高三数学高考导数专题1：切线问题

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专题1:切线问题

1．若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1

(ln ,)2e

+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞

1．A

【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，

，则切线方程为111

1

ln ()-=

-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为2

2222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，

所以有21

2

121

2(1){ln 1x x x x a =+-=-+，

．

∵210x x <<，∴1

1

02x <<．

又2

2

11111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，令11t x =，∴

21

02ln 4

t a t t t ，<<=--．

设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3

()1022t h t t t t

--=--'=

<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln

2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫

∈+∞ ⎪⎝⎭

，，故选A ． 2．已知直线2y x =与曲线()()ln f x ax b =+相切，则ab 的最大值为（ ） A ．4

e B ．2

e

C ．e

D ．2e

2．C

【解析】设切点()()00,ln x ax b +，则由()00

2a f x ax b '==+得

()01

02

ax b a a +=

>，

又由()00ln 2ax b x +=，得()001

1ln ln 222a x ax b =+=，则0ln 2222

a a a a

b ax =-=-， 有()2211ln 0222a ab a a a =

->，令()2211ln 222a g a a a =-，则()1ln 2

2a g a a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，

故当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<，故当a =()g a 取

得极大值也即最大值(g e =. 故选：C.

3．已知P 是曲线1C ：x y e =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln x

y x

=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A ．ln 2

12

- B ．ln 2

12

+

C ．2 D

3．D

【解析】（1）曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+.

下面证明e 1x x ≥+恒成立：

构造函数()e 1x f x x =--，求导得()e 1x f x '=-，则(),0x ∈-∞时，0f x

，

()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0f

x

，()f x 单调递增.

故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，有1C 为下凸曲线 （2）曲线2C ：ln x y x =，求导得21ln x

y x

-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B

故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1x

x x

-≥

在0,上恒成立：

令()2

ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x

+---'=--==，

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当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，

所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1x

x x

-≥

在0,上恒成立，有2C 为上凸曲线

（3）由1C 在()0,1A 处切线1y x =+与2C 在B ()1,0处的切线1y x =-，知：它们相互平行

又直线AB 的斜率k = -1，即可知：直线AB 与两条切线同时垂直 ∴综上，知：PQ 最小时，A 即为P 点，B 即为Q 点，故min ||||PQ AB = ∴min ||PQ =

AB ==故选：D

4．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．

[

] B ．[﹣1，1] C ．（﹣∞，1] D ．

[1]

4．A

【解析】2sin y a x '=-，要使曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，

只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即1

max min

y y -''，

显然0mn y '<， 故只需()()1min max

y y '⨯'-，

因为2sin y a x '=-最小值为20a -<，最大值为20a +>， 所以(2)(2)1a a -+-，即23a ，

解得33a

．

故选：A ．