第六章杆系结构

第六章杆件系统结构有限元法杆件系统是由几何特征为长度比横梁面的两个尺寸大很多的杆件连接而成的结构体系。

起重机械和运输机械的动臂、汽车的车架、钢结构等，都是由金属的杆件组成的。

杆件系统的有限元法在机械、建筑、航空、造船等各个工程领域得到了广泛的应用。

若杆件之间由铰相连，并且外载荷都作用在铰节点上，则该体系称为桁架。

有限元中将桁架的单元称为杆单元，即桁架是由仅承受轴向拉压的杆单元的集合。

如果杆件之间是由刚性连接，则该体系是刚架，刚架的单元称为梁单元。

梁单元可以承受轴力、弯矩、剪力及扭矩的作用。

第一节等截面梁单元
平面刚架结构——所有杆件的轴线以及所有外力作用线都位于同一平面内，并且各杆件都能在此平面内产生平面弯曲，从而结构的各个节点位移都将发生在这个平面内。

一、结构离散化
原则：杆件的交叉点、边界点、集中力作用点、位移约束点、分布力突变的位置都要布置成节点，而不同横截面的分界面和不同材料的分界面都要成为单元的分界面。

平面桁架
对于桁架结构，因每个杆件都是一个二力杆，故每个杆件可设置成一个单元。

平面桁架结构每个节点有2个自由度，分别是u 和v ，每个单元有4个自由度。

最大半带宽B=(2+1)×2=6。

一维单元和二维单元的混合应用：左边部分是平面问题
的二维板件结构（黑线部分），右面框架部分是一维杆件结构（红线部分）。

x
y
采用平面4节点四边形单元模拟二维板件，用平面杆单元单元模拟一维杆件结构。

离散化后，共有37个节点，32个单元，其中4节点四边形单元16个，杆单元单元16个。

因为平面4节点四边形单元和平面杆单元单元每个节点都有2个自由度，4节点四边形单元的刚度矩阵是8×8，平面杆单元的刚度矩阵是4×4。

整体刚度矩阵刚[]k 的维数是
227474n n ⨯=⨯。

其中部分总刚子块为
[](1)(2)(3)(4)777777777722k k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(4)(6)(19)
11,1111,1111,1111,1122k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
最大半带宽B=［(8-2) +1］×2=14。

平面直梁
q
y
平面直梁结构每个节点有2个自由度，分别是v 和z ，每个单元有4个自由度。

最大半带宽B=(1+1)×2=4
平面刚架
平面刚架结构每个节点有3个自由度，分别是u、v和θ，每个单元有6个自由度。

z
最大半带宽B=［(8-3) +1］×3=18
总刚[]k的维数是？？？
二、单元节点位移和节点力向量
一长为L ，节点为ij 的单元：
位移：u ——— 沿杆的轴向位移
v ——— 梁的横向位移（截面中性轴的挠度）
dv
dx
θ= ——— 截面绕z 轴的转角
单元节点位移为：i u ，i v ，i θ和j u ，j v ，j θ，写成向量形式
{}
T
e
i i i j j j u v u v δθθ⎡⎤=⎣⎦
节点力： N F —轴向力
F θ—剪力
M —弯矩
单元节点力：Ni F ，i F θ，i M 和Nj F ，j F θ，j M ，写成向量形式
{}
e
T
i e
Ni i i
Nj j j j F F F F M F F M F θθ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣
⎦⎪⎪⎩⎭
坐标系：x 轴与梁轴重合
y ，z 轴为梁截面的主惯性轴（主轴）方向（使截面对z 0y 0轴的惯性积000z y I =的时正交坐标轴） 注意：
(1) 单元节点位移和单元节点力的方向：取坐标轴正向为正； (2) 节点力{}e
F 是梁结构在节点处受到的外载荷。

(3) 因为载荷在同一平面内，所以梁单元是处于轴向拉压和 平面弯曲的组合变形状态。

在小变形情况下，杆的轴向变形与弯曲变形是相互独立 的，即轴向位移u 只与轴向压力N F 有关，弯曲位移v 和θ只与弯曲力F θ、M 有关。

因此可以分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵。

三、 位移模式
轴向位移u 取x 的线性函数：
[][]{}00111()a u a a x x h x a a ⎧⎫
=+==⎨⎬⎩⎭
(6-1)
挠度v v 则用x 的三次多项式表示：
[]{}23
0123012
3231()v b b x b x b x b b x x x H x b b b =+++⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬
⎣
⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭
(6-1)
参数{a}和{b}是位移模式的待定常数，可由节点位移表示。

