消元--二元一次方程组的解法 案例(1)

8.2 消元——二元一次方程组的解法(第1课时)湖北省枣阳市实验中学邱小航一、教学内容解析《消元——二元一次方程组的解法》是人教版新教材七年级下册第八章第二节．本课时学习内容为《消元——二元一次方程组的解法》第一课时，即代入消元法．本节内容是学生在已掌握了等式的性质、一元一次方程方程解法、二元一次方程（组）的有关概念之后，对方程再次认识与探究．代入消元法解二元一次方程组是学生第一次接触到的解方程组的方法，该方法蕴含了数学思想中的“化归”思想，即体现了“化未知为已知”的重要思想，这种思想是本章的重点，也是难点，为今后学习函数、线性方程组及高次方程组奠定了基础．本节承接上节篮球联赛胜负场数问题，依据题意列出二元一次方程组与一元一次方程，探究二者关系，通过探究明了二元一次方程组可转化为一元一次方程，即：通过把方程组中一个方程变形，然后代入方程组中另一个方程，将原方程组转化为一元一次方程．结合此例，归纳出“将未知数个数由多化少，逐一解决”的消元思想．本节利用学生熟悉的实例，由旧题提出新问题，自然而然地为学生创造数学活动机会，通过观察、分析、合作交流等活动，发现并归纳二元一次方程组解法，并在探究中感知消元思想．因此本节数学活动主体应是探究二元一次方程组的解法，故而本节重点：探究代入法解二元一次方程组，从而达到会用代入消元法解二元一次方程组的目的．二、教学目标解析教学目标：掌握代入法解二元一次方程组，理解解二元一次方程组的基本思想——“消元”．目标解析1.利用实例为学生提供数学活动平台，让学生在自主探究，在合作交流中发现解二元一次方程组的方法——代入消元法，进而归纳代入法解方程组基本步骤．2.让学生经历“实际问题——探究二元一次方程组转化为一元一次方程——讨论二元一次方程组转化为一元一次方程的基本过程——归纳二元一次方程组解法步骤及基本思想方法”等活动过程，进一步发展学生观察、分析、归纳能力，感知解二元一次方程组的基本思想——消元．3.引导学生主动参与到探究二元一次方程组解法的活动中去，适时评价，不断激发学生的探究精神，树立学习的信心，增强学习的兴趣，培养学生合作交流意识．三、教学问题诊断分析1．学生已具有等式的性质，等式变形，解一元一次方程等有关解方程的知识，但解二元一次方程组是首次接触．二元一次方程组与一元一次方程间的联系学生没有任何经验，学生也不易理解二者间关系．所以教学重点应放在将二元一次方程组如何转化为一元一次方程上，即探究用代入法解二元一次方程组．2．学生已有了对等式或方程进行变形的能力，但依据题目实际情况，选择适当方程进行变形，然后进行代入消元，这种解方程组的思想是首次接触，这也是数学“化归”思想的体现，在教学中应结合实例，启发诱导渗透这种化“未知”为“已知”的基本数学思想．3．本节引例的作用是由实例得到二元一次方程组及一元一次方程并将二者依托实例进行对比．通过对比让学生感知二者间在实际问题上的统一性，从而感知二者间相互转化的方法，从而让学生经过数学活动发现解二元一次方程组的一般方法及基本思想．但学生往往会更注重题目的答案及最终结果，而忽略二元一次方程组与一元一次方程间对比与联系的探究．所以，教学中应引导学生把主要精力放在两种不同解法的对比、联系及相互间转化的探究上，从而发现解二元一次方程组的规律，感知“消元”思想．综合以上各类因素，本节的难点是如何将二元一次方程组化为一元一次方程，即体会“消元”思想，感知“化归”思想．四、教学法支持条件分析为了突出本节“消元”思想，体现“代入”这一具体方法，应将学生主要精力吸引到对“代入法”的探究与发现上，对“代入法”的运用上．因此，教师应依据下列情况，设计教学条件，支持教学：1.应提供较简洁的学生所熟悉的生活中的实例，为学生提供一个数学活动平台，该数学活动主体是探究“代入法解二元一次方程组”．因此，使用多媒体课件，将会提高效率．2．归纳概括出代入法解二元一次方程组的方法步骤，需要较高的思维概括能力，教学中教师对启发诱导的每一步所要达到的目标及所形成效果应清楚，及时评价，及时引导，从而激发学生不断参与数学活动的积极性，能够自主探究，发现规律．3.为了让学生在讨论交流中能获取有用信息，能发表建设性意见，可把学生简单分组，采用竞赛性小组学习方式，提高学生探究的积极性.