初中数学九年级上册第二十一章 一元二次方程《一元二次方程》教案
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案)
第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．【本章重点】一元二次方程的解法及应用．【本章难点】1．一元二次方程根与系数的关系的应用．2．利用一元二次方程解决实际问题．【本章思想方法】1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．21.1一元二次方程1课时21.2解一元二次方程4课时21.3实际问题与一元二次方程1课时21.1一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__， 化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__.化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列方程是一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝02．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(A)A．2B．0C．0或2D．0或－2【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是__－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的形式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，对于方程x2＝p：(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝__p__，x2＝__－p __.(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__；(3)当p＜0时，方程__无实数根__.2．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？ 【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2.二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0， 即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0， ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2. ∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136.【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2．会熟练运用公式法解一元二次方程． 【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性． 二、重难点目标 【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程． 【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．用配方法解下列方程： (1)x 2－5x ＝0； x 1＝0，x 2＝5. (2)2x 2－4x －1＝0. x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0.解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？ 【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－3)±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－9)±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a；当Δ<0时，方程没有实数根．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__.3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x－24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0. 因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13.(4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值． 【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba .∵9a 2－4b 2＝0， ∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0， 即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0， ∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝0235 6(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.2．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35.(3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294. (4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值． 解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下： x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.请完成本课时对应练习！。
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案
今天在教授九年级的一元二次方程时，我发现学生们对这一章节的内容充满了好奇，但也存在一些理解上的困难。在课堂上，我尝试了多种方法来引导学生理解和掌握一元二次方程的核心知识，以下是我的一些观察和思考。
首先，我发现通过引入日常生活中的实际问题来激发学生的兴趣是非常有效的。学生们能够直观地感受到数学知识在解决实际问题中的应用，这有助于提高他们的学习积极性。例如，当我提出一个关于面积的问题时，学生们马上就能联想到一元二次方程，这说明他们已经开始尝试将数学知识应用到实际情境中。
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案
一、教学内容
人教版九年级数学第二十一章21.1《一元二次方程》教案：
1.理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）；
2.掌握一元二次方程的求解方法，包括直接开平方法、配方法、公式法；
3.能够运用一元二次方程解决实际问题，培养分析问题和解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，掌握判别式和根与系数的关系，能够分析并解决相关问题；
4.培养学生的数学抽象素养，理解一元二次方程的数学本质，提高对数学概念的理解和抽象能力；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在解决一元二次方程问题时，运用不同的方法和策略，激发创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的定义及其一般形式，这是后续求解各种一元二次方程的基础。
4.了解一元二次方程的根的判别式，掌握判别式的应用；
5.掌握一元二次方程根与系数的关系，了解其几何意义。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分析一元二次方程的定义和求解过程，提高学生的逻辑思维和推理能力；
2.培养学生的数学建模能力，学会将现实问题抽象为一元二次方程，通过求解方程解决实际问题；
初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。
九年级数学《一元二次方程》教案(5篇)
九年级数学《一元二次方程》教案（5篇）元二次方程教案篇一教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:（1)图象与x轴的交点的坐标为A（，），B(，）（2）当x=时，函数值y=0。
（3）求方程x2-x-6=0的解。
（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1、如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元教学设计
-对于解法的学习，先从简单的直接开平和因式分解法开始，逐步过渡到配方法和公式法。通过大量例题和练习，让学生在反复实践中掌握每种方法的解题技巧。
-判别式的教学，可以通过数学史的引入，让学生了解判别式的历史背景，增加学习的趣味性。同时，通过具体的例子，让学生观察判别式的变化与方程根的关系，从而深刻理解判别式的意义。
3.例题演示：通过典型例题，展示一元二次方程的求解过程，让学生观察、思考、总结解题方法。
4.知识拓展：介绍一元二次方程在现实生活中的应用，如物理、几何等领域，增强学生的数学应用意识。
（三）学生小组讨论
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，以达到以下目的：
1.深化理解：让学生在小组内交流对一元二次方程概念和求解方法的理解，互相借鉴、补充，提高对知识的掌握程度。
2.提高题：设置一些综合性的题目，考察学生对一元二次方程求解方法的灵活运用。
3.应用题：结合实际问题，让学生运用一元二次方程的知识解决问题，提高学生的数学应用能力。
（五）总结归纳
在课程结束时，我将引导学生进行以下总结归纳：
1.知识梳理：让学生回顾本节课所学的一元二次方程的定义、求解方法、判别式等知识，加深印象。
3.提高题：设置一些综合性较强的题目，考察学生对一元二次方程求解方法的灵活运用和综合运用能力。
例题：已知一元二次方程x²-4x+3=0，请用因式分解法、配方法和公式法分别求解该方程。
4.探究题：鼓励学生通过查阅资料、小组讨论等方式，探究一元二次方程在科学、技术、工程等领域中的应用，提高学生的探究能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生面对数学问题时的自信心和勇气，使学生感受到数学学习的乐趣，激发学生的学习内驱力。
初三数学一元二次方程教案优秀5篇
初三数学一元二次方程教案优秀5篇数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1、教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( ），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
元二次方程的应用篇二12.6 一元二次方程的应用（三）一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题。
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题。
2.教学难点：有关增长率之间的数量关系。
下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了。
三、教学步骤（一）明确目标。
九年级数学一元二次方程教案5篇
九年级数学一元二次方程教案5篇一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
今天在这里整理了一些，我们一起来看看吧!九年级数学一元二次方程教案1教学目标1。
知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题。
2。
过程与方法(1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。
根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。
(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。
(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法， 导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。
九年级数学一元二次方程教案2【主体知识归纳】1.整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.2.一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.4.直接开平方法形如x2=a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x=±，即x1= ，x2=-.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.5.配方法将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化成(x+ )2=的形式后，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;(2)将常数项移到方程右边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根.6.公式法用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x= (b2-4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【基础知识讲解】1.一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2”.一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?应先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.2.在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件.3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解.4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解.5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了.【例题精讲】例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x2+6=3x(2x+1);(2)8x2=x;(3)y3-y-1=0;(4)4x2-3y=0;(5)-x2=0;(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程.解：(1)去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0，∴此方程是一元二次方程.(2)移项，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程.(4)∵方程中含有两个未知数，∴它不是一元二次方程.(5)∵a=-1≠0，∴它是一元二次方程.(6)整理，得4x=0∴它不是一元二次方程.例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x2=3x+5;(2)(x+1)(x-1)=1;(3)(x+2)2-4=0.剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的.二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程.解：(1)整理，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5.(2)整理，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2.(3)整理，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.例3:关于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程吗?剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.原方程显然满足(1)、(2).由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3).因此，需分类探讨.解：当m-1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程.当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程.说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.例4:用直接开平方法解下列方程：(1)3x2-27=0;(2)(3x-5)2-7=0.解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9，∴x=±，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.(2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7，∴3x-5=±，即3x-5= 或3x-5=- .∴x1= ，x2= .例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0.剖析：此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1;(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x+a)2=k的形式，然后用开平方法求解.解：把方程的各项都除以2，得x2+ x-2=0.移项，得x2+ x=2.配方，得x2+ x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= .解这个方程，得x+ =±，x+ =±.即x1= ，x2=-4.说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1.例6：用公式法解下列方程：(1)2x2+7x=4;(2)x2-1=2 x.解：(1)方程可变形为2x2+7x-4=0.∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=810，∴x= .∴x1= ，x2=-4.(2)方程可变形为x2-2 x-1=0.∵a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=160.∴x= .∴x1= +2，x2= -2.说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式.例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零，求m的值及另一根.解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，解得：x1=0，x2=9.6，所以方程的另一根为9.6.说明：方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件.【同步达纲练习】1.选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A. =0B. =0C.x2+2xy+1=0D.5x=3x-1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A. x2=1B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0D. x2-x= (x2+1)(3)方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，-4，-2B.3，2，-4C.3，-2，-4D.2，-2，0(4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为( )A.-1B.1C.-2D.2(5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A.m≠0B.m≠1C.m≠1且m≠-1D.m≠1或m≠-1(6)方程x(x+1)=0的根为( )A.0B.-1C.0，-1D.0，1(7)方程3x2-75=0的解是( )A.x=5B.x=-5C.x=±5D.无实数根(8)方程(x-5)2=6的两个根是( )A.x1=x2=5+B.x1=x2=-5+C.x1=-5+ ，x2=-5-D.x1=5+ ，x2=5-(9)若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为( )A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1(10)关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2，则m的值等于( )A.2B.-C.-2D.2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x+1=9x2; (2)(x+1)(x-3)=2x-3;(3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2; (4) y2- y= y2- y+ .3.当m满足什么条件时，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?当x=0时，求m的值.4.用直接开平方法解下列方程：(1)x2= ;(2)x2=1.96;(3)3x2-48=0;(4)4x2-1=0;(5)(x-1)2=144;(6)(6x-7)2-9=0.5.用配方法解下列方程：(1)x2+12x=0; (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0;(4)9x2+6x-1=0; (5)5x2-2=-x; (6)3x2-4x=2.6.用公式法解下列方程：(1)x2-2x+1=0; (2)x(x+8)=16; (3)x2- x=2; (4)0.8x2+x=0.3;(5)4x2-1=0; (6)x2=7x; (7)3x2+1=2 x; (8)12x2+7x+1=0.7.(1)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?(2)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?8.已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+(c+3)2=0，解方程ax2+bx+c=0.9.已知a+b+c=0.求证：1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.10.用配方法证明：(1)3y2-6y+11的值恒大于零;(2)-10x2-7x-4的值恒小于零.11.证明：关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程.九年级数学一元二次方程教案3教学目标1. 了解整式方程和一元二次方程的概念;2. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程教学设计
1.培养学生勇于探索、敢于挑战的精神，增强学生面对困难的信心。
2.培养学生严谨、踏实的科学态度，养成勤奋好学的良好习惯。
3.培养学生运用数学知识为生活服务的意识，感受数学在生活中的重要性。
4.培养学生热爱数学、热爱科学的思想，树立为祖国科技事业贡献力量的远大理想。
二、情分析
九年级学生在前两年的数学学习中，已经积累了一定的数学基础，掌握了解一元一次方程、不等式等基本的数学知识。在此基础上，学生对一元二次方程的学习具备了一定的基础。然而，一元二次方程作为初中阶段数学学习的重点和难点，对学生逻辑思维、问题解决能力以及数学方法的应用提出了更高的要求。学生在学习过程中可能会遇到以下困难：对方程的一般形式理解不够深入，求解方法掌握不够熟练，对根的判别式的应用感到困惑。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，适时给予引导和帮助，让学生在掌握基础知识的同时，提高解决问题的能力，增强数学素养。
-引导学生参与数学竞赛或研究性学习，选择适当难度的题目进行挑战，激发学生的学习兴趣和潜能。
4.小组合作题：
-分组讨论：布置一道综合性的小组讨论题目，要求学生在课后分组合作，共同探讨解决方案，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
-小组汇报：各小组在下次课堂上进行汇报，分享解题思路和心得，促进学生之间的相互学习和交流。
5.反思与总结：
-要求学生在课后进行自我反思，总结学习一元二次方程过程中的收获和不足，为下一步学习做好准备。
-教师关注学生的反思情况，及时了解学生的学习需求，调整教学策略。
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.1一元二次方程》第2课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.1一元二次方程》第2课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是难点之一。
本章主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
通过本章的学习，学生能够掌握一元二次方程的基本概念，熟练运用各种方法解一元二次方程，并能够将一元二次方程应用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的定义、解法和应用还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
同时，由于一元二次方程的内容较为抽象，学生可能存在理解上的困难，需要教师通过生动形象的讲解和丰富的教学手段来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用到实际问题中。
2.过程与方法：学生能够通过观察、实验、推理等方法探索一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和公式法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式激发学生的思考，引导学生主动探索一元二次方程的解法。
3.示范教学法：教师通过讲解和示范，使学生掌握一元二次方程的解法。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：教材、练习册、笔记本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入一元二次方程，如“一个物体从静止开始做直线运动，加速度为2m/s^2，问物体在5秒后的速度是多少？”让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.呈现（10分钟）教师引导学生观察这个实例，提出问题：“这个问题的解法是什么？”学生可能回答是“2m/s^2 * 5s = 10m/s”，教师进一步引导学生思考：“这个解法是否适用于所有的一元二次方程？”从而引出一元二次方程的定义。
九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案
第二十一章 一元二次方程21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点]通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程你能举一个方程的例子吗2．下列哪些方程是一元一次方程并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x ＋1＝0 (4)x 2＝1·3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1. 提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定本题应该设哪个量为未知数(2)本题中有什么数量关系能利用这个数量关系列方程吗怎么列方程^(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题：(1)本题中有哪些量由这些量可以得到什么(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系如果有5个队参赛，每个队比赛几场一共有20场比赛吗如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： <本题需要设两个未知数吗如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字 (3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程． 】2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点等号的左、右分别是什么 (2)为什么要限制a≠0，b ，c 可以为0吗(3)2x 2－x ＋1＝0的一次项系数是1吗为什么3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4 例题与练习例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________． ,(1)4x 2＝81；(2)2x 2－1＝3y ；(3)1x 2＋1x ＝2；(4)2x 2－2x(x ＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2 教材第3页 例题．例3 以－2为根的一元二次方程是( ) A ．x 2＋2x －1＝0 B ．x 2－x －2＝0 C ．x 2＋x ＋2＝0 D ．x 2＋x －2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等． ；练习：1．若(a －1)x 2＋3ax －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围是________． 2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝81；(2)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3. 3．教材第4页 练习第2题．4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________． 答案：≠1；2.略；3.略；＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 >课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识一元二次方程的一般形式是什么一般形式中有什么限制你能解一元二次方程吗作业布置教材第4页 习题第1～7题. 解一元二次方程21． 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法:理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．。
九年级数学上册 第二十一章《一元二次方程(数学活动)》教学设计(新版)新人教版
一元二次方程数学活动一、内容和内容解析1．内容探究三角点阵中前n行的点数所满足的规律，并应用规律进行计算．2．内容解析本节课的数学活动对第21章“一元二次方程”所学知识的应用，进一步用一元二次方程，解决具体情境中的数量关系和变化规律．活动中的核心问题是寻求三角点阵的行数与前n 行的点数和的对应关系，根据所给的具体的点数，通过解一元二次方程求得n的值，根据所得解是否符合实际意义来判断是否存在这样的点数和．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：探求三角形点阵的前n行点数和的规律，并利用一元二次方程的知识解决有关问题．二、目标和目标解析1．目标(1)探索发现三角点阵中前n行的点数规律，并能用于计算．(2)掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析问题的方法，建立数学模型解决问题，培养应用意识．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能用含n的式子表示每行的点数，并能找到前n行点数和的计算规律，并根据所给的具体的点数和，计算出n的值．达成目标(2)是内容所蕴含的思想方法，学生需要体会在较为复杂的图形中寻找一般规律，经常先把复杂图形分解，从其中的特殊图形入手，先就个体观察特征，再扩展到一般，最后由整体总结规律，感受由特殊到一般的探究模式．学生体会进行数学活动的基本方法：提出问题→动手实践→寻求规律→归纳总结．学生在经历发现问题、独立思考、猜想验证的过程中，提高应用意识．三、教学问题诊断分析面对一个问题情景，要将它转化为一元二次方程进行解决，对学生而言都有一定的难度．四、教学过程设计问题1 图1是一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，他们的前n行点数和有什么规律？······师生活动：教师提出问题，学生观察思考：(1)前三行点数之和是多少？10是前几行的点数和？(2)300是前多少行的点数和？你可以通过什么方法得到？你对你的方法满意吗？可以用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，能发现1＋2＋3＋…＋24＝300，得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需要花费较多时间．(3)你还有什么方法解决这个问题？你是怎样想到的？设计意图：引导学生从观察入手，引发寻找公式解决相关问题的需要．问题2 观察图形，你能列出前n 行点数和的表达式吗？师生活动：学生思考、交流、回答，得出表达式为1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ，并进一步得到公式：1＋2＋3＋…＋n ＝2)(1n n ⨯+． 再求出点数和为300时的行数． 设计意图：利用公式1＋2＋3＋…＋n ＝2)(1n n ⨯+，把问题转化为用一元二次方程来解决，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力．问题3 如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n ，…，你能探究出前n 行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．设计意图：让学生在课后应用本节课所学习的方法和策略解决同类问题．。
初三数学一元二次方程教案(最新5篇)
初三数学一元二次方程教案(最新5篇)元二次方程篇一教学目标1. 了解整式方程和的概念；2. 知道的一般形式，会把化成一般形式。
3. 通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：的概念和它的一般形式。
难点：对的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1. 教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出的概念，介绍了的一般形式以及中各项的名称。
2）重点、难点分析理解的定义：是的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做。
如果且，它就是了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合的定义。
（2）条件是用“关于的”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是，解题时就会有不同的结果。
教学目的1.了解整式方程和的概念；2.知道的一般形式，会把化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1.的有关概念2.会把化成一般形式难点：的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程数学活动教学设计
-利用信息技术辅助教学，如使用多媒体演示解法过程，提高教学的直观性和趣味性。
4.教学评价：
-采用形成性评价，关注学生在学习过程中的表现，及时给予反馈和指导。
-设计综合性的评价任务，如开放性问题、项目式作业等，评估学生对知识的综合运用能力。
2.实践应用题：选取两道与生活实际相关的一元二次方程问题，要求学生运用所学知识进行解答。例如，计算抛物线运动中物体的高度、计算二次函数图像下的面积等。此类题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
3.提高拓展题：设计一道综合性的题目，要求学生运用一元二次方程的根与系数的关系，结合图形进行问题分析。此类题目旨在提高学生的数学思维能力和综合运用知识的能力。
-培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对一元二次方程的解法，让每个小组讨论一种方法，并总结出关键步骤和注意事项。
-各小组汇报讨论成果，其他小组进行评价和补充。
2.教学目标：
-培养学生合作交流的能力。
-让学生通过讨论，加深对一元二次方程解法的理解。
-对于公式法，可以结合历史背景，介绍公式背后的数学故事，激发学生的学习兴趣，并帮助他们记忆公式。
-针对学生将实际问题抽象为一元二次方程的难点，可以设计一系列实际问题解决工作坊，让学生在小组合作中逐步培养抽象思维能力。
3.教学策略：
-采用问题驱动的教学方法，鼓励学生在解决具体问题的过程中，自主探索和发现数学规律。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养他们的自我反思和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
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一元二次方程
一、教学目标：
知识技能：
1.理解一元二次方程的概念；
2.掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项；
3..理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性.
