普特南数学竞赛试题
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题摘要：一、引言1.介绍普特南数学竞赛2.2019 年普特南数学竞赛原题的背景二、竞赛原题1.题目概述2.题目具体内容三、解题思路1.分析题目2.确定解题方法3.解题步骤四、答案与解析1.答案2.解析五、总结1.对竞赛原题的点评2.对参赛者的建议正文：一、引言普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是一项在全球范围内举办的大学生数学竞赛，被誉为数学界的“诺贝尔奖”。
每年12 月份，来自世界各地的大学生们会聚集在一起，挑战各种数学难题。
2019 年的普特南数学竞赛原题，为参赛者们带来了全新的挑战与思考。
二、竞赛原题2019 年普特南数学竞赛原题如下：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求解f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
三、解题思路1.分析题目首先，我们要对题目中的函数f(x) 进行分析。
通过观察，我们可以发现这是一个三次函数，并且它在区间[0, 2] 上有两个零点（即函数值为0 的点）。
我们需要找到这个函数在这个区间上的最小值。
2.确定解题方法为了求解这个问题，我们可以使用导数法。
通过求函数f(x) 的导数，找到函数的极值点。
然后，结合函数的端点值，比较这三个值，找到函数的最小值。
3.解题步骤(1) 求导数：f"(x) = 3x^2 - 6x + 2(2) 求极值点：令f"(x) = 0，解得x = 1 ± √2/3(3) 比较函数值：将极值点和端点值代入原函数，得到f(0) = 1，f(1+√2/3) ≈ -0.316，f(1-√2/3) ≈ -0.316，f(2) = 3(4) 确定最小值：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为f(1+√2/3) ≈ -0.316。
四、答案与解析答案：f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值为-0.316。
解析：通过求导数和比较函数值，我们找到了函数f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值。
普特南高中数学竞赛试题
普特南高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^3 + b^3 = 27 \)，求\( a + b \)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 52. 在直角三角形中，若两直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8E. 93. 一个圆的半径是5，求其面积。
A. 25B. 50C. 75D. 100E. 1254. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项是前三项的和。
求第10项的值。
A. 143B. 144C. 145D. 146E. 1475. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。
A. 2, 3B. 1, 4C. 2, 4D. 3, 4E. 4, 66. 一个正六边形的内角和是多少？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°E. 900°二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
8. 将\( \frac{1}{2} \)和\( \frac{1}{3} \)相加，结果是_________。
9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是_________。
10. 一个正方体的体积是27立方单位，其表面积是_________平方单位。
三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( n^3 - n \)总是3的倍数。
12. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
13. 一个圆的直径是10，求其内接正方形的面积。
结束语本试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
希望同学们能够通过解答这些题目，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
祝大家取得好成绩！请注意，以上内容是虚构的，仅作为示例。
普特兰数学竞赛题
A1 Let f : R2 → R be a function such that f (x, y )+f (y, z )+f (z, x) = 0 for all real numbers x, y , and z . Prove that there exists a function g : R → R such that f (x, y ) = g (x) − g (y ) for all real numbers x and y . Answer: The function g (x) = f (x, 0) works. Substituting (x, y, z ) = (0, 0, 0) into the given functional equation yields f (0, 0) = 0, whence substituting (x, y, z ) = (x, 0, 0) yields f (x, 0) + f (0, x) = 0. Finally, substituting (x, y, z ) = (x, y, 0) yields f (x, y ) = −f (y, 0) − f (0, x) = g (x) − g (y ). Remark: A similar argument shows that the possible functions g are precisely those of the form f (x, 0) + c for some c. A2 Alan and Barbara play a game in which they take turns filling entries of an initially empty 2008 × 2008 array. Alan plays first. At each turn, a player chooses a real number and places it in a vacant entry. The game ends when all the entries are filled. Alan wins if the determinant of the resulting matrix is nonzero; Barbara wins if it is zero. Which