基本不等式作业设计-高一上学期数学人教A版
《基本不等式》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《2.2基本不等式2a b +≤》教学设计 教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a bab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x =1x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+y≥√xy.2（1）当积xy等于定值P时，x+y≥√P，2所以x+y≥2√P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.（2）当和x+y等于定值S时，√xy≤S,2所以xy≤1S2，4S2.当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a 2+b 22，ab ≤（a+b 2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
2.2基本不等式教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册+
Come go have do take pay spend build send cost put cut read run bring buy think teach catch tell sell say fly know throw draw see meet get eat hear leave make speak give swim find sleep sweep keep can will stand understand sit sing begin drink feel drive write ride forget win lose wear set choose breakCome/came go/went have/had do/did take/took pay/paid spend/spent build/built send/sent cost/cost put/put cut/cut read/read run/ran bring/brought buy/bought think/thought teach/taught catch/caught tell/told sell/sold say/said fly/flew know/knew throw/ threw draw/drew see/saw meet/met get/got eat/ate hear/heard leave/left make/made speak/spoke give/gave swim/swam find/found sleep/slept sweep/swept keep/kept can/couldwill/would understand/ understood stand/stood begin/began drink/drank sit/sat sing/sang feel/felt drive/drove write/wrote ride/rode forget/forgot win/won lose/lostGone with the windCome/came/comego/went/ gonehave/had/ haddo/did/donetake/took/takenpay/paid/paidspend/spent/spentbuild/ built/ builtsend/sent/sentcost/cost/costput/put/putcut/cut/cutread/read/readrun/ran/runbring/brought/brought buy/bought/bought think/thought/thought teach/taught/taught catch/caught/caught tell/told/toldsell/sold/soldsay/said/saidfly/flew/flownknow/knew/knownthrow/threw/thrown draw/drew/drawnsee/saw/seenmeet/met/metget/got/goteat/ate/eatenhear/heard/heard leave/left/leftmake/made/made speak/spoke/spoken give/gave/given swim/swam/swumbegin/began/begun drink/drank/drunksing/sang/sungfind/found/found sleep/slept/slept sweep/swept/swept keep/kept/keptcan/could/couldwill/would/would understand/ understoodstand/stood/stoodsit/sat/satfeel/felt/feltdrive/drove/driven write/wrote/written ride/rode/ridden forget/forgot/forgetten win/won/won lose/lost/lostWear-wore-wornSet-set-setChoose-chose-chosenChoice loss。
基本不等式课时练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
人教a 版 基本不等式、求最大(小)值及其应用拿捏基础1.下列说法正确的是( )A.a 2+b 2≥2ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0B.a 2+b 2>2ab 成立的前提条件是a,b ∈RC.a+b ≥2√ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0D.a+b>2√ab 成立的前提条件是ab>0 2.已知a,b 为正实数,则“ab a+b≤2”是“ab ≤16”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式a 2+4a 2≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2 B.a=±2 C.a=√2 D.a=±√24.(多选)若a,b ∈R ,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a 2+b 2≥2ab B.a+b ≥2√ab C.1a +1b >√abD.b a +ab ≥25.(2023郑州期中)已知a>1,则a+9a−1的最小值为( ) A.5 B.6C.7D.106.已知a>b>0,则a 2+16b(a -b)的最小值为( ) A.8 B.8√2 C.16 D.16√27.(2023连云港期中)若x<23,则y=3x+1+93x−2有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-38.(2024广东期末)已知a 2+b 2=ab+4,则a+b 的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.2√2 9.(2023大庆中学期末)若-4<x<1,则x 2-2x+22x−2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-110.(多选题)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式2x +my ≥4恒成立,则m 的值可以是( )A.1B.√2C.2D.2√211.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本,已知购买m 台设备的总成本为y=1200m 2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备( ) A.100台B.200台C.300台D.400台12.(2023山东青岛月考)(1)已知x<54,求4x-2+14x -5的最大值; (2)设x>-1,求(x+5)(x+2)x+1的最小值.13.(2024四川雅安期末)已知正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=3. (1)若a=1,证明:1b 2+1c 2≥2;(2)求ab+bc+ca的最大值.14.(2024广州期末)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x=2-k(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备t+2折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨该款食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品的售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费用的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求k的值;(2)将下一年的利润y(单位:万元)表示为促销费用t(单位:万元)的函数;(3)该食品企业下一年的促销费用为多少时,该款食品的年利润最大?注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用.挑战高考(2022全国新高考Ⅱ)(多选)若x,y 满足x 2+y 2-xy=1,则( )A.x+y ≤1B.x+y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1(2021天津高考)若a>0,b>0,则1a +ab2+b 的最小值为？（请写出解题必要步骤）。
【公开课】基本不等式教案--高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
复习引入
问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？
利用基本不等式解决生活问题
运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值.基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.
