功动能定理
动能定理动能与功的关系
动能定理动能与功的关系动能定理是物理学中一个重要的原理，它描述了动能与功之间的关系。
在本文中，我们将探讨动能定理的概念以及它与功的关系。
一、动能的定义和计算方法动能是一个物体由于运动而具有的能量，是物体运动能量的量度。
根据经典力学，动能可以通过以下公式计算得出：动能（K）= 1/2 ×质量（m）×速度的平方（v²）其中，质量（m）是物体的质量，速度（v）是物体的速度。
二、功的定义和计算方法功是由力对物体所做的功效，是描述力对物体转移能量的物理量。
根据经典力学，功可以通过以下公式计算得出：功（W）= 力（F）×距离（d）× cosθ其中，力（F）是施加在物体上的力，距离（d）是力在物体运动方向上的位移，θ是力和位移之间的夹角。
三、动能定理的概念动能定理是描述动能与功之间关系的定理。
它表明，物体的动能的变化等于施加在物体上的净合外力所做的功。
即：ΔK = Wnet其中，ΔK表示动能的变化量，Wnet表示净合外力所做的功。
四、动能定理的示例应用为了更好地理解动能定理与功的关系，我们可以通过一个示例来说明。
假设有一个质量为2kg的物体以速度5m/s向前运动，受到一个由正方向施加的10N的恒力作用，并且恒力和物体的运动方向相同。
求物体在2s内的动能的变化量。
首先，根据动能的定义和计算方法，可以计算出物体在初始时刻（t=0）和终止时刻（t=2）的动能分别为：K1 = 1/2 × 2kg × (5m/s)² = 25JK2 = 1/2 × 2kg × (5m/s)² = 25J然后，计算净合外力所做的功。
根据功的计算方法，可以得到：Wnet = 力 ×距离× cosθ = 10N × 2m × 1 = 20J最后，根据动能定理，可以得到动能的变化量：ΔK = K2 - K1 = 25J - 25J = 0 J这说明在2s内，物体的动能没有发生变化。
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
§2-6功 动能 动能定理
F (3 2t )i (SI) 的作用，从静止出发沿x轴运
动，求：当t=1s时物体的速度 解：由质点的动能定理
例2 一物体质量M=2kg的质点，受合外力
1 A Fdx mv 2 0 0 2
t
A (3 2t )dx ?
由牛顿定律求出a，转化为运动学第二类问题
动能定理: 合外力对质点所作的功等于质点动 能的增量. 功是一个过程量，而动能是一个状态量，动能定 理是过程量和状态量增量的关系。
讨论 1）合力做正功时，质点动能增大；反之，质点 动能减小。 2）动能的量值与参考系有关。 3）动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于 质点,只适用于惯性系。 4）质点速度接近光速，则动能定理的叙述不变， 但动能表达式改变!
3.功率
力在单位时间内做的功，用P 表示
F v
功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做 同样的功花费的时间就越少。
例1 设作用在质量为2kg物体上的力F= 6t.如果物体 由静止出发沿直线运动，求头2秒内该力所作的功？ 解： 这是变力作功的问题。以物体的起始位置为原
点，向右为正取坐标如图：
A Fi ri
从a→b变力 Fi 作的总功为：
当 ri 0 时求和变为积分，沿曲线L
A
b
0
a
b F dr F cos dr
a
2
,
dA 0
dA < 0 dA = 0
= 2,
2 < <,
A是标量， 反映了能量的变化，功的正负取决于 力与位移的夹角。 在具体计算时，由于
2-6 功 动能 动能定理
一 功 功是表示力对空间累积效应的物理量。 1. 恒力作用 直线运动 若F是恒力且物体沿直线运动发生位移 a→b ,
功 功率和动能定理
功 功率和动能定理一、基础知识要记牢1、恒力．．做功的公式：W ＝Fl cos α 若力的方向时刻变化，但力的方向始终与运动方向相同或相反，则可用W ＝Fl 求此变力的功，其中l 为物体运动的路程。
2、功率(1)平均功率：P ＝W t＝F v cos α (2)瞬时功率：P ＝F v cos α3、输出功率：P ＝F v ，其中F 为机车牵引力。
4、的两种启动方式：(1)恒定功率启动（包含两个过程：变加速→匀速）。
(2)匀加速启动（包含三个过程：匀加速→变加速→匀速）5、定理表达式：W 合＝E k 2－E k 1说明：(1)W 合为物体在运动过程中外力的总功。
(2)动能增量E k 2－E k 1一定是物体在末初．．两状态动能之差。
二、方法技巧要用好1、功率启动(1)机车先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速直线运动，速度图像如图2－1－5所示，当F ＝F 阻时，v m ＝P F ＝P F 阻。
(2)功能关系：Pt －F 阻x ＝12m v 2－0。
图2－1－5 2、加速度启动(1)速度图像如图2－1－6所示。
机车先做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后获得匀加速的最大速度v 1。
若再加速，应保持功率不变做变加速运动，直至达到最大速度v m 后做匀速运动。
