专题3 巧用根与系数关系解题（含答案）

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关于根与系数关系的题及答案

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ；（4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。

根与系数关系例题附答案

根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25，故选：B ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设方程的另一个根为m ，则有m ×（-1）=-4，解得：m =4．故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可．【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可．【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可．【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解；【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=；故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可．【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =，故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=，解得：123x x == ，即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ．故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____．【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020，故答案为：2020．【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___．【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论．【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______．【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可．【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________．【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可．【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______．【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______．【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可．【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．故答案是：2019．【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根；（2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可．【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为（2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根，则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析．【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可．【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8，若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0，解得，m =2，因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点．（1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值；（3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ；（2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ，解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ，解得：148,33b c == ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=；（2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-．【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-；（2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=；（2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+；（4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解；（4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=．（3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-．（4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积：（1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案；（2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案；（3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-；（2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-；（3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+，解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m；（2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>，解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。

专题3：根与系数的关系(含答案)

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足+=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0 （1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0 （1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0 （1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a 为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，解得：m＞-，∵二次项系数≠0，∴m≠0，∴当m＞-且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，∴x1+x2=，x1x2=，∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（）2-=2，解得：m1=+1，m2=-+1（舍去）；∴m=+1．例2.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x==2m±3，∴x1=2m-3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，∴m=5．例3.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），=m2+8m+16=（m+4）2又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0 ∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=-，x1•x2=，n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，∴x2-x1-m=-m=-m=0，解得：m=-2，m=4，∵m＞0，∴m=4．例4..解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5．∵m＞2，∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1•x2=m2+5＞0，∴x1＞0、x2＞0．∵x12+x22=-2x1•x2=|x1|+|x2|+2x1•x2，∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，解得：m=3．例5.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-）=（2k-3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；（3）①当b=c时，则△=0，即（2k-3）2=0，∴k=，方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-）=0，∴k=，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，综上所述，△ABC的周长为10．训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=，αβ=，∵+=1，∴==1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=×=；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m （2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m=或m=-1，所以存在正数m=，使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. （1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，∴x1+x2=6①，x1•x2=-k2，∵2x1+x2=14②，联立①②成方程组，解之得：，∴x1•x2=-k2=-16，∴k=±4．5. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，解得：k＜；（2）∵k＜，∴x1+x2=2k-3＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=1，k2=-2，又∵k＜，∴k=-2．6. 解：（1）∵△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+m-3=0 解得m=．7. 解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵∴当时，x12+x22的值最小．此时，即最小值为．。

2017专题3：根与系数的关系(含答案)

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m 的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m 的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-m，且点B （m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足+=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a 为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，例3.解得：m＞-，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例4.∴当m＞-且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6.∴x1+x2=，x1x2=，例7.∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（）2-=2，例8.解得：m1=+1，m2=-+1（舍去）；∴m=+1．例9.例10.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，例11.∴此方程有两个不相等的实数根；例12.（2）∵x==2m±3，例13.∴x1=2m-3，x2=2m+3，例14.∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，例15.∴m=5．例16.例17.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），例18.=m2+8m+16=（m+4）2例19.又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0例20.∴方程有两个不相等的实数根；例21.（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），例22.∴x1+x2=-，x1?x2=，例23.n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，例24.∴x2-x1-m=-m=-m=0，例25.解得：m=-2，m=4，例26.∵m＞0，∴m=4．例27..解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，例28.∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．例29.（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，例30.∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5．例31.∵m＞2，例32.∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1?x2=m2+5＞0，例33.∴x1＞0、x2＞0．例34.∵x12+x22=-2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2，例35.∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，例36.解得：m=3．例37.例38.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-）=（2k-3）2≥0，例39.∴方程总有实根；例40.解：（2）∵两实数根互为相反数，例41.∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；例42.（3）①当b=c时，则△=0，例43.即（2k-3）2=0，∴k=，例44.方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；例45.②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-）=0，例46.∴k=，例47.方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，例48.∴c=2，C△ABC=10，例49.当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，例50.综上所述，△ABC的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=，αβ=，∵+=1，∴==1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程组，解得，∴m=x1?x2=×=；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m=或m=-1，所以存在正数m=，使得方程的两个实数根的平方和等于26．4.（1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，∴x1+x2=6①，x1?x2=-k2，∵2x1+x2=14②，联立①②成方程组，解之得：，∴x1?x2=-k2=-16，∴k=±4．5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，解得：k＜；（2）∵k＜，∴x1+x2=2k-3＜0，又∵x1?x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=1，k2=-2，又∵k＜，∴k=-2．6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+m-3=0解得m=．7.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵∴当时，x12+x22的值最小．此时，即最小值为．。

根与系数的关系典型例题

根与系数的关系典型例题1. 介绍根与系数的关系说到根与系数的关系，大家是不是会想起那些让人头疼的数学公式？其实，这里面有很多有趣的故事和小秘密！首先，我们得知道，根就是方程的解，而系数则是那些在方程里“跑龙套”的数字。

就好比一部电影，主角是演员，系数就是幕后制作人。

没有系数，根就像失去了方向的小船，根本不知道往哪儿开！那么，什么是根与系数的关系呢？简单来说，根与系数之间有一套默契的“交往规则”。

比方说，如果你有一个二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，它的根分别是 ( r_1 ) 和( r_2 )，那么根据我们耳熟能详的维达定理，咱们可以轻松得到一些好玩的关系：根的和是 ( r_1 + r_2 = frac{b{a )，根的积是 ( r_1 times r_2 = frac{c{a )。

