二次函数恒大于零的条件

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二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。

2.三个二次的关系。

3.一元二次不等式的解法。

知识点拓展：4.分式不等式的解法。

5.高次不等式的解法。

本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。

2.解含参数的一元二次不等式。

3.三个二次之间的关系。

4.简单高次不等式、分式不等式的解法。

5.XXX成立问题。

6.一元二次不等式的应用。

知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。

即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。

解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。

注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。

三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。

一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。

2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。

具体关系见下表（1）所示。

一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。

例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。

二次函数知识点及题型归纳总结

二次函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. (1) 单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)b -+∞上递减，当bx =-时，；24()4ac b f x a -=.(2) 当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，图2-9令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a =-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a=< 2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表2-5所示.四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式2()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩.注若表述为“已知函数2()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨<⎩. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（）Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析由于0a <，则方程2210ax x ++=的判别式440a ∆=->，设12,x x 为方程的两根，则12122010x x ax x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩，故12,x x 异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方程2210ax x ++=有负数根，当0a =时，即210x +=有负数根12x =-，那么方程2210ax x ++=有负数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.变式1 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +<C. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<变式2 已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（）.A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定例 2.42 （2012江苏13）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_____________. 解析将二次不等式转化为二次方程求解.由题意知2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，得240a b ∆=-=.不等式()f x c < ()0f x c ⇔-<，即20x ax b c ++-<的解集为(,6)m m +，设方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，则1212x x ax x b c +=-⎧⎨=-⎩，12||x x -==6==，得9c =.评注本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2x ax b c ++<的解集为(,6)m m +与方程2x ax b c ++=的实根12,x x 之间的联系，即12||6x x -=.变式1 （2012浙江理17）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则______a =. 变式2 （2012北京理14）已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则m 的取值范围是________. 题型2 二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件思路提示结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例2．43 已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求实数m 的取值范围. 分析根据二次方程根的分布结合图像求解.解析根据题意，如图2-10所示，对于2()(21)42f x x m x m =+-+-，由图像知2αβ<<，得(2)0f <，故2(2)2(21)2420f m m =+-⨯+-<，解得3m <-，所以m 的取值范围是(,3)-∞-.图2-10评注利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数m 的取值范围. 变式2 已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--和(0,1)内，求实数b 的取值范围.例2.44 已知方程32230(,,)x ax bx c a b cR +++=∈的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个）.A. )+∞ B.)+∞ C.)+∞ D. )+∞ 解析由方程32230(,,)x ax bx c a b c R +++=∈有三个实根123,,x x x ，且满足12301,1,1x x x <<=>.则231a b c ++=-，得123c a b =---.32232310x ax bx a b ++---=, (*)由1x =是方程的根，可知方程(*)可写成：2(1)[(231)]0x x mx a b -++++=，展开并与方程(*)对照系数可得21m a =+.所以2(21)(231)0x a x a b +++++=. 令2()(21)(231)f x x a x a b =+++++，(0)2310(1)4330f a b f a b =++>⎧⎨=++<⎩，如图2-11，(,)a b 所在的区域如阴影部分所示,点1(1,)3A -)+∞.故选A.图2-11变式1 设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与曲线22:33(1)C x y x -=≥相交于Q ，R ，且|PQ|<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围. 题型3 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题思路提示根据二次函数图像，分析对称轴与区间的位置关系.例2.45 函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上是单调函数，则（）. A. (,1)a ∈-∞ B. (2,)a ∈+∞ C. [1,2) D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 分析利用区间[1,2]在对称轴的左侧和右侧分别作图.解析作出函数在[1,2]上符合单调区间的图像，如图2-12（a ）,(b)所示的情况均满足要求.故选D.图2-12(b)(a)x评注在处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不定量，即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.变式1 函数2()23f x x kx =-+在[1,)-+∞上是增函数，求实数k 的取值范围. 例2.46 求函数2()21f x x ax =--在[0,2]上的值域.分析解答本题可结合二次函数的图像及对称轴与区间的位置关系. 解析 2()21f x x ax =--，抛物线()y f x =开口向上，对称轴x a =.（1）当0a ≤时，函数在区间[0,2]上为增函数，故min max (0)1,(2)34y f y f a ==-==-，所以函数的值域为[1,34]a --.（2）当2a ≥时，函数在区间[0,2]上为减函数，故min max (2)34,(0)1y f a y f ==-==-，所以函数的值域为[34,1]a --.（3）当01a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(2)34y f a a y f a ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),34]a a -+-.（4）当12a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(0)1y f a a y f ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),1]a -+-.评注在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[,]m n ，若是区间[,]m n ，最大（小）值不一定在对称轴处取得，而应该看对称轴是在区间[,]m n 内还是在区间的左边或右边.在区间的某一边时，应该利用函数的单调性求解，最值不在对称轴处取得，而在区间的端点处取得.变式1 已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值.例2.47 已知二次函数2()23f x x x =--，若()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 分析本题考查“定轴动区间”问题，求给定的二次函数在动区间上的最值，利用数形结合及分类讨论思想求解.解析根据二次函数的解析式知1x =为其对称轴，分析对称轴与区间的位置关系，如图2-13所示.(b)(c)图2-13(a )x(1) 当1t >时，如图2-13（a ）所示，2()()23g t f t t t ==--；(2) 当11t +<，即0t <时，如图2-13（b ）所示，2()(1)4g t f t t =+=-； (3) 当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，如图2-13（c ）所示，()(1)4g t f ==-.因此224(0)()4(01)23(1)t t g t t t t t ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩.变式1 已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)0,(1)1f f ==，若()f x 在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，求,m n 的值.变式2 （2012北京东城期末理8）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为A.8B.6C.4D.2最有效训练1.函数2263,[1,1]y x x x =-+∈-，则y 的最小值是（）.A. 32-B. 3C. 1-D.不存在 2.已知,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或13. 函数y =x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( ). A. m =-2 B. m =2 C. m =-1 D. m =14. 已知函数ƒ(x )=ax 2+bx +c ，且a >b >c ，a +b +c =0，则( ). A. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )>0 B. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )<0 C. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)=0 D. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)>05. 已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得∆ABC的面积为2的点C的个数为( ).A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数ƒ(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数x，ƒ(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ).A. [-4,4]B. (-4,4)C. (-∞,4)D. (-∞,-4)7. 若函数ƒ(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x=1对称，则ƒ(x)max=________.8. 关于x的方程2x2+ax-5-2a=0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a的取值范围是________.9. 当x∈[0,2]时，函数ƒ(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是________.10.已知二次函数ƒ(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)，则c aa c+++22的最小值为________.11.已知定义域为R的函数ƒ(x)满足ƒ(ƒ(x)-x2+x)=ƒ(x)-x2+x.(1)若ƒ(2)=3，求ƒ(1)，又若ƒ(0)=a，求ƒ(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得ƒ(x0)=x0，求函数ƒ(x)的解析式.12.已知二次函数ƒ(x)=x2+mx+1(x∈Z)，且关于x的方程ƒ(x)=2在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求ƒ(x)的解析式；(2)若x∈[1,t](t>1)时，总有ƒ(x-4)≤4x成立，求t的最大值.。