(2)经常用到的公式： 图2－1－6 ⎩⎪⎨⎪⎧ F －F 阻＝ma P ＝F v P 额＝F 阻v m v 1＝at 其中t 为匀加速运动的时间3、动能定理解题的基本步骤巩固练习[以选择题的形式考查，常涉及功的正负判断、功的计算、平均功率与瞬时功率的分析与计算等]1、一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时速率为1 m/s。
从此刻开始在与速度平行的方向上施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2－1－1甲和乙所示，两图中F、v取同一正方向。
则()图2－1－1A．滑块的加速度为1 m/s2B．滑块与水平地面间的滑动摩擦力为2 NC．第1 s内摩擦力对滑块做功为－0.5 JD．第2 s内力F的平均功率为3 W2(2012·江苏高考)如图2－1－2所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。
动能定理动能与功的转化
动能定理动能与功的转化动能定理：动能与功的转化动能定理是研究物体运动中动能与功的转化关系的重要原理。
根据这一定理，我们可以更深入地理解物体的运动状态以及力的影响。
本文将详细介绍动能定理的概念和具体应用。
一、动能的概念与计算方法动能是物体运动所具有的能量，它与物体的质量和速度相关。
根据经典力学理论，动能K可以用下式计算：K = (1/2)mv²其中，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
二、功的概念与计算方法功是力对物体产生的作用量，它描述了力的大小和方向与物体位移的关系。
在力沿着物体运动方向的情况下，功可以通过以下公式计算：W = F·s·cosθ其中，F表示力的大小，s表示物体的位移，θ表示力与位移之间的夹角。
三、动能定理的表述与意义动能定理给出了动能与功之间的重要关系。
它的数学表述如下：ΔK = W即动能的变化量等于力对物体所做的功。
动能由于速度的不同而具有变化，而这种变化与外力对物体所做的功恰好相等。
动能定理的意义在于揭示了动能与物体运动状态的密切联系。
当物体受到外力作用时，动能的变化可以通过外力对物体所做的功来表示。
四、动能定理的实际应用1. 运动物体的动能转化当一个物体在运动过程中，受到外力作用导致其速度发生变化时，动能也会相应地发生变化。
根据动能定理，我们可以通过计算作用力对物体所做的功，来了解动能的变化情况。
例如，当一个小球从一定高度自由落下时，它的动能会随着下落的高度增加而增加。
重力对小球所做的功将转化为小球的动能，使得小球在下落过程中速度逐渐增大。
2. 动能与速度的关系动能与物体的速度成正比，即动能随速度的增加而增加。
这也表明，速度越大的物体具有更大的动能。
例如，当一个投掷物以较高的速度运动时，由于其速度较大，其动能也会相应增加。
这在日常生活中可以应用到诸如击球运动、射箭等活动中，通过增加物体的速度，从而增加其动能，提高运动的效果。
3. 动能定理在能量守恒定律中的应用动能定理与能量守恒定律存在紧密联系。
第4章1 功 动能定理
mg
T v dr
l
v 2 gl(cos cos 0 )
1.53 m s
1
8
例2. 如图， 长为 L ，质量为 m 的匀质链条，置于水平桌面上，链条与桌 面之间的摩擦系数为μ， 下垂部分的长度为 a 。链条由静止开始运动，求在 链条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功和链条离开桌面时的速率。 解: （1）重力所作的功： 链条下端在y时，重力所作元功
x y z
3
A Ax Ay Az
功的单位 1J 1N m 做功的三个要素：力、物体、过程 3. 功率 平均功率 瞬时功率
A P t
A dA P lim F v t 0 t dt
P Fv cos
功率的单位：瓦特（W） 1W 1J s 1
vB
2
2
定义：动能（状态函数）—— E 1 mv 2 E p k k
2
2
5 2m
动能定理 ——合力对质点所作的功数值上等于该质点动能的增量。
A EkB E kA
注意： 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 。
6
例 1 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳的上端
18
1 引力势能
rB Gm1m2 AAB f dr rA r 3 r dr ( L) A ( L) rB Gm1m2 Gm1m2 Gm1m2 dr 2 ( L ) rA r rB rA AAB E p EPA E pB 选 rB= 为零势点,EpB=0 m1m2 m1 , m2 两质点引力势能 E p r G r 重力势能:
固定在天花板上。起初把绳子放在与竖直线成 30 角处, 然后放
功动能定理
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
G O
x
M2
y
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
9
二.弹性力的功
弹簧弹性力
F kxi
F
O x1
15
即：一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但这对力作功 的总和不一定为0。
例：恒力F 作用在箱子上从左端到右端，一次小车固定，另一
