理学温州大学物理习题汇总
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求 +距直线r 处一点P 的电场强度
对称性分析：
dq
L
or
dq'
Sr
P
当 L 或
a时，0
1 0 2
y dE
d Ey
P
d Ex
无限长均匀带电直线的电场
Ex 0
Ey 20a
uv
r
1
a
2
dx x O
x
(a)当 q 0, Ey方向0 垂E直于带电体向外
uv
(b)当 q 0, Ey方 向0 垂E直于带电体向里
与书中6-4例题比较
例4 半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q
L
求 它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a)
解 解题步骤
1. 选元电荷 dq dx
2. 确定 dE的v 方向
3. 确定 dEv的大小
d v
E
1
4 0
dq r2
4. 建立坐标，将 d投E 影到坐标轴上
y dE d Ey
P d Ex
r
1
a
2
dx dq
x
O
x
d Ex d E cos
4 0 a
(sin θ2
sin θ1)i
(cosθ1
cos θ2 )
j
y dE
d Ey
P
d Ex
EP Ex2 Ey2
Q
L arctg(Ey / Ex )
r
1
a
2
dx dq
x
O
x
Ex 40a (sin θ2 sin θ1)
Ey 40a (cos θ1 cos θ2 )
讨论
r (R2 y2 )1/2
uv E
1
4 0
(R2
qy y2 )3/2
v j
讨论
uv 1
qy v
E
4 0
(R2 y2 )3/2
jLeabharlann Baidu
(1) 当 y = 0（即P点在圆环中心处）时， E0
(2) 当 y >> R 时 R2 y2 y2
y
dEy
P
ry
RO dq
E 1 q
40 y2
可以把带电圆环视为一个点电荷 q
求 圆环轴线上任一点P的电场强度
解 dq dl
1 dq
d E 40 r2
q 2 R
y
dEy
dE
P dE
ry
d E d E sin
d Ey d E cos
RO
x
圆环上电荷分布关于y轴对称 E 0
dq
Ey
1
4 0
d r
q
2
cos
1
4 0
cos
r2
dq
1
4 0
q r2
cos θ
cos θ y r
可以把带电圆盘视为一个点电荷 q
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
0
0
0
0
2.电场强度计算—高斯定理
例1 求均匀带正电球壳内外任意点的电场强度，球壳
总电量为Q，半径为R
P
E
解 (1) 对球面外一点P : r R
+
+
Rr
+
r dS
取过场点P的同心球面为高斯面
v
Ñ E
d
v S
q
x
Ex
2E
cos
2E
l
/2 r
E
y
E
4
1
π 0
q r2
vv
1
E
E
i
4
πε0
4
1 πε0
(
y2
ql i l2
)3/ 2
ql r3
E B
v i
eEr
q
r
y
e
q
l
x
（定义电偶极矩
p
ql ）
讨论
若 y l
4 则
E
1
4 π0
ql i y3
1
4π 0
p y3
例3 长为L的均匀带电直杆，总电量为Q Q
r
E
r r
3.9i 6.8 j 103 N/C
Q32 x/m
r2 P
r E2
例2: 求电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度
E
1
4π 0
q r 2
e
E
1
4π 0
q r 2
e
r r r
y2 ( l )2 2
Ey 0
E
y
E B
eEr
q
r
y
l
Ex Ex Ex 2E cos
e
2 0
[1
(R2
y y2 )1/2
]
r
dr O
R
E
q
2 0 R 2
[1
(R2
y y2 )1/2
]
j
讨论
uv E
[1
y
v ]j
20 (R2 y2 )1/2
(1) 当y<< R，圆板可视为无限大薄板
(2)
E 20
无限大均匀带电平面的场强
0
0
(2) 当y >> R
时
E
1
4 0
q y2
sin
sin d 4 0 a
y dE
d Ey
P
d Ex
r
1
a
2
dx dq
x
O
x
Ex
dEx
θ2 θ1
4 0 a
cos θdθ
4 0 a
(sin θ2
sin
θ1 )
Ey
dEy
θ2 sin θdθ θ1 40a
40a (cosθ1 cos θ2 )
EP Exi Ey j
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
s +++ 2
o Rr
推广
求均匀带电球体的电场，已知Q, R？
uv (1) r R, E？
Ñ v v E dS
qint
S
0
E
Qr
4 0 R3
(2) r R，
uv E？
Ñ v v E dS
qint
S
0
E
Q
40r 2
E
RQ r
r
例2 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为
课堂例题
例1 在坐标原点及 ( 3 ,0) 点分别放置电荷Q1 2μC 及 Q2 1μC 的点电荷，求在P ( 3, 1) 处的场强（坐标单位为m）
解
E1
1
4 0
Q1 r12
9
109
2
106 22
4.5103 N/C
y/m
O Q1 30 r1
r E1
1
E2
1
4 0
Q2 r22
9
109
1106 12
Ñ E
d
S
E
Ñ d
S
E
4
r
2
Ñ S
S
根据高斯定理
vS v E dS
1
S
0
q int
qi
qi
E4r2 i
0
E
i
4 0r 2
++
Q+
场强方向沿径向
r R qi Q
i
E Q
4 0r2
（2） 0 r R
Ñ v v E dS
qint
0
S1
0
E 0
rR
E
Q
4 0r2
QE
4π 0R2
例5 面密度为 的均匀带电圆面在轴线上任一点的电场强度
解
d q ds 2 r d r
d
E
1
4 0
(r 2
ydq y2 )3/2
y rdr 20 (r 2 y2 )3/2
q
R2
E 1
qy
40 (R2 y2 )3/2
y
dE
P y
E dE y
2 0
R rdr 0 (r 2 y2 )3/2
5. 选择积分变量
d Ey d E sin Ex
d
Ex
1
4 0
dx
r2
cos
r, , x 是变量，而线积分只要一个变量
选θ 作为积分变量 由图上的几何关系
x acotθ
dx a d sin2
r2
a2
sin2
dEx
dx 40r 2
cos
cos d 4 0 a
dEy
dx 4 0 r 2
9 103 N/C
r E
Q32 x/m
r2 P
r E2
E1x E1 cos 30 3.9 103 N/C
y/m
E1
E1y E1 sin 30 2.25103 N/C E2x 0
O Q1
30 r1
r E1
E2
1
E2 y E2 9 103 N/C
r
r
r
E E1x E2x i E1y E2 y j
对称性分析：
dq
L
or
dq'
Sr
P
当 L 或
a时，0
1 0 2
y dE
d Ey
P
d Ex
无限长均匀带电直线的电场
Ex 0
Ey 20a
uv
r
1
a
2
dx x O
x
(a)当 q 0, Ey方向0 垂E直于带电体向外
uv
(b)当 q 0, Ey方 向0 垂E直于带电体向里
与书中6-4例题比较
例4 半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q
L
求 它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a)
解 解题步骤
1. 选元电荷 dq dx
2. 确定 dE的v 方向
3. 确定 dEv的大小
d v
E
1
4 0
dq r2
4. 建立坐标，将 d投E 影到坐标轴上
y dE d Ey
P d Ex
r
1
a
2
dx dq
x
O
x
d Ex d E cos
4 0 a
(sin θ2
sin θ1)i
(cosθ1
cos θ2 )
j
y dE
d Ey
P
d Ex
EP Ex2 Ey2
Q
L arctg(Ey / Ex )
r
1
a
2
dx dq
x
O
x
Ex 40a (sin θ2 sin θ1)
Ey 40a (cos θ1 cos θ2 )
讨论
r (R2 y2 )1/2
uv E
1
4 0
(R2
qy y2 )3/2
v j
讨论
uv 1
qy v
E
4 0
(R2 y2 )3/2
jLeabharlann Baidu
(1) 当 y = 0（即P点在圆环中心处）时， E0
(2) 当 y >> R 时 R2 y2 y2
y
dEy
P
ry
RO dq
E 1 q
40 y2
可以把带电圆环视为一个点电荷 q
求 圆环轴线上任一点P的电场强度
解 dq dl
1 dq
d E 40 r2
q 2 R
y
dEy
dE
P dE
ry
d E d E sin
d Ey d E cos
RO
x
圆环上电荷分布关于y轴对称 E 0
dq
Ey
1
4 0
d r
q
2
cos
1
4 0
cos
r2
dq
1
4 0
q r2
cos θ
cos θ y r
可以把带电圆盘视为一个点电荷 q
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
0
0
0
0
2.电场强度计算—高斯定理
例1 求均匀带正电球壳内外任意点的电场强度，球壳
总电量为Q，半径为R
P
E
解 (1) 对球面外一点P : r R
+
+
Rr
+
r dS
取过场点P的同心球面为高斯面
v
Ñ E
d
v S
q
x
Ex
2E
cos
2E
l
/2 r
E
y
E
4
1
π 0
q r2
vv
1
E
E
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4
πε0
4
1 πε0
(
y2
ql i l2
)3/ 2
ql r3
E B
v i
eEr
q
r
y
e
q
l
x
（定义电偶极矩
p
ql ）
讨论
若 y l
4 则
E
1
4 π0
ql i y3
1
4π 0
p y3
例3 长为L的均匀带电直杆，总电量为Q Q
r
E
r r
3.9i 6.8 j 103 N/C
Q32 x/m
r2 P
r E2
例2: 求电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度
E
1
4π 0
q r 2
e
E
1
4π 0
q r 2
e
r r r
y2 ( l )2 2
Ey 0
E
y
E B
eEr
q
r
y
l
Ex Ex Ex 2E cos
e
2 0
[1
(R2
y y2 )1/2
]
r
dr O
R
E
q
2 0 R 2
[1
(R2
y y2 )1/2
]
j
讨论
uv E
[1
y
v ]j
20 (R2 y2 )1/2
(1) 当y<< R，圆板可视为无限大薄板
(2)
E 20
无限大均匀带电平面的场强
0
0
(2) 当y >> R
时
E
1
4 0
q y2
sin
sin d 4 0 a
y dE
d Ey
P
d Ex
r
1
a
2
dx dq
x
O
x
Ex
dEx
θ2 θ1
4 0 a
cos θdθ
4 0 a
(sin θ2
sin
θ1 )
Ey
dEy
θ2 sin θdθ θ1 40a
40a (cosθ1 cos θ2 )
EP Exi Ey j
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
s +++ 2
o Rr
推广
求均匀带电球体的电场，已知Q, R？
uv (1) r R, E？
Ñ v v E dS
qint
S
0
E
Qr
4 0 R3
(2) r R，
uv E？
Ñ v v E dS
qint
S
0
E
Q
40r 2
E
RQ r
r
例2 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为
课堂例题
例1 在坐标原点及 ( 3 ,0) 点分别放置电荷Q1 2μC 及 Q2 1μC 的点电荷，求在P ( 3, 1) 处的场强（坐标单位为m）
解
E1
1
4 0
Q1 r12
9
109
2
106 22
4.5103 N/C
y/m
O Q1 30 r1
r E1
1
E2
1
4 0
Q2 r22
9
109
1106 12
Ñ E
d
S
E
Ñ d
S
E
4
r
2
Ñ S
S
根据高斯定理
vS v E dS
1
S
0
q int
qi
qi
E4r2 i
0
E
i
4 0r 2
++
Q+
场强方向沿径向
r R qi Q
i
E Q
4 0r2
（2） 0 r R
Ñ v v E dS
qint
0
S1
0
E 0
rR
E
Q
4 0r2
QE
4π 0R2
例5 面密度为 的均匀带电圆面在轴线上任一点的电场强度
解
d q ds 2 r d r
d
E
1
4 0
(r 2
ydq y2 )3/2
y rdr 20 (r 2 y2 )3/2
q
R2
E 1
qy
40 (R2 y2 )3/2
y
dE
P y
E dE y
2 0
R rdr 0 (r 2 y2 )3/2
5. 选择积分变量
d Ey d E sin Ex
d
Ex
1
4 0
dx
r2
cos
r, , x 是变量，而线积分只要一个变量
选θ 作为积分变量 由图上的几何关系
x acotθ
dx a d sin2
r2
a2
sin2
dEx
dx 40r 2
cos
cos d 4 0 a
dEy
dx 4 0 r 2
9 103 N/C
r E
Q32 x/m
r2 P
r E2
E1x E1 cos 30 3.9 103 N/C
y/m
E1
E1y E1 sin 30 2.25103 N/C E2x 0
O Q1
30 r1
r E1
E2
1
E2 y E2 9 103 N/C
r
r
r
E E1x E2x i E1y E2 y j