player has a winning strategy? Answer: Barbara wins using one of the following strategies. First solution: Pair each entry of the first row with the entry directly below it in the second row. If Alan ever writes a number in one of the first two rows, Barbara writes the same number in the other entry in the pair. If Alan writes a number anywhere other than the first two rows, Barbara does likewise. At the end, the resulting matrix will have two identical rows, so its determinant will be zero. Second solution: (by Manjul Bhargava) Whenever Alan writes a number x in an entry in some row, Barbara writes −x in some other entry in the same row. At the end, the resulting matrix will have all rows summing to zero, so it cannot have full rank. A3 Start with a finite sequence a1 , a2 , . . . , an of positive integers. If possible, choose two indices j < k such that aj does not divide ak , and replace aj and ak by gcd(aj , ak ) and lcm(aj , ak ), respectively. Prove that if this process is repeated, it must eventually stop and the final sequence does not depend on the choices made. (Note: gcd means greatest common divisor and lcm means least common multiple.) Answer: We first prove that the process stops. Note first that the product a1 · · · an remains constant, because aj ak = gcd(aj , ak )lcm(aj , ak ). Moreover, the last number in the sequence can never decrease, because it is always replaced by its least common multiple with another number. Since it is bounded above (by the product of all of the numbers), the last number must eventually reach its maximum value, after which it remains constant throughout. After this happens, the next-to-last number will never decrease, so it eventually becomes constant, and so on. After finitely many steps, all of the numbers will achieve their final values, so no more steps will be possible. This only happens when aj divides ak for all pairs j < k . We next check that there is only one possible final sequence. For p a prime and m a nonnegative integer, we claim that the number of integers in the list divisible by pm never changes. To see this, suppose we replace aj , ak by gcd(aj , ak ), lcm(aj , ak ). If neither of aj , ak is divisible by pm , then neither of gcd(aj , ak ), lcm(aj , ak ) is either. If exactly one aj , ak is divisible by pm , then lcm(aj , ak ) is divisible by pm but gcd(aj , ak ) is not. gcd(aj , ak ), lcm(aj , ak ) are as well. 1
2020年普特南数学竞赛题
2020年普特南数学竞赛题1. 给出所有整数解$(x, y, z)$，满足$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$。
2. 证明或反驳：存在无穷多个质数$p$，使得$p + 2$也是质数。
1. 给定一个三角形，证明其内部存在一个点，该点到三角形的三边的距离之和最小。
2. 考虑一个圆和一个椭圆，它们具有相同的面积。
求证：椭圆周长大于圆的周长。
1. 一共有$n$个人站成一排，证明存在一种排列方式，使得没有人站在自己的左边。
2. 给出两个长度为$n$的序列，证明存在一种方法使得一个序列可以被另一个序列覆盖，使得覆盖的元素之和相等。
1. 给定一个无向图，证明图中存在一个顶点，其度数（与该顶点相连的边数）大于等于$\frac{n}{4}$，其中$n$是顶点的数量。
2. 证明或反驳：对于任意给定的正整数$n$，都存在一个由$n$个正整数构成的集合，使得该集合中任意两个数的比值都不相同。
1. 证明：对于任意两个实数$a$和$b$，都存在一个整数$N$，使得$a^N > b$。
2. 给出复平面上的一个开集，证明在该开集内存在一个闭集，该闭集的边界包含在给定的开集中。
1. 证明：对于任意一个常微分方程，都存在一个解，使得该解在某一点达到其最大值或最小值。
2. 考虑一个由以下方程描述的线性动力系统：$\frac{dx}{dt} = ax + b$。
证明：当$a > 0$时，该系统是稳定的；当$a < 0$时，该系统是不稳定的。
1. 给定一个矩阵A，其中所有行和所有列的和都等于0。
证明：A是奇异的（行列式为0）。
2. 对于一个给定的矩阵A，证明：如果A的所有特征值都是正的，那么A是正定的。