次没固定，以地面为参照系，
F
A.两次 F 作功相等；
B.两次摩擦力对箱子作功相同；
C.两次箱子获得动能相同，F 作功相同；
D.两次由于摩擦力生热相同。
[ D]
16
任何一对相互作用力做功的代数和仅决定于两物体的相对位 移，而与参考系的选择无关。
dr
x
cos
b
dA
F
dr
2
F 在ab一段上的功
A
b
aL
F
dr
在直角坐标系中
在自然坐标系中 说明
A
b
a
L（ Fxdx
Fydy
Fzdz）
dr ds
b
A F cosds aL
(1) 功是标量，且有正负
(2) 合力的功等于各分力的功的代数和
A
b
a
L
F
dr
b
a
L
(
F1
F2
Fn )
dr
§3.1 功
空间积累：功
F
动能定理物体的动能与力的做功
动能定理物体的动能与力的做功动能定理：物体的动能与力的做功动能定理是物理学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与力的做功之间的关系。
在本文中，我们将探讨动能定理的定义、原理以及应用。
一、动能定理的定义动能定理是指在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
简而言之，物体的动能增加或减少的大小，正好等于作用于物体的力所作的功。
二、动能定理的原理物体的动能可以通过它的质量和速度来定义，即动能 = 1/2 ×质量 ×速度的平方。
力的功可以用力的大小、物体的位移和力与位移之间的夹角来定义，即做功 = 力 ×位移× cosθ。
根据动能定理，在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
表示为：物体的动能的增量 = 力的做功。
三、动能定理的应用1. 物体的动能和速度关系：根据动能定理，物体的动能正比于其速度的平方。
当速度增加时，动能增加；当速度减小时，动能减小。
2. 动能与重力势能的转换：在重力场中，当物体从较高位置下降到较低位置时，重力对物体做功，并将其势能转化为动能。
反之，当物体由较低位置上升到较高位置时，动能将转化为重力势能。
3. 动能与弹性势能的转换：在弹性体系中，物体由于受到压缩或伸展而具有弹性势能。
当物体释放出弹性势能时，它将转化为动能。
4. 动能定理的应用于机械工作：在机械运动中，动能定理可应用于机器的工作原理和能量转换的分析。
比如，在运输系统中，我们可以通过应用动能定理来计算物体在传送过程中所需的能量和功率。
总结：动能定理是物体的动能与力的做功之间的关系。
它可以帮助我们理解物体运动时的能量转化过程，并应用于各种实际情况的分析和计算。
通过深入研究动能定理，我们可以更好地理解物体运动的本质和力学规律。
功,功率,动能定理知识点总结
功,功率,动能定理知识点总结一、功。
1. 定义。
- 一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
- 公式：W = Fxcosθ，其中W表示功，F是力的大小，x是位移的大小，θ是力与位移方向的夹角。
2. 功的正负。
- 当0≤slantθ <(π)/(2)时，cosθ> 0，力对物体做正功，力是动力，物体的能量增加。
- 当θ=(π)/(2)时，cosθ = 0，力对物体不做功，例如物体做圆周运动时向心力不做功。
- 当(π)/(2)<θ≤slantπ时，cosθ<0，力对物体做负功，力是阻力，物体的能量减少。
3. 合力的功。
- 方法一：先求出物体所受的合力F_合，再根据W = F_合xcosθ计算合力的功，这里的θ是合力与位移方向的夹角。
- 方法二：分别求出各个力做的功W_1,W_2,W_3,·s，然后根据W_合=W_1 + W_2+W_3+·s计算合力的功。
二、功率。
1. 定义。
- 功率是描述力对物体做功快慢的物理量。
- 公式：P=(W)/(t)，其中P表示功率，W是功，t是完成这些功所用的时间。
2. 平均功率和瞬时功率。
- 平均功率：P=(W)/(t)，也可以根据P = F¯vcosθ计算，其中¯v是平均速度。
- 瞬时功率：P = Fvcosθ，其中v是瞬时速度。
当F与v同向时，P = Fv。
3. 额定功率和实际功率。
- 额定功率：是发动机正常工作时的最大功率，通常在发动机铭牌上标明。
- 实际功率：是发动机实际工作时的功率，实际功率可以小于或等于额定功率，不能长时间大于额定功率。
三、动能定理。
1. 动能。
- 定义：物体由于运动而具有的能量叫动能，表达式为E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
- 动能是标量，且恒为正。
2. 动能定理。
- 内容：合外力对物体做的功等于物体动能的变化。
知识点8功功率动能定理
• 功和功率 • 动能定理 • 实例分析 • 动能定理的拓展
01 功和功率
功的定义
总结词
功是力对位移的累积效应，表示 能量转化的量度。
详细描述
在物理学中，功被定义为力与物体 在力的方向上移动的位移的乘积。 公式表示为：W = F × s，其中W 表示功，F表示力，s表示位移。
动能定理的推导
总结词
动能定理的推导基于牛顿第二定律和运动学公式，通过数学运算得出。
详细描述
动能定理的推导过程首先根据牛顿第二定律F=ma，结合运动学公式 s=v0t+1/2at^2，通过数学运算和推导，可以得到合外力对物体所做的功的公式 W=ΔE_k=1/2mv^2-1/2mv0^2。由此可以得出动能定理的表述。