例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
追问：（1）前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于哪类问题吗？
（2）例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：
（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；
（2）如果正数x，y的和x+y等于定值
S，那么当x=y时，积xy有最大值.
怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解？
学生独立阅读题目，理解题意
由池底的边长确定
设贮水池池底相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z 元，则
本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少.可以转化为数学模型（1）解决.
学生回答解答过程，教师板书.
学生尝试总结，教师帮助梳理.首先，要从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；接着，思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题.
课时达标检测设计
检测的目标点与用时
设；反馈、矫正方法预
与达标效果补充。
【教案】基本不等式+教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《2.2基本不等式》单元-课时教学设计一.内容和内容解析 1. 内容（1）本节的知识结构框图（梅州教研活动作者放“2（3）内容地位与作用”）（2）本节的知识内容：基本不等式的含义（概念、证明、几何解释）及其应用。
2. 内容解析（1）内容的本质“基本不等式”是求最值的常用方法之一，是两个量（正数）的“算术平均数”与“几何平均数”之间的大小关系，也可称为“均值不等式”（其实，可以推广到多个量）。
“基本不等式”体现“加法”与“乘法”两种运算之间的一种区别。
“基本不等式”在几何意义上，是“直径为最长弦长”。
（2）蕴含的数学思想方法本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法：①在基本不等式的证明和运用基本不等式时的转化思想； ②在基本不等式的几何解释时的数形结合思想； ②在解决实际问题中的建模思想。
（3）知识的上下位“基本不等式”是前面学习完不等式性质之后的第一个具体且重要的不等式（定理），在此章与“二次函数与一元二次方程、不等式”有着并列的地位，属于预备知识，为后面研究函数做好必要知识的铺垫。
（4）育人价值本节教科书充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值。
例如，教科书从“北京举办的24届国际数学大会”“篱笆围菜园”“建造长方体形无盖贮水池”等实际生活中的问题，有利用学生更好地感受“数学来源于生活、服务于生活”，促进学生关心生活、关注社会，增强社会责任意识，所以在教学中，我们结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值。
①通过基本不等式的几何解析，可以培养学生“直观想象”的素养，并从中感受“数形一致”的数学魅力。
②通过严谨的证明活动，发展学生“逻辑推理”的素养。
③通过具体运用基本不等式求解相关函数最值时，培养学生数学运算素养 ④通过建立数学模型，并利用基本不等式求解最优化等实际问题，发展学生“数学建模”素养。
（5）教学重难点重点：基本不等式含义的理解与证明。
难点：利用基本不等式求最值的基本方法及实际应用。
2.2基本不等式(1)教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题基本不等式（1）教科书书名：普通高中教科书数学（必修第一册）教材出版社：江苏凤凰教育出版社教学目标1.学会推导并掌握基本不等式定理；2.数学能够应用定理证明不等式并解决一些简单的证明和求最值问题.教学内容教学重点：1. 基本不等式的定义、证明方法和几何解释；2. 用基本不等式解决简单的证明和最值问题。