单元轴向节点位移
{}T
e
i j u u u ⎡⎤=⎣⎦ (6-2)
单元弯曲的节点位移
{}
T
e
i i j j v v v θθ⎡⎤=⎣⎦
(6-2)
其中 0
i x dv dx θ==
j x l
dv
dx
θ==
将节点位移代入式 []{}()u h x a =中，得
001i j u a u a a l
==+
写成矩阵形式
{}01101e
i j u a u u a l ⎧⎫⎧⎫
⎡⎤==⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭
⎣⎦⎩⎭ (6-3)
简记为
{}[]{}1e
u A a =
同理，有
{}[]{}2e
v A b =
(6-3)
其中
[]1101A l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
， []2232100
0010010123A l l l l l ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
由上式，得
{}[]{}111e
a A u -=
{}[]{}1
2e b A v -=
其中
[]111011A l l -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
，[]122232
321000010032
312121A l l l l l l l l -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
将上式带入(6-1)中，得用节点位移表示位移模式：
[][]{}[]{}[][]{}[]{}
1
112()()e e u e e v u h x A u N u v H x A v N v --⎧==⎪⎨==⎪⎩ (6-4) 其中
[][][][][][][]
111
22
32
23
2
3210()1111()1
000100323112121u v x x N h x A x l l l l N H x A x x x l l l l l l l l --⎡⎤
⎡⎤⎢⎥===-
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦
=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
232323232322
32322321x x x x x x x x x l l l l l l l l ⎡⎤
=-+-+--+⎢⎥⎣
⎦ 单元节点位移为
{}
e
T
i e
i i i
j j j j u v u v δδθθδ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣
⎦⎪⎪⎩⎭
则将式(6-4)的位移模式改写为：
{}[]{}[]{}()()e e
u v H x u f A N v H x δδ⎡⎤⎧⎫===⎨⎬⎢⎥
⎩⎭⎣⎦
(6-5) 该式表示单元内任意一点的位移与单元节点位移之间的关系，式中
[][]()10000u H x x =
[]23()0
10v H x x x x ⎡⎤=⎣⎦
[]2
232
3
1
00
0000100000
01000
11000
0323100
212100A l l
l l l l l l l
l ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
四、应变与应力
梁单元： 拉压变形：拉压应变a ε
弯曲变形：弯曲应变b ε
略去剪应变，得
{}
[]{}22()()e
e a u
b v
du H x dx A yH x d v y dx εεδε⎧⎫
⎪⎪'⎧⎫⎡⎤⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎢⎥''-⎩⎭⎣⎦⎪⎪-⎪⎪⎩⎭
式中
[][]()0
00100u H x '= [][]()0
00026v H x x ''=
上式简记为
{}[]{}e
e
B εδ= （6-6）
其中单元应变矩阵[]B 为
[][]232232()()1
1000061246612260()()0()()u
v
H x B A yH x l l
x x x x y y y y l l l l l l l l '⎡⎤==⎢⎥''-⎣⎦⎡⎤
-⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥-----⎢⎥⎣
⎦
单元应力
{}
{}[]{}e
e e
a b E E B σσεδσ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭
（6-7）
注：
（1）对于平面直杆单元，应变矩阵为
[]11u B l l ⎡⎤=-
⎢⎥⎣⎦
（2）对于平面直梁单元，应变矩阵为
[]2322326124661226()()()
()v x
x x x B y y y y l
l l l l l l l ⎡⎤
=-----⎢⎥⎣⎦
五、平面直梁单元的刚度矩阵
假定单元内任意一点的虚位移为{}
*f ，则
{}[]{}*
*e
f N δ=
单元内的虚应变{}*e
ε
为
{}[]{}**e
e
B εδ=
梁单元内应力由于虚应变作的虚功为
{}(){}{}()[][]{}
*
*
T T T
e e e
e
U dv B B dv ε
σδδ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
若单元节点力为
{}
e
T
i e
Ni i i
Nj j j j F F F F M F F M F θθ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣
⎦⎪⎪⎩⎭
考虑梁单元上沿轴线作用着分布载荷{}q ，则单元外力由于虚位移所作的虚功为
{}{}{}(){}
{}(
){}{}()
***
T
T
e
e
e
T e e
T
W f
q dx F N q dx F δδ
=+=+⎰⎰
由虚位移原理 e e
U W = ，得
{}{}[][]{}T
e
e
T
N q dx F B B dv δ+=⎰⎰⎰⎰
令
{}
{}{}{}{}e
e e e
T
R N
q dx F Q F =+=+⎰
[]
[][]T
e
k B B dv =⎰⎰⎰
于是，得
[]{}{}e
e
e
k R δ=
式中 {}[]{}e
T
Q N q
d x
=⎰ 是由于分布载荷移置的等效节点力。

