浙江省嘉兴一中2021-2022学年高三第三次测评数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．
760
B ．
16
C ．
1360
D ．
14
2．已知函数e 1()e 1
x x f x -=+，()
0.32a f =，()
0.3
0.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
3．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭
4．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）
A ．
6481
B ．
3227
C ．
89
D ．
1627
5．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭
，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ）
A ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．已知集合2
{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈
B ．{1,1}M =-
C ．M ∅⊆
D ．M N ⊆
7．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（ ） A ．1213
-
B ．
1213
C ．613
-
D ．
613
8．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β
D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥
9．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，
且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端
点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB
=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭
圆的离心率为（ ） A ．
2
3
B ．
33
C ．
22
D ．
32
10．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
11．若两个非零向量a 、b 满足()()
0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．
35
B ．35
±
C ．
12
D ．12
±
12．把函数2
()sin f x x =的图象向右平移12
π
个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题
①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12
x π
=
③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝
⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________．
14．函数2
2
()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.
15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为________．
16．正四面体A BCD -的各个点在平面M 同侧，各点到平面M 的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足
12112
n
n n
c c c b a a a ++++
=,求数列{}n c 的前2020项的和． 18．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，125AC AB ==，且160BCC ∠=︒.
（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；
（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值.
19．（12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且25a =，654235S S S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若满足不等式()
1
2
10n
n n S λ-⋅
+-<的正整数n 恰有3个，求正实数λ的取值范围．
20．（12分）已知函数22()1e x f x ax ax =++-.
（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围.
21．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下22⨯列联表（单位：人）
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为A 市使用信用卡情况与年龄有关？
（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；
②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为X ，求随机变量X 的分布列、数学期望和方差．
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
参考数据：
)20k
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2
2
31x y -+=，椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的
右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N .当12
7
AN AM =
时，求直线l 的方程. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有6
6A 种，进而得到结果. 【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种情况，由间接法得到满足条件
的情况有5123
5423A C A A -
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种，
由间接法得到满足条件的情况有5123
5323A C A A -
共有：51235123
53235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，
故满足条件的事件的概率为：51235123532354236
613
60
A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解
排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 2、B 【解析】
可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.
【详解】
12()111
e e x x x
f x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力. 3、A 【解析】
根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】
由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2
3
2
3111P X p p p p ==-+-=-，则
()()()()()()2
1232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3 解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫
⎪⎝⎭
，
答案选A 【点睛】
本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 4、B 【解析】
根据循环语句，输入1x =，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】
输入1x =，由题意执行循环结构程序框图，可得： 第1次循环：2
3
x =
，24i =<，不满足判断条件；
第2次循环：8
9x =，34i =<，不满足判断条件； 第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果32
27
x =
. 故选：B 【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础. 5、C 【解析】
求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】 由
101x
x
+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3
y x =是增函数，sin y x =是增函数，12
ln
ln(1)11x y x x
+==-+--是增函数，∴3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得1
12
a <<． 故选：C. 【点睛】
本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解． 6、D 【解析】
集合{}2
{|1
}1,1M x x ===-．N 为自然数集，由此能求出结果． 【详解】
解：集合{}2
{|1
}1,1M x x ===-．N 为自然数集， 在A 中，1M ∈，正确； 在B 中，{}1,1M =-，正确； 在C 中，M ∅⊆，正确；
在D 中，M 不是N 的子集，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、A 【解析】
根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛
⎫+=- ⎪
+⎝
⎭，即可求解. 【详解】
a b ⊥，23sin 2cos 0,tan 3
a b x x x ⋅=-=∴=
222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛
⎫∴+=-=- ⎪+⎝
⎭
2
2tan 12tan 113
x x =-
=-+. 故选:A. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 8、D 【解析】
根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】
对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；
对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误；
对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；
对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.
9、D 【解析】
求得定点M 的轨迹方程2
22
51639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】
设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足
MA MB
=2，
==2，化简得222
516(x )y 39
a a -+=
. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，
∴
141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，
=． 故选D ． 【点睛】
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 10、D 【解析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题. 11、A
设平面向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件得出a b =，在等式2a b a b +=-两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求. 【详解】
设平面向量a 与b 的夹角为θ，
()()22
2
20a b a b a
b a b +⋅-=-=-=，可得a b =，
在等式2a b a b +=-两边平方得2
2
2
2
2484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，化简得3cos 5
θ=. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 12、C 【解析】
由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=-
-+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝⎭
可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】
由题,2
1cos 2()sin 2
x f x x -==
, 则向右平移12
π
个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛
⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝
⎭ cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；
当12
x π
=
时,206
x π
-
=,所以12
x π
=
是函数()g x 的一条对称轴,②正确；
当3x π
=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
,③正确；
()sin 2[1,1]6g x x π⎛
⎫'=-∈- ⎪⎝
⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和
2x x =处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个.
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1- 【解析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()
1,3C ， 则：()2,0AB =，()
1,3BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC =，
据此可知AB 在BC 方向上的投影为
2
12
AB BC AB
⋅-=
=-.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14、26,83k ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
【解析】
对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【详解】
由题：函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，
2
2
10
,(0,1]1982,(1,3)
x x x x
k x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩
，
等价于函数()10
,(0,1],82,(1,3)x x
y k g x x x x ⎧∈⎪⎪=-=⎨⎪+∈⎪⎩
恰有两个公共点，
作出大致图象：
要有两个交点，即268,
3k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
， 所以26,83k ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭
. 故答案为：26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
【点睛】
此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解. 15、[1,3]- 【解析】
由题意求出以线段AB 为直径的圆E 的方程，且点D 恒在圆E 外，即圆E 上存在点,P Q ，使得DP DQ ⊥，则当,DP DQ 与圆E 相切时，此时''2
P DQ π
∠≥，由此列出不等式，即可求解。

【详解】
由题意可得，直线AB 的方程为1x y =+，联立方程组21
4x y y x
=+⎧⎨=⎩，可得2440y y --=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y +=，124y y =-， 设(),E E E x y ，则12
22
E y y y +=
=，13E E x y =+=， 又121221128AB x x y y =++=++++=，
所以圆E 是以()3,2为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．
圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，即圆E 上存在点,P Q ，使得DP DQ ⊥，设过D 点的两直线分别切圆E 于','P Q 点， 要满足题意，则''2
P DQ π
∠≥
，所以
'
2EP DE
=
≥
，
整理得2430t
t --≤
，解得22t -≤≤
+，
故实数t
的取值范围为22⎡-⎣
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E 的方程，把圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，转化为圆E 上存在点,P Q ，使得DP DQ
⊥是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

16 【解析】
不妨设点A ，D ，C ，B 到面的距离分别为1，2，3，4，平面M 向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D ，与AB ，AC 分别相交于点E ，F ，根据题意F 为中点，E 为AB 的三等分点（靠近点A ），设棱长为
a ，
求得
23
13D AEF V -==，再用余弦定理求得：,EF DE ,cos DF
EDF ∠
，从而求得
211sin 223212
EDF
S
DE DF EDF a a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=，再根据顶点A 到面EDF
的距离为1
，得到22
1
1113
31236
A EDF EDF
V S
a a -=⨯⨯=⨯⨯=，然后利用等体积法D AEF A DEF V V --=求解， 【详解】
平面M 向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D ，与AB ，AC 分别相交于点E ，F ，如图所示：
由题意得：F 为中点，E 为AB 的三等分点（靠近点A ）， 设棱长为a ， 2
13sin 6022324
AEF
a a S
=⨯⨯⨯=， 顶点D 到面ABC 的距离为2
236
3d a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
所以23
1362372
D AEF V a a -=
=， 由余弦定理得：2
222222*********
2cos60,2cos60,492336939
EF a a a a a DE a a a a a =
+-⨯⨯⨯==+-⨯⨯⨯= 2222
22
21132cos 60,cos 424221
DE DF EF DF a a a a a EDF DE DF +-=+-⨯⨯⨯=∠==⋅⋅，
所以5
sin 21
EDF ∠=
，所以2117355sin 2221EDF
S DE DF EDF =⨯⨯⨯∠==， 又顶点A 到面EDF 的距离为1， 所以22
1
155********
A EDF EDF
V S a a -=
⨯⨯=⨯⨯=， 因为D AEF A DEF V V --=，
所以
32
257236
a a =， 解得10a =，
【点睛】
本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2n a n =，2n
n b =； （2）2022201928⨯+.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】
(1)依题意得: 2324b b b =，
所以2
111(6)(2)(14)a a a +=++ ，
所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=
设等比数列{}n b 的公比为q ，所以34228
2,4
b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b == 因为
1112
1212n n n n n
c c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,
112
121
2n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，
2n n
n
c a =，即12n n c n +=⋅， 又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，
1
8,12,2
n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩ . 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯
2202020222(12)2020212
-=-⨯-2022420192=--⨯ ，
所以20222020201924T =⨯+， 所以2020S =202220204201928T +=⨯+. 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
18、（1）证明见解析；（2）4
. 【解析】
（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；
（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C
⋅=计
算即可. 【详解】
（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==， 所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =， 所以1B ABC A B ≌.
所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥. 又1BC BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B .
又AB
平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .
（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=， 则1BCC 为正三角形，
取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.
以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系B xyz -，则
()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A ，()23,2,0C -，()
123,2,0C .
设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =， 且()
23,2,2AC =--，()10,4,0CC =.
由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得23220,40,
x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取(1,0,3n =. 由四边形11BCC B 为菱形，得11BC B C ⊥； 又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥； 又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ， 所以平面1ABC 的法向量为()
1=23,6,0B C -. 所以111231
cos ,4
432n B C n B C n B C
⋅=
=
=⨯.
故15sin θ=. 【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.
[)
【解析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）求出n S ，可得出
()(
)
()
12n
n
n n λ-⋅+<
，可知当n 为奇数时不等式不成立，只考虑n 为偶数的情况，利用数列单
调性的定义判断数列{}n b 中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数λ的取值范围． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
则211
115
655443652435222a a d a d a d a d =+=⎧⎪
⨯⨯⨯⎨⎛
⎫+++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩
，整理得11531335a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得13a =，2d =，因此，()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+； （2）
()()
12
32122
2
n n n a a n n S n n +++=
=
=+，
满足不等式()1
10n
n n S λ-⋅
+-<的正整数n 恰有3个，得
()()
()
12n
n
n n λ-⋅+<
，
由于0λ>，若n 为奇数，则不等式()()
()
12n
n
n n λ-⋅+<
不可能成立.
只考虑n 为偶数的情况，令()()
()
21n
n
n
n n b ⋅⋅+-=
，
则()()22
222122k k
k k k k k b -++=
=
，()()221
122k k k k b +-++=
．
()()()()()2221
1
1
122112222k k k k k k k k k k k b b +---++++-∴-=
-=.
当1k =时，420b b ->，则24b b <； 当2k =时，0b b -=，则b b =；
当3k ≥时，2220k k b b +-<，则6810b b b >>>.
所以，246810b b b b b <=>>>
，
又24b =，466b b ==，85b =，1015
4
b =，45λ∴≤<. 因此，实数λ的取值范围是[)4,5. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞ 【解析】
（1）由于函数2()()22e x
g x x ax f a ==+-'，得出(
)2()22e
x
g x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，()g x '的正
负，进而得出()g x 的单调性；
（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝
⎭，令()0f x '=，得22e 21x a x =
+，设22()21x e
h x x =+，通过导函数()h x '，可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒
成立，即可求出a 的取值范围. 【详解】
解：（1）因为2()()22e x
g x x ax f a ==+-'， 所以()22()24e
22e x
x g x a a '=-=--，
①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <
；令()0g x '<，则1ln 22
a
x >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减.
综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减； 当0a >时，()g x 在1,
ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减. （2）因为22()1e x
f x ax ax =++-，可知(0)0f =，
2()22e x f x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x x
a x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭， 令()0f x '=，得22e 21
x a x =+. 设22()21
x
e h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，
所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221
x
e x >+. 当2a ≤时，()0
f x '=没有实根，且()0f x '<，
()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.
当2a >时，(0)2h a =<， 所以22e ()21
x
h x a x ==+有唯一实根0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意.
综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.
21、（1）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为A 市使用信用卡情况与年龄有关；（2）①23
；②分布列见解析，6()5E X =，18()25
D X = 【解析】
(1)计算2K 再对照表格分析即可.
(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有3人,偶尔或不用信用卡的有7人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.
②利用二项分布的特点求解变量X 的分布列、数学期望和方差即可.
【详解】
（1）由列联表可知,2
2
100(20351530) 1.0993*******K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为1.099 2.706<, 所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为A 市使用信用卡情况与年龄有关.
（2）①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有1510350
⨯=（人）,偶尔或不用信用卡的有3510750
⨯=（人）. 则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率31473744101023
C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为202505
=, 将频率视为概率,即从A 市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为
25. 由题意得2~3,5X B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
, 则3
03327(0)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭, 21
33254(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭, 2
233236(2)55125
P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭, 33328(3)5125
P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故随机变量X 的分布列为：
故随机变量X 的数学期望为26()355
E X =⨯
=,方差为2318()35525D X =⨯⨯=. 【点睛】 本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式
等.属于中档题.
22、（1）22
143
x y +=（2）20x y --=或20x y +-=. 【解析】
（1）圆C 的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设(),N N N x y ，(),M M M x y ，显然直线l 的斜率存在，方法一：设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，可得N x ，同理直线方程和圆
方程联立，可得M x ，再由127
AN AM =
可解得k ，即得；方法二：设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立，可得N y ，将其与圆方程联立，可得M y ，由127AN AM =可解得k ，即得. 【详解】
（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）.右顶点(),0A a 在圆C 上，右准线2
a x c
=与圆C ：()2231x y -+=相切.()222301,31,a a c ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩
解得21a c =⎧⎨=⎩， 222
3b a c ∴=-=，椭圆方程为：22
143x y +=. （2）法1：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-.
直线方程和椭圆方程联立，由方程组()222,14
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=. 由221612243N k x k -⋅=+，解得228643
N k x k -=+. 直线方程和圆方程联立，由方程组()()222,31,
y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得，()()2222146480k x k x k +-+++= 由224821M k x k +⋅=+，解得22241
M k x k +=+. 又127AN AM =，则有()12227
N M x x -=-. 即22121224371k k =⋅++，解得1k =±，
故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.
分法2：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，当直线l 与x 轴重合时，不符题意.
设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠.由方程组22
2143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
消去x 得，()2234120t x ty ++=，解得21234
N t y t -=+. 由方程组()22231
x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去x 得，()22120t x ty +-=， 解得221
M t y t =+. 又127AN AM =，则有127
N M y y =-. 即22121223471
t t t t -=-⋅++，解得1t =±， 故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查学生的分析和运算能力.。