教学难点：1. 基本不等式的几何解释；2.在解题中灵活使用基本不等式；教学过程一、情景引入将物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量.不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b.思考：如何合理地表示物体的质量呢？表示物体的质量. 做法1：把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=a+b2问题1：这样的做法合理吗？做法2：设天平的两臂长分别为l1,l2,物体实际质量为M，根据力学原理有l1M=l2a, l2M=l1b.将上述两个等式的两边分别相乘，得l1l2M2=l1l2ab,所以M=√ab. 由此可知，物体的实际质量为√ab.对于正数，我们把a+b2称为a,b的算术平均数，√ab称为a,b的几何平均数.二、探索新知问题2：两个正数a,b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？如图，AB是圆⊙O的直径，点C是AB上一点,AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB 垂直交半圆于点D，连接AD，BD.思考：你能在图中找到长度为a+b2、√ab的线段吗？OD =a+b2表示圆的半径.图中三角形均为直角三角形，可证△ACD∼△DCB，因而CD2=AC∙BC(射影定理), 得CD =√ab表示圆的半弦长.问题3： OD与 CD大小关系如何呢？CD ≤OD√ab≤a+b2，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.得到一个猜想：∀a>0,b>0,√ab≤a+b2，当且仅当a=b时等号成立.三、探究—基本不等式的证明问题4：在前面学习不等式性质中，我们已经解决过一些不等式的证明，有哪些常用方法呢？作差法、分析法、利用不等式性质法等. 请同学们尝试用以上方法证明基本不等式.思考:“√ab≤a+b2”还有哪些等价形式？ab≤(a+b2)2思考: 两个数的“平方和与积”的不等关系呢？用a2替换a，b2替换b，得ab≤a 2+b2 2ab≤(a+b2)2当且仅当a=b时等号成立.ab≤a2+b22,当且仅当a=b时等号成立.问：请问上述a、b的范围是多少？四、学以致用例1 设a,b为正数，证明下列不等式成立.（1）ba+ab≥2 ; （2）a+b+1a+1b≥4(1)分析：观察ba 、ab的结构，发现积为定值ba∙ab=1.基本不等式揭示了两个非负数的和与积的不等关系，即它们的几何平均数不大于它们的算术平均数.(2) 分析：观察a、b、1a 、1b的结构，发现a∙1a=1，b∙1b=1.分别使用基本不等式.例2 已知函数y =x +16x+2(x >−2)求此函数的最小值.分析：观察x 、16x+2的结构，发现二者积不为定值，并且从x >−2，有x +2>0，但x 可能为负数，不能直接使用基本不等式.思考：能不能凑成积为定值，且均为正数呢？四、课堂小结最后我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下问题：（1）什么是基本不等式？∀ a >0,b >0,√ab ≤ a+b2，当且仅当a =b 时等号成立.文字语言：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.几何解释：在圆中，半弦长小于或等于半径长.（2）还收获了哪些不等式呢？∀a , b ∈R ，ab ≤(a +b 2)2,当且仅当a =b 时等号成立. ∀a , b ∈R ，ab ≤a 2+b 22,当且仅当a =b 时等号成立. （3）利用不等式解决问题时，需要注意什么？首先用整体思想，看能否转化为两个正数的和或者积的形式，再观察和或积是否为一个定值，最后计算检验不等式中的等号能否取到，简言之就是“一正、二定、三相等”.备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
2.2基本不等式教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版
师生活动：学生讨论后回答.教师总结;分析法时一种“执果索因”的证明方法，即从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
追问2：根据刚刚的证明过程，说说分析法的证明格式是怎么样的？
叫作正数a,b的算术平均数。基本等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
问题2：能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢?
