云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题(解析版)

合集下载

2020届云南省昆明市高三“三诊一模”教学质量检测数学(理)试题(解析版)

昆明市2020届“三诊一模”高三复习教学质量检测理科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则A B =I （） A. {}3,2-- B. {}2,3 C.{}3,2,3-- D.{}3,2,2,3--【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}. 故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】A 【解析】【分析】通过分母实数化，求出z 即可. 【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ，∴z ＝512ii +＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，322a a =+，n S 为其前n 项的和，则63S S =（） A. 6B. 9C. 12D. 15【答案】B 【解析】【分析】先由11a =，322a a =+求出公比q ，再利用前n 项的和公式求出结果. 【详解】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则 q ＞0. ∵a 1＝1，a 3＝a 2+2， ∴q 2＝q +2⇒q ＝2.∴63S S ＝6311q q--＝1+q 3＝9，故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题.4.若夹角为120︒的向量a r 与b r满足2a b b +==r r r ，则a =r （）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积的应用，把2a b +=r r两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论. 【详解】解：∵2a b +=r r，∴2224a a b b +⋅+=r r r r ，即24cos12044a a ++=or r ，则2a =r ，或0a =r（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题. 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.67π B. πC.76π D. 2π【答案】C 【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解. 【详解】解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题. 6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（）A.32B.127C.53D.85【答案】D 【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】解：模拟程序的运行，可得 k ＝1，S ＝0，T ＝0，S ＝1满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝1，k ＝2，S ＝3满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝43，k ＝3，S ＝6 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝32，k ＝4，S ＝10满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝85，k ＝5，S ＝15 此时，不满足条件S ＜15，退出循环，输出T 的值为85. 故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.7.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为2的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（）A.52B. 5C.54D.5 【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求. 【详解】解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ，由题意可得，M （1﹣r ，0），设直线l 的方程为y ＝2（x +r ﹣1），联立2222(1)(1)y x r x y r=+-⎧⎨-+=⎩，得5x 2+（8r ﹣10）x +3r 2﹣8r +4＝0.由x M +x N ＝1﹣r +x N ＝1085r -，得x N ＝535r-. 由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +x N ＝0，即r ＝54. ∴M （﹣14，0），N （14，1），则|MN |＝2211144⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5. 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题. 8.若直线y x =与曲线ln y x ax =+相切，则a =（） A.1eB. 1e-C.11e- D. 11e-【答案】D 【解析】【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合ln x ax x +=，即可求出a 的值. 【详解】解：设切点为（x ，y ），由题意1y a x'=+. ∴ln 11x ax xa x+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11a e =-.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题. 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（） A. 210x y --= B. 220x y +-= C. 210x y +-= D. 220x y --=【答案】A 【解析】【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程.【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4）， ∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2，又∵PF ⊥AB ， ∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.10.已知函数()33f x x x =+，若对任意[]1,1t ∈-不等式()()220f t m f t -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（） A. 1m £ B. 12m ≤-C. 14m ≤-D. 18m ≤-【答案】D 【解析】【分析】函数()33f x x x =+，判断其奇偶性.不等式()()220f t m f t -+≥，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出. 【详解】解：函数()33f x x x =+，f （﹣x ）＝﹣x 3﹣3x ＝﹣f （x ），∴函数f （x ）为R 上的奇函数. f ′（x ）＝3x 2+3＞0，∴函数f （x ）为R 上的增函数.不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ）， ∴2t 2﹣m ≥﹣t ，化为：m ≤2t 2+t ，t ∈[﹣1，1].令g （t ）＝2t 2+t ＝2214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭﹣18，t ∈[﹣1，1].∴t ＝﹣14时，函数g （t ）取得最小值，g （﹣14）＝﹣18. 则实数m 的取值范围是m ≤﹣18.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（） A. 20πB.203πC. 4πD.43π【答案】A 【解析】【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，22AB =，设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2，所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1. ∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R . 在直角三角形A 1ON 中，222111ON A AO N R =-=-， ∴2111OM ON R =-=--.在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即2224(11)R R =+--，解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在OCD V 区域种荷花，在OBD V 区域修建水上项目.若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=（）A.1718 B.3318 C. 1716D.3316【答案】B 【解析】【分析】设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π），利用三角形面积公式可得S ＝1(sin 2sin )2θθ+，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB 面积最大时cos ∠AOC 的值. 【详解】解：设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π）， ∵OC ＝OB ＝OD ＝1， ∴四边形OCDB 面积S ＝1111sin 11sin(2)22θπθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-＝1(sin 2sin )2θθ+. 则1(2cos 2cos )2S θθ'=+＝()214cos cos 22θθ+-. 由S ′＝0，得4cos 2θ+cos θ﹣2＝0，可得0331cos θ-=又cos θ在（0，2π）上单调递减， ∴当θ∈（0， 0θ），即cos θ∈331-1）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递减，当θ∈（0θ，2π），即cos θ∈（0331-）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递增， ∴当cos ∠AOC 331-时，四边形OCDB 的面积最大.故选：B.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是中档题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x+≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可）【答案】-1（任意负数均可）【解析】【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1 ，带入.【详解】解：当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =取等号，当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可例如x ＝－1时12x x+=-.故答案为：－1 （任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.已知F 是双曲线C ：()22210y x b b-=>的右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若2OP b =，3POF π∠=，则C 的离心率为______.【解析】【分析】设P 的坐标，求出OP uuu r ，OF uuu r 的坐标，由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ＝02x c b c⋅⋅，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率.【详解】解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP uuu r ＝（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF uuu r ＝（c ，0），由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅u u u r u u u ru u ur u u u r＝02x c b c⋅⋅，可得x 0＝b ， y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：22b a﹣3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e ＝22c a＝222a ba +＝5，故答案为：5.【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有36C 种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过P 点的概率为______.【答案】35【解析】【分析】共有n ＝36C ＝20种不同的路线，其中该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p 点的概率.【详解】解：一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有n ＝36C ＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，该质点经过p 点的概率为P ＝123205m n ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点；④若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则31x x -的最小值为4. 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x Q 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =，又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确；又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确.④取x 1＝-1，x 2＝0，x 3＝1，则f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0，但x 3- x 1＝2＜4，即④错误. ∴正确的是①③. 故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】【分析】（1）取AB 中点E ，先利用中位线的性质可证1//EO BB 且112EO BB =，再由已知条件可得111122CD CC BB ==且1//CD BB ，进而得到//EO CD ，则四边形EODC 为平行四边形，故//OD EC ，由此得证//OD 平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，求出直线A B 的方向向量以及平面1A BD 的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值.【详解】解：（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ，在四边形EODC 中，E 为AB 中点，O 为1AB 中点，所以EO 为1ABB △中位线，故：1//EO BB 且112EO BB =，因为D 为1CC 中点，所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ，所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形，所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ，所以//OD 平面ABC .（2）取BC 的中点F ，根据已知条件建立如图空间直角坐标系F xyz -，设2AB =，则14AA =，则()1,0,0B，(00A ,，(10,A ，()1,2,0D -，所以(BA =-u u u r ，()2,2,0BD =-u u u r，(11,BA =-u u u r ，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r，则100BD n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v vu u u v v，解得(1,1,n =r ，设AB 与平面1A BD 所成角为θ，sinBA nBA nθ⋅==⋅u u u r ru u u r r =【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）【答案】（1）0.5万亿元（2）910（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【解析】【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数.（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率.（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大.【详解】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为： 0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6（单位：万亿元），所以年增加值的平均数为0.30.20.30.50.60.40.80.60.58+++++++≈万亿元.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两年，两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%”，依题意，()23259110C P A C =-=. （3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.ABC V 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+. （1）求A ；（2）从三个条件：①a =b =ABC V中任选一个作为已知条件，求ABCV 周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理求出cos A ，结合A 的范围可得A 的值. （2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解.【详解】解：（1）因为222sin cos sin sin sin B C A B C +=+，由正弦定理得222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）选择①a =因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A===，即ABC V的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭3sin B B =++6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即ABC V周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B =，23cos 3sin 2sin B B c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABCV的周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 2sin B B l a b c B B B +=++=++= 26cos 224sincos 22B B B =+ 32tan2B=+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B << 即ABC V 周长的取值范围是()+∞. 选择③ABC S =V . 因为3A π=，1sin 24ABC S bc A ===△4bc =，由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC V 的周长l a b c b c =++=+，因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC V 周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 20.已知函数()()()22ln 0f x ax a x a x=-+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()ln g x f x a =-，若()g x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12g x g x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）最小值为22ln 2e--. 【解析】【分析】（1）求导，令()'0fx =得1x =或2x a=，接下来分02a <<，2a =及2a >讨论即可；（2）依题意，可得()()12(2)ln 2ln 2a g x g x a a +=+-，设()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，利用导数求()h x 的最小值即可得出答案.【详解】解：（1）()2'2222(2)2f a ax x a x x x a x+-++=-+=()2(1)(2)0x ax x x --=>，因为0a >，由()'0fx =得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得01x <<或2x a>，所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；②若2a =，则21a =，()()2'2210x f x x-=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增； ③若2a >，则21a <，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得20x a<<或1x >，所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增.（2）由()()ln g x f x a =-得()()''g x fx =，由（1）知，()g x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =，22x a=， ()()112ln g x g a a ==--，()222(2)ln ln 2a g a a a a g x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2ag x g x a a +=+-，设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-，则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()'ln ln 21h x x =-+，由()'0h x <得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，由()'0h x >得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以，0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12g x g x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程；（2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=（2）33【解析】【分析】（1）由MN 的值及3ND MD =，可得|MD |，|ND |的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设P 的坐标，进而求出直线1A P ，直线2A P 的方程，与椭圆联立分别求出Q ，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P 的坐标.【详解】解：（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=.（2）由对称性可设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33ty x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y . 由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t t t S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++. 由于0t >，23t m t +=≥，又4y m m =+在)⎡+∞⎣上是增函数，所以4y m m =+≥故244S m m =≤+.当且仅当m =t =12AQA R的面积的最大值为【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 极坐标方程；（2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=.（2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明. 【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩，解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=. 所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++≤【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。

