回路分析法

§2-6 回路分析法及网孔分析法

1、物理描述

回路分析法（loop-analysis method）的基本指导思想是用未知的回路电流

代替未知的支路电流来建立电路方程，以减少联立方程的元数。

对于只隶属于一个回路的支路，其电流即等于该支路所属回路的回路电流；

对于两个（或两个以上）回路的公共支路，其电流可按基尔霍夫电流定律求解。对于平面电路，可以按网孔取独立回路，以网孔电流(mesh current)为变量

，按照基尔霍夫电压定律和元件方程列出网孔电压方程（简称网孔方程）。这种方法称为网孔分析法（mesh-analysis method）。

2 、现在以图2-6-1为例导出回路电流方程的一般式。

设想有两个电流i m1 ,i m2 分别沿着左右两个回路的边界连续流动，如果我们把i m1和i m2求出，则所有支路的电流均能以这两个电流表示而不再增设变量以减少联立方程的个数，这就是回路分析法。i m1 ,i m2称作回路电流，那么支路电

流就可以表示成i1=i m1 i2=i m2 i1=i m1-i m2

图2-6-1 回路分析法示例

下面我们将导出回路分析法的一般式。

在图2-6-1 中有两个节点，三条支路，三个回路，两个网孔，为了建立回路方程，我们选择如图所示的两个回路为研究对象。首先选定各回路电流的参考方向并以此作为建立KVL 方程时的绕行方向，然后以回路电流为变量建立回路方程，按照此原则对图2-6-1 所示电路有：

（2-6-1 ）

我们注意到了在列上述两个方程时可以全然不顾各支路电流的参考方向。

整理2-6-1 可得：

（2-6-2 ）

式（2-6-2 ）是以回路电流为求解对象的回路电流方程。解式（2-6-2 ）可得回路电流i m1 ,i m2 ，进而可得各支路电流i1 ,i2 ,i3。我们只需解两个联立方程

便可算出3 个未知的支路电流。

可见在以回路电流为变量时可以减少联立方程的个数。方程的数目应该等于独立回路数。

简便之处还不仅在于此，更重要的是我们可以应用观察法即能列出回路电流方程观察式（2-6-2 ）所示方程组我们可得如下规律：

（1 ）式（2-6-2 ）(a) 式中i m1 和(b) 式中i m2 前面的系数分别是它们各自所在回路中所有电阻之和，我们称之为自电阻用R11、R22表示。自电阻恒为正值。

（2 ）（2-6-2 ）(a) 式中i m2 和(b) 式中i m1前面的系数为两回路的共有

电阻，我们称之为互电阻，用和表示。当两回路电流流过互电阻流向相反时，互电阻应为负。反之，互电阻为正。

（3 ）（2-6-2 ）式右边为各回路所有电压源电压升的代数和，用和

表示。当电压升与回路电流绕行方向一致时取正值；反之，取负值。如在（2-

6-2 ）式中，。

对图2-6-1 所示电路用通式表示时有

( 2-6-3 )

为统一起见，上式我们将互电阻前的“ + ”“ - ”号包括在互电阻中了。我们

很容易将上式推广成一般式。对一个具有n 个回路的电路，回路电流方程的一般式可以由式（2-6-3 ）推广得到，即

( 2-6-4 )

回路法是建立在基尔霍夫电压定律和元件方程基础上的，它对于平面或非平面电路均适用。

为了建立网孔方程，应先在每一个网孔中选定网孔电流的参考方向，并以此

作为建立网孔方程的计算电压代数和及电位升代数和的参考方向，然后应用基尔霍夫电压定律列出网孔方程。

例2-6-1

例图2-6-1中各网孔方程依次

为（2-6-5）

（2-6-6）

（2-6-7）

经整理后变为

（2-6-8）

（2-6-9）

（2-6-10）

例2-6-1 回路分析法示例

再进一步写成便于推广应用的规范化形式

（2-6-11）

（2-6-12）

（2-6-13）

式中

是网孔1 中的各支路电阻的总和，称为网孔1的自电阻（self resistance）;

是网孔2中的各支路电阻的总和，称为网孔2的自电阻；

是网孔3中的个支路电阻的总和，称为网孔3的自电阻

是网孔1和网孔2 的公共支路电阻的负值，称为网孔1和网孔2 的共电阻[或互电阻（mutual resistance）];

是网孔2和网孔3 的公共支路电阻的负值，称为网孔2和网孔3 的共电阻;

是网孔1和网孔3的公共支路电阻的负值，称为网孔1和网孔3的共电阻;

是网孔1中沿网孔参考方向的各电压源电位升的代数和；

是网孔2中沿网孔参考方向的各电压源电位升的代数和；

是网孔3中沿网孔参考方向的各电压源电位升的代数和；

网孔的自电阻恒为正值。两网孔的共电阻则可以为正，也可以为负，视相邻

两网孔电流通过公共支路时其参考方向相同或相反而定。当相邻两网孔电流以同一参考方向通过公共支路时，共电阻为正；反之，当相邻两网孔电流以相反的参考方向通过公共支路时，其共电阻为负。

计算一个网孔中电压源电位升的代数和时，凡电压源电位升的参考方向与该

网孔的参考方向一致者，在它的前面取“+”；反之，取“-”。

通常用回路（或网孔）分析法建立回路（或网孔）方程组时，可以先算出各

回路（或网孔的）自电阻、相关回路（或网孔）的共电阻和每一回路（或网孔）中电压源电位升的代数和，然后再写出方程组。

例2-6-2 、例2-6-3