数学建模第五章微分和微分方程模型

在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其转变趋势是相当重要的，而在一些较为复杂的转变进程中，变量之间的函数关系无法直接取得。

可是，在许多情形下，咱们往往能够在理论或体会的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。

也确实是找出一个或几个含有未知函数及其导数所知足的方程，那个（些）方程就称为微分方程（组）。

然后通过求解微分方程（组）取得变量之间的函数关系，或在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的进展转变规律。

为了研究一些实际问题的转变规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再成立数学模型，当问题中涉及变量的转变率时，就能够够通过微分方程来建模。

微分方程模型主若是解决与导数，也即转变率相关的问题，可是；实际问题中一样并非会直接显现“导数”或“转变率”等词语，这时，就需要咱们认真分析，从中找出这些信息，一样来讲，若是问题中涉及到“速度”、“增加”、“改变”、“转变”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就能够够用微分方程（组）来建模。

微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要依照具体情形选择不同的模型，成立模型时，应第一将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净转变率=净增加率━净减少率
若是变量之间的关系能够用这种形式来描述，咱们就不难给出相应的微分方程（组）了。

在成立了微分方程模型以后，咱们固然希望能取得微分方程的解，可是，关于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，乃至是不可能的，现在咱们能够通过对方程的定性分析取得有关的一些有效信息。

§1 确信性存贮模型
为了使生产和销售有条不紊地进行，一样的工商企业总需要存贮必然数量的原料或商品，但是大量的库存不但积存了资金，而且会使仓库的保管费用增加。

因此，寻求合理的库存量乃是现代企业治理的一个重要课题。

需要注意的是，存贮问题的原型能够是真正的仓库存货，水库存水，也能够是运算机的存贮器的设计问题，乃至是大脑的存贮问题。

衡量一个存贮策略好坏的直接标准是该策略所消耗的平均费用的多寡。

那个地址的费用通常要紧包括：存贮费、定货费（定购费和本钱费）、缺货损失费和生产费（指本单位生产，假设是外购，那么无此费用）。

由此可知，存贮问题的一样模型为
min（定货费（生产费）+存贮费+缺货损失费）
模型一 不许诺缺货，定货销售模型 为了使问题简化，咱们作如下假设：
（1）由于不许诺缺货，因此规定缺货损失费为无穷大； （2）当库存量为零时，可当即取得补充；
（3）需求是持续均匀的，且需求速度（单位时刻的需求量）为常数； （4）每次定货量不变，定货费不变； （5）单位存贮费不变。

假定每隔时刻t 补充一次存贮，货物单价为k ，定购费为C 3,单位存贮费为C 1,需求速度为R 。

由于不许诺缺货，因此定货量应为Rt ，从而本钱费为kRt ，总的定货费为C 3+kRt ，平均定货费为
kR t
C +3
又因为t 时刻内的平均存贮量为
Rt d R Rt t t 2
1
)(10=-⎰ττ
因此平均存贮费为
Rt C 12
1
于是，在时刻t 内，总的平均费用C(t)为 Rt C kR t C t C 132
1
)(++=
如此，问题就变成t 取何值时，C （t ）最小？即存贮模型为 min Rt C kR t C t C 132
1
)(++=
这时一个简单的无条件极值问题，很容易求得它的最优解为 1
32RC C t =
* 即每隔t*时刻定货一次，可使平均费用C （t ）最小，每次定货批量为 1
3
2C RC Rt Q =
=** 这确实是存贮论中闻名的经济定购批量公式（Economic Ordering Quantity ），简称EOQ 公式，存贮量转变情形，如下图。

例1 某商店出售某种商品，每次采购该种商品的定购费为2040元，其存贮费为每一年170元/吨。

顾客对该种商品的年需求量为1040吨，使求商店对该种商品的最正确定货批
量、每一年定货次数及全年的费用。

解：取时刻单位为年，那么有R=1040,C 3=2040,C 1=170于是定货批量应为
158********
1040
20402*≈=⨯⨯=
Q
定货距离为
152.0023.01040
1702040
2*≈=⨯⨯=
t
全年的费用为
22858152.010401702
1
152.02040)(*≈⨯⨯⨯+=
t C 于是每一年的定货次数应为
58.6152.011*
≈=t
由于定货的次数应为正整数,故能够比较定货次数别离为6次和7次的费用。