鉴于以上分析，本节采用“启发诱导，探究讨论式”教学法，在教学过程中采用“问题引导———启发诱导—— 合作交流——归纳概括——练习”模式组织教学，辅之以多媒体，在教学活动中穿插教师的点拨，促进学生自主探究，合作交流，从而优化课堂结构，提高课堂效率．五、教学过程设计（一）提出问题，引入新课问题1. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场地得1分，某队为了争取较好的名次，想要在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？本题我们已经在本章第一节学习过，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数胜场积分＋负场积分＝总积分若设胜x 场，负y 场，则有⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 提出问题：①请用一元一次方程解答本题；②写出所列一元一次方程的等量关系式；③通过本题两种解法，你能找到解二元一次方程组的方法吗？设计意图：通过问题引起学生注意，同时引用旧题目淡化列方程组或列方程的过程，突出新问题，揭示新课课题，提出明确的学习任务，激发学生求知欲．师生活动：教师用多媒体展示CBA 赛场，依据精彩画面适时提出问题．学生独立思考并完成问题，然后交流所列一元一次方程，教师依据学生所列一元一次方程，用多媒体展示新问题，提出新任务，揭示本课时的主要任务．在活动中教师要关注:①学生所列一元一次方程的差异；②学生是否在教师引导下，进入了探究二元一次方程组的解法的转化．（二）引导探究，发现规律问题2比较 ⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 与2x ＋(22－x ) ＝40 ① 2x ＋y ＝40与2x ＋(22－x )＝40所依据的等量关系式各是什么？② y 与（22－x ）各表示什么量？从方程组中能得到（22－x ）吗？③ 由二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可以得到一元一次方程2x ＋(22－x )＝40吗？怎样才能得到？④ 由二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可以得到一元一次方程 2(22－y)＋y ＝40吗？怎样才能得到？设计意图：通过二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可以得到一元一次方程2x ＋(22－x )＝40这一过程的探究，为学生提供从事数学活动平台又能让学生明确数学活动的任务，从而让数学活动直指主体，增强学生学习的主体地位及目标性，同时逐步深化学生思维，引导学生观察、比较、分析问题，鼓励学生合作交流，降低思维坡度，有利于代入法的发现及归纳，有利于理解、掌握相关知识与方法，感知“化归”思想，形成良好的数学思维习惯，积累数学活动经验． 师生活动：教师用多媒体依次展示问题并提出问题，学生独立思考并讨论交流完成问题．在活动中教师要关注:①学生对引例理解是否透彻；②学生是否明白本次数学活动的目的已不再是列方程解应用题，而是探究二元一次方程组解法；③学生对引例中的两类方程间联系是否清楚；④学生对二元一次方程组与一元一次方程间可互化是否理解，即能否理解等量代换．（三）讨论交流，归纳新知问题3. 依据⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 可化为2x ＋(22－x )＝40①你能总结出将二元一次方程组化为一元一次方程的方法吗？②解二元一次方程组的基本思想是什么？设计意图：通过问题，让学生积极动脑、动手、动口，培养学生的交流技巧．同时教师参与到交流中，引导学生按照由具体到抽象，由特殊到一般地去思考问题，有利于学生归纳概括能力的培养，有利归纳出二元一次方程组解法步骤．经过交流归纳后，学生对解方程组的方法就会很清楚，也能感知“化归”思想，能顺利实现目标．师生活动：教师利用多媒体提出问题，学生先独立思考，然后分组讨论交流．教师应参与到学生讨论中去，鼓励学生依据实例，大胆归纳，勇于发表意见，耐心听取他人意见，不断反思，不断修正自己的意见．在活动中教师要关注:①学生能否紧扣引例展开讨论；②学生能否对引例的解法过程进行归纳概括；③学生能否提高思维层次由具体到抽象地思考问题，即能否发现解二元一次方程组的一般方法；④学生能否用一句话概括解方程组的过程，即体会到“消元”思想．