2018二次函数经典100题

2018二次函数经典100题2018年二次函数经典100题题型一：二次函数解析式及定义型问题1.如果二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图像对应的二次函数关系式是y=(x+1)^2-2，那么原二次函数的解析式为什么？2.如果二次函数的图像顶点坐标为(2,1)，形状与抛物线y=-2x^2相同，那么这个函数的解析式是什么？3.如果函数y=(k-3)xk^2-3k+2+kx+1是二次函数，那么k的值是多少？4.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x^2-1上，下列说法中正确的是（）A。

若y1=y2，则x1=x2B。

若x1=-x2，则y1=-y2C。

若x1y2D。

若x1>x2，则y1<y25.抛物线y=x+bx+c的图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x^2-2x-3，那么b、c的值分别是多少？A。

b=2，c=2B。

b=2，c=0C。

b=-2，c=-1D。

b=-3，c=26.抛物线y=(m+1)x^2+(m^2-3m-4)x+5以Y轴为对称轴，那么m的值是多少？7.二次函数y=ax^2+a-5的图像顶点在Y轴负半轴上，且函数值有最小值，那么m的取值范围是多少？8.函数y=(a-5)x/(a^2+4a+5)+2x-1，当a=5时，它是一次函数；当a≠5时，它是二次函数。

