[作文素材]张丘建百钱买百鸡名人故事

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利用“百钱买百鸡”探讨穷举法

利用“百钱买百鸡”探讨穷举法山东省鱼台县第一中学范海涛2009年7月23日16:35 浏览：97 专家浏览：0 | 评论：10 专家评论：0利用“百钱买百鸡”探讨穷举法【课标要求】（1）了解穷举法的基本概念及用穷举法设计算法的基本过程。

（2）能够根据具体问题的要求，使用穷举法设计算法，编写程序求解问题。

【教材处理】由于这是学生首次接触用非解析法解题，如果要求学生很快掌握其基本过程并且能对算法进行优化，将是不现实的。

尤其是考虑到学生的信息技术基础参差不齐，可能差距较大，基础差的学生在可能不能接受太多的内容；而且，就算能“吸收”到全部内容，未必就能全部“消化”。

本节课选取来自《张邱建算经》的百钱买百鸡问题作为本次教学的主题。

这样既能提高学生学习的兴趣，又能使学生容易掌握知识，还可以培养学生的民族自豪感和通过建立数学模型和设计程序解决实际问题的习惯。

【学生情况分析】1、学生在本节课前学习高中信息技术新课程的《算法与程序设计》模块已经有一段时间了，学生对算法和程序设计有了一定的认识，但是在面对实际问题时如何设计算法并且用程序实现算法来解决问题上，尤其是对于无法用解析法解决或者是用解析法解决比较困难的问题如何设计算法还是没有什么思路；2、“百钱买百鸡”问题的数学模型是解不定方程，学生在初中的数学课上学过。

本次课在原有知识的基础上，通过对实际问题的分析找到合适的数学模型，使学生基本理解和掌握穷举法解题的思路；【教学目标】1、知识与技能（1）了解非解析法解题的基本思路；（2）理解和掌握穷举法解题的思路，2、过程与方法经历分析问题、建立数学模型、编写和调试程序，得到最终结果的过程，理解和掌握用穷举法解题的基本思路与过程；3、情感态度与价值观（1）通过主题任务的完成，激发民族自豪感和自身的成就感；（2）通过小组讨论与探究活动，提高团队合作能力，促进探究的热情；（3）通过结合学习生活的实际例子，进一步提高利用信息技术解决学习、生活问题的能力。