动能定理与能量守恒定律的关系
动能定理是能量守恒定律的一种表现形式。根据能量守恒定律，一个孤立系统的 总能量保持不变。当系统中的动能和势能发生改变时，总能量仍然保持不变。动 能定理描述了系统动能改变与做功之间的关系，是能量守恒定律的具体表现之一 。
动能定理和能量守恒定律共同构成了经典力学的基本原理，是描述物质运动和相 互作用的物理规律的基础。
撞和非弹性碰撞等问题。
03 实例分析
简单机械的功和功率
总结词
简单机械的功和功率是物理学中的基本概念，通过实例分析可以深入理解功、功率的计算方法和物理意义。
详细描述
简单机械的功是指力在力的方向上移动物体所做的功，可以用公式W=Fs计算，其中F是力的大小，s是物体在力 的方向上移动的距离。功率是指单位时间内完成的功，可以用公式P=W/t计算，其中W是功的大小，t是时间。 通过实例分析，可以了解不同简单机械的功和功率的计算方法，例如滑轮组、杠杆等。
动能定理与功动能定理与功的关系与计算
动能定理与功动能定理与功的关系与计算动能定理与功的关系与计算动能定理和功是物理学中重要的概念，它们在描述物体运动和能量转化过程中起着关键作用。
本文将探讨动能定理与功的关系，并介绍它们的计算方法。
一、动能定理的定义与推导动能定理是描述物体动能变化的定理，它表明物体的动能变化等于物体所受合外力所做的功。
在牛顿力学中，物体的动能等于物体的质量乘以速度的平方的一半，即动能(K) = 1/2mv^2。
物体的速度(v)是指物体的质心所具有的速度。
假设一个物体在时间t内从速度v1变为速度v2，根据定义可以得到物体在这段时间内的动能变化为ΔK = 1/2m(v2^2 - v1^2)。
其根据动力学第二定律F = ma，物体所受合外力(F)可以写作F =m(v2 - v1)/t。
将其代入ΔK = 1/2m(v2^2 - v1^2)中，可以得到ΔK = F(v2 + v1)/2t。
根据动能定理的定义，物体所受外力所做的功(W)等于动能的变化量ΔK，即W = ΔK = F(v2 + v1)/2t。
二、功的定义与计算方法功是描述物体能量转移与转化过程的物理量，它等于力对物体的作用所产生的能量转化量。
功的计算方法通常是力乘以物体的位移，即W = F·s·cosθ。
其中F表示力的大小，s表示物体在力的方向上移动的距离，θ表示力和位移之间的夹角。
在一些特殊情况下，可以通过简化的公式来计算功：1. 当力和位移方向相同时，θ = 0，此时功简化为W = F·s。
2. 当力和位移方向垂直时，θ = 90°，此时功为0，因为cos90° = 0。
3. 当力和位移方向相反时，θ = 180°，此时功简化为W = -F·s。
三、动能定理与功的关系根据动能定理的定义和功的计算方法，可以看出两者之间存在紧密的关系。
根据动能定理的推导过程可知，物体所受外力所做的功等于物体的动能变化量。
动能定理与功与能
动能定理与功与能动能定理是物理学中的一条重要定理，它描述了物体的动能变化与施加在物体上的净合外力所做的功之间的关系。
动能定理广泛应用于力学、工程等领域，在解决物体运动问题和能量转换问题中起着重要的作用。
一、动能定理的基本原理动能定理的基本原理可以用以下公式表示：\[\text{物体的动能变化} = \text{物体所受的净合外力所做的功}\]其中，物体的动能变化表示为 \( \Delta KE \)，净合外力所做的功表示为 \( W \)。
动能被定义为物体的质量 \( m \) 与物体的速度 \( v \) 的平方的乘积，即：\[KE = \frac{1}{2} m v^2\]二、功的定义与表达式功是物理学中的一个重要概念，它描述了力对物体所做的作用以及物体在力的作用下发生的能量的变化。
功的单位是焦耳（J），它可以根据力与位移之间的关系来计算。
对于一个施加在物体上的力 \( F \)，当物体移动一个位移 \( s \) 时，力对物体所做的功可以用以下公式表示：\[W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)\]其中，\( \theta \) 表示力 \( F \) 与位移 \( s \) 之间的夹角。
三、动能定理的应用动能定理在解决物体运动问题中起着重要的作用。
通过动能定理，我们可以推导出不同情况下的动能变化和力的关系，进而求解物体的速度、位移等运动参数。
例如，当一个物体在作恒定力作用下从位置 \( A \) 运动到位置 \( B \) 时，利用动能定理可以得到以下关系：\[W_{AB} = \Delta KE = KE_B - KE_A\]其中，\( W_{AB} \) 表示从位置 \( A \) 到位置 \( B \) 所受合外力所做的功，\( KE_B \) 和 \( KE_A \) 分别表示位置 \( B \) 和位置 \( A \) 处的动能。
四、能量守恒与功与能根据动能定理，我们可以进一步了解能量转换的过程以及能量守恒的原理。
动能定理和功的计算
动能定理和功的计算根据你的要求，我将按照论述的方式来解释动能定理和功的计算。
以下是相应的文章：动能定理和功的计算在物理学中，动能定理是一个基本的物理原理，它描述了物体的动能与所受到的外力之间的关系。
同时，功是衡量物体受力后所做的功率的度量。
本文将详细讨论动能定理和功的计算方法。
1. 动能定理动能定理是指一个物体的动能等于施加在该物体上的净外力所做的功。