假设定货次数为6，可得每一年的总费用为22973)6
1
(≈C 。

假设定货次数为7，可得每一年的总费用为
22908)7
1
(≈C 。

因此每一年应定货7次，每次定货批量为1040／7吨，每一年的总费用为22908元。

模型二 不许诺缺货，生产销售模型
模型一中的货物是通过从其它单位定购而取得的，然后再进行销售。

此刻讨论货物不是
由于生产需一按时刻，因此除保留 模型一的假设外，再设生产批量为Q ，所 需生产时刻为T,故生产速度为P=Q/T ，而 且需求速度R<P 。

假设t=0时Q=0，那么在时刻区间[0,T] 内，存贮量以速度P-R 增加；在[T,t]内存 贮量以速度R 减少（如图），其中T 与 t 皆为待定数。

由图可知
（P-R ）T=R （t-T ） 即
PT=Rt
这说明以速度P 生产T 时刻的产品恰好等于t 时刻内的需求。

由此能够求出 P
Rt T =
由于t 时刻内的存贮量等于图中三角形的面积，故t 时刻内的存贮量为
Tt R P )(2
1
- 从而存贮费为
Tt R P C )(2
1
1-
若是再设t 时刻内的生产费为C 3,那么t 时刻内的平均总费用C （t ）为
t
C t R P R C P C P
Rt R P C t C Tt R P C t t C 3
132
131)(21
])
(21[1]
)(21
[1)(+-=+-=+-= 于是所求的数学模型为
t
C t R P R C P t C 31)(21
)(min +-=
利用微积分方式，可求得生产的最正确周期为 )
(213R P R C P
C t -=
*
由此即可求出最正确生产批量Q *,最正确费用C(t *)及最正确生产时刻T *别离为
)
(22)()
(2133113R P P C R C P
Rt T P
R
P R
C C t C R P C RP C Rt Q -=
-=
-=
=*
*
*** 那个地址取得的t *、Q *与模型一中的t *、Q *相较较，即知它们只差一个因子
R
P P
-。

可见，当P 相当大（即生产速度相当大，从而生产时刻就很短）时，
R
P P
-趋近于1，这时两个模型就近似相同了。

例2 假设某厂每一个月需某种产品100件，生产率为500件/月，每生产一批产品需预备费5元，每一个月每件产品的存贮费为元，试求最正确生产周期，最正确生产批量和最正确费用，最正确生产时刻。

由题意知C 1=,.C 3=5,P=500,R=100,利用公式得
56.0*≈t （月），月）
（元），件）0.12(T 14.8)C(t ,(56***
=≈≈Q 模型三 许诺缺货，定货销售模型
所谓许诺缺货，确实是企业能够在存贮降到零时，还能够再等一段时刻定货。

本模型的假设条件除许诺缺货外，其余条件皆与模型一相同。

记缺货费（即单位缺货损失费）为C 2.假设时刻t=0时，存贮量为S ，能够知足t 1时刻
的需求，那么在t 1这段时刻内的存贮量应为12
1
St 。

在t-t 1到t 这段时刻内，存贮为零，缺货量为
21)(2
1
t t R -，如下图。

由于S 只能知足t 1时刻的需求，故 S=Rt 1 即R
S
t =
1，从而在t 时刻内的存贮费及 缺货费别离为
R
S Rt C t t R C R
S C St C 2
2
21221
11)(21)(212121-=-⋅=⋅ 于是平均总费用为
])(22[1),(322
21C S Rt R
C S R C t S t C +-+= 所论问题的数学模型
min ])(22[
1),(322
21C S Rt R
C S R C t S t C +-+= 这时二元函数的极值问题。

利用微积分方式，即可得最正确周期为 21213)
(2RC C C C C t +=*
最初的存贮量为
)
(221132C C C R
C C S +=*
最正确定货量
21213)
(2C C C C RC Rt Q +==**
最正确费用
2
13212),(C C R
C C C S t C +=
**
若是C 2专门大（这意味着不许诺缺货）时，
12
12
≈+C C C ，因此
1
3
132,2C RC Q R C C t ≈
≈
** 这与模型一的结论相同
例3若是例1中能够考虑缺货，并设缺货损失费为每一年每吨500元，试问每次最正确定货量为多少？每一年应定货几回？每一年存贮总费用为多少?
依照公式得
23202
500
1701040
20405001702),(183176.01040137
)
500170(1701040
5002176
.05001040170)
500170(20402*****=+⨯⨯⨯⨯=
=⨯=≈+⨯⨯⨯=
≈⨯⨯+⨯⨯=S t C Q S t
那么，每一年定货次数应为
68.5176
.011*==t 一样，由于定货次数应为正整数，故可别离比较次数为5次和6次的费用。