求a的值。

9.抛物线y=(3x-1)^2，当x增大时，y也随之增大。

10.抛物线y=x^2+ax+4的顶点在x轴上，那么x的值是多少？11.已知二次函数y=-2(x-3)^2，当X取x1和x2时函数值相等，当X取x1+x2时函数值为12.求x1和x2的值。

12.如果二次函数y=ax^2+k，当X取X1和X2（x1≠x2）时函数值相等，那么当X取X1+X2时，函数值为多少？13.如果函数y=a(x-3)^2过(2.9)点，那么当X=4时，函数值Y=多少？14.如果函数y=-(x-h)^2-k的顶点在第二象限，那么h>0，k>0.15.已知二次函数当x=2时Y有最大值是1，且过(3,0)点，求解析式？16.将y=2x^2-12x-12变为y=a(x-m)^2+n的形式，那么m×n=多少？17.已知抛物线在X轴上截得的线段长为6，顶点坐标为（2，3），求解析式。

二次函数基础典型经典题型(全面超好)

二次函数精讲基础题型一认识二次函数1、y=mx m2+3m+2是二次函数，则m 的值为（）A 、0，-3B 、0，3C 、0D 、-32、关于二次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（）A 、若a>0,则y 随x 增大而增大B 、x>0时y 随x 增大而增大。

C 、若x>0时，y 随x 增大而增大D 、若a>0则y 有最大值。

二简单作图1在一个坐标系内做出2x y =，12+=x y ，12-=x y ，2)1(-=x y ，2)1(+=x y 你发现了什么结论2同样的在同一个坐标系内做出2x y -=，22x y -=，12--=x y ，12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的图像比较的话，你又有什么样新的发现3 已知抛物线y x x =-+123522，五点法作图。

2、已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。

三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；（2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；（3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。

2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。

3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7）（2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=23（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）三图像与a,b,c 的符号之间的关系1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。

高中数学二次函数知识点总结

二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

二次函数综合题专项讲解(经典)

初中二次函数综合题专项讲解引言：二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。

解压轴题有三个步骤：认真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

二次函数一般会出现在选择题（或填空题）、解答题的倒数几个题目中。

选择题和填空题时易时难。

解答题较难，一般有2—3小题。

第 1 小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。

第2—3 小题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

一、一中13—14 学年度上期半期考试二次函数习题212．如图，直线y kx c 与抛物线y ax2bx c 的图象都经过y 轴上的 D点，抛物线与x轴交于A、B 两点，其对称轴为直线x 1 ，且OA OD.直线y kx c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）.则下列命题中正确命题的个数是（）.①abc 0; ② 3a b 0; ③ 1 k 0;④k a b; ⑤ ac k 0A ．1 B．2 C．3 D．416．如右图是二次函数y ax2bx c 的部分图象，由图象可知ax2bx c 0时x的取值围是_______________________________________________ ．1218．已知抛物线y x22x 的图象如左图所示，点N 为抛物线2的顶点，直线ON 上有两个动点P和Q,且满足PQ 2 2 ,在直线ON 下方的抛物线上存在点M ,使PQM 为等腰直角三角形，则点M 的坐标为_______________________________________________125．如图，在平面直角坐标系中，直线y x 2 与坐标轴分别交于 A 、B 两点，过 A 、B22两点的抛物线为y x2bx c ，点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接AE,BE.1）求抛物线的解析式；2）当ABE 面积最大时，求点E的坐标，并求出此时ABE 的面积；3）当EAB OAB 时，求点E的坐标.二、二次函数基础2（一）概念：一般地，形如y ax2bx c（a，b，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

二次函数与求导法则

二次函数与求导法则二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为：f(x) =ax² + bx + c。