云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题

（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数的数学期望；
（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第格到第格，），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第格到第格，），行进至第3l格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第格的概率为，．
(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；
(2)线的变化，翻折(转)前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化；
(3)长度、角度等几何度量的变化．
10．C
【解析】
【分析】
作出图形，根据题意推导出轴，结合，可得出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，可求得正数的值.
A．平面平面 B．平面
C． D．
10．已知为抛物线的焦点，点为抛物线上一点，以线段为直径的圆与轴相切于点，且满足，，则的值为（）
A． B． C． D．
11．已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
12．在中，，，有下述四个结论：
①若为的重心，则
平面平面 ,平面平面 ,
平面，平面 ,所以C正确
平面 , 又 ,
平面 , , 是直角三角形，又的中点为

2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷(理科)(5月份)

2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 3．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝a2+2，S n为其前n 项的和，则＝（）A．6B．9C．12D．154．（5分）若夹角为120°的向量与满足|+|＝||＝2，则||＝（）A．1B．2C．D．45．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．πC．D．2π6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为2的直线1与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．B．C．D．8．（5分）若直线y＝x与曲线y＝lnx+ax相切，则a＝（）A．B．C．D．9．（5分）抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝010．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x，若对任意t∈[﹣1，1]不等式f （2t2﹣m）+f（t）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤1B．C．D．11．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为2，，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．C．4πD．12．（5分）如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在△OCD区域种荷花，在△OBD区域修建水上项目．若∠AOC＝∠COD，且使四边形OCDB面积最大，则cos∠AOC＝（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）能说明命题“∀x∈R且x≠0，”是假命题的x的值可以是．（写出一个即可）14．（5分）已知F是双曲线M：的右焦点，点P在M上，O为坐标原点，若，则M的离心率为．15．（5分）河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书．如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，共有种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p点的概率为．16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，当x∈[0，1）时，，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；④若x1＜x2＜x3，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x3﹣x1的最小值为4．其中，正确结论的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B 交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）求AB与平面A1BD所成角的正弦值．18．（12分）2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．（结论不要求证明）19．（12分）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C ＝sin2A+sinBsinC．（1）求A；（2）从三个条件：③△ABC的面积为中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）﹣lna，若g（x）存在两个极值点x1，x2，求g（x1）+g（x2）的最小值．21．（12分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R 面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：．2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（5月份）答案与解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣3，﹣2，3}．故选：C．2．【分析】通过分母实数化，求出z即可．【解答】解：∵z满足（1+2i）z＝5i，∴z＝＝＝2+i故选：A．3．【分析】先由a1＝1，a3＝a2+2求出公比q，再利用前n项的和公式求出结果．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0．∵a1＝1，a3＝a2+2，∴q2＝q+2⇒q＝2．∴＝＝1+q3＝9，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的应用，把|+|＝2两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论．【解答】解：∵|+|＝2，∴2+2•+2＝4，即||2+4||cos120°+4＝4，则||＝2，或||＝0（舍），故选：B．5．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，则该几何体的体积为．故选：C．6．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0，T＝0，S＝1满足条件S＜15，执行循环体，T＝1，k＝2，S＝3满足条件S＜15，执行循环体，T＝，k＝3，S＝6满足条件S＜15，执行循环体，T＝，k＝4，S＝10满足条件S＜15，执行循环体，T＝，k＝5，S＝15此时，不满足条件S＜15，退出循环，输出T的值为．故选：D．7．【分析】由题意画出图形，求出M的坐标，写出直线l的方程，与圆的方程联立求得N点横坐标，再由中点坐标公式求得r，进一步求出M与N的坐标，则答案可求．【解答】解：取y＝0，可得x＝1﹣r或x＝1+r，由题意可得，M（1﹣r，0），设直线l的方程为y＝2（x+r﹣1），联立，得5x2+（8r﹣10）x+3r2﹣8r+4＝0．由x M+x N＝1﹣r+x N＝，得x N＝．由MN的中点P恰好落在y轴上，得1﹣r++x N＝0，即r＝．∴M（﹣，0），N（，1），则|MN|＝＝．故选：B．8．【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合x＝lnx+ax，即可求出a的值．【解答】解：设切点为（x，y），由题意．∴，解得．故选：D．9．【分析】由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，可求出点P（﹣1，4），从而得到直线PF的斜率为﹣2，又PF⊥AB，所以直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求出直线AB的方程．【解答】解：由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，∴点P（﹣1，4），∴直线PF的斜率为：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A．10．【分析】函数f（x）＝x3+3x，判断其奇偶性．不等式f（2t2﹣m）+f（t）≥0，化为：f（2t2﹣m）≥﹣f（t）＝f（﹣t），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）＝x3+3x，f（﹣x）＝﹣x3﹣3x＝﹣f（x），∴函数f（x）为R上的奇函数．f′（x）＝3x2+3＞0，∴函数f（x）为R上的增函数．不等式f（2t2﹣m）+f（t）≥0，化为：f（2t2﹣m）≥﹣f（t）＝f （﹣t），∴2t2﹣m≥﹣t，化为：m≤2t2+t，t∈[﹣1，1]．令g（t）＝2t2+t＝2﹣，t∈[﹣1，1]．∴t＝﹣时，函数g（t）取得最小值，g（﹣）＝﹣．则实数m的取值范围是m≤﹣．故选：D．11．【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面PAC是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O，在两个直角三角形△OAM，△A1ON利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R，则表面积可求．