“百鸡问题”及其衍生问题

“百鸡问题”及其衍生问题作者：***来源：《中学数学杂志(初中版)》2021年第03期1 百鸡问题简介所谓百鸡问题，是指下面这道中国古代数学题：鸡翁一，值钱五;鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何？用现在的语言表述就是：公雞5元1只，母鸡3元1只，小鸡1元3只.用100元钱买100只鸡.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？百鸡问题是《张丘建算经》中的最后一题.张邱建，北魏清河（今河北邢台市清河县）人，是公元5世纪著名的大数学家.《张丘建算经》成书于公元466年到公元485年之间，现传本有92个问题.该书在最大公约数与最小公倍数的计算、不定方程的求解以及等差数列相关问题的求解等方面，具有独到的见解.百鸡问题是《张邱建算经》中的一个世界著名的不定方程问题.该书给出了这个问题的三组解：（1）公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;（2）公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;（3）公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.自张邱建以后，中国数学家对百鸡问题的研究从来没有间断过，百鸡问题几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了许多成就.百鸡问题不仅在中国几乎尽人皆知，而且在国外也有较大影响.2 百鸡问题的解法关于百鸡问题的解法，《张丘建算经》中只提到：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益（增加）三，即得.”但他并没有给出更具体的解法.现在我们通过解不定方程的方法来求出这个问题的解.3 与百鸡问题相关的一些问题在《张丘建算经》之后，出现了许多与百鸡问题相类似的问题，其中有些问题是后人自行编拟出来的，而有些问题却有明显的改变痕迹.现在我们挑选出其中的几例，与读者共同分享.1.“百人搬砖”问题（选自《趣味歌词古体算题选》，作者：潘有发，台湾九章出版社1995年出版）.百人搬百砖，男子一搬八，妇女一搬三，小孩三搬一.请问各几人，各搬几块砖？不准列方程，不准用比例，只许用心算，看谁算得快！参照百鸡问题的解法，运用不定方程当然可以求解这个问题，但题目要求我们“用心算”.根据已知条件我们可以进行如下分析：一个男人比一个女人多搬5块砖;三个女人比三个小孩多搬8块砖.因为人数和砖数都必须是正整数，所以，应该先从小孩算起，小孩的人数应该是3的倍数.假设小孩有90人（也可以设小孩有60人，75人，87人等，只要是3的倍数即可，然后再逐一否定），搬砖30块，那么剩下70块要由10人来搬.若这10人都是女人，则只能搬30块，此时剩下的40块砖无人搬.因为每个男人比每个女人多搬5块，所以，只要把其中的8个女人对换成男人，则剩下的40块砖恰好分给8个男人搬.所以，该问题的答案是：男人8人，每人搬8块砖，共搬砖64块;女人2人，每人搬3块砖，共搬砖6块;小孩90人，每3人搬1块砖，共搬砖30块.2.“千钱百鸡”问题（选自程大位原著，梅毂成编《增删算法统宗》）.今有千文买百鸡，五十雄价不差池，草鸡每个三十足，小者十文三个知.用现在的语言表述就是：现有1000元钱去买100只鸡，公鸡每只50元，母鸡每只30元，小鸡3只10元.问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只.这道题与百鸡问题没有本质区别，只是钱的总数与每种鸡的价钱都增加到原来的10倍.仿照百鸡问题，通过解不定方程可得三组解：公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只;公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只;公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.3.“百马百瓦”问题.一百匹马驮一百块瓦，大马驮三块瓦，小马驮两块瓦，两个马驹驮一块瓦.问大马、小马、马驹各几匹？五十多年前，笔者读小学时，先父就曾经给我出过这道题，但具体出处不太清楚.设大马x匹、小马y匹、马驹z匹，根据已知条件有方程组： x+y+z=100，3x+2y+12z=100.解这个不定方程可得下面6组解：4.“和尚几人”问题（选自程大位《算法统宗》）.一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁.“和尚几人”问题比百鸡问题少了一个条件，从而使得其解法也简单许多.通过求解一个一元二次方程，就可以很容易地求出答案来.程大位在《算法统宗》中曾经给出一个不用方程的漂亮解法.其解法如下：因为1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，所以，1个大和尚和3个小和尚共吃4个馒头.把1个大和尚和3个小和尚看成一组，100个和尚共分为25组.由于每组有1个大和尚和3个小和尚，因此25组有25个大和尚，75个小和尚.5.“百钱买百牛”问题.据传，清代嘉庆皇帝曾仿照“百鸡问题”编了一道“百牛问题”给大臣们做：有银百两，买牛百头，大牛一头十两，小牛一头五两，牛犊一头半两.问大牛、小牛和牛犊各买多少头？答案：买大牛1头，小牛9头，牛犊90头.6.“几人吃饭”问题.在马克思的《数学手稿》中有一个与百鸡问题类似的问题，就是下面这个“几人吃饭”问题：有30个人，其中有男人、女人和小孩，在一家小饭馆吃饭花了50先令.每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令.问男人、女人和小孩各多少人？仿照百鸡问题，通过解不定方程可得下面9组解：观察上面的“百鸡问题”“千钱百鸡问题”“百马百瓦问题”和“几人吃饭问题”的答案不难发现，在每一个问题的所有答案中，x的值所构成的数列是一个等差数列;同样，y的值所构成的数列和z值所构成的数列也都是一个等差数列.与百鸡问题相关的问题，当然不止上面所罗列的这些.要想进一步了解更多的问题，读者可以查阅相关的资料;如果有兴趣，也可以自行编拟一些与之相关的问题.不论是自行求解，还是在课余时间与朋友交流、探讨，都是一件很有意义的事情.参考文献[1]徐品方，徐伟.古算诗题探源[M].北京：科学出版社，2008.9作者简介司志本（1959—），男，河北兴隆人，教授.曾被授予河北省优秀教师，获国家曾宪梓教育基金会教师奖;有170余篇数学论文发表.。

百钱百鸡问题扩展

百钱百鸡问题及其扩展（陕西师范大学计算机科学学院10级计算机科学与技术）摘要：本文给出了一个百钱百鸡的问题，采用了贪婪法中的枚举法来解决这个问题，通过对比得出了较优的算法，并进一步的扩展了此问题，给出了最佳解决方案。