这就好比，你在一场聚会上认识了两个新朋友，没想到他们之间还有些神秘的联系。

1.1. 举个例子比如，我们来看看具体的例子吧。

假设有个方程 ( 2x^2 4x + 2 = 0 )。

大家觉得这个方程复杂吗？其实一点也不！我们首先可以把它简化成 ( x^2 2x + 1 = 0 )。

这看起来是不是像是某个经典的双人舞？没错，它的根就是 ( r_1 = 1 ) 和 ( r_2 = 1 )，这两个根实质上是同一个！所以根的和 ( r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2 )，而根的积 ( r_1 times r_2 = 1 times 1 = 1 )。

让我们看看它们和系数之间的关系：根的和是 ( frac{4{2 = 2 )，根的积是( frac{2{2 = 1 )。

哎呀，真是太巧合了，根和系数简直是一对欢喜冤家！1.2. 总结小技巧所以，记住了哈，根与系数的关系不仅能帮助我们解方程，还能让我们在数学的世界里游刃有余。

我们只要掌握这几个小技巧，简单明了，就能在考试时轻松应对。

就像打游戏升级一样，搞定了根与系数的关系，接下来的题目也能轻松通关，绝对让你赢得“数学大咖”的称号。

初中数学_巧用根与系数的关系解方程

巧用根与系数的关系解方程湖北省黄石市下陆中学周国强如果实数、满足+=-,=,那么和是方程(≠0)的两个根．依此解一类方程，常会取得事半功倍之效．请看几例：例1解方程-= 6．分析：原方程可化为+= 6,而×=5，故可构造以和为根的一元二次方程,先求，继而解得，=-2,=．例2解方程（+1）(+2)( +3)( +4)=120．分析：原方程可化为(+5+6)( +5+4)=120，即(+5+6) （--5-4）=-120，而(+5+6)+ （--5-4） =2，故可构造以(+5+6)和（--5-4）为根的一元二次方程-2-120=0．解得=12，=-10,当=12时，+5+6=12，解得=-6,=1；当=-10时，+5+6 =-10（方程无实根）；故原方程的根为=-6,=1．例3解关于的方程+=．分析：考虑到（）+（）=-,而（）+（）=（+）-2×，所以×=[--()]= 0，故可构造以和为根的一元二次方程-=0，解得=,=．例4解方程+=2．分析：考虑到+（）=+=()，又+（）=（+）-2×=（）-,所以（）+2×- 8 = 0，即（+4）（-2）= 0 ．因为＞0，所以只有=2，即×= 2,故可构造以和为根的一元二次方程-2+2 = 0，解得==．即==，经验=是原方程的根．例5解方程（+2-6）+(-2)= 0．分析：由非负数性质得，+2=6，及=2，即×2= 8，故可构造以和2为根的一元二次方程-6+8 = 0,解出的值后，继而求得原方程的解为：,,,．由以上几例可以看出，用韦达定理解方程，关键是将方程变形为“+=，=”这种模型，再构造相应的一元二次方程，从而求出原方程的解．。

一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)

第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7，当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯，故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-．故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______．【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003．故答案为：2003．三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-．【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤；（2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=，即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去），故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=，又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。

2017专题3：根与系数的关系(含标准答案)