1. 证明：任意一个无向图都可以被划分为不超过其顶点数一半的连通子图。
2. 给定一个图，其中任意两个顶点之间最多有一条边。
证明：存在一种颜色分配方法，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
1. 给定一个目标函数和约束条件，使用线性规划方法找到最优解。
第36届普特南数学竞赛试题
第36届普特南数学竞赛试题第36届普特南数学竞赛试题是一道关于数学竞赛的试题，涉及到数学的各个领域，考察了参赛者在数学知识和解题能力方面的水平。
本次试题的要求是回答并解决一系列数学问题，要求回答准确且详细，解题步骤清晰，逻辑严谨。
下面将对其中几道试题进行讨论。
第一道题是关于代数的题目。
题目要求求解一个二元一次方程组。
首先，我们可以将方程组表示为矩阵形式，然后通过高斯消元法或其他求解线性方程组的方法，将方程组化简为只有一个未知数的方程。
最后，将求得的未知数代入到另一个方程中，就可以得到另一个未知数的值。
需要注意的是，要检验所求得的解是否符合原方程组。
在解答过程中，还可以讨论方程组的解的个数和形式，以及可能的特殊情况。
第二道题是关于几何的题目。
题目要求证明一个几何定理，即证明一个特殊的三角形为等边三角形。
在解答这个问题时，我们可以运用几何学中的一些基本定理和性质，例如等腰三角形的性质、三角形内角和定理等。
通过合理的构造和运用这些几何定理，可以证明所给的三角形是等边三角形。
解答过程中，需要清晰地展示证明的步骤和逻辑，以及所使用的定理和性质。
第三道题是关于数论的题目。
题目给出了一个数论问题，要求证明一个数的整除性质。
在解答这个问题时，可以运用数论中的一些基本定理和性质，例如质因数分解定理、最大公因数和最小公倍数的性质等。
通过运用这些定理和性质，可以证明所给的数的整除性质。
解答过程中，需要清晰地展示证明的步骤和逻辑，以及所使用的定理和性质。
第四道题是关于概率的题目。
题目给出了一个概率问题，要求计算某个事件发生的概率。
在解答这个问题时，可以运用概率的基本原理和公式，例如事件的定义、概率的计算公式等。
通过计算所给事件发生的可能性与总的样本空间的比值，可以得到所求的概率。
解答过程中，需要清晰地展示计算的步骤和逻辑，以及所使用的概率原理和公式。
以上是第36届普特南数学竞赛试题的部分内容的讨论和解答方法。
这些试题涵盖了代数、几何、数论和概率等数学的不同领域，要求参赛者在这些领域具有扎实的数学基础和解题能力。
普特南大学数学竞赛试题及答案
普特南大学数学竞赛试题及答案问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots +n^2 + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
答案一：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先，当\( n = 1 \)时，左边等于1，右边等于1，等式成立。
假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \]我们需要证明对于\( n = k + 1 \)时，等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k+1)^2 + (k+1) \] \[ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 + (k+1) \]\[ = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2 + 6(k+1)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6 + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 12)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(2(k+1)(k+3) + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 3)}{6} \]\[ = \frac{(k+1)(k+1)(2(k+1) + 1)}{6} \]这证明了当\( n = k + 1 \)时等式也成立。
因此，对于所有正整数\( n \)，等式成立。
问题二：给定一个圆的半径为\( r \)，求圆内接正六边形的边长。
答案二：圆内接正六边形的边长等于半径\( r \)。
这是因为正六边形可以被划分为六个等边三角形，每个等边三角形的边长都是\( r \)。
问题三：如果\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a^2 - b^2 = 1 \)，证明\( a \)和\( b \)中至少有一个是偶数。
普特南数学竞赛试题 美国大学生数学竞赛试题 国际大学生数学竞赛试题
SEVENTY-FIRST ANNUAL WILLIAM LOWELL PUTNAM MATHEMATICAL COMPETITION Saturday, December 4, 2010 Examination B
B1. Is there an infinite sequence of real numbers a1 , a2 , a3 , . . . such that am + am + am + · · · = m 1 2 3 for every positive integer m? B2. Given that A, B, and C are noncollinear points in the plane with integer coordinates such that the distances AB, AC, and BC are integers, what is the smallest possible value of AB? B3. There are 2010 boxes labeled B1 , B2 , . . . , B2010 , and 2010n balls have been distributed among them, for some positive integer n. You may redistribute the balls by a sequence of moves, each of which consists of choosing an i and moving exactly i balls from box Bi into any one other box. For which values of n is it possible to reach the distribution with exactly n balls in each box, regardless of the initial distribution of balls? B4. Find all pairs of polynomials p(x) and q(x) with real coefficients for which p(x)q(x + 1) − p(x + 1)q(x) = 1.