关键词：贪婪法；枚举法；扩展100 money and one hundred chicken problem and its extension( School of Computer Science ,Shaanxi Normal University ,level 10 computer science and Technology)Abstract: This paper presents 100 money and one hundred chicken problem, using the greedy method of enumeration method to solve this problem, by comparing the obtained optimal algorithm, and further extensions of this problem, and gives the best solution.Key words: greed method; enumeration; extension1、引言蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性，在解决问题时采用一种“懒惰”的策略。

比较常用的有枚举法、穷举搜索算法等。

对于百钱百鸡问题，我们可能会想到列出两个三元一次方程，去解这个不定解方程，就能找出问题的解，所以我们想到用枚举法来进行算法设计。

2、问题概述百钱百鸡问题。

中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何？3、求解该问题的具体算法:枚举法用枚举法解决问题，通常可以从两个方面进行算法设计。

数学家的故事：中国古代数学家张丘建

中国古代数学家张丘建的故事张丘建，北魏时清河（今河北临清市一带）人，生平不详，我国南北朝时期的著名数学家，有《张丘建算经》传世。

《张丘建算经》约成书于公元466—485年间，共三卷93题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。

其体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份宝贵的遗产。

后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书做了注释。

特别是唐代，经太史令李淳风注释整理，收入《算经十书》，成为当时算学馆先生的必读书目。

《算经十书》是《周髀算经》、《九章算术》《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏候阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《数术记贵》等十种。

《算经十书》至清代多已佚失。

乾隆初年（1736）以后，戴震致力整理古代算书，复从《永乐大典》中辑出，使后人得见古代数学面目。

张丘建一生从事数学研究，造诣很深。

最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就。

“百鸡术”是世界著名的不定方程问题。

13世纪意大利斐波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔•卡西《算术之钥》等著作中均出现有相同的问题。

张丘建在《算经》中较早提出了“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”这道题的意思是：“每只公鸡价值5元，母鸡价值3元，3只小鸡价值1元，用100元钱买100只鸡，问，公鸡、母鸡、小鸡各可以买多少只？”“百鸡问题长期以来被作为讲解不定方程的入门例子。

据传、张丘建小时候才思敏捷，聪慧过人，尤其是计算能力超群，被人誉为“神童“。

当时的数学家夏侯阳得知这个消息后，有意收张丘建为徒，但不知他是否真象传说中那样极具数学天赋，于是便找到了张丘建，当面出了道题来考他。

题目是这样的：有甲乙两个和尚为寺庙分头去化缘，半个月后他俩化到些银两回到寺庙。

此时若乙给甲10两银子，甲比乙所多的是乙余下的5倍；若甲给乙10两银子，那么二人的银两相等，问甲乙各化到多少银两？小丘建略加思考便有了主意，他说：“根据若甲给乙10两银子，那么二人的银两相等，可知，原来甲比乙多10+10=20两银子。

中国古代数学家张丘建的故事

中国古代数学家张丘建的故事张丘建，北魏时清河（今河北临清市一带）人，生平不详，我国南北朝时期的著名数学家，有《张丘建算经》传世。

《张丘建算经》约成书于公元466—485年间，共三卷93题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。

其体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份宝贵的遗产。

后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书做了注释。

特别是唐代，经太史令李淳风注释整理，收入《算经十书》，成为当时算学馆先生的必读书目。

《算经十书》至清代多已佚失。

乾隆初年（1736）以后，戴震致力整理古代算书，复从《永乐大典》中辑出，使后人得见古代数学面目。

张丘建一生从事数学研究，造诣很深。

最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就。

“百鸡术”是世界著名的不定方程问题。

13世纪意大利斐波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔•卡西《算术之钥》等著作中均出现有相同的问题。

张丘建在《算经》中较早提出了“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

据传、张丘建小时候才思敏捷，聪慧过人，尤其是计算能力超群，被人誉为“神童“。

当时的数学家夏侯阳得知这个消息后，有意收张丘建为徒，但不知他是否真象传说中那样极具数学天赋，于是便找到了张丘建，当面出了道题来考他。

题目是这样的：有甲乙两个和尚为寺庙分头去化缘，半个月后他俩化到些银两回到寺庙。

公务员考试备考：百鸡问题

百鸡问题华图教育杨亚莉《张丘建算经》提出了一个不定问题，即世界数学史上著名的百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只。