专题根与系数的关系含答案

数的关系含文档编制序号:IKK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于X的方程也左-（2z5-l）x+m-2=（）.（1）当也取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若益、Ah为方程的两个不等实数根，且满足盘疔2,求也的值. 例2.已知关于X的方程f -4血Y+4力-9二0.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为益，X],其中Xi<X2.若2為二上+1,求?也的值.例3.已知关于X的方程zttY「+ （4-3也）屮2矿8二0 （7»>0）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为広、xz（爲<圧），若rrxdm,且点B （也,27?）在X轴上，求也的值.例4.已知关于A■的一元二次方程：x'-2 （盼1）卅力+5二0有两个不相等的实数根.（1）求也的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为益、X],且满足盘+应'二|益| + |则+2爲疋，求也的值.例5.已知关于X的方程（2A+1）卅4 （以）=0.（1）求证：无论A取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 *的值；若不能，请说明理由.（3）当等腰三角形ABC的边长沪4,另W边的长方、C恰好是这个方程的两根时，求△AEC的周长.训练，1.已知关于A■的方程血（加*2）屮2二0 5工0）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有W个不相等的实数根a , P,满足-+-=1,求也的值.2.已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求也的范围；（2）若方程的两个实数根为X】和也，且及+3疔3,求加的值.（3）若方程的两个实数根为和血且盘-应‘二0,求加的值.3. 已知关于/的方程;f+（.01-3） x-m （2Z 9-3） =0（1）证明：无论也为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数血使方程的两个实数根的平方和等于26?若存在，求出满足条件的正数刃的值；若不存在，请说明理由.4. 已知关于龙的一元二次方程-6尸F 二0 （A ■为常数）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设益、疋为方程的两个实数根，且2馅+XF 14,试求出方程的两个实数根和k 的值.5. 已知关于左的方程+-（2肛3）屮F+1二0有两个不相等的实数根為、X ：.（1）求*的取值范围：（2）若益、必满足\xi.\ + \xz\=2 X 必-3,求A 的值.6. 己知关于/的一元二次方程yL （277-2 ） A+4zr3=02（1）求证：无论也取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为益，血且2xi+Ai ：二卅1,求也的值.7. 已知关于龙的一元二次方程（旷1） Y-5卅4旷2二0的一个根为A =3.（1）求臼的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长• 8.设為，应是关于X 的一元二次方程Z+2$x+才+4旷2二0的两实根，当盘为何值时，*1+石有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系/. A=Z/-4a<?=[- (2zzrl) ]'-4z9 (矿2)二4硏1>0,解得：加＞7，T 二次项系数H0, •••azHO,/・•・当血＞冷且也H0时，方程有两个不相等的实数根;—2 — 9X1+X2=- - ，X\X2 ~-：Xi, 例1. 解：（1）・・・方程有两个不相等的实数根,例2. 例3. 例5. （2）・・51、疋为方程的两个不等实数根,( Xi+Xz ) 2-3乂疋=( ~ —— 2,例& 解得J 位处（舍去）；:解：（1）•••△= （-4加）2-4 （4力-9） =36>0, 例10.二此方程有两个不相等的实数根;例H.例12.•••為=2也-3,必=2加"3,例13. A 2 （2沪3） =2时3+1,例14.例15.解：（1）：•△= （4-3刃）--4/n（2/3-8）,例16.二力+8肘 16=（血4）■例17.乂T加>0・・・（时4） '>0即△>（）例18.•••方程有两个不相等的实数根;例19.（2） V方程的两个根分别为X】.疋（拓V疋），例20.7— $ 0 —a /. Xi+X2=-- , XiX：=例21.77=上-X1-切，且点B （刃，n）在X轴上,例22.例23.解得J沪-2,沪4,例24.例25.•解：（1）T方程Y-2 （於1） W+5=0有两个不相等的实数根，例26.•••△=[-2 （加4） ]M （力+5） =8矿 16>0,解得：7Z?>2. 例27.（2） V原方程的两个实数根为屋、d例28./. &+必=2 （於 1），X\X手金+5.例29.例30.•••&+疋=2 （M1） >0,益尼=2卄5>0,例31.X2>Q.2 + F - 4 2 工）—><口-异0证明：（1） •••△= （2A+1） -16 （4® = （243） '20,•\Xi+X2=2k+l=Qt 解得 A=-0. 5；方程可化为y-4x+4=0，/.X I =X2=2»而b=c=2, •:決c=4二a 不适合题意舍去:例42.②当 Ka=4,贝 1J4L4 （2A+1） +4 （4彳）=0,c=a=4时，同理得辰2, •••C AABC =10,综上所述，△ABC 的周长为10. 训练 1. (1)证明；T 方程血；-(加"2)屮2=0 (也工0)是一元二次方程, •:△二（时2） L8/ZF 力+4卅4-8沪加-4肘4=（矿2） 'NO, •:方程总有两个实数根:(2)解：T 方程有两个不相等的实数根a , P, •:由根与系数的关系可得a+B=上，aP=A+2丁二子 1,例32. */ 打+卅=（2 + 抡二 I Xi ； +:卫 I +2*必,例33. A4 （zzr^l ） '-2 （力+5） =2 （研1） +2 （力+5）,即 6zzrl8=0, 例34.例35.例36. •••方程总有实根;例37. 解：(2) V 两实数根互为相反数, 例38. 例39. (3)①当d=c 时，则△=()，例40. 即（243） -=0, : 例41. 例43. ・・・碍,例44. 方程化为Y-6A +8=0,解得益=4，必二2,例45. ««c^2» C AAK ^ 10,例46.2•解：(1) V方程Y-2卅沪0有两个实数根,•••△= (-2 )二4心0,(2)由两根关系可知，X1+疋=2，X'XFiB、2 + 2=2解方程组；+ 5 2= 3 解得［•5^ 7 5••/ZFX片?X 話；(3)*/Xi-Xz-^»/. (X1+X2) (X1-X2) =0, T X I+X2=2 HO, •: Xi-x：=0，•••方程左-2屮ZZF O有两个相等的实数根,/. A= (-2) 2-4/ZF O,解得/n=i.3. (1)证明J T关于/的方程Y+ (矿3) x-m (2沪3) =0的判别式^=(沪 3) '+4刃(2矿3) =9 (zrl) -$0, •••无论刃为何值方程都有两个实数根;(2)解：设方程的两个实数根为XI. XA 则Xi+X2=-(沪3) , X1X xF-iB (2zzr 3), 令屛+疋2=26，得；(xi+js^) '-2x^2=(沪3) "+2/ff (2矿3) =26, 整理，得5力T2/zrl7=0,解这个方程得， Zff= ¥或沪T,所以存在正数沪#,使得方程的两个实数根的平方和等于26.4.(1)证明：在方程 Y-6尸应0 中，△= (-6) MXIX=4"+36N36,•:方程有两个不相等的实数根.(2)解:*2为方程的两个实数根,•：益+疋二6①，X\X亍一丘,联立①②成方程组｛/:+二寫解之得： 1 = 82= -2'•"必二一斤二-⑹/.A=±4,5•解：(1) V原方程有两个不相等的实数根,•:△二[- (2^-3) ]M (j^+l) =4J^-12対9-4F-4A12A+5>0, 解得：备(2)•：Xi+&=243 VO,乂 Tx昂=A^+l>0,•: ! xj +1 xj =-Xi-A5=-( X1+X2) =-2k+3,T I xj +1X』=21X1X21 -3•••-2奸3=2p+2-3,即/c+k-2=Q.•:血=1,妒一2,:冷一2・6•解：(1) •••△= (zr2) MX (妇3)=(沪3) -+3>0.•:无论刃取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根;2 加+疋=A^+ (xi+xz) =/zrH,把必代入方程有:9-3 (沪2) +”3=07•解：（1）将#3代入方程中，得：9 （旷1） -15+4旷2=0, 解得J a=2.•:原方程为*・-5屮6二（#2）（尸3） =0, 解得 J -¥1=2, X2=3.••，的值为2,方程的另一个根为A=2・（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3, AC=2+2+3=7或C=3+3+2=& •••三角形的周长为S或7.8..«-： VA=(2a)M(aM^2)丸，二三乂 T Xi+x2=-2a, X必二£+4a-2./. Xi'+-^'= (Xi+Xz) '-2x必=2 (旷2) 2-4 •设尸2 （旷2） =4,根据二次函数的性质•V <22当=£时，*』+疋2的值最小.此时f+討2（^-4=2,即最小值为右。