简单地说，动能定理可以用以下公式表示：K = (1/2) mv²其中，K代表物体的动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
根据动能定理，我们可以推论出一个关键的公式，描述了动能与物体所受到的净外力之间的关系：W_net = ΔK其中，W_net代表物体所受到的合力所做的功，ΔK代表物体动能的改变。
2. 功的计算功的计算需要考虑力的大小和方向，以及物体在力的作用下的位移。
功可以通过以下公式计算：W = F · d · cosθ其中，W代表功，F代表力的大小，d代表位移的大小，θ代表力和位移之间的夹角。
需要注意的是，当力的方向与位移方向一致时，夹角θ为0度，cosθ为1；当力和位移垂直时，夹角θ为90度，cosθ为0；当力的方向与位移方向相反时，夹角θ为180度，cosθ为-1。
3. 功的单位功的单位通常使用焦耳（J）来表示。
一焦耳等于1牛顿乘以1米。
4. 动能定理与功的关系根据动能定理的推导，我们可以得出与功相关的公式：W_net = ΔK结合功的计算公式，我们可以进一步得到：W_net = F_net · d · cosθ = ΔK其中，F_net代表物体所受到的合力，d代表位移的大小，θ代表力和位移之间的夹角，ΔK代表物体动能的改变。
这个公式的意义在于，使我们能够通过计算力的大小、位移的大小以及力和位移之间的夹角，来求解物体所受到的合力所做的功。
同时，也可以通过计算物体动能的改变，来推导物体所受到的合力所做的功。
功和动能定理
r r ∆ri α i F i
a ( xa , ya , za )
第3章 机械能和功
2.2 功和动能定理
v ∆Ai = Fi cos α i ∆ri
v A = ∑ Fi cos α i ∆ri
i =1 N
b( xb , yb , zb )
r r ∆ri α i F i
物理意义： 物理意义：表示作功的快慢 意义 单位：瓦特 单位：瓦特(W)
1 W = 1 J ⋅ s −1
第3章 机械能和功
2.2 功和动能定理
例 设作用于质点的力为 F = xyi + ( x + y ) j。分别 求质点自O点经 点经OAB和ODB到达 点时力 所做的功。 到达B点时力 所做的功。 求质点自 点经 和 到达 点时力F所做的功
A = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz
xa ya za
xb
yb
zb
自然坐标系： 自然坐标系： A = ∫
b
a
b
r r b r F ⋅ dr = ∫ Ft dr
a
b a
= ∫ Ft ds = ∫ F cos θ ds
a
第3章 机械能和功
2.2 功和动能定理
2. 合力的功等于各分 r b r b r r 力的功的代数和。 力的功的代数和。 A = ∫a (∑ Fi ) ⋅ dr = ∑ ∫a Fi ⋅ dr = ∑ Ai
= ∫ ( x + y)
0
1
x =0
dy
1 = ∫ ydy = 0 2
第3章 机械能和功
2.2 功和动能定理
AAB = ∫
动能定理与功的概念
动能定理与功的概念动能定理和功是物理学中非常重要的概念，它们描述了物体运动和相互作用的关系。
本文将介绍动能定理和功的定义、公式及应用。
一、动能定理的概念及公式动能定理是描述物体动能变化与做功之间的关系的定理。
它表明，当一个物体受到外力的作用时，它的动能将会发生变化，而这个变化等于所受的功。
动能表示物体由于运动而具有的能量，通常用K表示。
当物体的质量为m，速度为v时，它的动能可以用以下公式计算：K = (1/2)mv^2其中，K表示动能，m表示质量，v表示速度。
假设物体在某个时间段内受到了合外力F的作用，根据牛顿第二定律F = ma，我们可以推导出动能定理的公式：W = F•d = m•a•d = m•(dv/dt)•d = m•v•(dv/dt)•dt = m•v•dv其中，W表示物体所受的外力作功，F表示力，d表示位移，a表示加速度，v表示速度，t表示时间。
根据动能定理，W即为物体动能的变化量，因此我们可以得到：W = K2 - K1 = (1/2)m(v2^2 - v1^2)其中，K1和K2分别代表物体在某一时刻和另一时刻的动能。
二、功的概念及公式功是力在物体上所做的功或能量转移的度量。
它描述了力对物体进行的能量转化。
假设物体在某段位移d内受到了力F的作用，那么此时所做的功可以表示为：W = F•d•cosθ其中，W表示所做的功，F表示力，d表示位移，θ表示力和位移的夹角。
如果力和位移方向相同，夹角为0度，此时所做的功为最大值；如果力和位移方向相互垂直，夹角为90度，此时所做的功为0；如果力和位移方向相反，夹角为180度，此时所做的功为最小值。
如果物体受到多个力的作用，总功等于每个力所做的功之和。
三、动能定理与功的应用动能定理和功的概念和公式在物理学中有广泛的应用。
1. 动能定理的应用动能定理可以用于解释物体的运动状态。
通过计算物体所受的外力作功，可以确定物体的动能变化。
当物体受到正向的外力作用时，其动能将增加；当物体受到负向的外力作用时，其动能将减小。
动能定理与功的概念
动能定理与功的概念在物理学中，动能定理和功是两个重要概念，它们对于研究物体运动和能量转化过程具有重要意义。
本文将介绍动能定理和功的概念以及它们之间的关系，以帮助读者更好地理解这些概念。