假设每一年定货6次，那么定货周期和定货批量别离为
6
1040,61==
Q t 相应的,1296
1040
500170500212≈⋅+=+=
Q C C C S 从而
23235),(=S t C
假设每一年定货5次，那么定货周期和定货批量别离为
5
1040
,51==
Q t 一样可得
23394
),(155
5
1040
500170500=≈⋅+=
S t C S 因此每一年应定货6次，每次定货批量为1040／6吨，每一年的总存贮费用为23235元。

§2 丛林救火模型
丛林失火了！消防站接到报案后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，丛林的损失越小，可是救援的开支会越大，因此需要综合考虑丛林损失费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的人数。

）
问题分析 损失费通常正比于丛林烧毁的面积，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时刻有关，灭火时刻又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。

救援费除与消防队员有关外，也与灭火时刻长短有关。

记失火时刻为t ＝0,开始救火时刻为t=t 1，灭火时刻为t=t 2.
设在时刻t 丛林烧毁面积为B(t)，那么造成损失的丛林烧毁面积为B(t 2)。

建模要对函数B(t)的形式作出合理的简单假设。

研究
dt dB 比B （t ）更为直接和方便。

dt
dB 是单位时刻烧毁面积，表示火势蔓延的程度。

在消防队员抵达之前，即10t t ≤≤，或是愈来愈大，即dt
dB
随t 的增加而增加；开始救火以
后，即21t t t ≤≤，若是消防队员救火能力足够强，火势会愈来愈小，即dt
dB
应减小，而且
当t=t 2时dt
dB
＝0。

救援费可分为两部份；一部份是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火所用的时刻有关，另一部份是输送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。

模型假设 需要对烧毁丛林面积的损失费、救援费及火势蔓延程度
dt
dB
的形式作出假设。

1． 损失费与丛林烧毁面积B(t 2)成正比，比例系数c 1,c 1即烧毁单位面积损失费。

2． 从失火到开始救火这段时刻（10t t ≤≤）内，火势蔓延程度
dt
dB
与时刻t 成正比，比例系数β称为火势蔓延速度。

3． 派出消防队员x 名，开始救火以后（1t t ≥）火势蔓延速度降为x λβ-，其中λ可
是为每一个队员的平均灭火速度。

显然应有x λβ<。

4． 每一个消防队员单位时刻的费用为c 2,于是每一个队员的救火费用是c 2(t 2-t 1)；每一
个队员的一次性支出是c 3。

第二条假设可作如下说明：火势以失火点为中心，以均匀速度向周围呈圆形蔓延，因此蔓延的半径r 与时刻t 成正比，有因为烧毁面积B 与r 2成正比，故B 与t 2成正比，从而dt
dB
与t 成正比。

模型组成 依照假设条件2，3，火势蔓延程度dt
dB
在10t t ≤≤线性地增加，在21t t t ≤≤线性地减小，
dt dB ～t 的图形如右。

及t=t 1时dt
dB ＝b 。

烧毁面积dt dt dB
t B t ⎰=
2
2)(正是图中三角形的
面积，显然有B(t 2)=bt 2/2，而t 2知足
β
λ-=
-x b
t t 12，于是
依照假设条件一、4，丛林损失费为c 1 B(t 2),救援费为c 2(t 2-t 1)+c 3x.将之代入取得救火总费用为
x c x bx
c x b c bt c x C 322111)(22)(+-+-+=β
λβλ
问题归结为求x 使C （x ）达到最小。

令
dt
dB
＝0，能够取得应派出的队员人数为 λβ
λβλ++=
2
322122c b c b c x 结果说明 第一，应派出队员数量由两部份组成，其中一部份λβ/是为了把火扑灭所必需的最低限度。