其中，a、b、c 是常数，a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。

它在数学和实际问题中都有重要的应用。

而求导法则是计算函数导数的方法，对于二次函数的导数求解特别有用。

求导是微积分的基本操作之一，它表示函数在某一点的瞬时变化率。

对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求导法则计算它的导数。

一、求导法则1. 常数法则：如果 f(x) = c，其中 c 是常数，则 f'(x) = 0。

2. 变量法则：如果 f(x) = x，那么 f'(x) = 1。

3. 乘法法则：如果 f(x) = u(x)v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

4. 除法法则：如果 f(x) = u(x)/v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，并且v(x) ≠ 0，则f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]²。

5. 幂函数法则：如果 f(x) = u(x)^n，其中 u(x) 是可导函数，n 是实数，则f'(x) = nu(x)^(n-1)u'(x)。

6. 加法法则：如果 f(x) = u(x) + v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。

二、二次函数的导数计算二次函数的一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c。

现在我们来计算它的导数。

首先，我们对函数 f(x) = ax² + bx + c 中的每一项分别求导。

根据乘法法则和常数法则，我们可以得到：f'(x) = (d/dx)(ax²) + (d/dx)(bx) + (d/dx)(c)= 2ax + b + 0= 2ax + b二次函数 f(x) = ax² + bx + c 的导数为 2ax + b。

二次函数的定义及特点

二次函数的定义及特点二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的数学函数，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。

特点一：二次函数的图像是抛物线。

抛物线可以是开口向上的，也可以是开口向下的，这取决于二次项系数a的正负。

特点二：二次函数的对称轴垂直于x轴，具有形如x=-b/(2a)的垂直线对称轴方程。

特点三：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，具有形如(-b/(2a),f(-b/(2a)))的坐标。

特点四：二次函数的自变量x在整个实数范围内都有定义，即定义域为全体实数R。

特点五：二次函数的值域的范围是根据二次项系数a的正负而定。

若a>0，则值域为[f(-b/(2a)),+∞)，即抛物线开口向上的情况；若a<0，则值域为(-∞,f(-b/(2a))]，即抛物线开口向下的情况。

特点六：根据二次函数的图像，可以分析二次函数的零点和极值。

零点是函数图像与x轴的交点，是方程ax² + bx + c = 0的根；极值则是函数图像的最高或最低点，是顶点坐标的纵坐标值。

特点七：二次函数的导数是一次函数，导数函数f'(x) = 2ax + b，而且对于开口向上的二次函数，导数恒大于0；对于开口向下的二次函数，导数恒小于0。

特点八：二次函数的最大值或最小值是在其顶点处取得的，与一次函数不同，二次函数的最大值或最小值唯一存在。

特点九：二次函数与x轴的交点个数根据二次方程ax² + bx + c = 0的判别式来确定。

若判别式Δ = b² - 4ac > 0，则有两个不同实根，即抛物线与x轴有两个交点；若Δ = 0，则有一个重根，即抛物线与x 轴有一个交点；若Δ < 0，则无实根，即抛物线与x轴无交点。

特点十：二次函数的图像可以通过平移图像、伸缩图像、翻转图像等操作来得到其他二次函数的图像。

根据平移、伸缩和翻转的参数不同，可以得到不同形状和位置的抛物线图像。

二次函数符号判断

关于二次函数的符号判断【知识要点】1．根据二次函数的图像你能大致判断∆,,,c b a 的符号吗？2．根据图像你能判断代数式b a b a b a b a c b a c b a -+-++-+++,,2,2,,的符号吗？ 3．通过已知∆,,,c b a 等的值，你能确定抛物线的大致位置吗？ 4．当二次函数系数满足什么条件时，y 的值恒大于零？恒小于零？【典型例题】# 例1 已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（）Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b a C.0,0,0=<>c b aD.0,0,0<<>c b a# 例2 抛物线c bx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ；②0>++c b a③0>+-c b a ④042<-ac b⑤0<abc ；⑥c a >4；其中正确的为（）A ．①②B ．①④C ．①②⑥D ．①③⑤# 例3 下列图象中，当0>ab 时，函数2ax y =与b ax y +=的图象是（）xx# 例4 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )例5 为了备战世界杯，英格兰队在某次训练中，贝克汉姆在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线c bx ax y ++=2，则下列结论：①601-<a ②0601<<-a ③0>+-c b a ④a b 120-<<其中正确的结论是（）A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④例6 如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与两个坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，且ABC ∆为等腰直角三角形，那么下列结论①0=b ；②2c S ABC =∆；③1-=ac ；④0=+c a ，其中一定成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例7 福娃们在一起探讨研究下面的题目：C参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）贝贝：我注意到当0x=时，0y m=>．晶晶：我发现图象的对称轴为21=x．欢欢：我判断出12x a x<<．迎迎：我认为关键要判断1a-的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．*例8下列命题：①若0a b c++=，则240b ac-≥；②若b a c>+，则一元二次方程20ax bx c++=有两个不相等的实数根；③若23b a c=+，则一元二次方程20ax bx c++=有两个不相等的实数根；④若240b ac->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．*例9 已知，二次函数()220y ax bx a b a=+++≠的图像为下列图像之一，则a的值为A .－1B ． 1C . －3D . －4*例10 设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等实数根21,x x ，且21x x <，那么a 的取值范围是。