进行一系列的积分运算，可得出单元刚度矩阵如下
[]
323
2
32
2
120640001261200626400
e
EA
l EI l EI EI l l k EA EA l l EI EI EI l l l EI EI EI EI l l
l
l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
（6-8）
注：
1. 轴力杆单元刚度矩阵（平面杆单元）
[]
11EA 11ii ij e
ji j j k k k k k l ⎡⎤-⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
边界条件：
端部给定位移边界条件： u u =
端部给定载荷边界条件： a A P σ=
例题：等截面钢杆AB ，在截面C 处加力P=105 N ，杆的横
截面面积A=2000mm 2。

求（1）节点位移；（2）单元应力；（3）A 、B 两端的约束反力。

设 12200,2,l mm l l l l ===。

解：（1）{}[][]12
32u u 00T T
u u u ==
{}[]13T
F R P R =
[]
(1)
1112212211111EA EA 11112k k k k k l l --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
[]
(2)
2223323321111EA EA 1111k k k k k l l --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 整体平衡方程为
(1)(1)
11121(1)(1)(2)(2)212222232(2)(2)332330000k k R k k k k u P R k k ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪
⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣
⎦
则减缩后的整体平衡方程为
()(1)(2)
22222k k u P +=
即 2EA EA 2u P l
l ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
∴ 54223102000.6710()332000Pl u mm EA E E
⨯⨯⨯=
==⨯ （2）
单元①的应力为
[]{}[][]{}[](1)(1)
(1)
22111121()100011011116.67()3u
E B u E H x A u E E u u l l l l Eu P MPa l A
σ
'==⎡⎤
⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎣
⎦⎢⎥⎣⎦
===
单元②的应力为
[]{}
[][]{}[](2)
(2)
(2)
22222
222()1
011011
100233.33()
3u
E B u E H x A u u u E E l l l l Eu P MPa l A
σ
'==⎡⎤
⎡⎤⎧⎫⎧⎫
⎢⎥==-
⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎩⎭⎩⎭
⎣⎦⎢⎥⎣⎦
=-=-
=- 负号表示为压应力。

（3）节点1（A 点）的约束反力
(1)1122
2
1
233.33()
233
EA
R k u u l EA Pl P KN l EA ==-=-=-=-
节点3（ B 点 ）的约束反力
(2)2322
266.67()3
P R k u KN ==-=-
2. 平面直梁弯曲单元 边界条件（三种情况）：
(1) 固定端： 0v = , dv dx
θ==0
(2) 简支端： 0v = , M=0
(3) 自由端： Q=0 , M=0
v 、θ、M 和Q 分别是在端部给定的挠度、转角、弯矩
和剪力。

单元刚度矩阵为
[]
2
232212
612664621261266264ii ij e
ji
jj l l k k l l l l EI k k k l
l l l l l
l -⎡⎤⎢⎥⎡⎤-⎢
⎥==⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣
⎦
例题：已知梁的抗弯刚度EI ，确定梁的中点位移和单元应
力。

解：
[](1)
11122122ii ij ji jj k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ []
(2)
22
2332
33ii ij ji
jj k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ 整体节点位移向量为
{}1
2
3
2
0T
T
T
T T T
T T
v v
v
v v
⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦
节点2的位移向量为
{}[]
222T
v v θ=
整体节点力向量为
{}1
2
3
T
T
T T F R
F
R ⎡⎤=⎣⎦
节点2的载荷向量为
{}[]2F 0T
P
=-
整体平衡方程为
(1)(1)
11112(1)(1)(2)(2)122222
2322(2)
(2)32
333000
0R k k k k k k v F k k R ⎡⎤⎧⎫
⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭
⎣⎦
减缩后的平衡方程为
{}{}(1)(2)
222222k k v F ⎡⎤+=⎣⎦
单元①刚度矩阵
[]
(1)
2223126EI 64jj l k k l l l -⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦
单元②刚度矩阵
[]
[](2)
2223126EI 64ii l k k l l l ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
代入减缩后的平衡方程，得
2232240EI 080v P l l θ-⎧⎫⎧⎫
⎡⎤=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭
⎣⎦⎩⎭ 解得
3
224Pl v EI
=-
, 20θ= 单元①的应力
[]{}
(1)
(1)32322323
23006124661226()
240612(612)
(0)
2424b
E B v x x
x x Ey Pl l
l l l l l l l EI x Pl
Py Ey l x x l l
l EI I σ
=⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎡⎤=-----⎨⎬
⎢⎥-
⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎛⎫=-=-≤≤ ⎪⎝⎭
第二节 梁单元的等效节点力
{}
[]T
N e
Q qdx =⎰ （6-11）
是将作用在梁单元上的分布载荷按照虚功相等的原则 移置到单元节点上的力。

