圆周运动的实例分析、离心现象、曲线运动综合练习

圆周运动的实例分析、离心现象、曲线运动综合练习

二. 本周知识归纳与总结

1. 用向心力公式解题的一般方法：

（1）明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来； （2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径； （3）对研究对象做受力分析，分析是哪些力提供了向心力 （4）建立正交坐标（以指向圆心方向为x 轴的正向），将力正交分解到坐标轴方向；

()()()5x 在轴方向，选用向心力公式向心

F m R m v R m T R m f R

====ωπ

π2

22222

==m n R y F y ()202π列方程求解，必要时再在轴方向按列方程求解合

注意：列方程时要注意力、速度、运动半径的对应关系；有些问题还需配合其他辅助手

段，需要具体问题具体分析。

2. 离心运动：做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

3. 向心运动和离心运动产生的原因（如图所示，向心力用F n 表示）。

()/12

当时，物体沿半径作匀速圆周运动；F mv R R n =

()/22

当时，物体将作向心运动，半径减小；F mv R R n > ()/32

当时，物体将作离心运动，半径增大；F mv R R n <

（4）当F n ＝0时，即向心力消失时，半径R 趋于无限大，物体将沿切线方向飞出。 所以，向心运动和离心运动产生的原因是向心力多余和不足。 4. 离心运动的应用和防止：

（1）洗衣机的脱水筒是利用离心运动把湿衣服甩干的。把湿衣服放在脱水筒里，筒转得慢时，水滴跟物体的附着力F 足以提供所需向心力F ；当筒转得比较快时，附着力F 不足以提供所需向心力F ，于是水滴做离心运动，穿过网孔，飞到筒外面。

（2）在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，如果转弯时速度过大，所需向心力F 大于最大静摩擦力，汽车将做离心运动而造成交通事故。

【典型例题】

例1. 如图所示，用细管弯成半径为r 的圆弧形轨道，并放置在竖直平面内，现有一小球在细管内运动，当小球通过轨道最高点时，若小球速度____________时，会对细管上部产生

压力；若小球速度____________时，会对细管下部产生压力。

分析和解答：

当，即时，球对管上、下部分均无作用力，

mg m v r v gr ==

2

此时N ＝0。 当时，有离心运动趋势，对管上部产生压力；v gr > 当时，有向心运动趋势，对管下部产生压力；v gr <

当v ＝0时，恰好过最高点，对管下部产生压力为mg 。

例2. 一根水平轻质硬杆以恒定的角速度ω绕竖直OO'转动，两个质量均为m 的小球能够沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为k 的弹簧连接，弹簧原长为l 0，靠近转轴的球与轴之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。

分析和解答：当两球绕轴OO'做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用l 、L 表示A 、B 两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程：

对球有：①A m l k l l k L l ω2

00=---()()

对球有：②B m l L k L l ω2

+=-()()0

由①、②联解得

l l m k m k

L m k l m k m k =

-+=

--+0

222

2

22213113ωωωωω()

()()

例3. 如图所示是离心试验器的原理图。可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力，离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB （即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角，求被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？

分析和解答：被试验者做匀速圆周运动所需要的向心力由他所受重力和座位对他的支持力的合力提供，如图所示。

F mg F m r N N sin cos 30302°①°②==⎧⎨⎩ω

由①式可得：°F mg

mg G

N =

==sin3022

被试验者对座位的压力和座位对他的支持力是一对作用力和反作用力，所以他对座位的

压力大小是他所受重力的2倍。

例4. 如图所示，轻杆长1m ，其两端各连接质量为1kg 的小球，杆可绕距B 端0.2m 处的轴O 在竖直平面内自由转动，轻杆由水平从静止转至竖直方向，A 球在最低点时的速度为4m/s 。求：（g 取10m/s 2）

①A 小球此时对杆的作用力大小及方向； ②B 小球此时对杆的作用力大小及方向。 分析和解答：

①在最低点对球受力分析如图所示：则，即A F mg m v R F m v R A

A

-==22

+=+==mg N N F N (.)'4081030302

，由牛顿第三定律，球对杆拉力，方向向下

②在最高点，以球为研究对象，如图所示，B

则：即mg N m v R N mg m v R N N

B B B B B B -==-=-=-22

2

1020210(.)

(

)v R v R v v A B B B A A B A ==，即；球、球角速度相等1

2

负号，代表小球B 受力方向与图示方向相反，即受杆拉力作用。所以B 球对杆拉力为

10N ，方向竖直向上。

例5. 内壁光滑，两端封闭的试管长5cm ，内有质量为1kg 的小球，试管一端装在水平转轴O 上，在竖直面上绕O 做匀速转动。已知转动过程中，试管底部受到小球压力的最大值是最小值的3倍，求转动的角速度。 分析和解答：

以试管中小球为研究对象，受力分析如图所示：

在最高点，球受管底压力为，则：①N N mg m L 112

+=ω

在最低点，球受管底支持力为，则：②N N mg m L 222

-=ω