因为β是火势蔓延速度，而λ是每一个队员的平均灭火速度，因此那个结果是明显的。

从图中也能够看出，只有当λβ/>x 时，斜率为βλ-x 的直线才会与t 轴有交点t 2。

第二，派出的队员数的另一部份，即在最低限度之上的人数，与问题的各个参数有关。

当队员灭火速度λ和救援费用系数c 3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b 即损失费用系数c 1增加时，队员数增加。

这些结果与常识是一致的。

固然，救援费用系数c 2变大时队员数也增大，尽快灭火才是正理！
实际应用那个模型时，c 1,c 2,c 3是已知常数，λβ\由丛林类型、消防队员素养等因素决定，能够预先制成表格以备查用。

比较难考虑的是开始救火时的火势b ，它能够由失火到救火的时刻t 1按1t b β=算出，或是据现场情形估量。

评注 成立那个模型的关键是对
dt
dB
的假设。

比较合理而有简化的假设条件二、3只能符合无风的情形。

在风势的阻碍下应考虑另外的假设。

再者，有人对队员灭火的平均速度λ是常数的假设提出异议，以为λ应与开始救火时的火势b 有关，b 越大λ越小，这时要对函
数)(b λ作出合理的假设，再取得进一步的结论。

§3 血管分支
高级动物血管的几何形状，经太长期进化，能够以为已经达到某种意义下的最优化了。

树枝、河流等的几何形状也有类似的情形。

血管几何形状散布的最优原那么是：在供血进程中，肌体所消耗的能量最小。

换句话说，血液在血管中运动所受到的阻力最小。

本节确实是研究血管的几何形状是如何散布的。

这是个生物力学问题。

依照力学、生物学原理，咱们可作如下假设： 1） 每一个分岔只有两枝；
2） 分岔处3条血管在同一平面内，而且散布对称；不然，总长度必然增加，这是不符
合优化原那么的；
3） 血管是刚性的（事实上血管是弹性的，但这一假设对此问题的阻碍不大），血液的
流动视为粘性液体在刚性管道中的运动；
4）
α次方成正比（)21≤≤α。

如右图，设有一条通过
A 点的血管要向另一点
B 供血。

依照假设1）及2），这条血 管壁在某点
C 处分岔，而且 分岔后对称。

今假设分岔前的流量为f, 那么分岔后两条血管的流量别离 为f/2。

假设假设分岔前后管壁 半径别离为r 和r 1，分岔处夹为 θ，AC=l,CB=l 1，那么由假设3），血液流动所受到的力学上的阻力正比于f 2/r 4；而由假设4），所受到的生物学上的阻力正比于
αr ，于是血液由A 流到B 所受到的总阻力为
114
1
2
42
12))2(()(),,(l br r f
k l br r kf r r F ⋅+++=α
αθ 此即在A 点供给B 点血的进程中，躯体所作的总功。

其中
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
=-==θθθθsin )(tan )(1H
BC L H L AL L 而k,b 为比例常数，θ为分岔角度。

如此，问题就变成：当角度θ和管径比r/r 1为多大时，),,(1θr r F 最小。

这确实是血管形状散布的数学模型。

由
0,01
=∂∂=∂∂r F
r F 得 04152
=+--ααr b r
kf
01
1
5
1
2=+-
-ααr b r kf
从而得41
1
4+=αr r
再令
0=∂∂θ
F
得 0cos sin 2)4(sec tan )(214122242=+-⋅+θθ
θθααH br r kf H br r kf
α
α
θ12
124
2421cos br r kf br r kf ++=
因为α
αr b r kf 4142=，αα1412r b r kf =
因此ααααααθ114
1
41
21
cos br r b br r b ++= =44
41242
1
)(21+-+=⋅=αααααr r 当21≤≤α时可求得
4937≤≤θ
这确实是血管几何形状得最优化结果。

此刻咱们还能够进一步确信血管分岔数n 于α之间的关系。

若是设大动脉半径与毛细血管半径之比为
1min
max
C r r = 则
14min
1
211max min max 4C r r r r r r r r n
n ==⋅=+-α 如C C 41=，那么得)4(+=αC n ，例如，能够测得狗的531410≈≈C ,因此，
)4(5+=αn ,当21≤≤α时，狗约有30~25次分岔，即有约30252~2条血管。

另外，假设能够测得n 和C 1,那么即能够估量α。

§4 传染病模型
不同类型的传染病的传播进程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，那个地址不可能从医学的角度一一分析各类传染病的传播，而只是依照一样的传播机理成立几种模型。