师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差法进行证明.教师在肯定该方法之后，给出教科书上44页用分析法证明的过程，同时指出，把上述分析过程倒过来，就能用不等式的性质来证明不等式了。
追问3：本题的解答过程中是否必须说明“当且仅当 时，等号成立”？
师生活动：学生讨论后回答.教师总结，并给出变式：
追问4：本题与例1的区别是什么？能用基本不等式解决吗？
师生活动：学生讨论后回答.教师总结：由于 ，与不等式中的正数条件不符，故需要进行转化，利用 从而求得原式的最大值，并注意验证等号成立条件。
教学设计
课程基本信息
学科
高中数学年级高一ຫໍສະໝຸດ 学期秋季课题
基本不等式不等式（1）
教科书
书 名：普通高中教科书 数学 必修 第一册 教材
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年4月
教学目标
1.理解基不等式的含义与几何解释，发展逻辑推理能力。
2.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算素养。
师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步都要用“要证......只要证......”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”.
高中数学必修第一册人教A版 高一 基本不等式(一) 教学设计
要证②，只要证2√ab−a−b≤0. ③要证③，只要证−(√a−√b)2≤0 ④要证④，只要证(√a−√b)2≥0 ⑤显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？教师引导由②⟹①，由③⟹②,由④⟹③，由⑤⟹④的依据.教师总结：②⟹①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向）③⟹②（根据不等式性质，两边同时加上正数（a+b），所得不等式与原不等式同向）④⟹③（运用完全平方差公式打开计算）⑤⟹④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向）显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.追问（2）：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……”“只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然……成立。
下面我们一起来看问题3.5分钟几何解释同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢?下面我们一起来探究一下?问题3：在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD.你能在这个图形中尝试找出2a b和ab所对应的是哪条线段吗?进而得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：教师引导学生思考后回答，可证∆ACD∼∆DCB,因而CD=√ab。
2.2基本不等式教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
研究最值问题的两个重要模型，为本节课的进一步学习做好铺垫a1. 基本不等式：如果a>0 ，b>0 ，那么<等号成立.2. 已知x，y 都是正数，（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2. （2）如果和x+y 等于定值S，那么当x=y 时，积xy 有最大值.教师追问：请同学们尝试用自然语言，一句话表达出上述（1）和（2）这两个基本问题.学生：当两个正数变量的积或和为定值时，它们的和有最小值或积有最大值.教师与学生共同完成问题一的解答过程如下.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m ，则篱笆的长度为2(x+y)m.（1）由已知，得xy= 100，教师追问：当我们已知两个正数的积为定值时，如何求它们的和的最小值呢？学生：运用基本不等式.根据基本不等式≥ ，可得x + y ≥ 2 = 2 = 20 ，所以，2(x+y)≥40.当且仅当ݔ=ݕ= 10 时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知，得2(ݔ+ݕ)=36 ，矩形菜园的面积为ݔݕm2.教师追问：当我们已知两个正数的和为定值时，如何求它们的积的最大值呢？学生：仍然是运用基本不等式根据基本不等式可得，< = = 9 ，所以，xy≤81.当且仅当x=y=9 时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81 m2.【设计意图】通过对上述两个问题的研究，使学生体会如何运用基本不等式模型来理解和识别实际问题，从而利用基本不等式解决实际问题. 特别地，在解决这两个问题的过程中，分别有不同的侧重点：对于问题（1）重点分析变量的个数、已知条件、是否符合基本不等式的模型等特征，以说明解决问题中每一步的必要性；对于问题（2）侧重于运用基本不等式时判断等号是否成立的必要性的再认识，从而对实际问题的结果的合理性作出解释.解：设贮水池池底的相邻两条边的长分别为x m ，y m ，水池的总造价为z 元.