1. 分布轴向力()p x 的等效节点力
()
p
x l
i
j
N j
N
轴向力所对应的轴向位移的形函数
[]1u x x N l
l ⎡⎤=-
⎢⎥⎣⎦
则单元等效节点载荷
{}[]000()()(1)()l i e
T u j l l
N Q N p x dx
N x p x dx l x p x dx l ⎧⎫⎪⎪
==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
⎧⎫-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⋅⎪⎪⎩⎭
⎰⎰⎰ （6-12）
若()p x 为均布轴向力()p x p =时
1
2
i j N N pl ==
即等效节点载荷是总载荷的一半。

2. 分布横向力()q x （剪力）的等效节点应力 梁的弯曲挠度的形函数为
[]23
23
23
2323
2
232322321v x x x x x x x x N x l l l l l l
l l ⎡⎤
=-+-+--+⎢⎥⎣
⎦
i
yj
Q zi
zj
M
等效节点力为
{}
[]023*********
2302320()32()12()32()()yi l zi e
v yj zj l l
l l Q M Q q x N dx Q M x x q x dx l l x x q x x dx l l x x q x dx l l x x q x dx l l ⎧⎫⎪⎪
⎪⎪
==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
⎧⎫⎛⎫-+⎪⎪
⎪⎝⎭⎪
⎪⎪⎪
⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨⎬⎛⎫⎪⎪
- ⎪⎪⎪⎝
⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎪
⎝⎭⎩⎭
⎰⎰⎰⎰⎰ 230
2
1223323
210Q 2101Q Q 3200Q 1100l l l l l l l
l ⎡
⎤-⎢⎥
⎢⎥⎧⎫⎢⎥-⎪⎪⎪⎪
⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
（6-14） 式中
()()()()0100
233400
,,l
l
l
l
Q q x dx
Q q x xdx
Q q x x dx
Q q x x dx
====⎰⎰⎰⎰
若()q x 为均布轴向力()q x q =，则
{}
221211212112yi zi e
yj zj ql Q ql M Q Q ql M ql ⎧⎫⎪⎪
⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪
⎪⎪⎪-⎩⎭
3. 分布弯矩()z m x 的等效节点力
l
i
yj
Q zi
zj
M
对应弯矩()z m x 的位移是转角dv
dx
θ=，因此相应的形函
数为[]v
N '，等效节点力为
{}
()[]0230
2
1223323
210Q 2101Q Q 3200Q 1100yi l zi e
T
z v
yj zj Q M Q m x N dx Q M l l l l l l l
l ⎧⎫⎪⎪
⎪⎪'==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎡⎤-⎢⎥
⎢⎥⎧⎫⎢⎥-⎪⎪⎪⎪
⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
⎰ (6-15) 式中
0102230
,()2(),3()l
z l l z z Q Q m x dx
Q m x xdx Q m x x dx
====⎰⎰⎰
若()z z m x m =为均布弯矩，则
{}
00yi z zi e
z yj zj Q m M Q m Q M ⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
4. 分布扭矩()x m x 的等效节点力
()
m x l
i
i
j
xi
xj
因为扭转角的形函数矩阵和轴向位移的形函数矩阵是相同的，因此等效节点力为
{}
[]0
00()(1)l i e
T u x j l x l
x M Q N m x dx
M x m dx l x m dx l ⎧⎫⎪⎪
==⎨⎬⎪⎪⎩
⎭⎧⎫-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⋅⎪⎪⎩⎭
⎰⎰⎰
若()x x m x m =为均布弯矩，则
{}
112
i e
x j M m Q M ⎧⎫⎧⎫
⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎩⎭
⎪⎪⎩⎭
第三节 梁单元刚度矩阵的坐标变换
在上节中，推导单元刚度矩阵时采用的是局部坐标系，他的坐标方向是由单元方向确定的。