总的前提是在传染期内可不能死亡。

下面咱们采纳慢慢深化的方法讨论那个问题。

模型一
假设1）每一个病人单位时刻内传染的人数为常数； 2）1人的病后，经久不愈。

设时刻t 的抱病人数为I(t),每一个病人单位时刻内传染的人数为k 0（常数），且t=0时只有1人抱病，那么有
t t i k t i t t i ∆=-∆+)()()(0 由此可得
⎪⎩⎪⎨⎧==1
)0()
(0i t i k dt
di
其解为t
k e
t i 0)(=
此结果说明，当∞→t 时，∞→)(t i 。

这固然不符合实际，问题在于两条假设不合理。

模型二
保留模型一中的假设2）而将1）改成：每一个病人在单位时刻传染的人数与未被传染的人数成正比，比例系数未k （k 称为传染强度）。

设时刻t 的抱病人数为I(t)，未抱病的人数为s(t)，总人数为(n+1)，t=0时只有1人抱病。

由此可知，这时的模型确实是
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=+=+=1)0(1)()()()(i n t i t s t i t ks dt di
因为s(t)+I(t)=n+1，因此
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=1)0()]
(1)[(i t i n t ki dt di
由此容易求得解为
t
n k t n k e n e n t i )1()1()1()(++++=
那个模型能够用于传染病的前期（关于传染较快的病）预报传染病顶峰的到来。

医学上称
t dt
di
~为传染病曲线。

它表示传染病的上升率与时刻的关系。

2
)1()1(2]
[)1(t n k t
n k e n e n kn dt di ++++= 大致图形为
令022=dt
i
d 不难求得极大值点为
)
1(ln 1+=
n k n
t
可见，当传染强度k 或n 增大时t 1将变小。

明白了k ，即可预报传染病顶峰时刻t 1。

由于∞→t 时，1)(+→n t i ，因此最终所有人都将抱病，这是本模型的不尽合理的地方。

模型三 假设1）每一个病人在单位时刻内传染的人数与未被传染的人数成正比，比例系数为k ； 2）在单位时刻内，免疫人属于那时的病人数成正比，比例系数为l （l 称为恢复系数）。

设时刻t 已被免疫的人数为r(t)（这些人再也不传染他人，他人也可不能传染他们），由此得
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
==+=++=-=0
)0(,0)0(1)()()()()()(s s r n t i t s t r t li dt dr t i t ks dt
ds 记ρρ(k
l
=
称为特点指标），关于一个民族或地域，一种传染病，为常数，于是
)](2)()1()1[()]()(1[)()]
(21)(1
1[)()(1200022
0)
(1
0t r s t r s s n l t s t r n l t li dt dr
t r t r s e
s t s dt dr t s dt ds t r ρ
ρρ
ρ
ρρ
--+-+=--+==+
-
≈=-=-
假设设
ac
b q ls
c s l b s n l a 42)
1(
)1(20
0+==-=-+=ρρ
求解方程得
c
b
q t r e q b q b c b
q e c
q b t r t qt qt 2)(lim 122)(-=+-+--
+-=∞→
上式结果说明，当01)0(s n i -+=很小时，20
222
2
)1(
)0(24-=<<⋅
=ρ
ρs l b i s l ac ，
b q ≈，
传染病全然传染不开，只有当s 0专门大（远大于ρ）时才有传染问题。

现在)(lim t r t ∞
→是最终免疫的人数，显然这也确实是传染病涉及的人数。

§5香烟过滤嘴的作用
尽管科学家门关于抽烟的危害提出了许多无可辩驳的证据，很多国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止抽烟，可是仍有很多人不肯抛弃对香烟的癖好，香烟制造商既要知足瘾君子的需要又要顺应减少抽烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍的在香烟上安装了过滤嘴，过滤嘴的作用到底有多大，与利用的材料和过滤嘴的长度有什么关系，要从定量的角度回答这些问题就要成立一个描述抽烟进程的数学模型，分析人体吸入的读物数量与哪些因素有关，和它们之间的数量表达式。

