2021届四川省凉山州高三上学期第一次诊断性检测数学(理科)试题及答案

绝密★启用前凉山州2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知结合{}013A x x =≤-<，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（）A.{}1,2B.{}1,2,3C.{}1,2,3,4D.{}1,2,3,4,5 2.复数1i1i+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.方程2log 139x=的解集为（） A.14⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}4C.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.19⎧⎫⎨⎬⎩⎭4.ABC △中，sin 22πA ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2A=（）C.2-15.n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，3579a a a tS ++=，则t =（） A.3 B.13C.2D.236.电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜（thin-film ）集成电路，集成电路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1，2，3，…，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下：则取到号码为奇数的频率为（） A.0.5 B.0.49 C.0.51 D.0.487.直线2y x =+和双曲线2213x y -=的渐近线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为（）A. C.8.抛物线C ：2y ax =在点()1,a 处的切线方程为210x y --=，则C 的焦点坐标为（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫⎪⎝⎭D.1,04⎛⎫⎪⎝⎭9.已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点D ，E 满足BD DC =，2133BE BA BC =+，AD 与BE 交于点P ，则BP BC ⋅=（） A.12B.83C.1D.210.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形（如图），矩形的长为12cm ，矩形的宽和正方形的边长均为8cm .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为V 3cm ，则V 的最大值为（）A.3 B.3 C.32π D.2563π 11.设椭圆C ：22214x y a +=（2a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB △的周长的最大值为12，则C 的离心率为（）A.3 B.3 C.3 D.5912.a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b m ba m a+>+（0a b >>，0m >）.若13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =，则（） A.123x x x <<B.132x x x <<C.312x x x <<D.321x x x <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是______.（用数字作答）14.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=.当0x ≥时，()2f x x x =-，则不等式()f x x ≤的解集用区间表示为______.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =，且220n n a a +-=（n N +∈），则15S =______. 16.在空间中，过A 点作平面γ的垂线，垂足为B ，记作：()γB f A =.关于两个不同的平面α，β有如下四个命题： ①若//αβ，则存在点P 满足()()αβf P f P =. ②若αβ⊥，则存在点P 满足()()αβf P f P =.③若//αβ，则不存在点P 满足()()()()αββαf f P f f P =.④若对空间任意一点P ，恒有()()()()αββαf f P f f P =，则αβ⊥. 其中所有真命题的序号是______.三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分）17.（12分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA 疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人. （1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为X ，求X 的分布列和数学期望.运算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，对照表：18.（12分）已知函数()()sin λx f x ωψ==+（0λ>，0ω>，02πψ<<）的部分图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积)222S a c b =+-.（1）求ABC △的角B 的大小； （2）若b =B 的坐标为1,3λ⎛⎫⎪⎝⎭，求()f x 的最小正周期及ψ的值.19.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，2πABC ∠=，122AB BC AD ===，且PAa =，E ，F 分别为PC ，PB 的中点.（1）若2a =，求证：PB ⊥平面ADEF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求二面角A PD C --的余弦值.20.（12分）椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-（0k ≠）与C 交于A ，B 两点（异于点P ）. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值. 21.（12分）设函数()()22ln x a f x x a x =+--（a R ∈）.（1）若1a =，求()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）若n *∈N ，证明：()()2222123ln 12341n n n +++⋅⋅⋅+<++. 请考生在第22、23两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（10分）选修44：坐标系与参数方程] 已知直线l 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设点()0,2P -，求PA PB +. 23，（10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知1a b +=，(),0,a b ∀∈+∞，1221b x x a b+≥-++恒成立. （1）若0a >，0b >，求1b a b+的最小值； （2）求x 的取值范围.凉山州2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学(理科)满分150分，考试时间120分钟.一､选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知结合，，则（）A.B.C.D.{}013A x x =≤-<{}1,2,3,4,5B =A B ={}1,2{}1,2,3{}1,2,3,4{}1,2,3,4,5答案：B 2.复数的实部和虚部分别为，，则（） A.1 B.2C.3D.4答案：A 3.方程的解集为（） A. B.C.D.答案：A 4.中，，则（） A.C.答案：C5.为正项等差数列的前项和，，则（） A.3 B.C.2D.答案：B6.电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜(thin-film)集成电路，集成电路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1，2，3，…，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下：则取到号码为奇数的频率为（） A.0.5 B.0.49C.0.51D.0.48答案：B7.