高考数学复习点拨：如何求不等式恒成立的参数取值范围

高考数学复习点拨：如何求不等式恒成立的参数取值
范围
如何求不等式恒成立的参数取值范围
四川何成宝
求不等式恒成立的参数的取值范围，是中学教学的难点之一，也是高考、数学竞赛的热点.本文就此问题的几种基本解决加以论述.
一、利用一次函数的性质
一次函数y=f（x）= ax+b 在x [m，n]上恒大于零的充要条件是：
或或
（对于y=f（x）= ax+b 恒小于零的条件亦可类似给出）.
例1 若f（x）=（x－1）m2－6xm+x+1 在区间[0，1]上恒为正值，求实
数m 的取值范围.
解：考查关于x 的一次函数f（x）=（m2－6m+1）x+1－m2 恒为正值的
充要条件：
显然，当m2－6m+1=0 时，f（x）>0 不成立,所以m2－6m+1≠0,依一次函
数的性质可知,只要或
解得－10 的m 的取值范围是{m∣－13.
说明: 在不等式恒成立的问题中,若主元(或参数)能变为一次的形式,则我们能利用一次函数的性质来求解.
二、利用二次函数的单调性
任何一个一元二次不等式总可以化为ax2+bx+c>0 (a0 (a0 (a0 成立.
(2) △=4(m－1)( m +2)≥0时, 由图1 可知, F(x) ≥0充要条件是
－3≤m≤－2.。

二次函数知识点

二次函数知识点1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 2y ax =的性质：4.y=ax 2+k 的性质：5.y=a(x+h)2的性质：6. y=a(x+h)2+k 的性质：7.二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的性质：8.二次函数图象的平移函数图像的移动规律: 左右平移在括号,上下平移在末稍, 左正右负须牢记, 上正下负错不了.9、二次函数2y axbx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.10.抛物线与x 轴、y 轴的交点（1）二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.（2）抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c① 当0c >时⇔与y 轴交于正半轴 ② 当0c =时⇔抛物线经过原点 ③ 当0c <时⇔与y 轴交于负半轴总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置11.①二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则Δ=b 2-4ac=0；②二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；③二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）经过原点，则c=0；12. 二次函数2y ax bx c =++中当y 大于0和小于0时x 的取值范围若抛物线2y ax bx c =++与X 轴的两个交点坐标为（1x ，0）、（2x ，0），1x ＜2x 当抛物线开口向上时，若y ＞0，则x ＜1x 或x ＞2x ；若y ＜0，则1x ＜x ＜2x当抛物线开口向下时，若y ＞0，则1x ＜x ＜2x ；若y ＜0，则x ＜1x 或x ＞2x13. 若抛物线2y ax bx c =++与X 轴的两个交点坐标为（1x ，0）、（2x ，0），则抛物线2y ax bx c =++的对称轴为x=221x x + 14.二次函数2y ax bx c =++中y 恒为正的条件为：a ＞0, 0<∆恒为负的条件为: a ＜0, 0<∆15.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.16、二次函数的图象与各项系数之间的关系( 1). 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． (2). 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见, b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱； △的符号最简便，x 轴上数交点顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。

