数三的区别

方浩概率论讲义教材数一数三的区别
方浩概率论讲义和教材《数一》、《数三》的区别可以从以下几个方面进行比较：
1. 内容涵盖范围：
方浩概率论讲义主要讲解了概率论的基础概念、概率分布、随机变量及其分布、概率模型等基本知识点，并配以大量实例进行讲解。

而《数一》、《数三》是大学数学课程教材，涵盖的内容更为广泛，除了概率论外还包括微积分、线性代数、数学分析等多个数学分支的知识。

2. 深度和难度：
方浩概率论讲义针对概率论这个专业课程，深入浅出地讲解了相关概念和技巧，适合初学者入门。

而《数一》、《数三》是大学数学课程教材，内容较为深入全面，包含了更多的数学理论和推导过程，相对难度也较大。

3. 针对对象：
方浩概率论讲义主要面向概率论课程的学生，尤其是本科生以及相关专业研究生。

而《数一》、《数三》则是针对大学的数学专业课程，适合大学数学专业学生使用。

4. 教学风格和方法：
方浩概率论讲义以简明扼要、通俗易懂的语言进行讲解，注重实例和计算步骤的详细介绍，通过具体问题和应用进行讲解，辅以习题练习巩固知识点。

而《数一》、《数三》则更为系统和理论化，注重原理和证明过程的讲解，教材内容相对较为详
细和繁杂，需要学生有较强的数学推理和证明能力。

综上所述，方浩概率论讲义和《数一》、《数三》教材在内容范围、深度难度、适用对象和教学方法等方面存在一些明显的区别。

选择哪种教材取决于学习者的需求和学习阶段。

方浩概率强化班难度

方浩概率强化班难度（实用版）目录1.介绍方浩概率强化班2.探讨方浩概率强化班的难度3.分析方浩概率强化班的教学方法4.评估方浩概率强化班的效果正文方浩概率强化班是一门面向想要提高概率论和统计学知识的学生的课程。

这个课程的目标是通过强化班的教学方式，让学生在短时间内掌握概率论和统计学的核心概念和方法。

关于方浩概率强化班的难度，不同的学生可能会有不同的看法。

对于那些已经具备一定概率论和统计学基础的学生来说，这个课程可能会有一定的挑战性。

因为它要求学生在短时间内学习大量的知识，并且需要学生具备一定的数学运算能力。

然而，对于那些完全没有接触过概率论和统计学的学生来说，这个课程可能会显得有些难以理解。

方浩概率强化班的教学方法主要是通过讲解和练习相结合的方式进行。

在课堂上，老师会讲解概率论和统计学的基本概念和方法，然后通过大量的练习让学生掌握这些知识。

这种教学方法的优点在于，它可以帮助学生在短时间内掌握大量的知识，并且通过练习可以加深对知识的理解。

方浩概率强化班的效果如何，主要取决于学生的学习态度和老师的教学水平。

如果学生认真听课，勤奋练习，那么他们可以在短时间内掌握概率论和统计学的核心知识。

如果老师的教学水平高，讲解清晰，那么学生可以更好地理解知识。

然而，如果学生不认真听课，或者老师的教学水平不高，那么方浩概率强化班的效果可能会大打折扣。

总的来说，方浩概率强化班是一门可以帮助学生提高概率论和统计学知识的课程。

它的难度取决于学生的基础水平和老师的教学水平。

通过讲解和练习相结合的教学方法，学生可以在短时间内掌握大量的知识。

方浩概率论很多都是李正元全书的内容

方浩概率论很多都是李正元全书的内容
李正元全书之浩概率论——学习生活过程中挸挹必备
生活中我们每个人都充满无数种可能性，而未来则又充满了无数种可能性，我们每一步步向前时，通过观察现有趋势以及心理推测，做出抉择。

这就是所谓的概率论，概率论是统计学的一个分支，它计算和评估某件事情发生的可能性。

我们在学习过程中，有句话说的好：“预测不准，准备充分”，掌握概率论会让我们有做准备的自信，也能更有效地把握准确率，提升我们各方面的实力。

而李正元全书中浩概率论就是将各种统计学的知识结合起来，解释详细的概率论的知识，引导读者了解概率论的内容，加深概率论的理解。

全书书内容涉及概率论的各个方面：事件定义、模型建立与概率表的计算、概率的性质、统计量的概念及分布、概率的假定与概率推导、联合概率分布等，还包括如何源源不断地产生文献研究理论，面面俱到地介绍概率论知识内容。

李正元全书之浩概率论被广大读者好评，更是学习浩概率论的金科玉律，全书的简洁的语言、合理的说明、详尽的内容让浩概率论的学习更加容易理解，让每个学习者都能够更好地把握未来，在提升生活质量与维护未来前进不懈的同时，让自身在行业更上一层楼。

方浩概率论基础

方浩概率论基础概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。

方浩概率论基础是一门基础课程，旨在帮助学生建立对概率论的基本概念、理论和应用的理解。

本文将从概率的定义和性质、随机变量、概率分布、期望和方差等方面，全面详细地介绍方浩概率论基础的内容。

1、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性的数值。

在方浩概率论基础中，我们首先介绍了概率的定义和性质。

概率的定义有两种：古典概率和统计概率。

古典概率是指在等可能性的前提下，根据事件的个数计算概率；统计概率则是通过实验或观察得到的频率来估计概率。

概率的性质包括：非负性、规范性、可列可加性和互斥性。

非负性指概率的值必须大于等于0；规范性指全样本空间的概率为1；可列可加性指对于任意可列个互斥事件，它们的概率之和等于它们的并集的概率；互斥性指两个事件不能同时发生。

2.随机变量随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学描述。

方浩概率论基础中，我们介绍了离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量是取有限或可数个值的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。

连续随机变量是取无限多个值的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。

随机变量的分布特征可以通过期望和方差来描述。

期望是随机变量的平均值，方差是随机变量与其期望之间的差的平方的平均值。

3.概率分布概率分布是随机变量取各个值的概率的分布情况。

方浩概率论基础中，我们介绍了几种常见的概率分布。

离散随机变量的常见概率分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

伯努利分布是最简单的离散概率分布，描述了只有两个可能结果的随机试验；二项分布描述了重复进行独立的伯努利试验的结果；泊松分布描述了在一段时间或空间内发生某事件的次数。

连续随机变量的常见概率分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。

均匀分布指随机变量在一定区间内取值的概率相等；正态分布是最重要的连续概率分布，具有钟形曲线的特点；指数分布描述了连续时间或空间上的事件发生的间隔时间。