浙江省嘉兴一中2021-2022学年高三第三次测评数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．142．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<3．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭4．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．16275．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆7．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6138．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥9．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．33C ．22D ．3210．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元11．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±12．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________．14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点(2,)D t -，则实数t 的取值范围为________．16．正四面体A BCD -的各个点在平面M 同侧，各点到平面M 的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足12112nn nc c c b a a a ++++=,求数列{}n c 的前2020项的和． 18．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，125AC AB ==，且160BCC ∠=︒.（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值.19．（12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且25a =，654235S S S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若满足不等式()1210nn n S λ-⋅+-<的正整数n 恰有3个，求正实数λ的取值范围．20．（12分）已知函数22()1e x f x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围.21．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下22⨯列联表（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为A 市使用信用卡情况与年龄有关？（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为X ，求随机变量X 的分布列、数学期望和方差．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：)20k22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2231x y -+=，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切.（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N .当127AN AM =时，求直线l 的方程. 参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有66A 种，进而得到结果. 【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种情况，由间接法得到满足条件的情况有51235423A C A A -当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种，由间接法得到满足条件的情况有51235323A C A A -共有：5123512353235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，故满足条件的事件的概率为：5123512353235423661360A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 2、B 【解析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力. 3、A 【解析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3 解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 4、B 【解析】根据循环语句，输入1x =，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】输入1x =，由题意执行循环结构程序框图，可得： 第1次循环：23x =，24i =<，不满足判断条件；第2次循环：89x =，34i =<，不满足判断条件； 第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果3227x =. 故选：B 【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础. 5、C 【解析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】 由101xx+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12lnln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解． 6、D 【解析】集合{}2{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集，由此能求出结果． 【详解】解：集合{}2{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集， 在A 中，1M ∈，正确； 在B 中，{}1,1M =-，正确； 在C 中，M ∅⊆，正确；在D 中，M 不是N 的子集，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、A 【解析】根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即可求解. 【详解】a b ⊥，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+. 故选:A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 8、D 【解析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误；对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.9、D 【解析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，==2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 10、D 【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题. 11、A设平面向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件得出a b =，在等式2a b a b +=-两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求. 【详解】设平面向量a 与b 的夹角为θ，()()22220a b a b ab a b +⋅-=-=-=，可得a b =，在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，化简得3cos 5θ=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 12、C 【解析】由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】由题,21cos 2()sin 2x f x x -==, 则向右平移12π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝⎭ cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；当12x π=时,206x π-=,所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴,②正确；当3x π=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭,③正确；()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。