一、动能定理的概念动能定理是描述物体运动的基本原理之一，它表明物体的动能与所受外力做功的量之间存在着一种对应关系。
动能定理可以用数学方式表达为：物体的动能变化等于作用在物体上的合外力所做的功。
根据动能定理的描述，当一个物体受到外力的作用时，如果外力对物体做正功（即使物体的动能增加），那么物体的动能将增加；反之，如果外力对物体做负功（即使物体的动能减少），那么物体的动能将减少。
二、功的概念功是物理学中描述能量转化过程的概念，它表示力对物体所做的功。
在牛顿力学中，功可以定义为力和物体位移的乘积。
假设一个物体受到力F的作用，并沿着力的方向移动了一段位移s，那么力对物体所做的功W可以表示为：功=力 ×位移× cosθ其中，θ表示力和位移之间的夹角。
如果力的方向与位移方向相同，夹角为0°，那么功为正值，表示力对物体做正功；如果力的方向与位移方向相反，夹角为180°，那么功为负值，表示力对物体做负功。
三、动能定理与功的关系动能定理和功之间存在着紧密的关系。
根据动能定理的表达式，物体的动能变化等于作用在物体上的合外力所做的功。
这就意味着，在一个力对物体做功时，物体的动能将发生改变。
具体来说，如果一个物体受到的合外力对其做正功，那么物体的动能将增加，反之，如果合外力对物体做负功，物体的动能将减少。
根据功的定义，正功表示能量转化为物体的动能，而负功表示物体的动能被转化为其他形式的能量。
可以通过一个实例来更好地理解动能定理与功的关系。
假设有一个小球以一定速度向右运动，在运动过程中受到一个恒定的水平力F，小球在位移过程中克服了力F，并且与力F方向相同。
根据功的定义，这个力对小球所做的功为正值，表示力将能量转化为小球的动能。
动能定理与功
动能定理与功动能定理是物理学中的重要定律之一，它描述了物体的运动状态与所受力之间的关系。
功则是描述力对物体所做的作用，是动能定理的重要应用之一。
本文将介绍动能定理的基本概念和公式，并探讨了功的计算方法和实际应用。
一、动能定理动能定理是牛顿力学的基本原理之一，它表明了一个物体的动能变化量等于其所受的合外力对其所做功的总和。
动能定理可以用以下公式表示：K2 - K1 = W其中，K1和K2分别表示物体在起始状态和结束状态下的动能，W 表示力所做的功。
动能是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
动能定理表明，一个物体的动能的增加量等于所受合外力所做的功。
如果没有外力对物体所做功，则物体的动能保持不变。
二、功的计算方法功是描述力对物体所做的作用的物理量，它与力的大小和物体的位移有关。
当物体受到的力与物体的位移方向相同时，力对物体所做的功是正值；当力与位移方向相反时，力对物体所做的功是负值。
计算功的公式为：W = F·s其中，W表示所做的功，F表示力的大小，s表示物体的位移。
在公式中，力和位移的乘积表示了力对物体做功的效果。
可以通过力与位移的夹角来判断功是正值还是负值，当夹角为0°时，表示力和位移方向相同，功为正值；当夹角为180°时，表示力和位移方向相反，功为负值。
三、功的应用功在物理学中具有广泛的应用，特别是在能量转换和机械工作方面。
以下是一些常见的功的应用：1. 功与能量转换：根据动能定理，力所做的功等于物体动能的增量。
根据这一原理，我们可以计算出物体从一个状态到另一个状态下的动能的变化量。
功与能量转换的概念在工程学和物理学中有着广泛的应用，例如在机械领域中，我们可以通过计算所做的功来确定机械系统的效率。
2. 功与机械工作：在机械工作中，力对物体所做的功可以用于推动机械系统的运动。
例如，当我们使用杠杆或者齿轮来提供力时，所做的功可以用于推动机械零件的运动。
功和动能定理
质点沿路径AB由A运动到B时，力F所做的总功应等于力在 每段位移元上所做元功的总和，即
B
B
B
W A dW A F • dr A F cosdr
上式即为变力做功的表达式。
在直角坐标系中，也可写为：
B
B
W
F • dr
A
A (Fxdx Fydy Fzdz)
若有几个力F1、F2、…、Fn同时作用在质点上，则它们 的合力F的功为：
物体从x1运动到x2时，拉力做功为：
W
B
dW
x2 F
A
x1
x dx F ( h2 x2
h2 x12
h2 x22 )
因x1＞x2，故拉力对物体做正功。
Hale Waihona Puke 1.2 功率为了描述做功的快慢，引入了功率的概念。若在Δt时间内 力做功为ΔW，则力在Δt时间内的平均功率 P为：
P ΔW Δt
根据质点的动能定理，有
W
ΔEk
1 mv2 2
1 2
mv02
1 0.1 602 2
0 180J
【例3-5】如下图所示，一质量为m的珠子系在线的一端， 线的另一端绑在墙上的钉子上，线长为l，先拉动珠子使线保 持水平静止，然后松手使珠子下落，求线摆下θ角时珠子的速 率v。
【解】选珠子为研究对象。如上图所示，珠子受力为：重 力mg和拉力T。珠子在圆弧上移动位移元dr时，合外力做的元 功为：
将上述两式相加可得：
W外 W内 Ek Ek0 W外 W内 ΔEk
如果把上述两个质点的质点系推广到由n个质点组成的质 点系，上式仍然成立。上式称为质点系的动能定理，它表明， 所有外力对质点系做功与内力做功之和等于质点系动能的增 量。
动能定理动能与功的关系
动能定理动能与功的关系
动能定理是描述物体运动中动能与外力做功之间的关系的定理。
动
能是物体运动过程中具有的能量，可用公式K=1/2mv^2表示，其中m