【解答】解：因为正四棱锥P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为2，，设底面对角线交点为M，所以AC＝4，AM＝2，故PM＝AM＝CM＝2，所以△PAC是等腰直角三角形．因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1．∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO ＝R．在直角三角形A 1ON中，，∴．在直角三角形APM中，OA2＝AM2+OM2，即，解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π．故选：A．12．【分析】设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜），利用三角形面积公式可得S＝，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB面积最大时cos∠AOC的值．【解答】解：设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜），∵OC＝OB＝OD＝1，∴四边形OCDB面积S＝＝．则＝．由S′＝0，得4cos2θ+cosθ﹣2＝0，解得cosθ＝（舍）或cosθ＝，即θ＝arccos．又cosθ在（0，）上单调递减，∴当θ∈（0，arccos），即cosθ∈（，1）时，S＝单调递减，当θ∈（arccos，），即cosθ∈（0，）时，S＝单调递增，∴当cos∠AOC＝时，四边形OCDB的面积最大．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可．例如x＝﹣1，带入．【解答】解：，，∴只需x取值为负数，即可．例如x＝﹣1时14．【分析】设P的坐标，求出，的坐标，由∠POF＝，所以cos∠POF＝＝＝，求出P的横坐标，代入x02+y02＝4b2进而求出纵坐标，再将P坐标代入双曲线的方程可得a，b 的关系，由a，b，c之间的关系求出离心率．【解答】解：设P（x0，y0）由题意可得x0＞0，设y0＞0，＝（x0，y0），由题意|OP|＝2b，可得x02+y02＝4b2，＝（c，0），由∠POF＝，所以cos∠POF＝＝＝，可得x0＝b，y02＝3b2，y0＞0，将P点的坐标代入双曲线的方程可得：﹣3＝1，所以b2＝4a2，所以双曲线的离心率e＝＝＝，故答案为：．15．【分析】共有n＝＝20种不同的路线，其中该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p点的概率．【解答】解：一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，共有n＝＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，该质点经过p点的概率为P＝．故答案为：．16．【分析】由f（1+x）+f（1﹣x）＝0可知，f（x）关于点（1，0）对称，另外令x＝1，可得f（1）＝0，再结合f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，，可以作出函数的图象，然后逐一判断每个选项即可．【解答】解：∵f（1+x）+f（1﹣x）＝0，∴函数f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，则f（1）+f（1）＝0，∴f（1）＝0，又∵f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，，∴可作出函数f（x）的图象如下所示，①﹣1＜f（x）＜1，∴|f（x）|＜1，即①正确；②取x1＝﹣1，x2＝2，满足f（x1）+f（x2）＝0，但x1+x2＝1≠0，即②错误；③函数f（x）在（0，4）内的零点为x＝1，2，3，有且仅有3个零点，即③正确；④取x1＝﹣1，x2＝0，x3＝1，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，但x3﹣x1＝2＜4，即④错误．∴正确的是①③．故答案为：①③．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【分析】（1）取AB中点E，先利用中位线的性质可证BO∥BB1且，再由已知条件可得且CD∥BB1，进而得到，则四边形EODC为平行四边形，故OD∥EC，由此得证OD∥平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量以及平面A1BD的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值．【解答】解：（1）取AB中点E，连接CE，OE，在四边形BODC 中，E为AB中点，O为AB1中点，∴BO为△ABB1的中位线，故BO∥BB1且，∵D为CC1中点，∴且CD∥BB1，∴，∴四边形EODC为平行四边形，∴OD∥EC，且BC在平面ABC内，∴OD∥平面ABC；（2）取BC中点F，根据已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则，∴，设平面A 1BD的一个法向量为，则，可取，设AB与平面A1BD所成角为θ，则，即AB与平面A1BD所成角的正弦值为．18．【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数．（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率．（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．【解答】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为：0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），∴年增加的平均数为：＝0.5万亿元．（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，依题意P（A）＝1﹣＝．（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．19．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理求出cosA，结合A的范围可得A的值．（2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解．【解答】解：（1）∵sin2B+sin2C＝sin2A+sinBsinC，∴由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cosA＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）若选择，因为A＝，a＝，由正弦定理，则△ABC的周长l＝a+b+c＝2sinB+2sinC+＝2sinB+2sin（﹣B）+＝3sinB+cosB+＝2sin（B+）+，因为B∈（0，），所以＜B+＜，sin（B+）≤1，即△ABC周长的取值范围是（2，3），，因为A＝，b＝，由正弦定理可得a＝，c＝＝＝+，可得△ABC的周长l＝a+b+c＝++＝+＝+，因为B∈（0，），所以0＜，所以0＜，即△ABC 周长的取值范围是（2，+∞），若选择③△ABC的面积为，因为A＝，S△ABC＝bcsinA＝bc＝，可得bc＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，即△ABC 的周长l＝a+b+c＝+b+c，因为b+c≥2＝4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以l≥+4＝6，即△ABC的周长的取值范围是[6，+∞）．20．【分析】（1）求导，令f′（x）＝0得x＝1或，接下来分0＜a＜2，a＝2及a＞2讨论即可；（2）依题意，可得，设，利用导数求h（x）的最小值即可得出答案．【解答】解：（1），因为a＞0，由f′（x）＝0得x＝1或，①若0＜a＜2，则，由f′（x）＜0得；由f′（x）＞0得0＜x＜1或，∴若0＜a＜2，则f（x）在（0，1）递增，在递减，在递增；②若a＝2，则，f（x）在定义域（0，+∞）递增；③若a＞2，则，由f′（x）＜0得；由f′（x）＞0得或x＞1，∴若a＞2，则f（x）在递增，在递减，在（1，+∞）递增；（2）由g（x）＝f（x）﹣lna得g′（x）＝f′（x），由（1）知，g（x）有两个极值点时，a＞0且a≠2，不妨设，，∴，设，则h′（x）＝lnx﹣ln2+1，由h′（x）＜0得，h（x）在上单调递减，由h′（x）＞0得，h（x）在上单调递增，∴x＞0时，，∴当a＞0且a≠2时，g（x1）+g（x2）的最小值为．21．【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．【解答】解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）由对称性设P（6，t），其中t＞0，则直线A1P的方程为：y ＝（x+3），直线A2P的方程为：y＝（x﹣3），设Q（x1，y1），R（x2，y2），由消x可得（9+t2）y2﹣6ty＝0，由于y＝0，所以y 1＝，由消x可得（1+t2）y2+2ty＝0，由于y＝0，所以y 2＝﹣，所以四边形A1QA2R的面积为S＝|A1A2|•|y1﹣y2|＝＝＝，由于t＞0，设m＝，又y＝m+在[2，+∞），所以y＝m+，故S＝≤3，当且仅当m＝2，即t＝时，四边形A1QA2R的面积的最大值为3．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2＝0．（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，所以A（），所以，转换为ρ＝2sinθ+2cosθ（ρ＞0）．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤4的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．【解答】解：（1）f（x）＝，∴不等式f（x）≤4等价于或或，解得﹣≤x≤﹣1或﹣1＜x＜1或x＝1，∴不等式的解集为[﹣，1]；（2）由（1）可知，f（x）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝2，∴m＝2，即a2+b2+c2＝2，根据柯西不等式得（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）＝6，故．。