2019普特南数学竞赛原题
2019普特南数学竞赛原题一、选择题（每题3分，共30分）下列函数中，为奇函数的是（）A. y=sinx+1B. y=x3C. y=xD. y=x21已知向量 a⟶=(1,2)，b⟶=(3,1)，则 a⟶⋅b⟶= （）A. 5B. 7C. 1D. -1已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，S3=9，则公差 d= （）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）已知函数 f(x)=log2(3x−2)的定义域为_______。
已知tanα=2，则4sinα+3cosα2sinα−cosα= _______。
若直线 l 过点 (2,3) 且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线 l 的方程为_______。
三、解答题（共70分）1.（12分）已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=2an+1。
（1）求证：数列 {an+1} 是等比数列；（2）求数列 {an} 的通项公式。
2.（12分）已知圆 C:x2+y2=4，直线 l:y=kx+1。
（1）若直线 l 与圆 C 相切，求 k 的值；（2）若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点，且∣AB∣=23，求 k 的值。
3.（12分）已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，a2=3，S5=20。
（1）求数列 {an} 的通项公式；（2）求数列 {anan+11} 的前 n 项和 Tn。
4.（14分）设函数 f(x)=31x3−x2+ax+b。
（1）若 f(x) 在 x=1 及 x=3 时取得极值，求 a,b 的值；（2）若 f(x) 在(−∞,2)上为减函数，在(2,+∞)上为增函数，求 f(x) 的单调递减区间。
5.（20分）已知椭圆 C:a2x2+b2y2=1（a>b>0）的离心率为 23，短轴长为 23。
（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P(4,0) 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点。
2022普特南数学竞赛试题
六年级下学期期末数学竞赛试题一、填空：（每空1分，共24分）1、43吨＝（ ）千克 15分＝（ ）时 2、（ ）和0.3互为倒数3、比16千克多21 是（ ）千克；（ ）米比36米少32米 4、女生有25人，男生有20人，男生比女生少（ ）%5、（ ）÷8 = （ ）4= 0.5 =( )% = ( ):( )=（ ）折 6、将5.4：0.3化简为最简单的整数比是（ ），比值是（ ）7、一件衣服原价400元，先降价51，再提价41，现在这件衣服需要（ ）元 8、把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的长为12.56cm ，这个圆的周长是（ ）cm ，面积是（ ）2cm9、把一个圆柱的直径扩大3倍后，高不变，它的侧面积为原来的（ ）倍，它的体积为原来的（ ）倍.10、把一个直径为2分米，高为3分米的圆柱形木料，如果沿高切开得到两个几何体，表面积增加的最大值是（ ）平方分米；如果削为一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米11、从一个长是10分米，宽是6分米的长方形纸里剪出一个最大的圆，这个圆面积是（ ）平方分米，剩下部分的面积约占长方形总面积的（ ）%二、判断下面各题，对的在括号里画“√”，错的画“×”（5分）1、甲比乙多 15 米，也就是乙比甲少 15米 （ ） 2、 某班男、女生人数的比是7：8，男生占全班人数的157 （ ） 3、 半径是2厘米的圆，它的周长与面积相等 （ ）4、 某商品打“七五折”出售，就是降价85%出售 （ ）5、一个圆柱和一个圆锥的高相等，体积也相等，圆柱的底面积是15平方厘米，则圆锥的底面积是5平方厘米 （ ）三、选择正确的答案，把答案的序号填在括号里 （5分）1、下面的算式中结果最小的是（ ）A 、683÷B 、 836÷ C 、 836⨯ 2、甲数是乙数的54,乙数比甲数少（ ）% A 、25 B 、75 C 、203、某校七年级有500名学生，在一次视力检查中，近视的的有200人，绘制成扇形统计图，代表“视力近视”的扇形圆心角是 （ ）A 、144°B 、162°C 、216°4、一件工程，甲队单独做需5天完成，乙队单独做需4天完成，甲乙两队的工效的比是（ ）A 、5 :4B 、4 ：5C 、41：51 5、一个圆锥与一个圆柱体的底面周长的比是1：2，圆锥的高是圆柱的6倍，圆柱体的体积是圆锥的（ ）A 、 2 倍B 、32C 、61 四、计算下面各题（40分）1、直接写出得数（每式1分，共8分）34 ×8 = 23 ÷2 = 910 ÷ 35 = 16 × 38= 103×125= 1÷115= 21÷60%= 6.8÷10%= 2、怎样算简便就怎样算（每式3分，共15分）49 × 15 ÷ 45 81×58＋42÷8 36×（23 ＋ 16 － 75%） 81×[21÷（53×910）] （21＋41）÷（80%÷4－101）3、解方程（9分）x ÷43＝54 1－85x ＝34 ×23 41x ＝31:30％4、看图计算（每题4分，共8分）（1）求下面图形中阴影部分的面积.(单位：cm)（2）把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？四、应用题：（每题共26分，第1、2、3、5、6题每题4分，第4题6分）1、鹅的孵化期是30天，鸭的孵化期是鹅的1514，鸡的孵化期是鸭的43。
美国普特南数学竞赛试题2015(题目)
A3 Compute
2015 2015
∏ ∏ log2
(1 + e2πiab/2015)
a=1 b=1
Here i is the imaginary unit (that is, i2 = −1).