为物体的质量，v为物体的速度。
功是一种物理量，表示力在物体上的作用效果，可用公式W=Fs表示，其中W为功，F为力的大小，s为力的作用方向上的位移。
动能定理表明，当外力对物体做功时，物体的动能会发生变化，他
们之间的关系可以用以下公式表示：
ΔK = W
其中，ΔK表示动能的变化量，W表示做功。
由此可见，动能定理将动能的变化量直接与外力对物体做的功联系
起来。
如果外力对物体做正功（即物体受到的作用力与物体运动方向
相同），物体的动能将增加；如果外力对物体做负功（即物体受到的
作用力与物体运动方向相反），物体的动能将减少。
此外，动能定理还可以用于推导其他与动能和功相关的物理公式。
例如，当物体从静止开始沿直线运动时，根据动能定理可得到以下公式：
K = W
其中，K为物体的动能，W为外力对物体所做的功。
这个公式表明，物体的动能等于外力对物体所做的功。
在实际应用中，动能定理在许多领域都有重要的应用。
例如，在机械工程中，通过对动能定理的使用，可以计算机械设备在工作过程中所需的能量；在运动学中，动能定理可用于分析物体的运动轨迹。
总结而言，动能定理揭示了动能与外力做功之间的紧密关系，通过该定理可以确定物体运动中的能量转化情况。
在实际应用中，动能定理在多个领域都起到重要作用，进一步丰富了我们对物体运动规律和能量转化的认识。
动能定理与功的计算
动能定理与功的计算动能定理是物理学中的一项重要定律，描述了物体的动能与物体所受到的外力之间的关系。
它可以帮助我们计算物体所做的功。
在物理学中，动能定理可以用数学公式表示为：$$\text{动能定理：}\Delta K = \text{功}$$其中，$\Delta K$表示物体动能的变化，单位是焦耳（J）或者平方米每秒的平方（$m^2/s^2$），而功的单位也是焦耳。
我们来详细讨论动能定理与功的计算方法。
1. 动能定理的解释动能定义为物体的质量乘以其速度的平方的一半：$$K = \frac{1}{2} m v^2$$其中，$m$表示物体的质量，$v$表示物体的速度。
动能定理指出，当物体受到外力作用时，物体的动能会发生变化，具体变化的大小取决于所受到的外力所做的功。
如果物体所受到的外力和物体的速度方向相同，则功为正值；反之，如果物体所受到的外力和物体的速度方向相反，则功为负值。
2. 功的计算方法功可以用以下公式来计算：$$\text{功} = F \cdot d \cdot \cos \theta$$其中，$F$表示作用力的大小，$d$表示物体在力的方向上移动的距离，$\theta$表示作用力和移动方向之间的夹角。
需要注意的是，如果力和移动方向之间的夹角为$0$度或$180$度，则$\cos \theta = 1$或$\cos \theta = -1$，功的计算变得简化。
当夹角为$0$度时，功为正值；当夹角为$180$度时，功为负值。
3. 动能定理的应用举例假设有一个质量为$2$千克的木块，从静止开始沿着直线方向向右运动。
它受到一个$10$牛的恒力作用。
力的方向和移动方向保持一致。
首先，我们需要计算木块的加速度。
根据牛顿第二定律，加速度$a$可以通过以下公式计算：$$F = m \cdot a$$代入已知的数值，得到：$$10 \, \text{N} = 2 \, \text{kg} \cdot a$$解得加速度$a = 5 \, \text{m/s}^2$。
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x
b
F在
dr一段上的功：
dA
F
drcos
dA
F
dr
2
F 在ab一段上的功
A
b
aL
F
dr
在直角坐标系中
在自然坐标系中 说明A Nhomakorabeab
a
L（ Fxdx
Fydy
Fzdz）
dr ds
b
A F cosds aL
(1) 功是标量，且有正负
(2) 合力的功等于各分力的功的代数和
A
b
a
L
F
dr
b
a
L
(
F1 F2
第3章 功和能
图为秦山核电站全景
1
§3.1 功
空间积累：功
F
F
时间积累：冲量
θ
M
M
研究力在空间的积累效应 功、 a
动能、势能、动能定理、机械能
s
b
守恒定律。
z
一.恒力的功 A Fs cosθ
A FS
aM
r
F
θ
dr
二.变力的功
求质点M 在变力作用下，沿曲线
O r dr
y
轨迹由a 运动到b，变力作的功
10
三.万有引力的功
F 在位移元
dr上的元功为
dA dr
F cos
drcos(
dr
)
F
drGcmorsM2
dA
G
mM r2
dr
万有引力 F 在全部路程中的功为
b
r2
dr
F
m
dr
M
r1
a
A
r2 r1 (
L
)
G
mM r2
dr
GmM ( 1 r2
1) r1
结论
(1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所
解：
vy
dy dt
16
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
vx
dx dt
4t 2
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
0
A
Fxdx Fydy
2320t3dt 1200 J
1
6
例
已知用力 F 缓慢拉质量为m
的小球，F 保持方向不变
求 由 0 增大到 0 的过程中，F作的功。
x2
x