根据题意，得z= 150xy+120(2×3x+2×3y)= 150xy+720(x+y)由容积为4800m3 ，可得3xy=4800，因此xy= 1600，根据基本不等式可得，x + y ≥ 2，根据不等式的基本性质可得，720(x+y) ≥720×2，所以，240000+720(x+y) ≥240000+720×2，则z=240000+720(x+y) ≥240000+720×2=240000+720×2=297600.当且仅当x=y=40 时，上式等号成立.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600 元.教师追问：同学们，你能自己设计一个有关最值问题的实际问题吗？并解决它.你可以改变上述问题二中的某个条件或某些条件，或者另外设计一个问题.预案：①将问题二中的“容积为4800m3 ”改为“容积为6000m3 ”；②将问题二中的“深为3m ”改为“深为4m ”；③将问题二中的“池底每平方米的造价为150 元”改为“池底每平方米的造价为180 元”；……【设计意图】通过对问题二中的实际问题的研究过程，使学生能够根据数学建模的数学思想，将实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式模型进行求解，最后将数学问题回归到实际问题中，得出实际问题的设计方案；最后通过一个开放性问题，可以给学生一个自由发挥的空间，有利于学生对问题的再认识.3分钟归纳小结在此环节中，教师引导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，逐步提升数学学科的核心素养.（1）基本不等式：如果a>0 ，b>0 ，那么< ，当且仅当a=b时，等号成立；（2）两个基本模型：当两个正数的积为定值时，当这两个正数相等时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，当这两个正数相等时，它们的积有最大值；（3）通过对实际问题的分析与解决，经历了数学建模的基本过程，体会了数学建模的基本思想，逐步提升数学建模素养.。
基本不等式学案-高一上学期数学人教A版(1)
2.2 基本不等式一、学习目标： 1．理解基本不等式的定义、证明方法和几何解释；（重点）2．会用基本不等式解决简单的最值问题．（难点）二、知识导学：三、典例解析：【典例1】利用基本不等式求最值 （1）已知0>x ，求xx y 1+=的最小值； （2）已知1>x ，求11-+=x x y 的最小值. （3）已知0<x ，求______1≤+xx ； （4）已知1<x ，求______11≤-+x x . （5）函数y ＝2－3x －4x(x>0)的最大值为_______． 【典例2】利用基本不等式求最值（1）设x ，y 满足40x y +=，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值是( )A ．400B ．100C ．40D ．20（2）已知0,0>>y x ，且满足143=+y x ，则xy 的最大值为______； 此时x ＝______，y ＝______.（3）求)10(x x -的最大值，并求取得最大值时x 的值.【典例3】变形技巧：“1”的代换（1）已知0,0>>y x 且191=+yx ，求y x +的最小值_______； （2）已知0,0>>b a 且22=+b a ，求ba 11+的最小值_______.4.已知0,0>>y x 且1=+yx ，求y x 32+的最小值_______.2.若函数）（22>-+=x x x y 在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．41.已知1>x ，求12-=x x y 的最小值为______；此时=x ______. 2．已知0>t ，则函数tt t y 142+-=的最小值为_______. 3.求1222++=x x y 的最小值______；此时=x ______.。
2.2基本不等式教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
基本不等式一、教材分析基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重的基础的内容.前面的学习中, 学生已经学习了等式与不等式性质以及重要不等式a2+b2≥2ab的相关内容，对于两个数的大小关系的研究思路有一定的了解，基本不等式是几何平均数小于等于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均数不大于算术平均数.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值与最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的素养.通过对这一节内容的学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,也加强了数学联系生活这一重要的数学观。
在学习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫。
二、学情分析在知识结构上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数与式的大小比较，也具备一定的平面几何的基本知识. 本节内容在复习、巩固不等式性质和重要不等式的前提下学习基本不等式，这为学生研究“基本不等式”提供了理论基础和探究方向．在能力水平上，刚进入高中的学生们缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点. 其次，基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解. 对于基本不等式的学习,学生的认知困难主要在两个方面: (1)什么是基本不等式？学生对新概念的理解和接受是比较困难的; (2)如何用数形结合的思路理解基本不等式？应该重视学生的独立思考和计算，重视课堂问题的讲解设计,引导学生掌握。