二次函数的导数与极值问题

二次函数的导数与极值问题二次函数是一种常见的数学函数，在许多实际问题中都有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨二次函数的导数与极值问题，以帮助读者更好地理解和解决相关的数学题目。

1. 二次函数的导数二次函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。

为了求解二次函数的导数，我们需要使用导数的定义。

根据导数的定义，二次函数f(x)的导数f'(x)可以表示为f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h。

将二次函数的表达式代入，我们可以得到f'(x) =2ax + b。

2. 导数与二次函数的图像通过二次函数的导数，我们可以进一步了解二次函数的图像特征。

首先，导数f'(x)告诉我们切线的斜率，这可以帮助我们确定函数在不同点的增减性。

当a > 0时，二次函数的图像开口向上，导数f'(x)恒大于零，说明函数在整个定义域上是递增的；当a < 0时，二次函数的图像开口向下，导数f'(x)恒小于零，说明函数在整个定义域上是递减的。

其次，导数f'(x)等于零的点可以告诉我们二次函数的极值点。

由于二次函数是一个抛物线，它只有一个极值点。

当导数f'(x) = 0时，解方程2ax + b = 0，我们可以求得这个极值点的x坐标。

3. 极值问题的解决通过求解导数为零的方程，我们可以找到二次函数的极值点的x坐标。

为了判断这个极值点是一个极大值还是极小值，我们需要进一步检查导数f'(x)的符号。

如果导数f'(x)在极值点的左侧是负数，在右侧是正数，那么这个极值点是一个极小值；如果导数f'(x)在极值点的左侧是正数，在右侧是负数，那么这个极值点是一个极大值。

此外，还有一种情况，即当导数f'(x)恒大于零或者恒小于零时，二次函数没有极值，它在整个定义域上是递增或递减的。

二次函数基础典型经典题型(全面超好)

1二次函数精讲基础题型一认识二次函数1、y=mxm2+3m+2是二次函数，则m 的值为（） A 、0，-3B 、0，3C 、0D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（）A 、若a>0,则y 随x 增大而增大B 、x>0时y 随x 增大而增大。

C 、若x>0时，y 随x 增大而增大D 、若a>0则y 有最大值。

二简单作图 1在一个坐标系内做出2x y =，12+=x y ，12-=x y ，2)1(-=x y ，2)1(+=x y 你发现了什么结论2同样的在同一个坐标系内做出2x y -=，22x y -=，12--=x y ，12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的图像比较的话，你又有什么样新的发现3 已知抛物线y x x =-+123522，五点法作图。

2、已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。

三，二次函数的三种表达形式，求解析式1求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；（2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；（3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。

2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。

3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7）（2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=23 （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）三图像与a,b,c 的符号之间的关系1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。

专题讲解—二次函数的性质4

二次函数的图像和性质知识点一：二次函数平移问题：1. （2012•鄂州）把抛物线y=x 2+bx+4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x 2﹣2x+3，则b 的值为（） A ． 2B ． 4C ． 6D ． 82. （2011•攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x 2+3；③y=﹣2x 2﹣1；④2112y x =-的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换得到的函数是．（把你认为正确的序号都填写在横线上）3. （2010•徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=（x ﹣2009）（x ﹣2010）+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（） A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位4. （2011•桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（） A 、y=-（x+1）2+2 B 、y=-（x-1）2+4 C 、y=-（x-1）2+2 D 、y=-（x+1）2+45. 把抛物线y=x 2-2x-3绕点A （3，0）旋转180°后所得的抛物线解析式是6. 抛物线y=-（x-L ）(x-3-k)+L 与抛物线y=(x-3)2+4关于原点对称，L+k= .知识点二：多个函数图像在同一坐标系共存问题： 1. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，反比例函数y =ax与正比例函数y =(b +c )x 在同一坐标系中的大致图像可能是（）2. 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 xc b y ++=a 在同一坐标系内的图像大致为（）知识点三：二次函数通过图像与系数a ，b ，c 的关系抛物线开口抛物线对称轴抛物线与坐标轴交点a >0，开口向上 a <0，开口向下│a │越大，开口越小直线x=-b/2a当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧；与y 轴交点坐标（0，c ），当c =0时，抛物线过原点。