直角三角形

第1章直角三角形

§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? （一）直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。

练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B相等的角有。

（二）直角三角形的判定定理1

提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”

归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形

练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。

（三）直角三角形性质定理2

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练：

练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。

求证：（1）ED=EB

(2)∠EBD=∠EDB

（3）图中有哪些等腰三角形？

练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?

§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

E

D

C

B

A

提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）

推理证明思路： ①作点D 1 ②证明所作点D 1 具有的性质 ③ 证明点D 1 与点D 重合 应用定理：

例1、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，

E 、

F 分别AB 、AC 的中点。

求证：DE=DF

分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。

（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？） 练习变式：

1、 已知：在△ABC 中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，F 是BC 的中点。

求证：FD=FE 练习引申：

（1）若连接DE ，能得出什么结论？

（2）若O 是DE 的中点，则MO 与DE 存在什么结论吗？

上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？ 2、已知：∠ABC=∠ADC=90º，E 是AC 中点。你能得到什么结论？

例2、求证：一个三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形。P4 练习P4 2

(四）、作业：P7 习题A 组 1、2

§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

F

E

D

C

B

A

F

C

B

一、 创设情境，导入新课 1 直角三角形有哪些性质？

(1)两锐角互余；（2）斜边上的中线等于斜边的一半 2 按要求画图：

（1）画∠MON ，使∠MON=30°，

(2)在OM 上任意取点P ，过P 作ON 的垂线PK ，垂足为K ，量一量PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系？

(3) 在OM 上再取点Q,R ，分别过Q,R 作ON 的垂线QD,RE,垂足分别为D,E ，量一量QD ，OQ ，它们有什么关系？量一量RE,OR ，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？

直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题. 二、 合作交流，探究新知

1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。

如图，Rr △ABC 中，∠A=30°，BC 为什么会等于1

2

AB 分析：要判断BC=

1

2 AB,可以考虑取AB 的中点，如果如果BD=BC ，那么BC=1

2

AB ，由于∠A=30°,所以∠B=60°,

如果BD=BC,则△BDC 一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC 是等边三角形，你会判断吗？

由学生完成

归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？

先让学生交流，得出把△ABC 沿着AC 翻折，利用等边三角形的性质证明。

2 上面定理的逆定理

C

B

A

K

O

M

C B

A

上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=1

2

AB”交换，结论还成立吗？

学生交流

方法（1）取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B=60°,从而∠A=30°

（2）沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出。

（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？

归纳：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。

三、应用迁移，巩固提高

1、定理应用

例1、在△ABC中，△C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______

例2、如图在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD

⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.

2 实际应用

例3、（P5）在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现

A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距

有触

礁的危险吗？

§1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

E

D C

A

B

D C

A

B

东