B3 Let S be the set of all 2 × 2 real matrices
M=
ab cd
whose entries a, b, c, d (in that order) form an arithmetic progression. Find all matrices M in S for which there is some integer k > 1 such that Mk is also in S.
B2 Given a list of the positive integers 1, 2, 3, 4, . . . , take the first three numbers 1, 2, 3 and their sum 6 and cross all
four numbers off the list. Repeat with the three smallest remaining numbers 4, 5, 7 and their sum 16. Continue in this way, crossing off the three smallest remaining numbers and their sum, and consider the sequence of sums produced: 6, 16, 27, 36, . . . . Prove or disprove that there is some number in the sequence whose base 10 representation ends with 2015.
普特南数学竞赛试题解答
f (x) − f (x + 1) dx = f (x) =
b−1 0
1
k =a
f (x + k ) − f (x + k + 1) dx f (x + k ) f (x + k ) − f (x + k + 1) dx f (x + k ) f (x + k ) − f (x + k + 1) dx f (x + a)
Define the function g : R → R by g (x) = f (x + 1) − f (x), and put c = g (0), d = f (0). For all x ∈ R, g ′ (x) = f ′ (x + 1) − f ′ (x) = 0, so g (x) = c identically, and f ′ (x) = f (x + 1) − f (x) = g (x) = c, so f (x) = cx + d identically as desired. A3 If a = b = 0, then the desired result holds trivially, so we assume that at least one of a, b is nonzero. Pick any point (a0 , b0 ) ∈ R2 , and let L be the line given by the parametric equation L(t) = (a0 , b0 ) + (a, b)t for t ∈ R. By the chain rule and the given equation, we d have dt (h ◦ L) = h ◦ L. If we write f = h ◦ L : R → R, then f ′ (t) = f (t) for all t. It follows that f (t) = Cet for some constant C . Since |f (t)| ≤ M for all t, we must have C = 0. It follows that h(a0 , b0 ) = 0; since (a0 , b0 ) was an arbitrary point, h is identically 0 over all of R2 . A4 Put N = 1010
普特南大学数学竞赛1986年试题
(1 − x)n f (x) = 1 +
ai xbi .
i=1
A–4 A transversal of an n × n matrix A consists of n entries of A, no two in the same row or column. Let f (n) be the number of n × n matrices A satisfying the following two conditions: (b) The sum of the n entries of a transversal is the same for all transversals of A. An example of such a matrix A is −1 0 −1 A = 0 1 0 . 0 1 0 Determine with proof a formula for f (n) of the form
n n f (n) = a1 bn 1 + a2 b 2 + a3 b 3 + a4 ,
(a) Each entry αi,j of A is in the set {−1, 0, 1}.
