人教版八年级上册 第十四章整式的乘法与因式分解全章复习-教学设计

教学设计文本

本章我们类比数的乘法学习了整式的乘法.整式的乘法主要包括幂的运算性质、单项式的乘法、多项式的乘法，还学习了特殊形式，乘法公式等.利用“除法是乘法的逆运算”，学习了简单的除法，掌握了因式分解这种与整式的乘法方向相反的变形.这是本章的知识结构图.

【小结】 1.明确运算顺序：

（1）有括号要先算括号里的； （2）先乘方，再乘除，最后加减. 2.明确运算法则：

（1）整式的运算法则，单项式的乘除法是关键； （2）新定义的运算法则，一般转化为学过的运算法则. 3.运算中正确使用乘法公式： 平方差公式： (a+b )(a -b )=a 2-b 2； 完全平方公式：(a ±b )2=a 2±2ab+b 2.

【例4】如图1是一个长为4b 、宽为a 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.

(1)观察图2，请写出(a+b )2，(a -b )2，ab 之间的数量关系； (2)应用：根据(1)中的结论，若x+y=5，4

9 xy ，求x -y 的值.

【分析】

(1)结合图2，(a+b )2表示的是大正方形的面积，ab 是一个小长方形的面积，而(a -b )2呢？观察图2发现，中间阴影部分的图形是正方形，边长是a -b ，所以(a -b )2是中间阴影小正方形的面积.由图2发现，大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积；

(2)由(1)得到，a+b ，a -b ，ab 的关系，整体代入，可以解决. 【答案】解：(1)(a+b )2=(a -b )2+4ab ；

图1 4b

a

b b

a a

b

b a

图2 a

(2)由(1)得：(a+b )2=(a -b )2+4ab ，

∵x+y=5，4

9=xy ， ∴52=(x -y )2+4×49. ∴(x -y )2=16.

对于(a+b )2=(a -b )2+4ab 这个关系，我们不仅可以通过图形之间的面积关系得到，也可以通过完全平方公式变形得到. 【小结】

完全平方公式既可以直接使用，也可以变形使用，通过这些关系式，a+b ，a -b ，ab ，a 2+b 2，知二求二.

【巩固练习】

已知长方形ABCD 的周长为20，面积为28，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 【分析】

我们一起画一下示意图，为了使条件更加直观，设长为x ，宽为y ，则2(x+y )=20，xy=28，要求的是x 2+y 2的值.直接求x ，y 的值，就现在的知识还不能解决，那么x 2+y 2，x+y ，xy 之间有什么关系呢？利用完全平方公式的变形，解决问题. 【答案】解：设这个长方形的长为x ，宽为y ，则

()⎩⎨

⎧==+8220

2xy y x ， ⎩⎨

⎧==+∴8210xy y x .

∴x 2+y 2=(x+y )2-2xy =102-2×28=44. ∴分别以长方形的长和宽为边长的 正方形面积之和是44.

A

B

C

D

x y