问鸡翁、母、雏各几何？”在古人看来，可能属于一个比较难的问题，但是在我们学过不定方程后这个问题变得非常简单。

这种题目在我们考试中经常出现，属于比较重要的考点。

不定方程常用的解法为代入法、奇偶特性、整除特性、尾数特性等方法。

我们以最新的真题为例：（江苏2017a-66）•玩具厂原来每日生产玩具560件，用A、B两种型号的纸箱装箱，正好装满24只A型纸箱和25只B型纸箱。

扩大生产规模后该玩具的日产量翻了一番，仍然用A、B两种型号的纸箱装箱，则每日需要纸箱的总数至少是（）A.70 只B.75 只C.77 只D.98 只解析：本题只告诉了箱子的多少并没有告诉每个箱子的容量，所以我们可以假设A型纸箱能装x个玩具，B型纸箱可装y个玩具，根据总个数，可以得出24x+25y=560，发现是一个不定方程，代入显然用不了，考虑因子法，25以及560均含有因子5,所以24x中必然含有因子5,可以选择的有5，10, 15等, 尝试，当x取5或10,均无整数解，所以考虑15,解得x=15，y=8，符合题意。

最后想要纸箱总数少，每个箱中玩具容量越大越好，560/15=74*，所以选B选项。

（江苏2017a-67）•某地遭受重大自然灾害后，A公司立即组织捐款救灾。

已知该公司有100名员工捐款，捐款额有300元、500元和2000元三种，捐款总额为36000元，则捐款500元的员工数是（）A.11 人B.12 人C.13 人D.14 人解析：本题已知面额，但却不知道各自的人数，可以设未知数，给大家一个小技巧，尽量设面值比较大的人数，即2000元的有x人，500元的有y人，300元的有100-x-y人，根据总钱数可得2000x+500y+300 （100-x-y）=36000 ,整理为17x+2y=60 ,此时不用想其他的方法，能代入的时候直接代入是最简洁的方法，我们采取居中代入，优先选择C选项代入，x有整数解2，所以符合题意，本题选择C选项。

百钱百鸡问题

个未知数，设公鸡、母鸡、小鸡的数量分别为x、y、z则有： x+y+z=100 5x+3y+z/3=100
Hale Waihona Puke 求解问题算法一
设一百只鸡中公鸡、母鸡、小鸡分别为x，y，z，问题化为三元一次方程组：这里x,y,z为正整数，由于鸡和钱的总数都是100，可以确定x,y,z的取值范围： x的取值范围为1～20 y的取值范围为1～33 z的取值范围为3～99 对于这个问题我们可以用穷举的方法，遍历x,y,z 的所有可能组合，最后得到问题的解。
算法四

《百钱百鸡》求解的是符合两个条件的三种鸡的数量，是用两个方程求解三个未知数的问题。
x+y+z=100 5x+3y+z/3=100 当我们把公鸡数X当成已知数：则根据方程可解出母鸡、小鸡数： Y=25-7*x/4 Z=75+3*x/4
这样算法四只用一重循环来确定公鸡的数量，母鸡和小鸡的数量由方程来计算。但要注意鸡的数量不可为负数和小数，要加以判断。
算法二

当公鸡与母鸡的数目确定了，小鸡的数目可用总数 100减去公鸡与小鸡的数、于是三重循环可变为二重循环。
Dim x, y, z As Integer For x = 0 To 20 For y = 0 To 33 z = 100 - x - y If (x * 5 + y * 3 + z / 3 = 100) Then Print ; "公鸡数"; x, Print ; "母鸡数"; y, Print ; "小鸡数"; z, Print End If Next y Next x

百钱百鸡问题

百鸡问题
公元5世纪末，我国古代数学家张丘建在他所撰写的《算经》中，提出了这样的一个问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”意思是公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只。

