专题3 巧用根与系数关系解题（含答案）

专题3 巧用根与系数关系解题

知识解读

根与系数的关系是一元二次方程的重要基础知识，更是解决数学中考及竞赛中有关根的性质、方程参变量的范围及有关代数式的值等问题的重要公式．有时要将表面上好像不是一元二次方程的问题，转化为一元二次方程，进而用判别式及根与系数的关系去研究．

1如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根是1x 、2x ，那么12b x x a +=- ，12c

x x a ⋅=；反之，

如果实数1x 、2x 满足12b x x a +=- ，12c x x a ⋅=，那么1x 、2x 是一元二次方程20b c

x x a a

++=的两个根．数

学家韦达最早发现根与系数之间的关系，因此，习惯上也将这一关系称为“韦达定理”．

2．一元二次方程根与系数关系在解题中有着广泛的应用，如①验根，不解方程，利用一元二次方程根与系数关系可以验证两个根是不是一元二次方程的两根；②由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数；③不解方程，可以利用一元二次方程根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值，如2212x x +，12

11

x x +等；④已知两数的和与积，求这两个数；⑤已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的值；⑥解决其他问题，如讨论根的取值范围，判定三角形的形状等；⑦根的符号的讨论． 3．一元二次方程根的符号讨论：

（）有两个正数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧

⎪∆≥⎪

⎪

+=->⎨⎪

⎪⋅=>⎪⎩：；

（）有两个负数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧

⎪∆≥⎪

⎪

+=-<⎨⎪

⎪⋅=<⎪⎩

；

（3）有两个异号根，且正根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧

⎪∆>⎪

⎪

+=->⎨⎪

⎪⋅=<⎪⎩

；

（4）有两个异号根，且负根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧

⎪∆>⎪

⎪

+=-<⎨⎪

⎪⋅=<⎪⎩；

（5）有一根为0，必有

0c a

=．若另一根为正，则0b a ->；若另一根为负，则0b

a -<．

培优学案

典例示范

例1 方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．

请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程

两根的倒数；

（2）已知a ，b 满足21550a a --=，21550b b --=，求

a b

b a

+的值； （3）已知a ，b ，c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．

【提示】设1x ，2x 为实数，若12x x a +=，12x x b ⋅=，以1x ，2x 为根的一元二次方程为20x ax b -+=，解题的关键是构造方程． 【解答】 跟踪训练

1．若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个非零实数根1x ，2x ，求以211x ，22

1

x 为两个实根的一元二次方程． 【提示】只需求出221211x x +和2

212

11

x x ⋅的值． 【解答】

2．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式

22

11

a b

+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11

【提示】由于两个方程的结构相同，所以可把a ，b 看作是一元二次方程213x x +=的两个根． 例2：已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x m x m -+++=的两个实数根．若()()121128x x --=，求m 的值．

【提示】若代数式是关于x 的一元二次方程两根1x ，2x 的对称式，则可通过变形将所求代数式用12x x +、

12x x ⋅表示求解．在实数范围内，利用根与系数关系解题，千万别忘了判别式0∆≥！

【解答】 跟踪训练

1．关于x 的方程()222110x m x m --+-=的两实数根为1x ，2x ，且22

12

3x x +=，求m 的值． 【提示】先把22

12x x +变形为()2

12122x x x x +-，根据根与系数的关系，可得关于m 的一元二次方程，求得

m 的值，再根据判别式求得m 的取值范围，进而确定m 的值． 【解答】

2．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2231210x a x a +-+-=的两个实数根，使得

()()12123380x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．

【提示】将原式变形为()2

121231680x x x x +-=-． 【解答】

例3 设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）若12111x x +=，求

1

32m -的值； （2）求

212

12

11mx mx m x x +---的最大值．

【提示】本题考查了一元二次方程根与系数的关系与二次函数最大值的综合问题，解题的关键是把代数式转化为用12x x +与12x x ⋅表示的形式． 【解答】 跟踪训练

若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ，求()2

1212x x x x ++的最小值．

【提示】根据题意，可求出122x x m +=-，21232x x m m ⋅=+-，然后将所求代数式化简并整理成根与系数的关系式，最后带入即可．但必须要考虑m 的取值范围． 【解答】

例4 已知βα，是方程0132

=-+x x 的两个根，求βαα-+22

的值.

【提示】关于一元二次方程两个根的非对称式的求值问题，关键在于能否转化为对称式或已知式.在这种思想的指导下，我们就能发现几种新颖独特又行之有效的转化方法.

技巧1：降次转化.“降次”是一种常用的数学思想方法，该问题所求的式子是二次多项式，可以设法其“降次”为“一次”或“零次”，就能找到解决问题的思路.易知αα312

-=，所以原式

()4311=+=+-=βα.

技巧2：升次转化.升次转化相对于降次是一种逆向思维的表现形式，它常常不被人们所重视，但在解

决问题时常能另辟蹊径.易求31,312

2ββαα-=-=，所以原式()()

()43

1

231311232

22222=+++=++=---+=αββαβαβαα.

技巧3：换元转化.利用换元法也能将非对称式转化为对称式，以下给出两种换元方法： （1）和差换元：设n m n m -=+=βα,，由3-=+βα，得32-=m ，即2

3

-

=m ，又122-=-=n m αβ，故4

132=

n . （2）对偶换元：设αβββαα-+=-+=222

2B A ，，则有()822

=++-+=+βααββαB A ，