由x1 到x2 路程上弹性力的功为
A
x2 kxdx
x1
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变
量平方之差的一半。
结论
(1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径
无关。
(2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，
弹性力作负功。
13
二. 质点系动能定理
把质点动能定理应用于质点系内所有质点
并把所得方程相加有:
i
Ai
i
1 2
mivi22
i
1 2
miv
2 i1
Ai Ai外 Ai内
i
i
i
m1
m2 m3
v2 v4
v3
v1 m4
讨论
(1) 内力和为零,内力功的和是否为零？
14
例如：子弹穿过木块过程中，
子弹对木块的作用力为f，木
解 F T sinθ 0
T cosθ mg 0
F mg tanθ
A
F
dr
F
cosθ
ds
mg tanθ cosθ ds
θ0 mg sin θLdθ 0
Lθ T
F
G
y
mgL(1 cos θ0 )
x
7
例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动
求 t = 02s 内F 作的功及 t = 2s 时的功率。
块对子弹的反作用力为f′，
f'
木块的位移为s，子弹的位移
f
为（s+l）。
f 对木块作功： f s 0
s
l
f ' 对子弹作功： f '(s l) 0
对系统的合功为： f s f '(s l) f 'l
子弹减少的能量转变成木块的动能和热能，摩擦生热，为 一对作用力和反作用力作功之和。不为零。
任何一对相互作用力做功的代数和仅决定于两物体的相对位 移，而与参考系的选择无关。
(2) 内力的功也能改变系统的动能 例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转
化为弹片的动能。
17
例 一轻弹簧的劲度系数为 k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所 示。放手后，物体沿水平面移动距离x2=0.1m而停止。
行经的路径无关。
11
(2) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O 时，万有引力作负功。
四.摩擦力的功
摩擦力 F 在这个过程中所作的功为
A M2 F cosds M1 L
F mg
F
M1
v
M2
摩擦力方向始终与质点速度方向相反 cos 1
A mgs
结论
摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经 的路径有关。
Fn )
dr
b
aL
F1
dr
b
a
L
F2
dr
b
aL
Fn
dr
A1 A2 An
3
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关 (4) 作功与参照系有关。
f静
例如：传送带将箱子从低处 运到高处，地面上的人看摩 擦力作功了，而站在传送带 上的人看摩擦力没有作功。
4
三. 功率
力在单位时间内所作的功，称为功率。
平均功率
P A t
当 t 0 时的瞬时功率 P lim A dA t0 t dt
P
F
dr
Fv
Fv
cosθ
dt
5
例 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质
点的速度为
v
4t
2i
16
j
,开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
G O
x
M2
y
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
9
二.弹性力的功
弹簧弹性力
F kxi
F
O x1
15
即：一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但这对力作功 的总和不一定为0。
例：恒力F 作用在箱子上从左端到右端，一次小车固定，另一
次没固定，以地面为参照系，
r F
A.两次 F 作功相等；
B.两次摩擦力对箱子作功相同；
C.两次箱子获得动能相同，F 作功相同；
D.两次由于摩擦力生热相同。
[ D]
16
解 F 6t dv
m
dt
v 3t2 dx dt
dx 3t2dt
A
x
Fdx
t F 3t2dt
236t3dt 144J
0
0
0
P Fv 12t 3t2 288W
8
§3.2 几种常见力的功
一.重力的功
z M1
②
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
m①
A
M2
M1 1
12
§3.3
一.质点动能定理
dA
F
dr
m
动能定理
dv
dr
vr drr
mv dvdt
mvdv
dt
A
dA
v2
v1
mvdv
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质 点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。
说明
(1) Ek 是一个状态量, A 是过程量。 (2) 动能定律只适用于惯性系。