专题03 一元二次方程(3)-2021年暑假初二升初三(北师版数学)(解析版)

（北师版数学）2021年暑假初二升初三名师辅导精品课堂（3）辅导范围：一元二次方程（3）；辅导时间：120分钟；学生姓名：一、课堂精炼1．（2021·浙江八年级期末）如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为123,1x x ==，那么这个一元二次方程是（）A ．2340x x ++=B ．2430x x +-=C ．2430x x -+=D ．2340x x +-=【答案】C【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=3，x 2=1，∴3+1=-p ，3×1=q ，∴p =-4，q =3，∴一元二次方程是x 2-4x +3=0，故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 2．（2021·山东济南市·八年级期末）若m 、n 为一元二次方程2220x x --=的两个实数根，则mn m n --的值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4-【答案】D【分析】根据韦达定理可得m ＋n ＝2，mn ＝-2，再代入mn m n --＝mn −（m ＋n ）即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2220x x --=的两个实数根，∴m ＋n ＝2，mn ＝-2，，∴mn m n --＝mn −（m ＋n ）＝-2-2＝-4，故选：D ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1+x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a． 3．（2021·合肥市第四十八中学九年级其他模拟）已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，那么2a a b +-的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得2290a a +-=，2a b +=-，将2a a b +-整理成()22a a a b +-+，代入即可求解．【详解】解：∵a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，∴a 2+2a −9=0，a +b =−2，∵a 2+a −b =a 2+2a −(a +b )=9−(−2)=11，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键． 4．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m 、n 是一元二次方程x 2＋3x ﹣9＝0的两个根，则24m m n ++的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．12【答案】C【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m ＋n =−3，mn =−9，而m 是方程的一个根，可得m 2＋3m −9=0，即m 2＋3m =9，那么m 2＋4m ＋n =m 2＋3m ＋m ＋n ，再把m 2＋3m 、m ＋n 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，∴m ＋n ＝−3，mn ＝−9，∵m 是x 2＋3x −9＝0的一个根，∴m 2＋3m −9＝0，∴m 2＋3m ＝9，∴m 2＋4m ＋n ＝m 2＋3m ＋m ＋n ＝9＋（m ＋n ）＝9−3＝6．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根x 1、x 2之间的关系：x 1＋x 2=−b a -，x 1•x 2=c a． 5．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．6．（2021·江苏南通市·九年级二模）若22x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根，则m ＋n 的值为（）A ．－4B ．－3C ．3D ．5【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求解m 、n 的值，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：((224,221m n =-+=-==，∴413m n +=-+=-；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（）A ．7-B ．3-C ．2D ．5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义，得211310x x -+=，结合根与系数的关系，得1x +2x =3，进而即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，∴211310x x -+=，即：21131x x -=-，1x +2x =3，∴211252x x x --=2113x x --2(1x +2x )=-1-2×3=-7．故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握20ax bx c ++=（a ≠0）的两根为1x ，2x ，则1x +2x =b a -，1x 2x =c a，是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，则2122021x x -的值为（）A ．1B ．1-C ．2021D ．2021- 【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120211x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解．【详解】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，∴211202110x x -+=，121x x ⋅=，∴21120211x x =-， ∴2122021x x -=21202112021x x --=1222220011222x x x x x -⋅-=22202112021x x ⨯--=22x x -=-1．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．9．（2021·江苏徐州市·九年级二模）已知一元二次方程x 2﹣5x +c ＝0有一个根为4，则另一个根为___．【答案】1【分析】设方程的另一个根为x 2，根据两根之和得出x 2+4＝5，解之可得答案．【详解】解：设方程的另一个根为x 2，则x 2+4＝5，解得x 2＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q ＝0的两根时，x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ．10．（2021·天津河北区·八年级期末）已知x 1，x 2为方程x 2﹣3x ﹣7＝0的两个根，则1211+x x ＝___．【答案】37-【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7，再变形1211+x x 为1212x x x x +⋅，代入计算即可求解．【详解】解：∵x 1，x 2是方程x 2-3x -7=0的根，∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7， ∴1211+x x =1212x x x x +⋅=37-，故答案为：37-．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．（2021·安徽池州市·八年级期末）已知m 2-2m -1=0，n 2-2n -1=0且m ≠n ，则n m m n+的值为____．【答案】-6【分析】 m n ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可求解．【详解】解：根据题意得，mn ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根， ∴2m n +=，1mn =- ∴2222()222=61n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-- 故答案为：-6．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．（2021·四川雅安市·中考真题）已知一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n ，则11m n +的值为______．【答案】12021【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n∴1m n +=-，2021mn =- ∴111120212021m n m n mn +-+===- 故答案为：12021．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解． 13．（2021·四川成都市·九年级二模）已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2220110a a +-=，即222011a a +=，则235a a b --化简为225()a a a b +-+，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：a 为一元二次方程2220110x x +-=的根，2220110a a ∴+-=，222011a a ∴+=， a ，b 分别为一元二次方程2220110x x +-=的两个实数根，2a b ∴+=-，223525()20115(2)2021a a b a a a b ∴--=+-+=-⨯-=．故答案为2021．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 14．（2021·江苏南京市·中考真题）设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =， ∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=;故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为 b a -，两根之积为c a．15．（2021·江苏南通市·九年级二模）设α，β是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则252ααβ++=______．【答案】1【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．【详解】解:∵,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根，∴2370αα+-=，+3αβ=- ，∴原式＝()2252=+3+2ααβαααβ+++＝7－6＝1．【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．16．（2021·辽宁丹东市·九年级一模）关于x 的方程2240mx x -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．【答案】14m <，且0m ≠ 【详解】略17．（2021·四川广元市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程()212022-++=m mx m x 有两个不等的实数根1x ，2x ．若12112+=m x x ，则m 的值为______．【答案】2【分析】根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2（m +2），x 1•x 2=m ，变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵()22424022m m b ac m =-=+-⨯⨯>，且0m ≠， ∴1m >-，且0m ≠，∵12x x 、是方程()212022-++=m mx m x 有两个实数根， ∴()1222m x x m++=，121x x =， ∵12112+=m x x ， ∴12122x x m x x +=，即()222m m m +=，整理得：220m m --=，解得：1221m m ==-，．∵1m >-，且0m ≠，∴2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．18．（2021·江西南昌市·九年级一模）若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则a +b 的值_____．【答案】8或8±【分析】分类讨论：当a ＝b ，解方程易得原式＝；当a ≠b ，可把a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：当a ＝b 时，由a 2﹣8a +5＝0解得a ＝，∴a +b ＝；当a ≠b 时，a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，∴a +b ＝8．故答案为8或．【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a 、b 进行分类讨论是解题关键．19．（2021·湖北荆门市·九年级其他模拟）已知1x ，2x 是一元二次方程2220-++=x x m 的两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得等式12112m x x +=-成立?如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1m ≤-；（2）存在满足条件的m =【分析】（1）根据方程的系数，结合一元二次方程根的情况，得到根的判别式，转化为解关于m 的一元一次不等式，即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，得到关于m 的方程，解之即可．【详解】（1）依题意得：0∆≥，44(2)0m ∴-+≥，解得1m ≤-．（2）依题意得：122x x +=，122x x m =+12112m x x +=-，即1212(2)x x m x x +=-， 2(2)(2)m m∴=-+，解得1m =2m =又1m ≤-，m ∴=∴存在满足条件的m =【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，涉及一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值．