直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为（）A.C.答案：A11ii+-a b a b +=2log 139x=14⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}413⎧⎫⎨⎬⎩⎭19⎧⎫⎨⎬⎩⎭ABC sin 22πA ⎛⎫+=⎪⎝⎭tan 2A =321n S {}n a n 3579a a a tS ++=t =13232y x =+2213x y -=A B AB8.抛物线：在点处的切线方程为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D. 答案：B 9.已知为等边三角形，，设点，满足，，与交于点，则（） A.B.C.1D.2答案：D10.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为，矩形的宽和正方形的边长均为.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为，则的最大值为（）A.B.C. D.答案：A11.设椭圆：()的左､右焦点分别为，，直线：交椭圆于点，，若的周长的最大值为12，则的离心率为（）C.D.答案：BC 2y ax =()1,a 210x y --=C 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC 2AB =D E BD DC =2133BE BA BC =+AD BE P BP BC ⋅=128312cm 8cm V 3cm V 3332π2563πC 22214x y a +=2a >1F 2F l y x t =+C A B 1F AB C 35912.克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则（） A. B. C. D.答案：B二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.的展开式中的常数项是______.(用数字作答) 答案： 14.定义在上的函数满足.当时，，则不等式的解集用区间表示为______.答案：15.设为数列的前项和，，，且，则______.答案： 16.在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记作：.关于两个不同的平面，有如下四个命题：①若，则存在点满足. ②若，则存在点满足.③若，则不存在点满足.④若对空间任意一点，恒有，则. 其中所有真命题的序号是______. 答案：②③④三､解答题(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分)17.2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA 疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了a b bam b m ba m a+>+0a b >>0m >13log 2x =215log 10x =345log 20x =123x x x <<132x x x <<312x x x <<321x x x <<6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭135R ()f x ()()0f x f x +-=0x ≥()2f x x x =-()f x x ≤(][]202-∞-,,n S {}n a n 11a =22a =*2(2)n n a a n N +=∈15S =509A γB ()γB f A =αβ//αβP ()()αβf P f P =αβ⊥P ()()αβf P f P =//αβP ()()()()αββαf f P f f P =P ()()()()αββαf f P f f P =αβ⊥研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为，求的分布列和数学期望.运算公式：，对照表：答案：（1）没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）分布列见解析，解：列联表如下：所以，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．（2）由题意得，采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，年轻受试者有人，22⨯X X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++99%()32E X =()122⨯()2210010601020 4.762 6.63530702080K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯99%633所以大龄受试者人数为的可能取值为，所以，， ，，所以的分布列为：所以. 18.已知函数(，，)的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，，分别为图象的最高点和最低点，中，角，，所对的边分别为，，，的面积.（1）求的角的大小；（2）若的坐标为，求的最小正周期及的值.答案：（1）；（2）最小正周期为，.（1）， 由余弦定理得， 又， X 0,1,2,3()33361020C P X C ===()2133369120C C P X C ===()1233369220C C P X C ===()33361320C P X C ===X ()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=()()sin λf x ωx φ=+0λ>0>ω02πϕ<<A x B C ABC A B C a b c ABC )222S a c b =+-ABC B b =B 1,3λ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ϕ3π26π=ϕ()2223S a c b =+-∴2S accosB =12S acsinB =， 即，，由题意得，， 由余弦定理，得， 即，设边与轴的交点为则为正三角形， 且， 函数的最小正周期为， ， 又点在函数的图象上，， 即 ，即 又， 122acsinB =tanB =()0,B π∈3B π∴=.()22,3a c b B π===∴2222cos b a c ac B =+-2224433c c c cosπ+-=1c =BC x ,D ABD ∆2λ∴=1AD =∴()f x 222πωπ∴==()()f x x πϕ=∴+1,32B ⎛ ⎝⎭()f x 13f ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭3πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭13sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2,32k k Z ππϕπ∴+=+∈2,6k k Z πϕπ=+∈02πϕ<<.19.如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点.（1）若，求证：平面；（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值. 答案：（1）详见解析；（2. （1）当时，，点是的中点，，又平面，，且，， 平面，平面，，又，平面；（2）， 解得：，如图，以为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，6πϕ∴=P ABCD -PA ⊥ABCD //AD BC 2ABC π∠=122AB BC AD ===PA a =E F PC PB 2a =PB ⊥ADEF P ABCD -A PD C --2a =AP AB =F BP AF BP ∴⊥AP ⊥ABCD AD AP ∴⊥AD AB ⊥AP AB A =AD ∴⊥PAB BP ⊂PAB AD BP ∴⊥AF A AD =BP ∴⊥ADEF ()1112422332P ABCD ABCD V S AP AP -=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=1AP =A ,,AB AD AP ,,x y z，，，，，， 设平面的法向量，则，即，令，则， ，显然平面，设平面的法向量，， 二面角是锐二面角，二面角的余弦值是. 20.椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值.答案：（1）；（2）证明见解析，定值为1. （1）由题意得：则椭圆方程为； （2）解法一（常规方法)：设，联立 化简可得：， 直线与椭圆交于两点()0,0,0A ()0,0,1P ()2,2,0C ()0,4,0D ()2,2,1PC =-()0,4,1PD =-PCD (),,m x y z =00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩22040x y z y z +-=⎧⎨-=⎩1y =1,4x z ==()1,1,4m ∴=AB ⊥PAD PAD ()1,0,0n=cos ,611m n m n m n ⋅<>===+A PD C --∴A PD C --6C 22221x y a b+=0a b >>()C ()0,1P 21y kx k =+-0k ≠C A B P C PA PB 2213x y +=1c b ==2223a b c =+=∴2213x y +=()()1122,,,A x y B x y 222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=1)20(y kx k k =+-≠C A B 、即 解得：由韦达定理 直线得斜率和为定值．解法二（构造齐次式)：由题直线恒过定点 ①当直线不过原点时，设直线为则即有 由有 则整理成关于的齐次式：， 进而两边同时除以， 则 令 则 0,∴∆>()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->01k <<()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+=()()226621121211211212k k k k k k k k k-+--===--∴PA PB 、11)20(y kx k k =+-≠()2,1--AB AB ()()11*mx n y +-=221mx n --=12m n +=-12m n =--2213x y +=()()2231610y x y +-+-=()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=,1x y -()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=2x ()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭1y k x-=121216116213636PA PBn y y m k k x x n n ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++②当直线过原点时，设直线的方程为 综合直线与直线的斜率之和为定值．21.设函数(). （1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：. 答案：（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.（1）的定义域为，当时，， 若，则，若，则, 在上单调递减，在上单调递增．，没有极大值．（2）， 当时，若，则，若，则，在上单调递减，在上单调递增，当，即时， 若，则或， 若，则 在上单调递减，在，上单调递增 AB AB ()()00001,,,,2y x A x y B x y =--0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=①②PA PB 1()()22ln =+--f x x a x a x a R ∈1a =()f x ()f x n *∈N ()()2222123ln 12341n n n +++⋅⋅⋅+<++()f x ()0,∞+1a =()()2111'21()x x f x x x x+-=--=()'0f x >1x >()'0f x <01x <<()f x ∴()0,1(1,)+∞()()10f x f ∴==极小值()()()()()21'220x a x a f x x a x x x+-=-+-=>10a ≥()'0f x >1x >()'0f x <01x <<()f x ∴()0,1(1,)+∞2012a <-<20a -<<()'0f x >02a x <<-1x >()'0f x <12a x -<<()f x ∴,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,)2a -()1,+∞当，即时，恒成立， 在上单调递增．当，即时， 若，则或; 若，则， 在上单调递减，在上单调递增 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增; 当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递减，在上单调递增;（3）由（1）知在上为减函数，时，，令，得 ， 即 ，…,， 将以上各式左右两边相加得：， 3︒12a -=2a =-()'0f x ≥()f x ∴()0,∞+412a ->2a <-()'0f x >01x <<2a x >-()'0f x <12a x <<()f x ∴(1,)2a -(),1,()02a-+∞12a <-()f x (1,)2a -(),1,()02a -+∞22a =-()f x ()0,∞+320a -<<()f x ,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,1,()2a -+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭40a ≥()f x ()0,1()1,+∞()2f x x x lnx =--()0,1()0,1x ∴∈()210x x lnx f -->=2x x lnx ∴->1n x n =+()221n x x n -=-+()2111n n n ln ln n n n +∴->=-++()211n n ln n n +>+222132432,,22334ln ln ln ∴>>>()211n n ln n n +>+()2222341123ln 2ln ln ln 232341n n n n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅++. 22.已知直线的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，设点，求. 答案：（1），；（2）将直线为参数)化为直角坐标系方程为： 直线的斜率为，即直线的倾斜角为 由曲线的极坐标方程：变形得，所以曲线的直角坐标系方程为． 将直线化为标准参数方程为：(为参数) 代入中，整理得：，设所对应的参数分别是，，23.已知，，恒成立. （1）若，，求的最小值； （2）求的取值范围.答案：（1）；（2）. ()()222212312341n ln n n ∴+>+++⋅⋅⋅++l 2x t y t =⎧⎨=-⎩t xOy O Ox C 2cos ρθ=l C l C A B ()0,2P -PA PB +4π2220x y x +-=()1:(2x t l t y t =⎧⎨=-⎩ 20x y --=∴14πC 2cos ρθ=22cos ρρθ=2220x y x ∴+-=C 2220x y x +-=()2l 2x y ''⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t '22:20C x y x +-=240t ''-+=181620,∆=-=>,A B 12,t t ''120t t ''+=1240t t ''=>120,0t t ''∴>>1212PA PB t t t t ''''∴=+=+=+1a b +=(),0,a b ∀∈+∞1221b x x a b +≥-++0a >0b >1b a b +x 340,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）因为， 取等号时，即，所以的最小值为； （2）因为，恒成立， 所以恒成立，即， 当时，，此时无解；当时，，解得；当时，，解得， 综上可知：的取值范围为. 1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=b a a b =12a b ==1b a b+3(),0,a b ∀∈+∞1221b x x a b +≥-++min1221b x x a b ⎛⎫+≥-++ ⎪⎝⎭2213x x -++≤1x <-2213x x ---≤1x >2213x x -++≤413x <≤11x -≤≤2213x x -++≤01x ≤≤x 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦。