均匀随机数的产生-课件ppt

8.如图所示,甲､乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向阴影所 示区域时,甲胜,否则乙胜,则甲胜的概率是________.
9.如下图,设A为半径为1的圆周上一定点,在圆周上等可能的 任取一点B,求弦长|AB|超过的概率.
解:要使弦长|AB|>,只要∠AOB大于90°.记“弦长|AB|超过
”为事件C,则C表示的范围是∠AOB∈(90°,270°),由
2.利用随机模拟方法可求概率问题,其实质是先求频率,用频 率近似代替概率.其关键是设计好“程序”或者说“步 骤”,并找到各数据需满足的条件.
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数 的组数,如长度型､角度型需用一组,面积型需用两组;
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围; (3)由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.
分析:在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法求出阴影部 分与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.
解:(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机 数,a1=RAND,b1=RAND.
(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一组[1,1]的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数.
的机会是等可能的,所以符合几何概型的条件.
1 5 5 25 S阴影 2 6 3 36 , S正 22 4,
25 P S阴影 36 25 .
S正 4 144
解法2:(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀 随机数a1、b1(共N组);
(2)经平移和伸缩变换a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;
几何概型公式得
P(C)
270o 90o 360o
1. 2
10.在集合{(x,y)|0≤x≤5,且0≤y≤4}内任取1个元素,能使 代数式 y x 19 0 的概率是多少?
3 4 12
解:如图,集合{(x,y)|0≤x≤5,且0≤y≤4}为矩形(包括边界)内 的点的集合.
(x, y) | y x 19 0表示坐标平面内直线 3 4 12
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b<2a的 点(a,b)数).
(4)计算频率 N1 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值.
N
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P S . 4
N1 S .S 4N1 即为阴影部分面积的近似值.
N4
N
规律技巧:解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率 公式分别求得几何概率,然后通过解方程求得阴影部分面 积的近似值.
变式训练2:如图,在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木 板,上面画了小､中､大三个同心圆,半径分别为2 cm､4 cm､ 6 cm,某人站在3 m之外向此板投镖,设投镖击中线上或没 有投中木板时不算,可重投,问:
(1)投中大圆内的概率是多少? (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少? 解析:记事件A={投中大圆内}, 事件B={投中小圆与中圆形成的圆环}, 事件C={投中大圆之外}. (1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND.
随机函数可以产生一定范围的随机数.VFP、Scilab中的 RAND( )函数,还有几何画板中的ROUND( )函数等等.
1.随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范 围内的每一个数的机会是一样的.它有很广阔的应用,可以 帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做 大量重复试验,我们常用的是[0,1]上的均匀随机数(实数).
P(A) 13 10 3 . 20 10 10
7.设b1是[0,1]上的均匀随机数,b=(b1-0.5)×6,则b是区间 __[-_3_,_3_]__上的均匀随机数.
解析:设b为区间[m,n]内的随机数,则b=b1(n-m)+m, 而b=(b1-0.5)*6
n m 6 m 3 n 3, m 3.
(2)经过伸缩平移变换,a=a1*16-8,b=b1*16-8,得到两组[8,8]的均匀随机数.
(3)统计投在大圆内的次数N1,投中小圆与中圆形成的圆环内
的次数N2,投中木板的总次数N.
(4)计算频率
fn ( A)
N1 N
,
fn (B)
N2 N
,
fn (C)
N
N1 N
,
即分别为概率P(A)､P(B)､P(C)的近似值.
A. 4 B. 8 C. 2 333
D.无法计算
解析:设阴影部分的面积为S,由几何概型公式知,S 2 ,S 8 .
43
3
答案:B
3.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均匀随机数,需 实施的变换为( )
A.a=a1*18
B.a=a1*8+2
C.a=a1*8-2
D.a=a1*6
解析:验证:当a1=0时,a=-2,当a1=1时,a=6,知C正确.
题型一 用随机模拟法估计长度型几何概型的概率 例1:取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么
剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍
[0,3]内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的. 因此在任意位置剪断绳子的结果(基本事件)对应[0,3]上 的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位 置与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段长都不小于1 m. 这样取得[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数比就是事件 A发生的频率.
解:解法1:(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀
随机数,a1=RAND.
(2)经过伸缩变换,a=a1*3.
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.
(4)计算频率
fn ( A)
N1 N
即为概率P(A)的近似值.
解法2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度
(3)数出满足不等式b<2a-,即6a-3b>4的数组数N1,
所求概率P N1 .可以发现,试验次数越多, N
概率P越接近 25 . 144
规律技巧:用随机模拟的方法估计几何概型的维数,以确定 随机数的组数,其次由对应区域的长度确定随机数的范围, 同时对于各组变量的随机试验还要正确处理变量间的函数 关系.
题型三 利用随机模拟试验估计图形的面积 例3:利用随机模拟方法计算下图中阴影部分的面积(曲线为
x2 y2 1 4
分析:设(a,b)为阴影内一点,则
a2 4
b2
1.
S阴 S矩
构造矩形
ABCD,显然S矩=4×2=8,问题转化为由矩形ABCD的面积求
阴影部分面积,只须求的比值P即可.而此P值可看成求落在
变式训练1:在区间[0,3] 内任取一个实数,求该实数大于2的
概率.
解:(1)利用计算机或计算器产生一组[0,1]上的均匀随机数
a1=RAND;
(2)经过伸缩变换a=a1*3,得到一组[0,3]上的均匀随机数;
(3)统计出[2,3]内随机数的个数N1和[0,3]内的随机数的个
数N;
(4)计算出频率
5.在一半径为1的圆内有10个点,向圆内随机投点,则这些点 不落在这10个点上的概率为( )
A.0
B.1
C. 答案:B
D.无法确定
6.在区间[10,20]内的所有实数中,随机的取一个实数a,则这
个实数a≤13的概率是( )
A. 1 B. 1
3
7
答案:C
C. 3 10
D.10 13
解析:设事件A表示“a≤13”,则
[0,3](这里3和0重合).转动圆盘记下指针指在[1,2](表示
剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数,
则
fn ( A)
N1 N
即为概率P(A)的近似值.
规律技巧:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基 本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用转盘 产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时,费力,试 验次数不可能很大;解法1用计算机产生随机数,可以产生 大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短 时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性 有更深刻的认识.
y x 19 0上方(包括直线)所有阴影内的 3 4 12
点的集合.令y 4,则 4 x 19 0, x 1, 3 4 12
A 1, 4.令x 5,则 y 5 19 0, y 1,B5,1.
3 4 12
S阴
1 2
3
4
6, P
A
6 20
3 10
.
11.(2008·江苏)在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵
阴影部分的概率,利用随机模拟求解.
解:(1)利用计算机(或器)产生两组0至1间的均匀随机
数,a1=RAND( ),b1=RAND( );
(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*4,b=(b1-0.5)*2;
(3)数出落在阴影内的样本点数N1(即满足
a2 b2 1 的点
4
(a,b)的个数),用几何概型计算阴影部分的面积.如做500
答案:C
4.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站
是任意的,则一个乘客候车的时间不超过3分钟的概率是
()
A. 2 B. 3 C. 1
D. 3
5524Fra bibliotek答案:B
解析:设事件A表示“乘客候车不超过3分钟”,汽车每5分钟
一辆,事件A发生的恰好是乘客在[2,5]时间段内到达车站,
由几何概型公式得 P( A) 3 . 5
fn ( A)
N1 N
,即得概率P(A)的近似值.