where the ai ’s and bi ’s are rational numbers. A–5 Suppose f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) are functions of n real variables x = (x1 , . . . , xn ) with continuous secondorder partial derivatives everywhere on Rn . Suppose further that there are constants cij such that ∂fi ∂fj − = cij ∂xj ∂xi for all i ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnd j , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. Prove that there is a function g (x) on Rn such that fi + ∂g/∂xi is linear for all i, 1 ≤ i ≤ n. (A linear function is one of the form a0 + a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn .) A–6 Let a1 , a2 , . . . , an be real numbers, and let b1 , b2 , . . . , bn be distinct positive integers. Suppose that there is a polynomial f (x) satisfying the identity
普特南数学竞赛试题
普特南数学竞赛试题摘要：一、普特南数学竞赛背景介绍1.普特南数学竞赛的起源2.竞赛的组织机构3.竞赛的规模和影响力二、普特南数学竞赛试题特点1.试题难度和范围2.试题的原创性3.试题的区分度三、普特南数学竞赛对我国学生的启示1.提高学生的数学素养2.培养学生的创新思维3.激发学生对数学的兴趣四、我国学生参加普特南数学竞赛的意义1.提升国际竞争力2.扩大国际交流与合作3.为我国数学教育发展提供借鉴正文：普特南数学竞赛（Putnam Mathematical Competition）是由美国数学及其应用联合会（American Mathematical Society,AMS）和美国数学竞赛委员会（Mathematical Association of America,MAA）共同组织的一年一度的国际性数学竞赛。
竞赛始于1938 年，以纪念美国数学家、教育家、哲学家普特南（Joseph Henry Putnam）而命名。
该竞赛旨在选拔和培养全球优秀的数学人才，激发青少年对数学的兴趣和热情，提高数学教育水平。
普特南数学竞赛试题以严谨、创新、挑战性强而著称。
竞赛试题分为两部分，共计12 道题，难度逐渐提高。
试题涵盖了代数、几何、组合、数论、概率等广泛的数学领域，要求参赛者在规定时间内完成。
竞赛试题的原创性极高，往往需要参赛者运用创新思维和灵活解题技巧。
此外，普特南数学竞赛试题具有良好的区分度，能够有效地选拔出具有潜力和天赋的数学人才。
我国学生参加普特南数学竞赛有着重要的意义。
首先，参加普特南数学竞赛有助于提高学生的数学素养，拓宽数学视野，培养逻辑思维能力。
其次，竞赛过程中，学生可以锻炼创新思维，学会在看似复杂的问题中寻找规律，提升解决问题的能力。
最后，普特南数学竞赛能够激发学生对数学的兴趣，培养学生的学术热情，为我国数学教育发展提供源源不断的人才。
总之，普特南数学竞赛作为一项具有国际影响力的数学竞赛，对我国学生具有重要的启示作用。
普特难数学竞赛试题及答案
普特难数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的质数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 2B. 4C. ±4D. ±23. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π4. 以下哪个表达式是正确的？A. \( \sqrt{16} = 4 \)B. \( \sqrt{16} = 16 \)C. \( \sqrt{16} = 2 \)D. \( \sqrt{16} = -4 \)二、填空题（每题5分，共30分）5. 如果一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第10项是________。
6. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是________。
7. 一个正六边形的内角是________。
8. 将一个长方体的长、宽、高分别增加10%，那么体积增加的百分比是________。
三、解答题（每题25分，共50分）9. 证明：对于任意的正整数n，\(1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2\)。
10. 解不等式：\(\frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1} > 0\)。
普特难数学竞赛试题答案一、选择题答案1. C2. D3. B4. D二、填空题答案5. 236. 57. 120°8. 11%三、解答题答案9. 证明：根据等差数列求和公式，\(1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2}\)。
将每一项立方，我们有\(1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)\)。
根据平方和公式，\(1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。
1940-1959普特南大学数学竞赛试题
A-2. 有一个浮标由三部分组成 一个圆筒与两个相等圆锥 其中每个圆锥的高 等于圆筒的高 问当表面积一定时 什么样的形状会有最大的体积 A-3. 如果一个质点在平面内运动 其坐标可表为时间 t 的函数 x=t3-t y=t4+t 证明曲线在 t=0 处有一个拐点 并且质点运动的速度在 t=0 处有一个极大 值 A-4. 伐木工砍一棵树 树干是圆柱形 粗细均匀 他先砍出一道 V 形槽 槽的 两边是平面 两面的交线是通过圆柱的轴的一条水平线 其二面角为θ 如果给定θ 证明平分θ的平面是水平面时 所砍去的材料的体积最小 n2 n →∞ e n 1 x (1 + sin 2t ) t dt 0 x→ 0 x ∫