数学思考：在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.
问题解决：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移得到一元二次方程的概念.
情感态度：通过用数学知识解决实际问题的思想激发学生的学习热情和积极性.
二、教学重难点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题.
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学时间：两课时
三、教学过程：第一课时
洋葱小视频分享一、有关解方程的科学家的故事，激发学生学习方程的兴趣。
洋葱小视频分享二、一元二次方程的定义讲解，激发学生利用手中的工具提前预习，轻松学习知识。
（一）、知识回顾、教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识：
一元一次方程的知识：
1.一元一次方程中的“一元”是指__1个未知数__，“一次”是指__未知数的次数是1__，一元一次方程左右两边都是__整式__的形式.
2.一元一次方程的一般形式是__ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)__．若关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＝0是一元一次方程，则m＝____1____.
3.什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝__－3__．
（二）、【课堂引入】
问题1：有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程．
1.探究交流
观察[课堂引入]中所列的方程，分析以上两个方程是不是一元二次方程，它们与一元一次方程有什么区别与联系.
学生观察、思考、讨论、交流、汇报.
教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式；②一元；③二次.
引入课题(板书)：一元二次方程.
2.归纳定义
问题：根据找出的一元二次方程的特征，你能给一元二次方程下个定义吗？
教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称，类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
教师板书：整式；一元；二次.
（三）、新知探究运用
1、(试一试)抢答：下列各方程是不是一元二次方程：
①3x＋2＝5x－2；②2x2－2x＝0；③x2＝0；
④－＝0；⑤3y2＝(3y＋1)(y－2)；
⑥ax2＋bx＋c＝0；⑦3x2＝5x－1；
⑧(x＋3)(2x－4)＝0.
第二课时
教学过程：
一、简单回顾一元二次方程的定义及判断
二、新知探究：
（一）、一元二次方程的一般形式:
问题1：类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式，并说出各项的名称吗？师生共同小结(板书)：
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
(试一试)抢答：指出下列各方程的二次项、一次项和常数项.
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③＝0.
（二）、问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
概念：一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. (试一试)下列哪些数是方程x2＋x－12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
（三）、【应用举例】
例1将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
变式练习：将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
例2已知关于x的方程x2－2x＋k2＝0的一个根是1，那么k的值是________.
变式练习：已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为________.
（四）、【拓展提升】
例3已知关于x的方程(2a－4)x2－2x＋a＝0，在什么条件下，此方程为一元一次方程？在什么条件下，此方程为一元二次方程？
例4已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，求a的值.
例5求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
学生自主思考，教师做好指导，最后由个别学生进行课堂解答，教师给予评价和辅导．教师指出解答问题的易错点和方法应用．
三、【达标测评】
1.若方程mx2－2x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则( C )
A.m为任意实数B．m＝0
C.m≠0 D．m＝0或m＝1
2.下列方程中，不含一次项的是(D)
A.3x2－5＝2x B．16x＝x2
C.x(x－7)＝0 D．(x＋5)(x－5)＝0
3.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则a＋b＋c＝__0__；若a－b＋c＝0，则方程必有一根为__－1__.
4.一元二次方程2x2＝1－4x的二次项系数、一次项系数和常数项之和为__5__.
5.若关于x的方程(k－1)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求k的值.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
四、课堂总结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
五、【教学反思】
①[授课流程反思]
在问题导入环节中，出示的问题有难度，需要教师进一步讲解；在新知探究环节中，学生充分发挥主动性，总结新知能力较强；在能力训练环节中，学生完成较好，值得鼓励与表扬.
②[讲授效果反思]
对于一元二次方程的定义，教师必须强调：(1)把握一般形式；(2)二次项系数不为0；(3)分清各项系数.
③[师生互动反思]
从课堂过程和效果分析，学生能够充分交流、合作，对于问题思考和解答都有独立性，效果较好.。