（四）巩固练习，理解新知问题4. 例题评析：用代入法解方程组 ⎩⎨⎧=-=-14833y x y x设计意图：通过范例评讲，整理学生解题思路，尝试将解题思路具体化，做到理论联系实际，同时规范学生解题过程，培养认真仔细的好习惯．课堂练习1.把下列方程改写成含x 的式子表示y 的形式：（1）2x －y ＝3(2) 3x ＋y －1＝0(3) 3x ＋4y ＝16设计意图：复习等式变形技巧，分解二元一次方程组解法步骤，让二元一次方程组解法程序化．2. 用代入法解二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+-=82332y x x y (2 ) ⎩⎨⎧=+=-24352y x y x （3）⎩⎨⎧=-=+156523y x y x设计意图：巩固解二元一次方程组的方法步骤，熟练掌握解题技巧，积累解题经验. 师生活动：教师利用多媒体提出问题，并启发学生思维，师生共同完成例题评析，学生独立思考并尝试完成课堂练习，教师参与并指导学生完成数学活动，鼓励学生运用解二元一次方程组方法步骤完成题目．在活动中教师要关注:①学生解题过程是否准确，规范；②发现学生出现的错误，及时纠正；③对计算不按步骤，思维不严密的学生进行指导．（五）归纳小结，深化反思1. 本节课我们学习了什么新知识？2.代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？基本思想是什么？设计意图：通过小结既帮助学生构建新知识，又可培养学生归纳概括能力和口头表达能力，通过发展语言来发展思维，更有利于学生良好学习习惯的培养．师生活动：教师提出问题并用多媒体展示问题，最后教师进行总结归纳．学生反思总结，讨论交流．在活动中教师要关注:①学生对所学知识归纳、整理是否全面，准确；②学生对解方程组过程表达是否完整、清楚．六、教学目标检测设计1.从方程组⎩⎨⎧=-=-11091105x y y x 消去x 可得一元一次方程为__________，消去y 可得一元一次方程为__________.设计意图：让学生感知消元的多样性，通过实际操作，深化解二元一次方程组的核心任务是消元，体会消元思想．2.⎩⎨⎧-=-=+343154x y y x 由①可得：4x ＝_________ ③,将③代入②中得__________． 设计意图：利用①中4x 项与②中4x 间的代入消元，让学生体会代入法的意义，体会代入法作用及其实质．3.方程组 ⎩⎨⎧=+=+523852y x y x 由①得x ＝________ ③将③代入②是得一元一次方程为______________；解此一元一次方程得y ＝__________,将y ＝_____代入③中得x ＝_____故原方程组的解为⎩⎨⎧==________y x设计意图：通过分解二元一次方程组解法的步骤，巩固消元法解二元一次方程组过程，强化算法的程序化，理清解题思路．4. 用代入消元法解下列方程组．①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2216321y x y x ②⎩⎨⎧=-=+33651643y x y x 设计意图：强化解题技巧，熟练解题程序，巩固新知，检测目标完成情况．5.方程组⎩⎨⎧=-=+52310by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==11y x 求a, b 的值．设计意图：通过综合性较强的训练，既巩固新知，又复习旧知，又可感受到代入法的不同情形，同时又能检测学生完成目标情况．教学反思：本节课采用“启发诱导，探究讨论式”教学法，利用学生所熟知的例子，为学生创设数学活动平台，在教师引导下让学生自主探究，合作交流，充分发挥学生的主体地位．学生在进行数学活动中，教师应适时诱导，及时调控，让学生紧紧围绕“探究代入法解二元一次方程组”这一主体展开活动，并逐步启发，由浅入深地展开学生思维，以提高课堂效率，优化课堂结构．本节课重点是代入法解二元一次方程组，习题设计应围绕这一重点展开，让学生不仅通过探究活动而且通过习题，均能感知代入法的存在，逐步深化新知，形成技巧，提高能力．电子邮箱qiuyiehuang@① ② ①②地址：湖北枣阳实验中学邮编：441200。