2021届四川省凉山州高三上学期第一次诊断性检测数学(理科)试题及答案

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凉山州2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知结合{}

013A x x =≤-<，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（）

A.{}1,2

B.{}1,2,3

C.{}1,2,3,4

D.{}1,2,3,4,5 2.复数

1i

1i

+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.方程2log 1

3

9

x

=

的解集为（） A.14⎧⎫⎨⎬⎩⎭

B.{}4

C.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭

D.19⎧⎫⎨⎬⎩⎭

4.ABC △

中，sin 22

πA ⎛⎫+

= ⎪⎝

⎭，则tan 2A

=（）

C.2-

1

5.n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，3579a a a tS ++=，则t =（） A.3 B.

13

C.2

D.

23

6.电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜（thin-film ）集成电路，集成电路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1，2，3，…，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下：

则取到号码为奇数的频率为（） A.0.5 B.0.49 C.0.51 D.0.48

7.直线2y x =+和双曲线2

213

x y -=的渐近线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为（）

A. C.

8.抛物线C ：2

y ax =在点()1,a 处的切线方程为210x y --=，则C 的焦点坐标为（）

A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

C.1,02⎛⎫

⎪⎝⎭

D.1,04⎛⎫

⎪⎝⎭

9.已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点D ，E 满足BD DC =，21

33

BE BA BC =+，AD 与BE 交于点P ，则BP BC ⋅=（） A.

1

2

B.

83

C.1

D.2

10.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形（如图），矩形的长为12cm ，矩形的宽和正方形的边长均为8cm .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为V 3cm ，则V 的最大值为（）

A.

3 B.3 C.32π D.256

3

π 11.设椭圆C ：22

214

x y a +

=（2a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB △的周长的最大值为12，则C 的离心率为（）

A.

3 B.3 C.3 D.5

9

12.a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为b

a

，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b m b

a m a

+>+（0a b >>，0m >）

.若13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =，则（） A.123x x x <<

B.132x x x <<

C.312x x x <<

D.321x x x <<

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.6

213x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中的常数项是______.（用数字作答）

14.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=.当0x ≥时，()2

f x x x =-，则不等式

()f x x ≤的解集用区间表示为______.

15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，且220n n a a +-=（n N +∈），则15S =______. 16.在空间中，过A 点作平面γ的垂线，垂足为B ，记作：()γB f A =.

关于两个不同的平面α，β有如下四个命题： ①若//αβ，则存在点P 满足()()αβf P f P =. ②若αβ⊥，则存在点P 满足()()αβf P f P =.

③若//αβ，则不存在点P 满足()()()()

αββαf f P f f P =.

④若对空间任意一点P ，恒有()()()()

αββαf f P f f P =，则αβ⊥. 其中所有真命题的序号是______.

三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分）

17.（12分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA 疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人. （1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？

（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为X ，求X 的分布列和数学期望.