第六章杆系结构

第六章杆件系统结构有限元法杆件系统是由几何特征为长度比横梁面的两个尺寸大很多的杆件连接而成的结构体系。起重机械和运输机械的动臂、汽车的车架、钢结构等，都是由金属的杆件组成的。杆件系统的有限元法在机械、建筑、航空、造船等各个工程领域得到了广泛的应用。

若杆件之间由铰相连，并且外载荷都作用在铰节点上，则该体系称为桁架。有限元中将桁架的单元称为杆单元，即桁架是由仅承受轴向拉压的杆单元的集合。

如果杆件之间是由刚性连接，则该体系是刚架，刚架的单元称为梁单元。梁单元可以承受轴力、弯矩、剪力及扭矩的作用。

第一节等截面梁单元

平面刚架结构——所有杆件的轴线以及所有外力作用线都位于同一平面内，并且各杆件都能在此平面内产生平面弯曲，从而结构的各个节点位移都将发生在这个平面内。

一、结构离散化

原则：杆件的交叉点、边界点、集中力作用点、位移约束点、分布力突变的位置都要布置成节点，而不同横截面的分界面和不同材料的分界面都要成为单元的分界面。

平面桁架

对于桁架结构，因每个杆件都是一个二力杆，故每个杆件可设置成一个单元。平面桁架结构每个节点有2个自由度，分别是u 和v ，每个单元有4个自由度。

最大半带宽B=(2+1)×2=6。

一维单元和二维单元的混合应用：左边部分是平面问题

的二维板件结构（黑线部分），右面框架部分是一维杆件结构（红线部分）。

x

y

采用平面4节点四边形单元模拟二维板件，用平面杆单元单元模拟一维杆件结构。离散化后，共有37个节点，32个单元，其中4节点四边形单元16个，杆单元单元16个。

因为平面4节点四边形单元和平面杆单元单元每个节点都有2个自由度，4节点四边形单元的刚度矩阵是8×8，平面杆单元的刚度矩阵是4×4。整体刚度矩阵刚[]k 的维数是

227474n n ⨯=⨯。其中部分总刚子块为

[](1)(2)(3)(4)777777777722k k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(4)(6)(19)

11,1111,1111,1111,1122k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

最大半带宽B=［(8-2) +1］×2=14。

平面直梁

q

y

平面直梁结构每个节点有2个自由度，分别是v 和z ，每个单元有4个自由度。

最大半带宽B=(1+1)×2=4

平面刚架

平面刚架结构每个节点有3个自由度，分别是u、v和θ，每个单元有6个自由度。

z

最大半带宽B=［(8-3) +1］×3=18

总刚[]k的维数是？？？

二、单元节点位移和节点力向量

一长为L ，节点为ij 的单元：

位移：u ——— 沿杆的轴向位移

v ——— 梁的横向位移（截面中性轴的挠度）

dv

dx

θ= ——— 截面绕z 轴的转角

单元节点位移为：i u ，i v ，i θ和j u ，j v ，j θ，写成向量形式

{}

T

e

i i i j j j u v u v δθθ⎡⎤=⎣⎦

节点力： N F —轴向力

F θ—剪力

M —弯矩

单元节点力：Ni F ，i F θ，i M 和Nj F ，j F θ，j M ，写成向量形式

{}

e

T

i e

Ni i i

Nj j j j F F F F M F F M F θθ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣

⎦⎪⎪⎩⎭

坐标系：x 轴与梁轴重合

y ，z 轴为梁截面的主惯性轴（主轴）方向（使截面对z 0y 0轴的惯性积000z y I =的时正交坐标轴） 注意：

(1) 单元节点位移和单元节点力的方向：取坐标轴正向为正； (2) 节点力{}e

F 是梁结构在节点处受到的外载荷。 (3) 因为载荷在同一平面内，所以梁单元是处于轴向拉压和 平面弯曲的组合变形状态。

在小变形情况下，杆的轴向变形与弯曲变形是相互独立 的，即轴向位移u 只与轴向压力N F 有关，弯曲位移v 和θ只与弯曲力F θ、M 有关。因此可以分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵。

三、 位移模式

轴向位移u 取x 的线性函数：

[][]{}00111()a u a a x x h x a a ⎧⎫

=+==⎨⎬⎩⎭

(6-1)

挠度v v 则用x 的三次多项式表示：

[]{}23

0123012

3231()v b b x b x b x b b x x x H x b b b =+++⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬

⎣

⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭

(6-1)

参数{a}和{b}是位移模式的待定常数，可由节点位移表示。 单元轴向节点位移

{}T

e

i j u u u ⎡⎤=⎣⎦ (6-2)

单元弯曲的节点位移

{}

T

e

i i j j v v v θθ⎡⎤=⎣⎦

(6-2)

其中 0

i x dv dx θ==

j x l

dv

dx

θ==

将节点位移代入式 []{}()u h x a =中，得

001i j u a u a a l

==+

写成矩阵形式

{}01101e

i j u a u u a l ⎧⎫⎧⎫

⎡⎤==⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭

⎣⎦⎩⎭ (6-3)

简记为

{}[]{}1e

u A a =

同理，有

{}[]{}2e

v A b =

(6-3)

其中

[]1101A l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

， []2232100

0010010123A l l l l l ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦

由上式，得

{}[]{}111e

a A u -=

{}[]{}1

2e b A v -=

其中

[]111011A l l -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦

，[]122232

321000010032

312121A l l l l l l l l -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣

⎦

将上式带入(6-1)中，得用节点位移表示位移模式：