云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题 Word版含解析

昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【详解】解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D.{}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】先由集合A ，求出集合B ，再根据交集的概念，即可求出结果.【详解】因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2AB =.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（）． A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系【答案】D 【解析】【分析】利用收入与支出（单位：万元）情况的折线统计图直接求解．【详解】对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误；对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误；对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.已知点3)P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（） A.333 C. 2 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据点3)P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上可得,a b 的关系，再根据21c b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解即可. 【详解】由题，点3)P 在直线b y x a =3b a =，故离心率212c b a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率求解，需要根据题意确定,a b 的关系，进而求得离心率.属于基础题.5.已知点()cos10,sin10A ︒︒，()cos100,sin100B ︒︒，则AB =（） A. 1 23D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用两点间距离公式结合三角函数公式求解．【详解】点(cos10,sin10)A ︒︒，(cos100,sin100)B ︒︒，22||(cos10cos100)(sin10sin100)AB ∴︒-︒+︒-︒2222=︒-︒︒+︒+︒-︒︒+︒102cos10cos100100102sin10sin100100 cos cos sin sin=-︒⋅︒+︒⋅︒22(cos10cos100sin10sin100)=-︒-︒22cos(10100)=-︒22cos90=，2故选：B．【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，以及三角函数公式，是基础题．6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A. 216B. 108C. 543D. 36 【答案】B【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱柱体的体积．【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：16661082V =⨯⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．7.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（） 5 B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据材料二可得点A 的轨迹为椭圆，当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值.【详解】由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴25,b = 当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 145252S =⋅= 故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力. 8.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，则ω的最小值为（） A. 8 B. 4 C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到2π为函数()f x 周期的整数倍，进而可得出结果. 【详解】因为函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，所以*,2nT n N π=∈（其中T 为函数()f x 的最小正周期），即22n ππω⋅=，所以4n ω=，因为*n N ∈，所以min 4ω=.故选：B.【点睛】本题主要考查由三角函数的周期求参数的问题，属于基础题型.9.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDC C PD AC ⊥ D. 2PB AN =【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直判定与性质进行证明BC ⊥平面PDC ,PD AC ⊥，证明PAB △是直角三角形可得2PB AN =.【详解】由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥ 得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A【点睛】求解翻折问题的关键及注意事项：求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折(转)后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意： (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折(转)前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化； (3)长度、角度等几何度量的变化．10.已知F 为抛物线()220x py p =>的焦点，点P 为抛物线上一点，以线段PF 为直径的圆与x 轴相切于点M ，且满足MF PM =，2PF =，则p 的值为（） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】【分析】作出图形，根据题意推导出//PF x 轴，结合2PF =，可得出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入抛物线的方程，可求得正数p 的值.【详解】如下图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN x ⊥轴，又MF PM =，N 为PF 的中点，MN PF ∴⊥，//PF x ∴轴，由于2PF =，则点2,2p P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入抛物线方程得242pp ⋅=，即24p =， 0p >，解得2p =.故选：C.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的求解，根据题意求出点P 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 11.已知函数()()221()4442xf x exx k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为（）A. )2,e ⎡-+∞⎣B. )3,e ⎡-+∞⎣ C. )2,e ⎡+∞⎣D. )3,e ⎡+∞⎣【答案】D 【解析】【分析】求导可得()()()42xf x ex k x ⎡⎤=-++⎣⎦'，再根据2x =-是()f x 的唯一极小值点可得()()40x g x e x k =-+≥恒成立，再根据恒成立问题求解最小值分析即可.【详解】求导有()()()()()228242xxf x e xx k x e x k x ⎡⎤=--++=-++⎣⎦'.设()()4xg x ex k =-+，则()()3x g x e x '=-，故当(),3x ∈-∞时()0g x '<，()g x 单调递减；()3,x ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增. 故若()()4xg x ex k =-+有两个零点，则必有一根03x >，则此时有()03,x x ∈时()0f x '<；()0,x x ∈+∞时()0f x '>，故0x x =为()f x 的极小值点，与题意不符.故()()40xg x ex k =-+≥恒成立，故()()min 30g x g =≥，即()3340e k -+≥，解得)3,k e ⎡∈+∞⎣.故选：D【点睛】本题主要考查了根据导数求解极值点的问题，需要根据极值点满足的关系分析得导函数零点的个数，再求最值求解参数的范围，属于中档题. 12.ABC 中，2A π=，2AB AC ==，有下述四个结论：①若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2 ③若M ，N 为BC 边上的两个动点，且2MN =AM AN ⋅的最小值为32④已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则3λμ+的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（） A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A 【解析】【分析】根据题意，先得ABC 为等腰直角三角形；①取BC 中点为D ，连接AD ，得到23AG AD =，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到AD BC ⊥，由题意得到AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，进而可求出向量数量积；③以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，由题意，设()11,2M x x -，()22,2N x x -且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结果；④同③建立平面直角坐标系，设(),P x y ，根据题意，得到22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设PBA θ∠=，由题意，得到2cos x θ=-，sin y θ=，用θ表示出3λμ+，即可求出结果；【详解】因为在ABC 中，2A π=，2AB AC ==；所以ABC 为等腰直角三角形；①如图1，取BC 中点为D ，连接AD ，因为G 为ABC 的重心，所以G 在AD 上，且23AG AD =，所以()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，故①正确； ②如图1，同①，因为D 为BC 中点，ABC 为等腰直角三角形，所以AD BC ⊥，若P 为BC 边上的一个动点，则AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，因此221()22242AP AB AC AP AD AD BC ⎛⎫⋅+=⋅==⨯= ⎪⎝⎭，故②错；③如图2，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，易得，BC 所在直线方程为：2x y +=；因为M ，N 为BC 边上的两个动点，所以设()11,2M x x -，()22,2N x x -，且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，因为2MN =，所以()()2212212x x x x -+-=，即()2121x x -=，则211x x -=，所以()()()()()12121111221221AM AN x x x x x x x x ⋅=+--=++---221111332222222x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112x =时，等号成立；故③正确；④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)AB =，(0,2)AC =，设(),P x y ，则(,)=AP x y ，又AP AB AC λμ=+，所以22x yλμ=⎧⎨=⎩，即22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为P 为ABC 内一点，且1BP =，设PBA θ∠=，则0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos B x x BP θθ=-=-，sin sin y BP θθ==，因此31331cos sin sin 122226x y πλμθθθ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6612πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭无最值，即3λμ+无最值，故④错.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及求平面向量的数量积等问题，熟记平面向量基本定理，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分．13.若5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1a =__________．【答案】10 【解析】【分析】首先写出5(21)x -展开式的通项，即可求出含x 的项的系数；【详解】解：因为5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，5(21)x -的展开式的通项为()()51521rrrr T C x -+=-，令51r -=，得4r =，则()()44552110T C x x =-=故110a = 故答案为：10【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.14.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,)+∞ 【解析】【分析】根据对数函数的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【详解】解：“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题， 20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．【点睛】本题考查了特称命题的真假，考查对数函数的性质，属于基础题． 15.在ABC 中，4AB =，3BC =，6B π=，D 在线段AB 上，若ADC 与BDC 的面积之比为3:1，则CD =__________．【答案】1 【解析】【分析】由ADC 与BDC 的面积之比为3:1，可得:3:1AD DB =，进而求得1BD =，在BDC 用余弦定理即可求得CD . 【详解】解：如图，因为ADC 与BDC 的面积之比为3:1，所以:3:1AD DB =，又因为4AB =，所以1BD =，在BDC 中，由余弦定理得，222222cos 13213cos16CD BD BC BD BC DBC π=+-⋅⋅∠=+-⨯=所以1CD =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查用余弦定理来解三角形，考查学生的计算能力和公式得掌握程度，属于基础题.16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分．【答案】 (1). 180 (2). 190 【解析】【分析】根据题意可计算出当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得的总积分；设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，根据题意列出有关x 、y 的约束条件，可得出目标函数为54z x y =+，利用线性规划思想可求得z 的最大值，进而得解. 【详解】根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点），联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，将问题转化为线性规划问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从三个条件：①3nn n a b =；②2n n b a n =+；③2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）132n n a -=⨯（2）见解析【解析】【分析】(1)设数列{}n a 的公比为q ，再根据题意利用基本量法求解即可.(2) 选择①可得123n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可利用等比数列求和公式求解即可.选择②可得1322n n b n -=⨯+，再根据等比与等差数列求和的公式求解即可.