模型假设
1．
烟草和过滤嘴的长度别离是1l 和2l ，香烟总长21l l l +=，毒物M （毫克）均匀散布在烟草中，密度为10/l M w =。

2．
点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的毒物的数量比例是
1,:=+''a a a a
3．
未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率（单位时刻内毒物被吸收的比例）别离是常数b 和β
4． 烟雾沿香烟穿行的速度是常数v ，香烟燃烧速度是常数u ，且u v >> 将一支烟吸完后毒物进入人体的总量（不考虑从空气的烟雾中吸入的）记作Q 模型成立
设t=0时在x=0处点燃香烟，坐标系如下图。

第一概念两个大体函数：
毒物流量q(x,t)--------时刻t 单位时刻内通过香烟截面x 处（l x ≤≤0）的毒物量； 毒物密度w(x,t)-------时刻t 截面x 处单位长度烟草中的毒物含量（10l x ≤≤）由假设1，w(x,0)=w 0
若是明白了流量函数q(x,t),吸入毒物量Q 确实是x=l 处的流量在吸一支烟时刻内的总和。

注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，咱们取得
⎰==T
u
l T dt t l q Q 0
1/,),(
（1）
下面分四部计算Q 。

1．求t=0刹时由烟雾携带的毒物单位时刻内通过x 处的数量q(x,0)。

由假设4中关于u v >>的假定，能够以为香烟点燃处x=0静止不动。

为简单起见，记q(x,0)=q(x)，考察),(x x x ∆+ 一段香烟，毒物通过x 和x x ∆+ 处得流量别离是q(x)和)(x x q ∆+，依照守恒定律这两个流量之差应该等于这一段为点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设2，4有
v x
l x l x q l x x bq x x q x q ∆=∆⎩⎨
⎧≤≤∆≤≤∆=∆+-ττβτ,
,)(,0,)()()(11 其中τ∆是烟雾穿过x ∆所需时刻，令0→∆τ取得微分方程
⎪⎩⎪⎨
⎧≤≤-≤≤-=l
x l x q v
l x x q v b
dx dq 1
1
),(0),(β （2）
在x=0处点燃的烟草单位时刻内放出的毒物量记作H 0，依照假设1，3，4能够写出方程（2）的初始条件为
q(0)=AH 0，H 0=uw 0 （3）
求解（2）、（3）式时先求出q(x))(11l x l ≤≤,再利用q(x)在x=l 1处的持续性确信q(x))(1l x l ≤≤。

其结果为
⎪⎩⎪
⎨⎧
≤≤≤≤=--
--l
x l e e aH l x e aH x q v l x v bl v bx
1)
(0
10,0,)(11β （4）
2．在香烟燃烧进程的任意时刻t ，求毒物单位时刻内通过x=l 的数量q(l,t)。

因为在时刻t 香烟燃至x=ut 处，记现在点燃的烟草单位时刻放出的毒物量为H(t)，那么
H(t)=uw(ut,t)
依照与第一步完全相同的分析和计算可得
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤≤≤=--
----l
x l e e t aH l x ut e t aH t x q v l x v ut l b v ut x b 1)
()(1
)(,)(,)(),(11β （6）
事实上在（4）式中将坐标原点平移至x=ut 处即可取得（6）式，由（5）、（6）式能够直接
写出
v
l v
ut l b e
e
t ut auw t l q 2
1)(),(),(β-
--=
（7）
3．确信w(ut,t)
因为在抽烟进程中未点燃的烟草不断地吸收烟雾中的毒物，因此毒物在烟草中的密度w(x,t)由初始值w 0慢慢增加。

考察烟草截面x 处t ∆时刻内毒物密度的增量
),(),(t x w t t x w -∆+，依照守恒定律应该等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部份。