【答案】（1）12m >；（2）1 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；（2）根据韦达定理可得12250x x m =-+>，124x x +=，得到1522m <<，根据两个根和m 都是整数，进行分类讨论即可求解．【详解】解：（1）∵一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根， ∴()164250m ∆=--+>，解得12m >；（2）设该方程的两个根为1x 、2x ， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴12250x x m =-+>，124x x +=，∴1522m <<， ∴m 的值为1或2，当1m =时，方程两个根为11x =、23x =；当2m =时，方程两个根1x 与2x 不是整数； ∴m 的值为1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．21．（2021·江苏淮安市·八年级期末）某地为引导旅客来旅游及消费，计划5月至9月开展全城推广活动．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？【答案】共有30名员工去旅游．【分析】设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意易得人数是超过25人的，则有()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦，然后求解即可．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意得： ∵25×2000=50000＜54000， ∴人数比25人多，∴()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦ 解得：1230,45x x ==，当30x =时，()200040302518001700-⨯-=>，符合题意；当45x =时，()200040452512001700-⨯-=<，不符合题意；答：共有30名员工去旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．22．（2021·安徽合肥市·八年级期末）超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x 元，每天可售出y 件．（1）写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）；（2）当x 取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？【答案】（1）1502y x =-；（2）此时每天可销售45件．【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2250元”即可得到结论；【详解】（1）1502y x =-；（2）解：由题意得()1405022502x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得1210,50x x == 每件利润不得超过60元020x ∴≤≤，因此取10x =，此时15010452y =-⨯=答：此时每天可销售45件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．二、课后作业23．（2021·江苏泰州市·中考真题）关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值为 ___．【答案】2．先根据根与系数的关系得到12121,1x x x x +==-，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2， ∴12121,1x x x x +==-， ∴x 1+x 2﹣x 1•x 2=1-（-1）=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 为一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根，则有1212,b cx x x x a a+=-=，熟记知识点是解题的关键．24．（2021·湖北中考真题）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______．【答案】3 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m的方程，解方程即可得m 的值．【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-，111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=，解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根，故答案为：3．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．25．（2021·湖南娄底市·2是方程20x x c --=的一个根，则该方程的另一个根为______．【答案】1 【分析】2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可以求出方程的另一根．【详解】解：设方程的另一根为x 1，由x 12＝111--=，得x 1=1，故答案是：1．【点睛】根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键．26．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2220x x a --=有两个不相等的实数根12,x x ，则12x x +=________；若21118x x +=-，则a =________．【答案】2 12± 【分析】根据根与系数的关系可得12x x +和12x x ，再根据21118x x +=-得到21128x x x x =+-，代入即可求出a 值．【详解】解：由题意可得：12221x x -+=-=，212x x a =-， ∵122112118x x x x x x ++==-， ∴21128x x x x =+-，∴()228a =-⨯-，解得：12a =±，故答案为：2，12±．【点睛】本题考查了一元一次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程得到12x x +和12x x ．27．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·九年级一模）若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______．【答案】98 【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解．【详解】解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=， ∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根， ∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦ =21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键．28．（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程250x x m ++=的一个根为2-，则另一个根为________．【答案】3- 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可设另一个根为2x ，根据根与系数的关系有：12bx x a+=-即225x -+=- 解得：23x =- 故答案为3- 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 29．（2021·全国九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值．【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为0，m 的值为1- 【分析】（1）由△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝（m +1）2+4＞0可得答案；（2）设方程的另外一根为a ，根据一元二次方程根与系数的关系得出2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解之即可得出答案．【详解】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4 ＝m 2+2m +1+4 ＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另外一根为a ，根据题意，得：2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解得：01a m =⎧⎨=-⎩，所以方程的另一根为0，m 的值为1-．本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．30．（2021·苏州科技城外国语学校八年级期中）已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求m 的取值范围；（2）若12114m x x +=，求m 的值．【答案】（1）1m >-且0m ≠；（2）2 【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出122m x x m ++=，1214x x =，结合12114m x x +=，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合1m >-且0m ≠，即可确定m 的值．【详解】解：（1）关于x 的一元二次方程2(2)04mmx m x -++=有两个不相等的实数根， ∴20[(2)]404m m m m ≠⎧⎪⎨=-+-⨯⨯>⎪⎩，解得：1m >-且0m ≠．（2）1x ，2x 是一元二次方程2(2)04mmx m x -++=的实数根， 122m x x m +∴+=，1214x x =．121212114x x m x x x x ++==，即4(2)4m m m+=， 220m m ∴--=，解得：11m =-，22m =．又1m >-且0m ≠，【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合12114m x x +=，找出关于m 的一元二次方程．31．（2021·山东济南市·八年级期末）受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元．（1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解；（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意易得()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，然后进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：10020102060-÷⨯=（个）；答：平均每天可售出60个．（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意得：()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，解得：1290,70x x ==， ∵要让利于消费者， ∴70x =；答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．三、挑战自我32．（2021·广东汕头市·九年级一模）甲、乙两人同解方程组515410ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=-⎩（1）求a ，b 的值；（2）若关于x 的一元二次方程20-+=ax bx m 两实数根为1x ，2x ，且满足12727-=x x ，求实数m 的值．【答案】（1）72a b =⎧⎨=-⎩；（2）5m =-【分析】（1）将31x y =-⎧⎨=⎩代入方程②求出b 的值，将54x y =⎧⎨=-⎩代入方程①求得a 的值，即可得出答案，（2）再将a ，b 的值代入20-+=ax bx m 中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m 的值．【详解】解：（1）根据题意得()()554154310a b ⎧+⨯-=⎪⎨⨯--=-⎪⎩解得72a b =⎧⎨=-⎩ （2）当72a b =⎧⎨=-⎩时，一元二次方程20-+=ax bx m 化为2720++=x x m ，由根与系数关系得1227+=-x x ，127⨯=mx x 联成方程组得{x 1+x 2=−277x 1−2x 2=7，解得{x 1=57x 2=−1∴m =−5【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．33．（2021·浙江八年级月考）已知关于x 的一元二次方程2(4)240x m x m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若12,x x 为方程的两个根，且22124n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的数图象是否经过点(5,9)A -，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）经过，理由见解析【分析】（1）根据判别式公式得△=m 2≥0，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2和x 1x 2关于m 的表达式，整理n =x 12+x 22-4，得n =（m +2）2，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m +4）]2-4（2m +4）=m 2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）根据题意得：x 1+x 2=m +4，x 1x 2=2m +4，n =x 12+x 22-4=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-4，=（m +4）2-2（2m +4）-4=m 2+4m +4=（m +2）2即n =（m +2）2，经过（-5，9）．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．。