选择③可得1n b n =-，再用等差数列求和公式求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q或3q =-（舍去），故2q ．由：321S =，得：()21121a q q++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn n a b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列，所以2123312313nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2n n b a n =+：12322n n n b a n n -=+=⨯+，所以()()2312(22)321122n n nn n T n n -+=+=⨯-++- 选择③2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列．所以(1)2n n n T -=．【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解，同时也考查了等差等比数列求和的公式，属于基础题.18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若2PC =，求平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（27【解析】【分析】（1）四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点；（2）连结OP ，推导出DC PD ⊥，DC AD ⊥，DC ⊥平面P AD ，DC PO ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点；（2）连接OP ，依题意：22PC DC PD ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥，又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=，所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥，因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点，所以PO ⊥平面ABCD ，则PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥，以O 为原点建立如图坐标系O xyz -，因为4AB =，所以(2,4,0)B ，(0,4,0)E ，(3)N -，(1,3)M -，则(0,2,0)NM =，(1,2,3)ME =，(2,0,0)EB =，设平面α的一个法向量为()111,,m x y z =，则111120230y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(3,0,1)m =，设平面NME 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(0,3,2)n =．则7cos ,7||||27m n m n m n ⋅〈〉===，所以平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值为7. 【点睛】本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点为1(1,0)F -，经过点1F 的直线l 与圆222:(1)8F x y -+=相交于P ，Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求椭圆C 的方程；（2）l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积．【答案】（1）2212x y +=（2）43【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可求得2a =，又1c =，故1b =，由此可得C 的方程；（2）根据A 为线段PQ 的中点，得12AF AF ⊥，由120AF AF ⋅=以及221112x y +=可得,A B 的坐标，从而可得三角形2ABF 的面积. 【详解】（1）如图：由圆222:(1)8F x y -+=可得222PF =，因为1||MF MP =，所以12222||22a MF MF MP MF PF =+=+==，即2a =1c =，故1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，易知2(1,0)F ，因为A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥，所以22212111111111(1,)(1,)(1)(1)10AF AF x y x y x x y x y ⋅=---⋅--=---+=+-=，又221112x y +=，解得10x =，11y =±，若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x +=，所以1243x x +=-，所以243x =-，213y =-，即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=．若1y =-，同理可求得2ABF 的面积43S =．综上，2ABF 的面积为43. 【点睛】本题考查了根据椭圆的定义求椭圆方程，考查了圆的性质，考查了两个垂直向量的坐标表示，考查了直线与椭圆的交点，考查了三角形的面积公式，属于中档题.20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间[]100,400内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在(300,400]内的个数X 的数学期望；（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k 格到第1k +格，k ∈N ），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k 格到第2k +格，k ∈N ），行进至第3l 格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i 格的概率为(0,1,2,,32)i p i =⋅⋅⋅，01p =．（ⅰ）求1p 、2p ，并写出用2i p -、1i p -表示(2,3,,31)i p i =⋅⋅⋅的递推式；（ⅱ）求32p ，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．【答案】（1）8.4个；（2）（ⅰ）112p =,234p =，121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅．（ⅱ）313211132p ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，更有利于买家．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可求出苹果的重量在(]300,400内的频率，再根据二项分布的期望公式可得结果；（2）（ⅰ）由当前格在第0格，且第一次抛掷骰子，结果为1，可求得112p =；由当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，和当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，这两个互斥事件的和事件的概率公式可求得234p =；分两种情况可求得i p ：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1，（ii ）根据（ⅰ）的递推关系121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅可求得121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，由此可得31p ，根据323012p p =可求得32p ，再比较大小可得答案.【详解】（1）由图可知，苹果的重量在(]300,400内的频率为：(0.00360.0020)500.28+⨯=．一顾客从该果园购买的30个苹果中重量在300,(400]内的个数为X ，则~(30,0.28)X B ，所以()300.288.4E X =⨯=（个）．（2）（i ）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为12，则112p =；买家要行进至第2格的情况有以下两种：①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为12； ②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为111224⨯=；所以2113244p =+=．买家要行进至第i 格(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅的情况有以下两种：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i 格，其概率为212i p -； ②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i 格，其概率为112i p -；所以121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅．（ii ）由（i ）得，()()11212i i i i p p p p ----=--，即11212i i i i p p p p ----=--(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，又10111022p p -=-=-≠，所以数列{}1i i p p --(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅是首项为1012p p -=-，公比为12-的等比数列．所以112ii i p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，所以()()()112100i i i i i p p p p p p p p ---=-+-+⋅⋅⋅+-+11111222i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221113212i i ++⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，即121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅．所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为3232312121113232p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为3131323011************p p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由于32313031322111111110323232p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家．【点睛】本题考查了由频率分布直方图求频率，考查了二项分布的期望公式，考查了由递推关系求数列的通项，属于中档题.21.已知()sin f x x =，()ln g x x =，2()1h x x ax =--．（1）若[0,1]x ∈，证明：()(1)f x g x ≥+；（2）对任意(]0,1x ∈，都有()e()()0f x h x g x +->，求整数a 的最大值．【答案】（1）见解析（2）2 【解析】【分析】（1）构造函数()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，利用二次求导可证明结论成立；（2）利用1x =时，不等式成立以及（1）的结论，可得2a ≤，从而只需证明sin 2()21ln 0x H x e x x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．再根据（1）的结论，转化为证明2()ln G x x x x =--0≥在(]0,1x ∈上恒成立.利用导数即可证明，由此可得结果.【详解】（1）设()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，则1()cos 1F x x x '=-+，因为21()sin (1)F x x x ''=-+，且[0,1]x ∈，则()F x ''在[0,1]单调递减，因为1(1)sin104F ''=-<，(0)10F ''=>，所以存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得()00F x ''=，所以x ∈()00,x 时，()0F x ''>，x ∈()0,1x 时，()0F x ''<，则()F x '在()00,x 时单调递增，在()0,1x 上单调递减，又11(1)cos1cos 0223F π'=-+>-+=，(0)0F '=，所以()0F x '>在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上单调递增，则()(0)0F x F ≥=，即()0F x ≥．所以()(1)f x g x ≥+．（2）因为对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()0f x eh x g x +->，即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >，由（1）知sin1ln 2>，所以ln 2sin1123e e e =<<<，由于a 为满足sin 21ln 0x e x ax x +--->的整数，则2a ≤，因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明sin 2()21ln 0xH x ex x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．由（1）知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+，故22()121ln ln H x x x x x x x x >++---=--，设2()ln G x x x x =--，(0,1]x ∈，则1(21)(1)()210x x G x x x x+-'=--=≤，所以()G x 在(0,1]上单调递减，所以()(1)0G x G ≥=，所以()0H x >在(0,1]上恒成立．综上所述，a 的最大值为2．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数证明不等式成立，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了零点存在性定理，多次构造函数求导，利用放缩法进行转化是本题的难点，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α．【答案】（1）直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）3sin α= 【解析】【分析】（1）根据点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程，两边同时乘以ρ后，根据互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义可解得结果. 【详解】（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +，由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===，所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=，所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=，由[0,)απ∈，所以3sin α=. 【点睛】本题考查了直线的参数方程及其几何意义，考查了极坐标方程化普通方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++．（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()(),32,-∞-+∞；（2）2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用零点分段法解不等式1250x x -++->可得出函数()y f x =的定义域；（2）由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+可得出3a ≥-，然后解不等式23x a a -≤+可得出333a x a -≤≤+，根据题意得出[][]2,13,33a a -⊆-+，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->. 当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-；当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意；当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x >. 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞. 因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式中参数的求解，第（2）问中将问题转化两区间的包含关系是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.。