三、教学目标知识与能力目标：1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力。
基本不等式自学案——高一上学期数学人教A版
2.2 基本不等式自学学案学习目标1. 掌握基本不等式()0,2>+≤b a b a ab 2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值与最下值问题3. 通过“积定”与“和定”来把握最值定理并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解4. 发展数学运算、逻辑推理的数学核心素养知识清单1. 重要不等式R b a ∈∀,，有__________，当且仅当_______是，等号成立。
2. 基本不等式（1）如果0,0>>b a ，那么___________，当且仅当_______是，等号成立。
其中，_____叫做正数b a ,的算术平均数，______叫做正数b a ,的几何平均数。
基本不等式表明：两个_____的算术平均数_______它们的几何平均数。
（2）基本不等式的两种常用形式：()0,0________________>>≤≥+b a ab b a ，（3）基本不等式的常用结论 ①()_____,____b a a b b a ≥+，当且仅当______时取等号；()_____,____b a ab b a ≤+，当且仅当______时取等号。
②()______1a a a ≥+，当且仅当______时取等号；()______1a a a ≤+当且仅当______时取等号。
3. 最值定理已知y x ,都是正数，（1）如果积xy 等于定值P ，那么当_______时，和______有最_____值_______。
（2）如果积y x +等于定值S ，那么当_______时，积______有最_____值_______。
最值定理简记为：____________________。
注：利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一_____、二_____、三_____。
自我检测1. 如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，该图可作为一个数学结论的一个几何解释，这个数学结论可能的是（ ）A. 如果0>>b a ，那么b a >B. 如果0>>b a ，那么22b a >C. 对任意正实数b a ,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。
基本不等式(1)教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学设计 高中课程标准 数学必修一2.2基本不等式（1）姓名： 学号：一、课前回顾判断下列四个命题的真假:（1）若a<b<0,则ba 11<； （2）若a>b>c,则有a|c|>b|c|;（3）若a>b,c<d,则有a-c>b-d; （4）若b<a<0,n ∈N,n>1,且n 为奇数,则有a n >b n .答案：（1）假命题（2）假命题（3）真命题（4）真命题设计意图：以小组为单位回顾，复习上一节重点知识，巩固不等式的性质二、揭示目标1.熟练掌握基本不等式及其应用.2.能够利用基本不等式求函数和代数式的最值.3.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.设计意图：教师揭示学习目标，让学生清楚重点，带着明确的目标进行学习。
三、自学指导阅读教材44-45页，回答下列问题⒈算术平均数与几何平均数：设b a 、是任意两个正数，把2b a +叫做正数b a 、的算术平均数；把ab 叫做正数b a 、的几何平均数。
⒉重要不等式：对于任意实数b a ,，ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
⒊基本不等式：如果b a ,是正数，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立。
注意：“一正、二定、三相等”的条件；主要技巧：“拆项”，“添项”，“配凑因式”。
设计意图：将本节重点知识梳理出来，让学生通过预习和阅读教材，弄清楚这几个问题。
四、当堂训练 的最小值求已知例xx x 1,0)1.(1+>2110,2,1,1,1,, 2.解：（1）因为所以当且仅当即时等号成立因此所求的最小值为x x x x x x x x x>+⋅====≥ 变式训练1.(1)求)0(254>+=x xx y 的最小值. (2)若0,0>>x a ，且a 为常数,则x a x y 4+=有最 小 值,其值为 a . 解:(1)因为x>0,所以202542254=⋅≥+=x x x x y ,当且仅当x x 254=,即25=x 时,等号成立.所以y 的最小值为20.（2）因为a>0,x>0,所以a x a x x a x =⋅≥+424,当且仅当xa x 4=,即2a x =时取等号. 例1.（2）已知)0,0(223>>=+b a ba ,求ab 的最小值. 