用100元100只鸡，求公鸡、母鸡、小鸡各买几只。

假设a 为公鸡只数，b 为母鸡只数，c 为小鸡只数，如果把问题转化为n 元钱买n 只鸡，针对上述问题n =100，根据题意可得出下面的约束方程:
53/3%30
a b c n
a b c n c ++=++==
用穷举法实现如下所示：
图4.3 穷举法求解百鸡问题
这个算法有三重循环，枚举公鸡数量的外循环，枚举母鸡数量的中间循环以及枚举小鸡数量的内循环，主要执行时间取决于内循环的循环体的执行次数，需要执行(n+1)3次，当n=100时，内循环需要执行大于100万次。

考虑到n元钱只能买到n/5只公鸡或n/3只母鸡，因此有些组合可以不必考虑，而小鸡的数目又取决于公鸡和母鸡的只数，上述的内循环可以省去。

图4.3 改进算法求解百鸡问题
改进算法只有两层循环，枚举公鸡数量的外循环和枚举母鸡数量的内循环，内循环的执行次数为(n/5+1) (n/3+1)。

当n=100时，内循环执行21*34=714次，这和穷举算法的100万次相比，仅为原来的万分之七，有重大改进。

百鸡问题

百鸡问题我国北魏时期有一位小孩名叫张邱建，他从小聪明伶俐尤其擅长计算，在当地名气很大。

县令听说后就决定考一考他。

于是县令交给他一百文，要买张邱建家的一百只鸡，而且要求钱数必须正好。

当时鸡的价格如下：公鸡每只五文，母鸡每只三问，小鸡三只一文。

张邱建很快就算出结果。

县令有交给他一百文，让他再买来一百只鸡，不能与上次相同，张邱建很快就算好了，一连三次，张邱建拿来的鸡正好都是一百只，钱数也正好是一百文。

县令连连称奇，赞不绝口。

我们试着算一下这个问题。

假设公鸡x 只，母鸡y 只，小鸡z 只。

那么根据县令的要求我们可以列出如下两个方程： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1003z 3y 5x 100z y x 该问题中有三个未知数，有两个方程，我们把它称为不定式方程。

在解的时候可以用其中一个未知数，表达另外两个未知数，再结合条件限制，就可以确定方程的解。

我们把z 看成常量。

则可知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=z y z 3720010034x 因为x,y 分别代表的是公鸡母鸡只数，所以x,y 是大于0的自然数。

所以z 34，z 37是整数因此，z 必须是3的倍数。

又因为x,y 大于零。

因为x 大于0，所以100z 34-大于零，因此在z>754300=。

因为y 大于0，所以z 37200—大于零，因此z<75857600=。

因为76到85之间的3的倍数有78，81，84因此z 只能取78，81，84这三个数。

当z=78时，x=4100-7834=⨯；y=187837200=⨯—。

当z=81时 x=8100-8134=⨯；y=118137200=⨯—。

当z=84时 x=12100-8434=⨯；y=48437200=⨯— 所以满足条件的解有三组，即公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

百钱买百鸡实验报告

一、题目描述我国古代数学家张丘建在《算经》一书中曾提出过著名的“百钱买百鸡”问题，该问题叙述如下：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？翻译过来，意思是公鸡一个五块钱，母鸡一个三块钱，小鸡三个一块钱，现在要用一百块钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？二、解题思路对n=100的情况，因为有三个变量，则有三重循环和二重循环两种算法1、算法一：三重循环（1）变量变化范围的确定：由于公鸡5钱一只，则100钱最多可购买100/5=20只公鸡，此即为第一个变量的变化上限；由于母鸡3钱一只，则100钱最多可购买100/3≈33只母鸡，此即为第二个变量的变化上限；由于小鸡三只一钱，而所有鸡的总数不得超过100只，则100即为第三个变量的变化上限；（2）条件的控制:由百钱买百鸡可知，鸡的数量为100只，买鸡所用的钱数为100钱，即控制条件为a+b+c=100且a*5+b*3+c/3=100;2、二重循环：（1）变量变化范围的确定：由于整题共有3个变量，所以当前两个变量确定后，第三个变量自然被确定下来，故可采用二重循环解题。

前两个变量的确定同三重循环，第三个变量则用c=n-a-b来确定；（2）条件的控制:由百钱买百鸡可知，鸡的数量为100只，买鸡所用的钱数为100钱，即控制条件为a+b+c=100且a*5+b*3+c/3=100;由于需要讨论算法的时间性能，在程序中加入时间函数计算程序运行所需的时间进行比较。