2020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷(理科)(6月份)(含答案解析)

020年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合0，1，，，则A. B. 0， C. 0， D. 1，3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如图：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4.已知点在双曲线的一条渐近线上，该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 45.已知点，，则A. 1B.C.D. 26.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为A. 216B. 108C.D. 367.材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中这个公式被称为海伦秦九韶公式．材料二：阿波罗尼奥斯在圆锥曲线论中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为A. B. 3 C. D. 68.已知函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则的最小值为A. 8B. 4C. 2D. 19.如图1，已知PABC是直角梯形，，，D在线段PC上，将沿AD折起，使平面平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图对于图2，下列选项错误的是A. 平面平面PBCB. 平面PDCC. D.10.已知F为抛物线的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，，则p的值为A. 4B. 3C. 2D. 111.已知函数，是的唯一极小值点，则实数k的取值范围为A. B. C. D.12.在中，，，有下述四个结论：若G为的重心，则；若P为BC边上的一个动点，则为定值2；若M，N为BC边上的两个动点，且，则的最小值为；已知P为内一点，若，且，则的最大值为2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则______．14.若“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．15.在ABC中，，，，D在线段AB上，若与的面积之比为3：1，则______．16.某校同时提供A、B两类线上选修课程，A类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A类、B类课程中的一类学习，当选择A类课程20次，B类课程20次时，可获得总积分共______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共______分．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为正项等比数列，为的前n项和，若，．求数列的通项公式；从三个条件：；；中任选一个作为已知条件，求数列的前n项和．18.已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，为正三角形，M是PC的中点，过M的平面平行于平面PAB，且平面与平面PAD的交线为ON，与平面ABCD的交线为OE．在图中作出四边形不必说出作法和理由；若，求平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．19.已知椭圆C：左焦点为，经过点的直线l与圆：相交于P，Q两点，M是线段与C的公共点，且．求椭圆C的方程．与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求的面积．20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重单位：克，其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数X的数学期望；小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格第0格开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格从第k格到第格，，若掷出2点，即从当前位置向前行进两格从第k格到第格，行进至第31格获得福袋或第32格谢谢惠顾，游戏结束．设买家行进至第i格的概率为，1，2，，，．求、，并写出用、表示3，，的递推式；求，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．21.已知，，．若，证明：；对任意都有，求整数a的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线过点，倾斜角为以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的参数方程及曲线C的直角坐标方程；若l与C相交于A，B两点，M为线段AB的中点，且，求．23.设函数．当时，求函数的定义域；设，当时，成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，复数z所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：D解析：解：集合0，1，，1，2，3，，1，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A，通过计算可得1至5月的利润分别为，，，，，故A错误；对于B，由A所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B错误；对于C，同理可得C错误；对于D，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D正确，故选：D．利用收入与支出单位：万元情况的折线统计图直接求解．本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.答案：C解析：解：根据点在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为，所以有，根据双曲线中a，b，c的关系，可以得，所以有，故选：C．利用已知条件推出a，b的关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：B解析：解：点，，，故选：B．利用两点间距离公式结合三角函数公式求解．本题主要考查了两点间距离公式，以及三角函数公式，是基础题．6.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：．故选：B．首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱柱体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：中，，，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，如图所示；则，，，所以椭圆的标准方程为；由图形知，当点A在椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值；此时的面积为．故选：C．由题意知点A的轨迹是椭圆，写出椭圆的标准方程，求出面积的最大值．本题考查了椭圆的定义与应用问题，也考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：解：函数，把的图象向左平移个单位所得的图象为，即，，，的最小值为4；故选：B．由条件利用函数的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题．9.答案：A解析：解：如图，图1中，则图2中，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，则，故选项C正确；由平面ABCD，平面PDC，得平面平面ABCD，而平面平面，平面ABCD，，平面BDC，故选项B正确；，平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，则，即是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则，故选项D正确．因此错误的只能是A．故选：A．由已知利用平面与平面垂直的性质得到平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面平面ABCD，结合判定B正确；再证明平面PAD，得到为直角三角形，判定D正确；由错误的选项存在可知A错误．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：C解析：解：由线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，，可得轴，可得圆的直径为2，半径为1，可得P的横坐标为2，P的纵坐标为1，即，，即，将P的坐标代入抛物线的方程可得，所以，故选：C．由题由线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足，可得轴，再由可得P的横坐标为2，即圆的直径为2，半径为1，所以P的纵坐标为1，将P的坐标代入抛物线的方程可得p的值．本题考查抛物线的性质及圆与x轴相切的性质，属于中档题．11.答案：D解析：解：由题可知，，是的唯一极小值点，恒成立，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，即．故选：D．对函数求导可得，因为是的唯一极小值点，所以恒成立，即，令，则，易知当时，单调递减；当时，单调递增，所以，所以，即，故而得解．本题考查利用导数研究函数的极值，还用到了构造法，将原函数的极值问题转化为新函数的恒成立问题是解题的关键，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．则，，．，．对于，由重心坐标公式，可得，则，，，故正确；对于，设，则，则，故错误；对于，不妨设M靠近B，，则，得，则．当时，取得最小值为，故正确；对于，由，且P为内一点，，得，即，则的最大值小于2，故错误．所有正确结论的编号是．故选：A．以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断；设，把用含有t的代数式表示判断；不妨设M靠近B，，则，求得M与N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求最值判断；由向量加法的平行四边形法则结合图形求得与的范围判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．13.答案：10解析：解：因为，所以为x的系数；故；故答案为：10．转化为求x的系数，即可得到结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．14.答案：解析：解：“”是真命题，；故答案为：．根据对数函数的性质得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了特称命题的真假，考查对数函数的性质，是一道基础题．15.答案：1解析：解：因为与的面积之比为3：1，故AD：：1；故BD；；；故答案为：1．先根据面积之比求得BD，再代入余弦定理即可求解．本题考查三角形的实际应用，考查计算能力．16.答案：180 190解析：解：依题意，当选择A类课程20次，B类课程20次时，可获得总积分共分；设选择A类课程x次，B类课程y次，则依题意有，，目标函数为，作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示，将平移，由图可知，当移至点P时，目标函数取得最大值，联立，解得，故最大值为，即最多可以获得总积分共190分．故答案为：180，190．依题意，当选择A类课程20次，B类课程20次时，易知此时总积分为180分；设选择A类课程x 次，B类课程y次，建立关于x，y的线性不等式租，作出可行域，进而求得最大值．本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．17.答案：解：设数列的公比为，，，故：，解得，由，解得，；若选：由题意知：，此时数列是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和若选：由题意知：，；若选：由题意知：，此时数列是首项为0，公差为1的等差数列，其前n项和．解析：设数列的公比为，由题设条件分别列出q与的方程，解出q与，就可求出；若选：由题设条件求得，再利用等比数列的前n项和公式求得；若选：由题设条件求得，再利用分组求和法求得；若选：由题设条件求得，再利用等差数列的前n项和公式求得．本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及数列前n项和的求法，属于基础题．18.答案：解：如图，四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点．连结OP，依题意，，，，，且，平面PAD，则，为正三角形，且O为AD中点，平面ABCD，，，，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，，4，，4，，0，，2，，则2，，2，，0，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面BME的一个法向量b，，则，取，得，则．平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值为．解析：四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点．连结OP，推导出，，平面PAD，，从而平面ABCD，，，，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值．本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．19.答案：解：由圆：可得，因为，所以，即，又，故，所以椭圆C的方程为；设，，为线段PQ的中点，则，，又，解得，，若，则，直线l的方程为，由解得，即，所以的面积，若，同理可求得的面积，综上所述，的面积为．解析：由题意可得，所以，可得a的值，又，可求出b的值，从而得出椭圆C的方程；由，结合，可求处点A的坐标，分情况讨论即可求出的面积．本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：要图可知，苹果的重量在内的频率为：，一顾客从该果园购买了30个苹果重量在内的个数为X，则，故E个；买家要行进至第1格的情况只有1种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第1格，其概率为，则，买家要行进至第2格的情况有以下两种：当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为，当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为，则，买家要行进至第i格2，3，的情况有以下两种：当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i格，其概率为，当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i格，其概率为，则，2，，由得：，即，2，，故数列2，是首项为，公比为的等比数列，，2，，，即，2，，故买家行进至第31格获得福袋的概率为，故买家行进至第32格谢谢惠顾的概率为，由于，故买家行进至第31格获得福袋的概率大于买家行进至第32格谢谢惠顾的概率，故小张推出的此款游戏活动更有利于卖家，解析：求出频率，代入公式，求出数学期望值即可；买家要行进至第1格的情况只有1种，依次写出买家要行进至第2格的情况以及买家要行进至第i格2，3，的情况，求出递推公式即可；求出数列2，是首项为，公比为的等比数列，得到，2，，计算，判断即可．本题考查了求概率，数学期望以及等比数列的性质问题，考查递推公式，是一道综合题．21.答案：解：设，则．注意到，因为，因为，则在单调递减，所以，，，所以存在唯一零点，使得则在时单调递增，在上单调递减，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．因为对任意的，不等式，即恒成立，令，则，由知，所以，由于a为整数，则，因此，下面证明，在区间恒成立，由知，则，故H，设，，则，所以在上单调递减，所以，所以，在上恒成立，综上所述，整数a的最大值为2．解析：设，，求导得且，再求，得在单调递减，所以，，，所以存在唯一零点，使得，得在时单调递增，在上单调递减，，，进而在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，即可得证．根据题意得对任意的，不等式恒成立，令，则，由知，所以，由于a为整数，所以，得，接下来证明，在区间恒成立，即可得整数a的最大值为2．本题考查导数的综合应用，参数的取值范围，属于中档题．22.答案：解：直线过点，倾斜角为则直线的参数方程为：为参数．曲线C的极坐标方程为根据，转换为直角坐标方程为．将直线的参数方程代入，得到：，所以，由于M为线段AB的中点，所以，整理得，整理得：解得，舍去，整理得：，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：时，要使函数有意义，则需满足，或或，或，所以函数的定义域为．当，成立，即成立，所以且，可得，而，，，所以a的取值范围是解析：代入，使真数有意义，分段解绝对值不等式即可；由题成立转化为成立，再由x的范围即可解出a的范围．本题主要考查的是绝对值不等式的解法，及求参范围，是道综合题．。