B-7. (i) 设 u = 1 +
v=
w=
证
明 u3+v3+w3-3uvw=1 (ii) 设中心锥 (ax2+by2)+2(px+qy)+c=0 (ax2+by2)+2λ(px+qy)+λ2c=0 λ 是已 知的正的常数 证明 如果从原点到第一个锥的所有射线段按λ比 1 改变 新的射线段的端点生成第二个锥 q 2λ p 2λ 设 P 点坐标为 − b 1+ λ a 1+ λ 线段按λ比 1 呈反向改变 情形 证明 如果从 P 到第一个锥的所有射 注意λ=1 的
2 v0 − 2 gh (忽略大气阻力)
A-7. (i) 求与曲线族(y-k2)2=x2(k2-x2)的所有曲线切触的曲线 两条曲线的草图 (ii) 如果函数
作这条曲线及族中
1 展开为 x 的幂级数 c0+c1x+c2x2+ (1 − ax)(1 − bx)
第七十五届William Lowell Putnam数学竞赛
ｐ ｅ ｒ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ． Ａ ｌ ｌ ｒ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖ ｅ ｄ ． 美国数学协会授予译文出版许可． １ ） 本文 自开始 至正文 “ 问题， ’ 之前为译者根据原文 编译 ． —— 译注
３ ６ ２ ・
在 Ｘ＝０ 处的 Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ （ 泰勒） 级数的每个非零系数是一个有理数， 其（ 既约形式） 分子或为
Ｌｏ ｗｅ ｌ ｌ Ｐｕ ｔ ｎａ ｅ ｔ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ，Ｌｅ ｏ ｎａ ｒ ｄ Ｆ，Ｋｌ ｏ ｓ ｉ ｎ ｓ ｋ ｉ ，Ｇｅ ｒ ａ ｌ ｄ Ｌ，Ａｌ ｅ ｘ ａ ｎｄ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ，
ａ ｎ ｄ Ｍａ ｒ ｋ Ｋｒ ｕ ｓ ｅ ｍｅ ｙ ｅ ｒ ．Ｃ ｏ ｐ ｙ ｒ ｉ ｇ ｈ ｔ＠Ｔｈ ｅ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ａｓ ｓ ｏ ｃ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，２ ０ １ ５ ． Ｒｅ ｐ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ
（ 主席） ， 微 软和 麻 省理工 学 院 的 Ｈ ｅ ｎ ｒ ｙ Ｃ ｏ ｈ ｎ ， 和 亚利 桑 那 （ Ａ ｒ ｉ ｚ ｏ ｎ ａ ）大学 的 Ｄ ａ ｖ ｉ ｄ Ｓ ａ ｖ ｉ ｔ ｔ 组成 ．他 们 出了题 ，而且 提供 了众 多解答 中最优 秀的解 答 ．与本 文不 同的解答 已在 数
出资设立的． 每年一次的竞赛由美国数学协会 （ ｔ ｈ ｅ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ａ ｓ ｓ ｏ ｃ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ａ ｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ）
2023年美国第84届普特南数学竞赛试题
2023普特南数学竞赛A组(0)|>题 1.对正整数n,设f n(x)=cos(x)cos(2x)cos(3x)···cos(nx).求最小的n,使得|f′′n 2023.题2.设n是一个偶数.设p是一个首一的实系数多项式,次数为2n；即p(x)=x2n+a2n−1x2n−1+···+a1x+a0,其中系数a0,...,a2n−1是实数.已知对于所有满足1≤|k|≤n的整数k,有p(1/k)= k2.找出所有满足p(1/x)=x2的其他实数x.题3.确定最小的正实数r,使得存在可微函数f:R→R和g:R→R满足以下条件：(a)f(0)>0,(b)g(0)=0,(c)对所有x,|f′(x)|≤|g(x)|,(d)对所有x,|g′(x)|≤|f(x)|,(e)f(r)=0.题4.已知v1,...,v12是单位向量,其方向从原点指向正二十面体的所有顶点.证明对于每个向量v∈R3和每个ε>0,存在整数a1,...,a12满足∥a1v1+···+a12v12−v∥<ε.题5.对于非负整数k,设f(k)为k在3进制表示中的1的个数.找出所有复数z,使得31010−1(−2)f(k)(z+k)2023=0k=0题6.甲和乙进行一个游戏,在游戏中他们轮流选择1到n之间的整数.在选择数字之前,乙选择一个“奇数”或“偶数”的目标.在第一轮中,甲选择n个整数中的一个.在第二轮中,乙选择剩下的整数中的一个.他们继续轮流选择尚未选择过的整数,直到第n轮,也就是最后一轮,游戏结束.如果{k：第k轮选择了数字k}的奇偶性与乙的目标匹配,乙获胜.对于哪些n,乙有获胜策略？B 组题1.考虑一个m ×n 的单位方格网格,其下标为(i,j ),其中1≤i ≤m 且1≤j ≤n .有(m −1)(n −1)个硬币,最初放置在下标为(i,j ),其中1≤i ≤m −1且1≤j ≤n −1的单元格中.如果一个硬币占据方格(i,j ),其中i ≤m −1且j ≤n −1且方格(i +1,j )、(i,j +1)和(i +1,j +1)空闲,那么合法的移动是将硬币从(i,j )滑动到(i +1,j +1).从初始布局出发,通过一系列合法移动（可能为空）可以达到多少种不同的硬币配置？题2.对于每个正整数n ,令k (n )表示二进制表示中2023·n 中的1的个数.求k (n )的最小值.题3.一个由实数y 1,y 2,...,y k 组成的数列被称为“锯齿”序列,如果k =1,或者y 2−y 1,y 3−y 2,...,y k −y k −1非零并且交替改变符号.从均匀分布[0,1]上独立选择X 1,X 2,...,X n .令a (X 1,X 2,...,X n )是最大的k 值,使得存在递增的整数序列i 1,i 2,...,i k ,满足X i 1,X i 2,...X i k 是“锯齿”序列.