小专题(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用

小专题(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用——教材P57复习题T15的变式与应用教材母题：设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？试说明理由．【思路点拨】先由一元二次方程有两个实数根，判断出Δ＝b 2－4ac ≥0，求出k 的取值范围，再由根与系数的关系求出x 1x 2与x 1＋x 2的值，假设存在实数k 满足条件，可得到关于k 的一元一次不等式，进而求得不等式的解集，若不等式x 1x 2＞x 1＋x 2的解集在b 2－4ac ≥0得出的k 的取值范围内，则存在k 值，否则，不存在．【解答】不存在．理由如下：由题意，得Δ＝(－4)2－4×1×(k ＋1)≥0，解得k ≤3.由根与系数关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1.假设存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2，则k ＋1＞4，解得k ＞3.这与k ≤3矛盾，∴假设不成立．∴不存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．【方法归纳】 (1)解一元二次方程的存在性问题的方法：先假设存在，再根据假设和已知条件推理得出结论，若结论与已知题意相符，则存在，反之，若与题意矛盾，则不存在；(2)一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有实数根，在利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，必须满足Δ≥0.变式训练：1．(湘潭中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2.(1)求m 的值；(2)当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．解：(1)∵一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×m ＝9－4m>0.∴m<94. (2)∵x 1＋x 2＝3，x 1＝1，∴x 2＝2.2．已知关于x 的方程kx 2＋(2k ＋1)x ＋2＝0.(1)求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；(2)是否存在实数k 使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝0时，方程变形为x ＋2＝0，解得x ＝－2；当k ≠0时，Δ＝(2k ＋1)2－4·k·2＝(2k －1)2，∵(2k －1)2≥0，∴Δ≥0.∴当k ≠0时，方程有实数根．∴无论k 取任何实数时，方程总有实数根．(2)存在．理由如下：设方程两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－2k ＋1k ，x 1x 2＝2k. ∵1x 1＋1x 2＝2，即x 1＋x 2x 1x 2＝2， ∴－2k ＋1k 2k＝2，即－2k ＋12＝2. 解得k ＝－52. 故存在实数k 使方程两根的倒数和为2.3．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1、x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1、x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0.根据题意，得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，解得k ≤12. (2)根据题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1.∵k ≤12， ∴－2(k －1)＝k 2－1.整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－3.4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数m 的取值范围；(2)若x 1＋x 2＝6－x 1x 2，求(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5的值．解：(1)由题意，得Δ＝(2m －3)2－4m 2＝4m 2－12m ＋9－4m 2＝－12m ＋9≥0，∴m ≤34. (2)由题意可得x 1＋x 2＝－(2m －3)＝3－2m ，x 1x 2＝m 2，又∵x 1＋x 2＝6－x 1x 2，∴3－2m ＝6－m 2.∴m 2－2m －3＝0.∴m 1＝3，m 2＝－1.又∵m ≤34， ∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝1.∴(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2－5＝52－1－5＝19.5．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个矩形两邻边的长． (1)k 取何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为5时，求k 的值；(3)当k 为何值时，矩形变为正方形？解：(1)Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×(14k 2＋1)＝2k －3. ∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即2k －3≥0，解得k ≥32. ∴当k ≥32时，方程有两个实数根．。

初中竞赛数学根与系数的关系及其应用(含答案)

一元二次方程（三）根与系数的关系及其应用1．如果)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则________,21=+x x .___________21=⋅x x2．如果02=++q px x 的两根为21,x x ，那么________,21=+x x.___________21=⋅x x3．对于一元二次方程02=++n mx x ，如果两根互为相反数，那么m = _____________，如果两根互为倒数，那么n = ___________。

4．以两数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是______________。

5．若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。

6．1313－和+的根为方程是______________。

7．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：（1）,7142x x =+ .____________,__________2121=⋅=+x x x x（2）,0132=-x .____________,__________2121=⋅=+x x x x（3）,062=-x x .____________,__________2121=⋅=+x x x x（4）,0)1(22=-+-m x m x .____________,__________2121=⋅=+x x x x8．设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，若0,021>>x x ，则___________；若0,021<<x x ，则______________；若021<x x ，则___________；若021>x x ，则___________；9．设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则|21x x -|＝_____________。

2017专题3：根与系数的关系(含答案)

2017专题3：根与系数的关系(含答案)专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m 的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m 的值．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1β=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，解得：m＞-14∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的4实数根；（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，∴x1+x2=2m−1m ，x1x2=m−2m，∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2m−1m）2-3(m−2)m=2，解得：m1=√2+1，m2=-√2+1（舍去）；∴m=√2+1．例2.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x=4m±√362=2m±3，∴x1=2m-3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，∴m=5．例3.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），=m2+8m+16=（m+4）2又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=-4−3mm ，x1•x2=2m−8m，n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，∴x 2-x 1-12m =√(x 12221-12m =√(4−3m m)2−4×2m−8m-12m =0，解得：m =-2，m =4， ∵m ＞0，∴m =4．例4. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根，∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1•x 2=m 2+5． ∵m ＞2，∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1•x 2=m 2+5＞0， ∴x 1＞0、x 2＞0． ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1•x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1•x 2，∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，解得：m =3．例5.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-1）=（2k-3）22≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；（3）①当b=c时，则△=0，，即（2k-3）2=0，∴k=32方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；）=0，②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-12，∴k=52方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，=10，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC综上所述，△ABC的周长为10．训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β， ∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1， ∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3，解得{x 1=32x 2=12， ∴m =x 1•x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，或m=-1，解这个方程得，m=175所以存在正数m=17，使得方程的两个实数根5的平方和等于26．4. （1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，∴x1+x2=6①，x1•x2=-k2，∵2x1+x2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14，解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1•x 2=-k 2=-16，∴k =±4．5. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=[-（2k -3）]2-4（k 2+1）=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0，解得：k ＜512；（2）∵k ＜512， ∴x 1+x 2=2k -3＜0，又∵x 1•x 2=k 2+1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（x 1+x 2）=-2k +3，∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3，∴-2k +3=2k 2+2-3，即k 2+k -2=0，∴k 1=1，k 2=-2，又∵k ＜512， ∴k =-2．6. 解：（1）∵△=（m-2）2-4×（1m-3）=2（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+1m-3=02解得m=24．57. 解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴a≤12又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵a≤12∴当a=12时，x12+x22的值最小．此时x12+x22=2(12−2)2−4=12，即最小值为12．。

专题根与系数的关系含答案图文稿

专题根与系数的关系含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m 的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0 （1）证明：无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x 的一元二次方程x 2-6x -k 2=0（k 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2为方程的两个实数根，且2x 1+x 2=14，试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x 的方程x 2-（2k -3）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3，求k 的值．6.已知关于x 的一元二次方程x 2-（m -2）x +12m -3=0（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1+x 2=m +1，求m 的值．7.已知关于x 的一元二次方程（a -1）x 2-5x +4a -2=0的一个根为x =3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根，当a 为何值时，x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2. ∴△=b 2-4ac =[-（2m -1）]2-4m （m -2）=4m +1＞0，例3. 解得：m ＞-14，∵二次项系数≠0，∴m ≠0，例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根；例5. （2）∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2α−1α，x 1x 2=α−2α，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2α−1α）2-3(α−2)α=2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例10. ∴此方程有两个不相等的实数根；例11. （2）∵x =4α±√362=2m ±3，例12. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例13. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例14. ∴m =5．例15. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例16. =m 2+8m +16=（m +4）2例17. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根；例19. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα，x 1x 2=2α−8α，例21. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0，例23. 解得：m =-2，m =4，例24. ∵m ＞0，∴m =4．例25. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根，例26. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．例27. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，例28. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1x 2=m 2+5．例29. ∵m ＞2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1x 2=m 2+5＞0，例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2，例33. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例34. 解得：m =3．例35. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0，例36. ∴方程总有实根；例37. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5；例39. （3）①当b =c 时，则△=0，例40. 即（2k -3）2=0，∴k =32，例41. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0，例43. ∴k =52，例44. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2，例45. ∴c =2，C △ABC =10，例46. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，综上所述，△ABC 的周长为10．训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程， ∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0， ∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β， ∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α，αβ=2α， ∵1α+1α=1，∴α+2α2α=α+22=1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3，解得{α1=32α2=12，∴m=x1x2=32×12=34；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m =175或m =-1，所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根， ∴x 1+x 2=6①，x 1x 2=-k 2， ∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14，解之得：{α1=8α2=−2，∴x 1x 2=-k 2=-16， ∴k =±4．5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k -3）]2-4（k 2+1）=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0，解得：k ＜512；（2）∵k ＜512， ∴x 1+x 2=2k -3＜0，又∵x 1x 2=k 2+1＞0， ∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（x 1+x 2）=-2k +3， ∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3， ∴-2k +3=2k 2+2-3，即k 2+k -2=0， ∴k 1=1，k 2=-2，又∵k ＜512，∴k=-2．6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（12m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+12m-3=0解得m=245．7.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴α≤12又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时，x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12，即最小值为12．。

专题根与系数的关系含答案

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；m，且点B（m，n）（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例3.解得：m＞-14例4.∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；4例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2m−1m ，x 1x 2=m−2m ，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2m−1m ）2-3(m−2)m =2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9.例10. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例11. ∴此方程有两个不相等的实数根；例12. （2）∵x =4m±√362=2m ±3，例13. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例14. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例15. ∴m =5．例16.例17. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例18. =m 2+8m +16=（m +4）2例19. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0例20. ∴方程有两个不相等的实数根；例21. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例22. ∴x 1+x 2=-4−3m m ，x 1?x 2=2m−8m ，例23. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例24. ∴x 2-x 1-12m =√(x 1+x 2)2−4x 2x 1-12m =√(4−3m m )2−4×2m−8m -12m =0，例25. 解得：m =-2，m =4，例26. ∵m ＞0，∴m =4．例27. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根，例28. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．例29. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1?x 2=m 2+5．例31. ∵m ＞2，例32. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1?x 2=m 2+5＞0，例33. ∴x 1＞0、x 2＞0．例34. ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1?x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1?x 2，例35. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例36. 解得：m =3．例37.例38. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0，例39. ∴方程总有实根；例40. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例41. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5；例42. （3）①当b =c 时，则△=0，例43. 即（2k -3）2=0，∴k =32，例44. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例45. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0，例46. ∴k =52，例47. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2，例48. ∴c =2，C △ABC =10，例49. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，例50. 综上所述，△ABC 的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程，∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1，∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1?x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3，解得{x 1=32x 2=12，∴m =x 1?x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m =0，解得m =1．3.（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0的判别式△=（m -3）2+4m （2m -3）=9（m -1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-（m -3），x 1×x 2=-m （2m -3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（m -3）2+2m （2m -3）=26，整理，得5m 2-12m -17=0，解这个方程得，m =175或m =-1，所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6①，x 1?x 2=-k 2，∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14，解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1?x 2=-k 2=-16，。

利用根与系数的关系巧解中考题

利用根与系数的关系巧解中考题
根据初中数学教材，许多数学题目都可以用“根与系数”的关系来解决。

本文致力于介绍一些利用根与系数的关系来解决中考题的基本方法，以帮助学生顺利通过中考。

首先，关于根与系数的关系，学生必须掌握几种基本的算法，如求解多项式的根、求解不等式的根以及求解方程的根等，而利用根与系数的关系，则是其中的重要手段。

以二次不等式$ax^2+bx+cleq0$为例，它的解为
$xleqfrac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和
$xgeqfrac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

若要利用根与系数的关系来求解这一不等式，首先可以利用系数a、b和c转化式$b^2-4ac$，求出这一式的值以得到根的值，然后将根的值带入上述的两个解，就可以求得不等式的近似解。

同样，可以利用根与系数的关系来求解多项式、一元二次方程等中考题。

具体而言，在求解多项式的根时，学生可以借助系数来求根，以及寻找根所对应的范围，这样便可以比较准确地推出根的取值范围。

在求解一元二次方程时，学生可以利用系数求出方程的根，同时也可以借助系数来判断这一方程的类型，进而求出其解集。

此外，可以利用根与系数的关系解决一些涉及抛物线的中考题，例如对抛物线$y=ax^2+bx+c$的准确性、最高点等中考问题的解决。

例如，学生可利用系数求出抛物线的最高点的坐标，即
$(-frac{b}{2a},frac{-b^2+4ac}{4a})$，在这个坐标点处，抛物线
的函数值最大。

总之，在解决中考题时，利用根与系数的关系有着重要的作用。

学生首先要掌握几种基本的算法，而后利用根与系数的关系来把数学题解决出来，从而顺利通过中考。