云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题(学生版)

【6月9日昆明三诊一模理数】2020年6月云南省昆明市三诊一模高考模拟理科数学试卷含答案

昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．在复平面内，复数z=对应的点位于 21i i
+A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．已知集合则A∩B=
{2,1,,2},{2|},01,A B b b A =--=+∈A ． B ． C ．{2,1,0}--{}1,0,1-{}
2,0,2- D ．{0,1,2}
3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：
关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是
A ．各月的利润保持不变
B ．各月的利润随营业收入的增加而增加
C ．各月的利润随成本支出的增加而增加
D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系
4．已知点)在双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线上，该双曲线的离心率为 22
1x y a b
-=
A B C ．2 D ．4 5．已知点则|AB|=
(cos10,sin10),(cos100,sin100)A B ︒︒︒︒
A ．1
B
C
D ．2
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为。

昆明市2020届高三三诊一模摸底诊断测试理科数学

当时，，所以在单调递减，
且，时，，时，；
当时，，所以在单调递减，且时，；
当时，，所以在单调递增，且时，，
所以是的极小值，有两解，等价于，得 .
不妨设，则 .
据（1）在上单调递减，在上单调递增，
故，
由于，，且，则，
所以，，
即，，
欲证明：，等价于证明：，
即证明：，只要证明：，
因为在上单调递减，，
所以只要证明：，
由于，所以只要证明：，
即证明：，
设，据（1），
，
所以在上单调递增，
所以，
即，
故 .
22.解：（1）曲线化为：，
将代入上式，即，
整理，得曲线的直角坐标方程 .
由，得，
将代入上式，化简得，
22．［选修4-4：坐标系与参数方程］
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合．曲线的极坐标方程是，直线的极坐标方程是．
（1）求曲线和直线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线相交于点、，求的值．
23.［选修4-5：不等式选讲］
已知函数 .
（1）求不等式的解集；
D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过
5．以双曲线：的右焦点为圆心，为半径的圆（为坐标原点）与的渐近线相切，则的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第个圆环解下最少需要移动的次数记为（且），已知，，且通过该规则可得，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）

云南省昆明市2020届高三“三诊一模”教学质量检测数学(理)试题(word版)

昆明市2020届“三诊-模”高三复习教学质量检测理科数学一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x<-1或x>2}, B={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 则A∩B=A. {-3,-2}B. {2,3}C. {-3,-2,3}D. {-3,-2,2,3}2.已知复数z 满足(1+2i)z=5i,则z=A.2+iB.2-iC. -2+iD. -2-i3.在正项等比数列{}n a 中,若1321,2,a a a ==+n S 为其前n 项的和,则63S s = A.6 B.9 C.12 D.154.若夹角为120°的向量a 与b 满足|a +b |=|b |=2,则|a |=A.1B.2 .23C D.45.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为6.7A π B.π 7.6C π D.2π 6.执行如图所示的程序框图,则输出的T=3.2A 12.7B 5.3C 8.5D 7.已知圆222:(1)(1)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M,过点M 且斜率为2的直线1与圆C 的另一个交点为N,若MN 的中点P 恰好落在y 轴上,则|MN|=5.2A 5.2B 5.4C 5.4D 8.若直线y=x 与曲线y=lnx+ax 相切,则a=1.A e 1.B e - 1.1C e - 1.1D e- 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P,称△PAB 为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时,△PAB 具有以下特征:①P 点必在抛物线的准线上;②△PAB 为直角三角形,且PA PB ⊥③PF ⊥AB.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB,阿基米德三角形为△PAB,且点P 的纵坐标为4,则直线AB 的方程为A. x-2y-1=0B.2x+y-2=0C. x+2y-1=0D.2x- y-2=0 10.已知函数3()3,f x x x =+若对任意t ∈[-1,1]不等式2(2)()0f t m f t -+≥恒成立,则实数m 的取值范围是A. m≤1 1.2B m ≤- 1.4C m ≤- 1.8D m ≤- 11. 已知正四棱锥P-ABCD 的高为2,22,AB =过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111,A B C D 若底面ABCD 与截面1111A B C D 的顶点在同一球面上,则该球的表面积为A.20π 20.3B π C.4π4.3D π 12.如图,某公园内有一个半圆形湖面,O 为圆心,半径为1千米,现规划在△OCD 区域种荷花,在△OBD 区域修建水上项目.若∠AOC=∠COD,且使四边形OCDB 面积最大,171A - 331B - 171.C - 331D -二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13. 能说明命题“∀x ∈R 且x≠0,12x x+≥”是假命题的x 的值可以是___. (写出一个即可) 14.已知F 是双曲线C:2221(0)y x b b -=>的右焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点,若|2,|,3OP b POF π=∠=则C 的离心率为__.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案,被誉为“宇宙魔方”,九宫格源于河图洛书｡如图是由9个单位正方形(边长为1个单位的正方形)组成的九宫格,一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点,共有36C 种不同的路线,则在这些路线中,该质点经过p 点的概率为___.16. 定义域为R 的偶函数f(x)满足f(1+x)+ f(1-x)=0, 当x ∈[0,1)时,()sin ,2xf x π=给出下列四个结论:①|f(x)|<1;②若12()()0,f x f x +=则120x x +=③函数f(x)在(0,4)内有且仅有3个零点;④若123,x x x <<且123()()(),f x f x f x ==则31x x -的最小值为4.其中,正确结论的序号是____.注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求｡全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分｡三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22､23 题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡17. (12分)已知三棱柱111,ABC A B C -底面ABC 为等边三角形,侧棱1AA ⊥平面ABC,D 为1CC 中点,112,AA AB AB =和1A B 交于点O.(1)证明:OD//平面ABC ;(2)求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值.18. (12分)2020年1月,教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发,自2020年起,在部分高校开展基础学科招生改革试点(也称“强基计划”) .强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域,选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生｡新材料产业是重要的战略性新兴产业,下图是我国2011- 2019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图｡其中柱状图表示新材料产业市场规模(单位:万亿元),折线图表示新材料产业市场规模年增长率(%).(1)求从2012年至2019年,每年新材料产业市场规模年增长量的平均数(精确到0.1);(2)从2015年至2019年中随机挑选两年,求两年中至少有一-年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率;(3)由图判断,从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. (结论不要求证明)19. (12分)△ABC 的角A, B, C 的对边分别为a, b, c,已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+.(1)求A;(2)从三个条件:3a =①3b =②③△ABC 的面积为3中任选一个作为已知条件,求△ABC 周长的取值范围｡注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡20. (12分)已知函数2()(2)ln (0)f x ax a x a x=-+->. (1)讨论f(x)的单调性;(2) 设()()gx f x lna =-, 若g(x)存在两个极值点12,,x x 求12()()g x g x +的最小值｡21. (12 分)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M, N,有一根旋杆将两个滑标连成一体, |MN|=4, D 为旋杆上的一点,且在M,N 两点之间,且|ND|=3|MD|,当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动,滑标N 在滑槽GH 内随之运动时,将笔尖放置于D 处可画出椭圆,记该椭圆为C.如图2所示,设EF 与GH 交于点O,以EF 所在的直线为x 轴,以GH 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C 的方程;(2)设12,A A 是椭圆C 的左､右顶点,点P 为直线x=6上的动点,直线12,A P A P 分别交椭圆于Q,R 两点,求四边形12AQA R 面积的最大值.(二)选考题:共10分｡请考生在第22､23题中任选一题作答｡并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑｡如果多做,则按所做的第一题计分｡22. 【选修4- -4:坐标系与参数方程】 (10分) 在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1,22322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 的极坐标方程; (2)设动点M 的极坐标为(ρ,θ),射线OM 与直线l 相交于点A,且满足|OA|·|OM|=4,求点M 轨迹的极坐标方程.23. [选修4- -5: 不等式选讲] (10 分)已知f(x)=2|x+1|+|x-1|.(1)解不等式f(x)≤4;(2)设f(x) 的最小值为m,实数a,b, c 满足222,a b c m ++=证明:||a b c ++≤。