用控制变量的方法，对两种算法中的n进行同样的变化处理，来讨论两种算法的时间性能，e.g.分别令n=100,n=200,n=500,n=1000,n=2000,n=5000三、自我评估、反思由于较长时间未使用C语言编程，所以在使用语法上略显生疏了些，通过这次作业的实践过程，对C语言的编程语法规则熟悉了许多，虽然在运行过程中出现了一些错误，但也都能够较快地解决，第一次的数据结构实验作业总体完成的还算比较顺利。

人物哲理故事-07

人物哲理故事-07张邱建巧解百鸡在我国数学史上，流传着一则有趣的“神童解百鸡”的故事。

故事中的“神童”，就是我国南北朝时期著名的数学家张邱建。

张邱建出生于一个养鸡世家。

八、九岁的时候，父亲就经常带他上城里去卖鸡，小邱建的任务是在一旁帮助父亲算帐收钱。

看，上百只鸡，有公鸡、母鸡、大鸡、小鸡，价格不一，买的数量各异，但小邱建只要眼睛一转，就能口算得分厘不差。

在一旁买鸡的人们看到后，既惊讶又佩服，纷纷称赞小邱建为“神童”。

这样，一传十，十传百，小邱建那“神童”的美称便传遍了附近乡里，广为人知。

有一天，“神童”的故事传到了当地县官那里，这个县官是一个十分爱才的人，他想，我们县里如果有这等聪明之人，何不对他进行良好教育，日后必定成为栋梁之材。

于是，他决定亲自去试一试，看看人们所传颂的“神童”是不是真的那么“神”。

当天，县官派人把小邱建的父亲请来，交给他一百文钱，让他送一百只鸡来。

当时的鸡价是：公鸡每只五文钱，母鸡每只三文钱，小鸡三只一文钱。

小邱建的父亲走在路上便开始盘算起来这鸡到底该怎么分配，但是绞尽脑汁算来算去也算不清这百鸡帐。

谁知一回家对小邱建一说，小邱建转了转眼珠，然后就对父亲说：“这有什么难的？明天给县官送去4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡就行了。

”第二天，张邱建的父亲将鸡如数送给县官。

县官一点查，鸡的品种、数量与钱数符合，不禁暗暗叫绝。

他想再考考神童，于是再给邱建的父亲一百文钱，让他仍买一百只鸡来，但三种鸡数不能与这次相同。

父亲很担心，心想：还能算出新的鸡数吗？不料回家后，小邱建又很快算好了：8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡。

他父亲一算，加起来正好是一百只鸡合一百文钱。

这一次，父亲带上小邱建一同去送鸡。

县官点过鸡数，连声赞好，又拿出一百文钱，仍让邱建的父亲再送品种不同的一百只鸡。

父亲听后，愣了，这不是故意为难人吗？正想分辩推脱时，站在一旁的小邱建见状，说道：“爹，我们送12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡不就行了！”县官一听，忙问邱建的父亲：“这就是令郎？”他父亲回答道：“正是小儿张邱建。

一个古代数学问题的思考

一个古代数学问题的思考——百鸡术的历史研究近年来对中国数学史研究的不断深入，中算家的不定分析研究出现了若干争鸣问题．百鸡术为其中之一。

重新审视百鸡术及中算家的不定分析，不仅有助干清晰地理解一个数学问题和方法的历史发展过程，更有益于进一步思考中国古代算学独特的理论根源。

1零散算题——张丘建和甄鸾的百鸡题百鸡问题最早出现在《张丘建算经》(5世纪)卷下最后一题：有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一。

