4.2指数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第四章指数函数与对数函数

4.2指数函数

第1课时指数函数的概念

【课程标准】

1.了解指数函数的概念

2.区分两类指数函数，了解不同点。

3.掌握指数函数的性质

【知识要点归纳】

1.指数函数的定义

一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，

a x＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.

（2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.

②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.

③a x的系数必须为1.

④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x

＋1不是指数函数.

2.指数函数的图象和性质

指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

R 判断一个函数是指数函数的方法

(1)形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征. (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.

例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)

[跟踪训练] 1 （1）函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________.

（2）若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( )

A.(2)x

B.2x

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫22x

()()()()()()()2123231=________.

x x f x a a a f x a a a f =-=-例2.函数是指数函数，则的取值范围是________.

函数是指数函数,则

例3.已知指数函数的图像过点（2,81），求这个函数的解析式

指数函数图象问题

(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.

例2 (1) 函数f (x )＝a x ＋1－2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.

[跟踪训练] 2 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )

A.(－1,5)

B.(－1,4)

C.(0,4)

D.(4,0) (2)函数y ＝2|x |的图象是( )

【当堂检测】

一．选择题（共6小题）

1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )

A ．0a >且1a ≠

B ．0a 且1a ≠

C ．1

2

a >且1a ≠ D ．12

a

2．函数()2x f x =和函数1

()()2

x g x =的图象关于( )对称．

A ．原点

B ．y x =

C ．y 轴

D ．x 轴

3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

4．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．b c a >>

D ．c b a >>

5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=

B ．3x y -=

C ．4x y =

D ．32x y =

6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )

A ．2

B ．12

C ．4

D ．

14

二．填空题（共2小题）

7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 ．

8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = ．

当堂检测答案

一．选择题（共6小题）

1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )

A ．0a >且1a ≠

B ．0a 且1a ≠

C ．1

2

a >且1a ≠ D ．12

a

【分析】根据指数函数的定义，列出不等式组求出a 的取值范围． 【解答】解：函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，

则210211a a ->⎧⎨-≠⎩

，

解得1

2

a >

且1a ≠；

所以a 的取值范围是1

{|2

a a >

且1}a ≠． 故选：C ．

【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，是基础题． 2．函数()2x f x =和函数1

()()2

x g x =的图象关于( )对称．

A ．原点

B ．y x =

C ．y 轴

D ．x 轴

【分析】根据1

()2()()2x x f x g x --===，即可得到结论．

【解答】解：1

()2()()2

x x f x g x --===，