云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.
本题主要考查了根据导数求解极值点的问题，需要根据极值点满足的关系分析得导函数零点的个数，再求最值求解参数的范围，属于中档题.
12．A
【解析】
【分析】
根据题意，先得为等腰直角三角形；①取中点为，连接，得到，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到，由题意得到在上的投影为，进而可求出向量数量积；③以点为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，由题意，设，且，不妨令，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结果；④同③建立平面直角坐标系，设，根据题意，得到，再设，由题意，得到，，用表示出，即可求出结果；
A．平面平面 B．平面
C． D．
10．已知为抛物线的焦点，点为抛物线上一点，以线段为直径的圆与轴相切于点，且满足，，则的值为（）
A． B． C． D．
11．已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
12．在中，，，有下述四个结论：
①若为的重心，则
（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数的数学期望；
（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第格到第格，），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第格到第格，），行进至第3l格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第格的概率为，．

昆明市2020届高三“三诊一模”摸底测试数学试题-理科数学

理科数学试卷·第1页（共8页）B AxyO-1-1Z'xy O -11Z'x y O Z'1-1x y O Z'11秘密★启用前【考试时间：1月3日 15∶00—17∶00】昆明市2020届高三“三诊一模”摸底诊断测试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}A x x =∈≤N ，集合{|13}B x x =∈-≤≤Z ，则图中的阴影部分表示的集合是 A ．[1,3] B ．(1,3] C ．{1,2,3}-D ．{1,0,2,3}-2．在复平面内，复数1i z =+的共轭复数对应的向量OZ '为A B C D3．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则cos(π)α-=A ．45B ．35C ．45-D ．35-理科数学试卷·第2页（共8页）Ⅲ类36.1％Ⅱ类44.8％ Ⅳ类11.5％Ⅴ类3.5％劣Ⅴ类2.4％Ⅰ类1.6％Ⅲ类27.1％Ⅱ类54.7％Ⅳ类9.0％Ⅴ类1.8％Ⅰ类5.7％劣Ⅴ类1.8％4．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：2017年 2018年则下列说法错误的是 A ．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B ．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C ．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%5．以双曲线C :22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点F 为圆心，12OF 为半径的圆（O 为坐标原点）与C 的渐近线相切，则C 的渐近线方程为 A 30x y ±= B ．30x y =C 50x y ±=D ．50x =6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n ∈N ），已知(1)1f =，(2)1f =，且通过该规则可得()(1)2(2)1f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为 A ．7 B ．16 C ．19D ．21理科数学试卷·第3页（共8页）7．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象可能是A B8．ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若120B =︒，sin C =，2c =，则ABC △的面积等于AB ．CD9．已知函数()e e x x f x -=+，则 A．((e)f f f << B．(e)(f f f <<C．(e)(f f f <<D ．((e)f f f<<10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是A ．2B ．4C ．D ．11．已知函数π()sin()(0)4f x x ωω=->，π[0,]2x ∈的值域是[，则ω的取值范围是A ．30]2（，B ．3[3]2，C ．7[3]2，D ．57[]22， 12．已知P 是函数2()f x x =图象上的一点，过P 作圆22430x y y +-+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值为A ．328-B ．3C ．0D ．32理科数学试卷·第4页（共8页）备注：“专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。

2020届云南省昆明市高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届云南省昆明市高三“三诊一模”高考模拟考试（三模）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案：正确填写在答题卡上一、单选题1．在复平面内，复数21i z i =+所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案：．解：解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-Q ， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =I （）．A ．{}2,1,0--B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,2-D ．{}0,1,2答案：D先由集合A ，求出集合B ，再根据交集的概念，即可求出结果.解：因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2A B =I .故选：D.点评：本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（）．A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系答案：D利用收入与支出（单位：万元）情况的折线统计图直接求解．解：对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误；对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误；对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确，故选：D ．点评：本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4．已知点3)P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（）A ．33B 3C ．2D ．4答案：C 根据点3)P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上可得,a b 的关系，再根据21c b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解即可.解：由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==. 故选：C点评：本题主要考查了双曲线的离心率求解，需要根据题意确定,a b 的关系，进而求得离心率.属于基础题.5．已知点()cos10,sin10A ︒︒，()cos100,sin100B ︒︒，则AB =（）A ．1B C D ．2答案：B利用两点间距离公式结合三角函数公式求解．解： Q 点(cos10,sin10)A ︒︒，(cos100,sin100)B ︒︒，||AB ∴======故选：B ．点评：本题主要考查了两点间距离公式，以及三角函数公式，是基础题．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A ．216B ．108C ．543D ．36答案：B 首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱柱体的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：16661082V =⨯⨯⨯=．故选：B ．点评：本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．7．材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为()()()S p p a p b p c ---2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（）A 5B ．3C ．5D ．6答案：C根据材料二可得点A 的轨迹为椭圆，当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC V 的面积取得最大值.解：由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴225,b = 当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC V 的面积取得最大值，∴max 145252S =⋅⋅=，故选：C.点评：本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力.8．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，则ω的最小值为（）A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B根据题意，得到2π为函数()f x 周期的整数倍，进而可得出结果. 解：因为函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，所以*,2nT n N π=∈（其中T 为函数()f x 的最小正周期），即22n ππω⋅=，所以4n ω=，因为*n N ∈，所以min 4ω=. 故选：B.点评：本题主要考查由三角函数的周期求参数的问题，属于基础题型.9．如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．BC ⊥平面PDC C ．PD AC ⊥D ．2PB AN =答案：A 利用线面垂直判定与性质进行证明BC ⊥平面PDC ,PD AC ⊥，证明PAB △是直角三角形可得2PB AN =.解：由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥Q ，PD DC D ⋂=所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD =,PD AD ⊥QPD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂Q 平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥Q 平面ABCD ,PD AB ⊥Q 又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴V 是直角三角形，又PB 的中点为N 所以2PB AN =，所以D 正确.故选：A点评：求解翻折问题的关键及注意事项：求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折(转)后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意：(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折(转)前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．10．已知F 为抛物线()220x py p =>的焦点，点P 为抛物线上一点，以线段PF 为直径的圆与x 轴相切于点M ，且满足MF PM =，2PF =，则p 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C作出图形，根据题意推导出//PF x 轴，结合2PF =，可得出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入抛物线的方程，可求得正数p 的值.解：。