凡百钱买鸡百只。

问鸡翁、母、雏各几何?书中给出了此题的三组答案．也是其所有自然数解。

即：鸡翁四只、鸡母十八只、鸡雏七十八只，鸡翁八只、鸡母十一只，鸡雏八十一只，鸡翁十二只．鸡母四只、鸡雏八十四只。

至于解法，术文十分简略：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三。

即得。

这道题的题目和答案都是完整的，而解法是被省略的，张丘建认为它是不需要详细说明的。

这暗示了这样一个事实，即张丘建认为这道题的详细解法是储备于读者的知识背景之中的一一即是显然的．也必然是初级的．并且是不完整的。

正由于此。

导致后世的对于百鸡类问题产生了极大的困惑。

甄鸾，在《数术记遗》“计数”条目下，记载了另外两问的百鸡问题：或问曰：今有翁一只直五文，鸡母一只直四文，鸡儿一文得四只。

今有钱一百文，买鸡大小一百只。

问各几何?”答曰：“鸡翁十五只，鸡母一只。

鸡儿八十四只，合大小一百只。

”计数多少略举其例。

或问曰：今有鸡翁一只直四文，鸡母一只直三文，鸡儿三只直一文。

今有钱一百文，还买鸡大小一百只。

问各几何?”答曰：鸡翁八只，鸡母十四只，鸡儿七十八只，合一百只。

”关于计数”．甄鸾解释就是“即舍数术．宜从心计。

”可见甄鸾不认为此类问题有什么通法可言。

甄鸾的两道百鸡问题，第一道给出了它的唯一一组自然数解，第二道给出了该道题全部两组自然数解中的一组。

大概因为甄鸾并不关心此类问题是否是一个多解问题。

《数术记遗》的两道百鸡题既没有解法，答案也不完整。

正是从甄鸾开始，中算家不识张丘建百鸡原术。

智慧之光：陈景润解“百鸡问题”