采用这样的坐标系，可以对不同方向的单元导得具有统一形式的单元刚度矩阵，但是，有不同方向单元组成的结构，它的整体刚度矩阵并不能把局部坐标系下的单元刚度矩阵简单的叠加。

所以必须建立一个统一的整体坐标系。

计算时把个单元在局部坐标系下建立的单元特性矩阵通过坐标变换得到他们在整体坐标系的表达式，然后按以前组集规则给出结构平衡方程。

整体坐标系：oxyz 局部坐标系：ox y z '''
显然，整体坐标系z 与局部坐标系z '重合。

{}{}[],,e
e e
R k δ'''分别表示单元在局部坐标系ox y z '''下的节点力、节点位移和刚度矩阵。

{}
{}[],,e
e
e
R k δ分别表示单元在整体坐标系oxyz 下的
节点力、节点位移和刚度矩阵。

考察单元结点i 在局部坐标系下的位移,,i i i u v θ'''与整
体坐标系中的位移,,
i i i u v θ之间的几何关系。

i
y
cos sin sin cos i i i i i i i i u u v v u v ααααθθ''=-⎧⎪
''=+⎨⎪'=⎩
写成矩阵形式
cos sin 0sin cos 000
1i i i i i i u u v v ααααθθ'-⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥'=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪'⎢⎥⎩⎭⎩⎭
⎣
⎦ 简记为
{}[]{}i i t δδ'=
[]cos sin 0sin cos 00
1t α
α
αα-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则有
{}
[]{}00e e
e
e
i i j j T T T δδδδδδ'⎧⎫⎧⎫⎡⎤'===⎨⎬⎨⎬⎢⎥
'⎣⎦⎩⎭⎩⎭
式中
[]00t T t ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
—— 是一个6×6正交矩阵
所以 [][]1
T
T T -=
故 {}[]
{}[]{}1
e
e
e
T
T T δδδ-'==
同理 {}[]{}e e
R T R '=
∵ {}[]{}e
e
R k δ'''=
∴ {}[][]{}[][][
]{}e e
e
T R T k T k T δδ'''==
令
[][][][]
e T
k T k T '=
------ 整体坐标系下单元刚度矩阵
[]{}{}e
e
e
k R δ= ----- 为整体坐标系下的平衡方程
例题：计算平面刚架内力。

已知各截面面积
A=76.3cm 2=0.763 m 2。

惯性矩 I=15760cm 4=0.01576 m 4。

弹性模量E=2×105MPa=2×1011Pa 。

杆①所受的均布载荷为q=60KN/m=60×103N/m 。

解：单元① α=0 [k ′] ①
=E ⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-----------334
3
3
3
3434
1085.910309.210214.7001193
.010925.410309.201085.910309.210214.7010309.210214.70
01193.0001193
.0 {R ′}e =[0 -1.92×105 -2.408×105 0 -1.92×105 .408×105]T
[k ′] ①
=[k] ①
, {R ′}①
={R}①
单元② α=90°
[k ′]
②
=E ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-----------233
3
3
2
333
3102608.110782.310513.1001526
.010304.610782.30102608.110782.310513.1010782.310513.10
01526.0001526
.0 [t]=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10
0cos sin 0sin cos α
ααα
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-100001010 {R ′}②
={0}
[k] ②
=[T] [k ′] ②
[T]T
单元③ sinα=﹣5／5.9363 cos α=3.2／5.9363 {R ′}③
={0}
[k] ③
=[T] [k ′] ③
[T]T
L 3=5.9363 [k ′]
③
=E ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-----------234
3
3
2
343
4100619.110863.21004.9001285
.0103097.510863.20100619.110863.21004.9010863.21004.90
01285.0001285
.0 [t]=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10
0cos sin 0sin cos α
ααα
整体刚度矩
[]⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡++=3442333243
221222
13112211111000k k k k k k k k k K 减缩后的整体平衡方程
⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++21322122121
1
12
2
11111δδk k k k k k =⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧21R R 式中
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧21R R =
[]T
v u v u 22211121θθδδ=⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧
=
=
==
=
=·E
=
=
=
=·E 式中
c=cosα, s=sinα
减缩后整体刚度矩阵
=
=E·
解整体平衡方程，得
=
确定各单元的内力
单元①
=－
=
单元②
== =
=
=。