功动能定理

Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
G O
x
M2
y
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
9
二.弹性力的功
弹簧弹性力
F kxi
F
O x1
解：
vy
dy dt
16
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
vx
dx dt
4t 2
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
0
A
Fxdx Fydy
2320t3dt 1200 J
1
6
例
已知用力 F 缓慢拉质量为m
的小球，F 保持方向不变
求 由 0 增大到 0 的过程中，F作的功。
解 F T sinθ 0
T cosθ mg 0
F mg tanθ
A
F
dr
F
cosθ
ds
mg tanθ cosθ ds
θ0 mg sin θLdθ 0
Lθ T
F
G
y
mgL(1 cos θ0 )
x
7
例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动
求 t = 02s 内F 作的功及 t = 2s 时的功率。
xLeabharlann Baidu
b
F在
dr一段上的功：
dA
F
drcos
dA
F
dr
2
F 在ab一段上的功
A
b
aL
F
dr
在直角坐标系中
在自然坐标系中 说明
A
b
a
L（ Fxdx
Fydy
Fzdz）
dr ds
b
A F cosds aL
(1) 功是标量，且有正负
(2) 合力的功等于各分力的功的代数和
A
b
a
L
F
dr
b
a
L
(
F1 F2
13
二. 质点系动能定理
把质点动能定理应用于质点系内所有质点
并把所得方程相加有:
i
Ai
i
1 2
mivi22
i
1 2
miv
2 i1
Ai Ai外 Ai内
i
i
i
m1
m2 m3
v2 v4
v3
v1 m4
讨论
(1) 内力和为零,内力功的和是否为零？
14
例如：子弹穿过木块过程中，
子弹对木块的作用力为f，木
解 F 6t dv
m
dt
v 3t2 dx dt
dx 3t2dt
A
x
Fdx
t F 3t2dt
236t3dt 144J
0
0
0
P Fv 12t 3t2 288W
8
§3.2 几种常见力的功
一.重力的功
z M1
②
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
m①
A
M2
M1 1
任何一对相互作用力做功的代数和仅决定于两物体的相对位 移，而与参考系的选择无关。
(2) 内力的功也能改变系统的动能 例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转
化为弹片的动能。
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例 一轻弹簧的劲度系数为 k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所 示。放手后，物体沿水平面移动距离x2=0.1m而停止。
平均功率
P A t
当 t 0 时的瞬时功率 P lim A dA t0 t dt
P
F
dr
Fv
Fv
cosθ
dt
5
例 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质
点的速度为
v
4t
2i
16
j
,开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
10
三.万有引力的功
F 在位移元
dr上的元功为
dA dr
F cos
drcos(
dr
)
F
drGcmorsM2
dA
G
mM r2
dr
万有引力 F 在全部路程中的功为
b
r2
dr
F
m
dr
M
r1
a
A
r2 r1 (
L
)
G
mM r2
dr
GmM ( 1 r2
1) r1
结论
(1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所
行经的路径无关。
11
(2) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O 时，万有引力作负功。
四.摩擦力的功
摩擦力 F 在这个过程中所作的功为
A M2 F cosds M1 L
F mg
F
M1
v
M2
摩擦力方向始终与质点速度方向相反 cos 1
A mgs
结论
摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经 的路径有关。
第3章 功和能
图为秦山核电站全景
1
§3.1 功
空间积累：功
F
F
时间积累：冲量
θ
M
M
研究力在空间的积累效应 功、 a
动能、势能、动能定理、机械能
s
b
守恒定律。
z
一.恒力的功 A Fs cosθ
A FS
aM
r
F
θ
dr
二.变力的功
求质点M 在变力作用下，沿曲线
O r dr
y
轨迹由a 运动到b，变力作的功
Fn )
dr
b
aL
F1
dr
b
a
L
F2
dr
b
aL
Fn
dr
A1 A2 An
3
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关 (4) 作功与参照系有关。
f静
例如：传送带将箱子从低处 运到高处，地面上的人看摩 擦力作功了，而站在传送带 上的人看摩擦力没有作功。
4
三. 功率
力在单位时间内所作的功，称为功率。
12
§3.3
一.质点动能定理
dA
F
dr
m
动能定理
dv
dr
vr drr
mv dvdt
mvdv
dt
A
dA
v2
v1
mvdv
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质 点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。
说明
(1) Ek 是一个状态量, A 是过程量。 (2) 动能定律只适用于惯性系。
x2
x
由x1 到x2 路程上弹性力的功为
A
x2 kxdx
x1
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变
量平方之差的一半。
结论
(1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径
无关。
(2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，
弹性力作负功。
块对子弹的反作用力为f′，
f'
木块的位移为s，子弹的位移
f
为（s+l）。
f 对木块作功： f s 0
s
l
f ' 对子弹作功： f '(s l) 0
对系统的合功为： f s f '(s l) f 'l
子弹减少的能量转变成木块的动能和热能，摩擦生热，为 一对作用力和反作用力作功之和。不为零。
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即：一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但这对力作功 的总和不一定为0。
例：恒力F 作用在箱子上从左端到右端，一次小车固定，另一
次没固定，以地面为参照系，
r F
A.两次 F 作功相等；
B.两次摩擦力对箱子作功相同；
C.两次箱子获得动能相同，F 作功相同；
D.两次由于摩擦力生热相同。
[ D]
16