智慧之光：陈景润解“百鸡问题”开场故事：百鸡问题在我国南北朝时期，北方出了一个神童，叫张丘建，他的计算能力超群，远近闻名。

一个官老爷想考考张丘建，就把张丘建的父亲叫去，命令他拿100文钱，去买100只鸡来。

当时的鸡的价钱是公鸡五文钱一只，母鸡三文钱一只，小鸡一文钱可买三只。

父亲知道这是官老爷有意出的难题，可他左思右想，就是想不出一个办法来，急得像热锅上的蚂蚁，唉声叹气，愁眉苦脸。

张丘建知道了，认真地思索一会儿，就叫父亲买4只公鸡，18只母鸡和78只小鸡送去。

父亲一算，果然正好，百钱百鸡！于是，他买好了鸡，高高兴兴送到了官府。

不料官老爷又出新招：仍给他100文钱，要他再买100只鸡。

不过，这回公鸡多少不限，就是不准买4只！这下父亲又犯了愁。

好在儿子又想出了办法：买8只公鸡，11只母鸡和81只小鸡，仍然是百钱百鸡。

父亲又高高兴兴地将鸡送去，心想，这一回总该了结了！官老爷清点了鸡数，又计算了一下钱数，果然又是正好！他高兴得哈哈大笑。

：“真聪明！会办事！再给你100文钱，再给我去买100只鸡。

只是公鸡，母鸡和小鸡的数目不能和前两次相同。

”父亲真是哭笑不得，只得又垂头丧气地回家，将情况一五一十地告诉了儿子。

这次仍然没有难倒张丘建，他告诉父亲：只要买12只公鸡，4只母鸡和84只小鸡就可以了！这就是历史上有名的“百钱百鸡”问题。

它的解题奥妙是：4只公鸡钱+3只小鸡钱=7只母鸡钱=21文，因此，若少买7只母鸡，余下的钱就可以买4只公鸡和3只小鸡。

这样，百鸡仍是百鸡，百钱仍是百钱。

所以，只要求出一个答案，不管对方怎样要求，只要按上面的等式调整鸡的只数就可以求出其他的答案了。

陈景润的解法陈景润(1933～1996)是我国著名数学家，他在数论的重要经典问题——哥德巴赫猜想的研究上取得了举世瞩目的成果。

他证明了“陈氏(1+2)定理”，即《大偶数可表为一个素数与一个不超过两个素数乘积之和》，被世界上公认为是筛法的“光辉顶峰”。

拆分鸡母平衡翁雏

誊
蛰
≤ ５３
鍪
溪鹈蠹巍
４＋１８＋７＝ｌ０（），５８０只 ×４－３Ｉ ×１－８＋７８÷３２Ｉ４－２＝ｌ０＝０－５Ｉ６－－０
（）元。可以简单记作（，１，７。４８）８依此类推，按照 “ 鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每增三 ”
此可以拆分鸡母的只数（５），调配给鸡翁和鸡雏（持总只数２保
ｌ０变），而且使鸡母调配成鸡翁增加的钱数和鸡母调整成鸡雏不０减少的钱数保持平衡，也就是保持总钱数１０元不变。这样，由于０把１只鸡母调成鸡翁钱数就增｝ —３２，３ｍ５＝元Ｒ鸡母调成鸡雏钱数
就可以得到三组答案，即（，ｌ，７４８８），（，１，８８１１）和
（，，４）ｏ１４８２
《负数单元检测题》参考答案
２１
一
ｃｊ
、
１８，３６＋９，～；一９，一．，一０８．，１８２２１．１，一
只鸡雏分成一组，即每组４，这样一共可以分成１０＝５。只 ÷４２组０所以，鸡母有２只，鸡雏有２ ×３７只，验算：５＋３５Ｉ５５５＝５ ×０ ×２－７－ ÷３０５５１０（）＝＋７＋２＝元。可以简单记作（，２，７）。０Ｏ５５但是，实际上是应该有一些鸡翁的，这说明上面一组答案并不合理，需要调整一下。由于鸡翁贵、鸡雏便宜、鸡母居中，因

张邱建与百鸡问题

张邱建与百鸡问题
作者：陈振良
来源：《初中生(二年级)》2006年第03期
张邱建是我国古代著名的数学家.他一生解决了不少数学难题,写下了许多数学著作,为传播数学文化作出了很大贡献.张邱建从小勤奋好学,非常喜欢读书,特别是像《九章算术》这样的数学书,他从中学到了不少数学知识.邻居遇到计算问题或者买卖发生纠纷时都找他解决,大家称他“张神童”.
有一次,宰相家要买100只鸡,且只给了卖鸡的张老伯100文钱.张老伯顿时犯愁了,因为当时的鸡价是公鸡每只5文钱,母鸡每只3文钱,小鸡每3只1文钱,他不知如何选鸡,便去请教张邱建.张邱建稍作思考,让张老伯送去4只公鸡､18只母鸡､78只小鸡.宰相一看,正好100文钱买100只鸡.宰相听说是小神童张邱建帮忙拿的主意后,高兴极了,又给了张老伯100文钱,让他再送100只鸡.张邱建这次叫张老伯将8只公鸡､11只母鸡､81只小鸡送给宰相.
这使得宰相赞叹不已.他又给了张老伯100文钱,让他仍按要求送鸡.张老伯回去与张邱建再次商量,张邱建告诉老伯按12只公鸡､4只母鸡､84只小鸡配数.宰相把鸡数与鸡价一算,也正好百鸡百钱.
张邱建的聪明才智使宰相佩服得不得了,马上派人把张邱建请来,加以培养.几年以后,张邱建研究数学问题,取得了不少成果,并且写了很多文章.“百鸡百钱”就是他所写的《张邱建算经》中的—个不定方程问题.
张邱建是怎样利用不定方程来解答这个问题的呢?
设张老伯需配公鸡x只､母鸡y只,则小鸡为(100-x-y)只. 依题意,可列方程。

中国古代数学家张丘建的故事

中国古代数学家张丘建的故事中国古代数学家张丘建的故事张丘建，北魏时清河（今河北临清市一带）人，生平不详，我国南北朝时期的著名数学家，有《张丘建算经》传世。

《张丘建算经》约成书于公元466—485年间，共三卷93题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。

其体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份宝贵的遗产。

后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书做了注释。

特别是唐代，经太史令李淳风注释整理，收入《算经十书》，成为当时算学馆先生的必读书目。

《算经十书》至清代多已佚失。

乾隆初年（1736）以后，戴震致力整理古代算书，复从《永乐大典》中辑出，使后人得见古代数学面目。

张丘建一生从事数学研究，造诣很深。

最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就。

“百鸡术”是世界著名的不定方程问题。

13世纪意大利斐波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔•卡西《算术之钥》等著作中均出现有相同的问题。

张丘建在《算经》中较早提出了“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

据传、张丘建小时候才思敏捷，聪慧过人，尤其是计算能力超群，被人誉为“神童“。

当时的数学家夏侯阳得知这个消息后，有意收张丘建为徒，但不知他是否真象传说中那样极具数学天赋，于是便找到了张丘建，当面出了道题来考他。

题目是这样的：有甲乙两个和尚为寺庙分头去化缘，半个月后他俩化到些银两回到寺庙。