依照
假设2，4有
t v
t x q b t x w t t x w ∆=-∆+)
,(),(),( 令0→∆t 并将（5），（6）代入得
⎪⎩
⎪
⎨⎧==∂∂--0)
()0,(),(w x w e t ut auw v b t w v ut x b
（8）
队（8）式积分可得
dt e
t ut w e v bau w t x w t
v
but v
bx ⋅⋅+=⎰-0
0),(),(
以x=ut 代入并两头称以v
but
e
，得
⎰⋅+=t
v
but
v
but v
but dt e t ut w v bau e
w e
t ut w 0
0),(),(
记)(),(t f e t ut w v
but =那么上式为
⎰+=t
v
but dt t f v bau e
w t f 0
0)()( 对t 求导并注意到t=0时f(0)=w 0，可取得
⎪⎩
⎪⎨⎧=+='
00)0()()(w f t f v bau e v buw t f v but
其解为
)1(1)()1(0
v
but
a v
but ae
e a
w t f --
-⋅-=
将v
but e
t ut w t f ),()(=代回，并注意到a a '=-1可得
)1(),(0
v
but
a ae
a
w t ut w '--'=
（9）
4．计算Q
奖（9）代入（7）式得
)(),(2
1v
abut v
but v
l v bl
ae
e
e
e a
auw t l q -⋅'=-
-β
（10）
将（10）式代入（1）式得
)1(),(12
1/0
0v
bl a v
l u
l e
e
b
a v aw dt t l q Q '-
-
-'==
⎰
β
（11）
为便于分析将上式化作
v
bl a e aMe
Q v
bl a v
l 112
1'-⋅
='-
-
β
(12)
记r
e r v bl a r r
--='=1)(,1ϕ，那么 )(2
r aMe
Q v
l ϕβ⋅=-
上式表示了吸入毒物量Q 与12,,,,,,l b v l M a β等诸因素之间的数量关系。

为了更清楚的了解过滤嘴的作用，不妨比较两支香烟，，一直是上述模型讨论的，另一支长
度为l ，不带过滤嘴，，参数w 0,b,a,v 与第一支相同，而且吸到x=l 1处就扔掉。

吸第一支和第二支烟进入人体的毒物量别离记为Q 1和Q 2，Q 1固然由上述模型给出，Q 2也没必要从头计算，只需把第二支烟假想成吸收率为b （与烟草相同）的假过滤嘴香烟就好了，如此
v l b v
bl a v bl
e Q Q e
e b
a v aw Q 2
12
)(2
1
02)
1(--'--=-'=β
因此只要b >β就有Q 1<Q 2，过滤嘴是起作用的。

而且提高吸收率之差b -β与加长过滤嘴长度l 2，关于降低Q 1/Q 2的成效相同，只是提高β需要研制新材料，将更困难一些。

§6 万有引力定律的发觉
万有引力定律是人们比较熟悉的，可是那个定律是如何的道德，恐怕很多人未必能说得清楚。

传奇牛顿在苹果园里睡觉，醒来后发觉苹果落在地上，他向什么缘故不往天上飞呢？
必然是地上有一种吸引力，才使苹果落在地上，于是发觉了万有引力定律。

牛顿发觉万有引力定律是不是受到苹果落地的启发，咱们不去追究。

但有一点确信，问题决非如此简单。

事实上，万有引力定律的发觉，有一个漫长的进程。

哥白尼（Copernicus,1473—1543）的日心说是科学的一次重大进步，但那时哥白尼的假说是五大行星绕太阳作圆型轨道运行。

后来开普勒（Kepler,1571—1630）用了九年时刻，分析第谷（Tycho ）观看五大行星运动取得的20年资料发觉，假设行星轨道是以太阳为中心的圆周，那么误差为
)8
1(。

于是开普勒对圆形轨道产生了疑心，进而提出了三条假说，即开普勒三定律：
1） 行星轨道为椭圆，太阳是核心； 2） 单位时刻行星扫过的面积不变；
3） 运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方。

到了牛顿（1642—1727）时期，牛顿以为行星之因此具有上述三条性质，必然是由某力学规律在起作用，于是他决心致力于那个规律的发觉。

为此，它研究了微积分。

牛顿的微积分完成于1665—1666年也确实是在那个时期牛顿开始了万有引力定律的研究。

如图在极坐标系下，由2）得c r A ==
θ
22
1（常数） (1) 行星的位置坐标为),(r,),(θ或y x 知足
(3)
arctan (2)
2
22x
y
r y x ==+θ 有3）式得
(4) )
(112
2222r y x x y y x y x x y x y x x y x
y -=+-=-⋅+=
θ 代入1）式得
c y x x y
2=- （常数） （5） 5） 式对t 求导得
0=--+y x y x
x y x y 即
0=-y x
x y 假设记j y i x r
+= 则
0),(),,(=-x y y
x 又因为0),(),,(=-x y y x ，因此),//(),(y x y x
，即r r
// 由牛顿第二定律可知，r
的方向确实是作使劲的方向，即作用于行星的力的方向应平
行于r。