解：因为)0,0(223>>=+b a b a 所以b a b a 232232⋅≥+=,即ab≥6,当且仅当b a 23=且223=+ba ,即2,3==b a 时,取等号.所以ab 的最小值是6. 变式训练2.若0,0>>y x 且1=xy ,则y x 4+的最小值是 4 .解： 因为x>0,y>0,且xy=1,所以442424==⋅≥+xy y x y x当且仅当y x 4=，即21,2==y x ，时取等号.例1.（3）已知31<<-x ,则)3)(1(x x y -+=的最大值是 4 .解：因为-1<x<3,所以1+x>0,3-x>0,所以22)3()1()3)(1(=-++≤-+x x x x .所以(1+x)(3-x)≤4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时取等号.变式训练3.若0<x<4,求)28(x x y -=的最大值.解：因为0<x<4,所以4-x>0,所以22]2)4([2)4(2)28(=-+≤-=-=x x x x x x y .当且仅当x=4-x 即x=2时取等号,故y 的最大值为22例1.(4)已知x>3,求6242-+=x x y 的最小值. 解:因为x>3,所以2x-6>0,所以106226624)62(26624)62(6242=+⨯=+-+-≥+-+-=-+=x x x x x x y 当且仅当62462-=-x x ,即x=4时取等号.所以6242-+=x x y 的最小值是10. 变式训练4.若x>1,求112-+=x x y 的最小值. 解：令t=x-1,故x=t+1,则由x>1知t>0,则222221)1(2+≥++=++=t t t t y ,当且仅当2=t ,即12+=x 时取等号.所以112-+=x x y 的最小值为222+ 五、小组汇报小组先互助，再汇报。
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课题 2.2基本不等式课时 1 作业设计
意图、核
心素养目
标
课前预习作业1.基础类（预习教材44页）
问题1：若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大
小关系？
2.发展类（利用不等式的性质推导基本不等式）
问题2：若以a，b分别代替问题1中的a、b，
可得出什么结论？并证明ab≤
a＋b
2
、得概念
3.探究类（教材45页探究提出的问题）
在图2.21中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，
AC＝a, AC＝b，过点Ｃ作垂直于AB的弦DE,连接
AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
从已熟悉知识
到新知识的认
知、推导，体会
化旧知为新知
的化归过程
通过分析法证
明基本不等
式，并撑握定
理中的不等号
“≤”取等号
的条件是：当
且仅当两个数
相等
通过引导学生
观察分析,发
现图形中蕴藏
的基本不等
式,培养学生
数学抽象和逻
辑推理的核心
素养.
课中例题讲解（师生互动）4.基础类（完成教材45页例题1、2）
例1 已知x>0,求x＋
1
x
的最小值.
例2 已知已知x,y都是正数，求证：
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和
x＋y有最小值2√P
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有
最大值1
4
S2
通过典型例题
的解析，让学
生明确应用基
本不等式的三
个关键步骤：
一正、二定、三
相等，发展严
谨细致的思考
习惯、思维的
灵活性
课题 2.2基本不等式课时 2 作业设计
意图、核
心素养目
标
课前预习作业1.发展类（预习完成教材46页例题3）
例3(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,当
这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短? 最短篱
笆的长度是多少?
(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,当这
个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积
是多少?
通过简单的应用
性问题,让学生
体会的实际问题
中应用基本不
等式的步骤.培
养和发展数学抽
象和数学建模的
核心素养
课中例题讲解及探究(师生互动) 2.发展类（完成教材47页例题4）
某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为
4800m3 ,深为3m.如果池底每平方米的造价为150
元,池壁每平方米的造价为120元,那么设计水池能
使总造价最低?最低总造价是多少?
（完成教材59页的习题7）
0g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取
出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;两将5g的
砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左
盘中使天平是小于10g,等于10g,还是大于10g?为
什么?
通过典型例题
解析，发展数
学抽象和数学
建模的核心素
养
提高阅读与理
解能力，利用
基本不等式求
最值解决生活
中的实际问
题,提升建模
核心素养
课堂训练
4.发展类(巩固训练)。