对于n ≥2,求a (X 1,X 2,...,X n )的期望值.题4.对于非负整数n 和严格递增的实数序列t 0,t 1,...,t n ,令f (t )是一个实值函数.使得对于t ≥t 0,它具有以下性质：(1)对于t ≥t 0,f (t )是连续函数,对于除了t 1,...,t n 外所有的t >t 0,它是二阶可微的；(2)f (t 0)=1/2；(3)当0≤k ≤n 时,lim t →t +kf ′(t )=0；(4)当0≤k ≤n −1时,当t k <t <t k +1时,f ′′(t )=k +1,当t >t n 时,f ′′(t )=n +1.考虑所有满足t k ≥t k −1+1（1≤k ≤n ）的n 和t 0,t 1,...,t n 的选择,求使得f (t 0+T )=2023的T 的最小值.题5.确定哪些正整数n 具有以下性质：对于所有与n 互质的整数m ,存在一个置换π:{1,2,...,n }→{1,2,...,n },满足对于所有k ∈{1,2,...,n },π(π(k ))≡mk (mod n ).题6.令n 为正整数.对于{1,2,...,n }中的i 和j ,令s (i,j )为满足ai +bj =n 的非负整数对(a,b )的数量.令S 为n ×n 矩阵,其(i,j )元素为s (i,j ).例如,当n =5时,我们有S = 6322230101210012000121112 .计算矩阵S 的行列式.。
第六十八届普特南数学竞赛答案
第六十八届普特南数学竞赛答案1、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣42、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角3、14、在等腰中，如果的长是的2倍，且三角形周长为40，那么的长是（）[单选题] * A．10B．16 (正确答案)C．10D．16或204、下列计算正确是（）[单选题] *A. 3x﹣2x=1B. 3x+2x=5x2C. 3x?2x=6xD. 3x﹣2x=x(正确答案)5、40．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）[单选题] * A．﹣7(正确答案)B．﹣3C．1D．96、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] * A．±8(正确答案)B．﹣3或5C．﹣3D．57、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)8、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。
[单选题] *3(正确答案)4519、39、在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（）[单选题] *A．﹣11＜m＜﹣4B．﹣7＜m＜﹣4(正确答案)C．m＜﹣7D．m＞﹣410、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}11、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、412、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案) C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.13、20．下列说法正确的是（）[单选题] *A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数(正确答案)14、下列各角中，是界限角的是（）[单选题] *A. 1200°B. -1140°C. -1350°(正确答案)D. 1850°15、y=k/x（k是不为0的常数）是（）。
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普特南数学竞赛试题
这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。
题目：
设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。
答案及解析：
由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。
首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：
当a = 0时，m = 17；
当a = 1时，m = 117；
当a = 2时，m = 217；
当a = 3时，m = 317；
当a = 9时，m = 917；
当a = 10时，m = 1017；
可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。
解析：
这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。
我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。
首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。
根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。
接下来，我们分析一下m可能的取值范围。
百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。
为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。
当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。
当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。
所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。
因此，整数m的百位数字是1。
这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。
同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。