利用直角坐标系下单位向量θu u r
,的关系，如图，即
⎩⎨⎧+-=+=j
i u j
i u r
θθθθθcos sin sin cos （6） 可将r
表示为
r u r j r i r r
=+=θθsin cos （7）
由（6）得
θθθθθθu j i u r =⋅+⋅-=cos sin
r u j i u θθθθθθ-=⋅-⋅-=sin cos （8）
将（7）式对t 求导，并利用（8）式得
θθu r u r u r u r r r r r +=+=
θ
θθθθ
θθθθθθθθθθθθu r r
u r r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r r r
r
r r r )2()(22++-=-+++=++++= 注意r F
，因此r 的表达式中无θu 方向的分量，故
02=+θθ r r
，从而 r
r u
r r r u r u r r )(2θθθ
-=+= 再由1），可设轨道方程为
⎪⎩⎪
⎨⎧
-=-=+=)
1(),1(cos 12
222e a b e a p e p r θ
其中a,b 为椭圆的长半轴和短半轴，e 为偏心率。

由此又得：
3
22222
)()2()
2
1(22cos 2sin 2sin )21(2)sin ()cos 1(pr r p A r r r r p p Ae p
Ae r p
Ae r p e e e p r -=
⋅-⋅=⋅⋅===⋅-+-=
θθθθθθθθθ
于是
)4
1(4)
()2()
()2(2
433
22322
θθ
θ
r r pr r p A r pr r p A r r -
-=
--=- 2
2
3232)2()2()()2(pr
A r A pr r p A -=--= 下证p
A 2
)2(是绝对常数，即与那一刻行星都无关，用T 表示运行周期，那么有
πab A T =，又有3）知，32ka T =（k 为绝对常数）
，于是 k p
ka ab p A 2
3
22)(ππ== 如此，咱们取得
r
r r k u r
k u pr
A u r r r r
r
r
⋅
⋅-=⋅-=-=-=222222144)2()(ππθ （9） （9）式说明：太阳作用于任意行星的力，方向在太阳和行星的连线上，并指向太阳；大小与二者的距离的平方成反比，比例系数为绝对常数。

这确实是万有引力定律。

§7 人口模型
人口问题是个很复杂的问题，咱们那个地址只讨论几种较简单的模型。

模型一 Malthus 人口模型
Malthus 统计了英国100连年的人口资料后，假设人口的诞生率a 和死亡率b 都是常数。

记时刻t 的人口数为N(t),那么从t 到t t ∆+这段时刻内，人口的增加为 t t N b a t N t t N ∆-=-∆+)()()()( 令a-b=r,N 0=N(0)，0→∆t ，那么得
⎪⎩⎪
⎨⎧===0
0)()()
(N t N t rN dt
t dN t 这确实是Malthus 的人口模型。

那个微分方程的解显然为
rt e N t N 0)(=
由此可见，人口以r
e 为公比，按几何级数增加。

显然在Malthus 模型中把r 看做常数使不适合的。

可是它毕竟是人口增加的第一次定量描述，给以后的研究奠定了必然的基础。

Malthus 人口论的错误在于，因为人口按几何级数增加，为了生存就必需对外扩张，给帝国主义的入侵提供了所谓理论基础。

模型二 Logistic 模型
鉴于Malthus 模型的不合理性，Logistic 提出，环境所能提供的条件只能供养必然数量的人一辈子活，因这人口的增加率应随人口总数的增加而减少。

他假设人口的增加率为
))
(1(K
t N r -
，其中K 为环境所能供养的最大人口数，于是得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==00)()())(1()
(N t N t N K
t N r dt t dN t 这确实是Logistic 模型。

因为这是一个简单的一阶可分离变量的微分方程。

不难求出它的解为
)
1()(00-+=rt rt
e N K e KN t N
其解曲线如右图：
那个模型改良了Malthus 模型，可是K
而且N(t)的增加所引发的诞生率的减少，不是当即能 实现的，而带有滞后效应。

模型三 时滞模型 考虑到Logistic ))
(1(K
t N r τ--
，其中τ为滞后时刻，于是模型变成
)(])
(1[)(t N K t N r dt t dN τ--= 因为那个方程的解涉及时滞微分方程，咱们再也不讨论了。