第2章平面解析几何初步知识点清单-高二上学期数学湘教版选择性

新教材湘教版2019版数学选择性必修第一册第2章知识点清单目录第2章平面解析几何初步2. 1 直线的斜率2. 2 直线的方程2. 3 两条直线的位置关系2. 4 点到直线的距离2. 5 圆的方程2. 6 直线与圆、圆与圆的位置关系2. 7 用坐标方法解决几何问题第2章平面解析几何初步2. 1 直线的斜率一、直线的倾斜角1. 当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.2. 直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.注意：直线倾斜角的取值范围是[0，π).二、直线的斜率1. 若直线l的倾斜角为α，时，直线l的斜率不存在；则α=π2时，直线l的斜率k=tan α.α≠π22. 已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1=x2，则直线l的斜率不存在，若x1≠x2，则直线l的斜率k=y2−y1.x2−x1注意：若已知两点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.三、倾斜角与斜率的关系及应用1. 直线的倾斜角与斜率的变化关系设直线的倾斜角为α.(1)当0°≤α<90°时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大；(2)当90°<α<180°时，斜率为负，倾斜角越大，斜率越大；)的图象如图所示.(3)k=tan α(0≤α<π，且α≠π2由斜率k的范围截取函数图象，进而得到倾斜角α的范围；反过来，由倾斜角α的范围截取函数图象，进而得到斜率k的范围.四、直线斜率的应用1. 若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即k AB=k AC(或k AB=k BC，或k AC=k BC)；反之，若k AB=k AC(或k AB=k BC，或k AC=k BC)，则直线AB与AC(或AB与BC，或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B，或C)，因此点A，B，C在同一条直线上.2. 形如y−bx−a 的范围(最值)问题，可以利用y−bx−a的几何意义[过定点(a，b)与动点(x，y)的直线的斜率]，借助于图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程.2. 2 直线的方程一、直线的方程形式与适用条件二、直线的方向向量、法向量1. 与直线平行、垂直的非零向量分别称为该直线的方向向量、法向量，直线的方向向量和法向量不唯一.2. 斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍，直线Ax+By+C=0的法向量可取(A，B).三、直线方程的选择和求解1. 直线方程的几种常见设法(1)若已知一点的坐标，则一般选用点斜式，再由其他条件确定直线的斜率.(2)若已知直线的斜率，则一般选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距.(3)若已知两点坐标，则一般选用两点式或点斜式，当两点是直线与坐标轴的交点时，选用直线的截距式方程.无论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的适用范围，对特殊情况下的直线要单独讨论.四、如何利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题1. 对于含参数的直线方程，可将方程整理成点斜式或斜截式，利用系数的几何意义，结合图形探求和证明过定点问题.2. 根据斜截式中k，b的几何意义，可确定对应函数的大致图象.3. 已知含参直线的一般式方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，求参数的值或范围的步骤：2. 3 两条直线的位置关系2. 3. 1 两条直线平行与垂直的判定一、两条直线平行、垂直的判定1. 对于直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，有(1)l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2；(2)l1⊥l2⇔(1，k1)·(1，k2)=1+k1k2=0⇔k1k2=-1.2. 对于直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，有(1)l1∥l2⇔A2=λA1，B2=λB1，C2≠λC1，λ为非零实数⇔A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0 (或A1C2-A2C1≠0)；(2)l1⊥l2⇔(A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0.二、根据位置关系设直线方程的方法1. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).2. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.3. 与直线y=kx+b平行的直线方程可设为y=kx+m(m≠b).x+m.4. 与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程可设为y=-1k三、两条直线平行、垂直的判定及简单应用1. 判断两条不重合的直线是否平行的两种方法(1)利用直线的斜率判断；(2)利用直线的法向量判断.2. 利用k1k2=-1或者A1A2+B1B2=0可判定两直线垂直. 当题目给出的条件是点的坐标时，注意横坐标是否相等.3. 利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤：四、利用两条直线平行、垂直关系求参数1. 利用直线平行、垂直关系求参数的方法(1)作出示意图，确定问题中的平行、垂直关系，利用斜率、方向向量或法向量列出相关方程，进行求解.(2)充分分析图形特征，有多种情况的，要分类依次求解.(3)解题时要注意斜率不存在的情况是否符合题意.2. 3. 2 两条直线的交点坐标一、两条直线的交点坐标1. 求两相交直线的交点坐标，其关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，则常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式，则常应用加减消元法解方程组.2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则过l1，l2交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数)，然后根据条件求待定系数.二、两条直线的位置关系与相应方程组的解1. 利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.2. 两条直线相交的判定方法：①联立直线方程组成方程组，并解方程组，若有一组解，则两直线相交.②两直线斜率都存在且斜率不相等.③若两条直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0.三、求过两条直线交点的直线方程的方法1. 常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件求出直线方程.2. 特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.四、求解直线过定点问题的方法1. 将直线方程转化为y-y 0=k(x-x 0)的形式，则直线必过定点(x 0，y 0).2. 应用分离参数的方法，将直线方程转化为a 1x+b 1y+c 1+λ(a 2x+b 2y+c 2)=0(λ∈R)，由 {a 1x +b 1y +c 1=0，a 2x +b 2y +c 2=0求出定点坐标. 3. 应用特殊值法，给方程中的参数赋两个特殊值，可得关于x ，y 的两个方程，联立方程解出x ，y 的值即得定点的坐标. 五、常见的对称问题及应用 1. 对称点的求法(1)求点关于点的对称点坐标若点M(x 1，y 1)关于点P(a ，b)的对称点为N(x ，y)，则由中点坐标公式可得{x =2a −x 1，y =2b −y 1.(2)求点关于直线的对称点坐标设点M(x 0，y 0)关于直线l ：Ax+By+C=0(A ，B 不同时为0)的对称点为N(x ，y)，则点N 的坐标可由方程组{y−y 0x−x 0⋅(−AB)=−1，A ⋅x+x 02+B ⋅y+y 02+C =0求得. 2. 在直线l 上求一点P ，使P 到两个定点的距离之和最小的方法(1)若两个定点A ，B 在直线l 的异侧，则当点P 为直线AB 与l 的交点时，点P 到两个定点的距离之和最小，最小值为|AB|. 如图①，在直线l 上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.(2)若两个定点A ，B 在直线l 的同侧，如图②，则作点A 关于直线l 的对称点A'，连接A'B 交直线l 于点P ，此时点P 到两个定点A ，B 的距离之和最小.2. 4 点到直线的距离一、两点间的距离1. 平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式为|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2二、点到直线的距离.1. 点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=00√A2+B2三、两条平行直线间的距离1. 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0的距离是d=12.√A2+B2四、点到直线的距离公式的应用1. 利用点到直线的距离公式时，一般先分析确定相应的点和直线，再利用公式计算求解. 当所给条件不能明显确定所需的点和直线时，可考虑待定系数法，有时要结合几何图形的直观性，综合分析解决问题.五、平行线间的距离公式的应用1. 两条平行直线间的距离的求法(1)直接利用公式求解.(2)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2. 两条平行直线间的距离的应用已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程，一般先设出直线方程，再利用两平行直线间的距离公式求解. 也可以把两平行直线间的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题，然后利用点到直线的距离公式求解.六、与距离有关的最值问题与距离有关的最值问题的解题策略(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题.一般地，形如√(x−a)2+(y−b)2的式子可视为点(x，y)与点(a，b)之间的距离，所以解决相关的最值问题时，可应用数形结合思想，借助两点间的距离公式，将其转化为点到直线的距离或两平行线之间的距离.(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.2. 5 圆的方程一、圆的标准方程与一般方程1. 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为(a，b)，半径为r.2. 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0：当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形；当D2+E2-4F=0时，表示一个点(−D2，−E2)；当D2+E2-4F>0时，表示以(−D2，−E2)为圆心，以12√D2+E2−4F为半径的圆.3. 二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的图形为圆时，需满足A=B≠0，C=0.二、点与圆的位置关系三、圆的方程的求法1. 直接代入法先确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可.确定圆心和半径的方法如下：(1)利用条件确定圆心C(a，b)及半径r.(2)利用几何性质确定圆心C(a，b)及半径r.①圆心与切点的连线垂直于圆的切线；②圆心到切线的距离等于圆的半径r；③圆的半径r，弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2；④圆的弦的垂直平分线过圆心；⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l的交点为圆心.2. 待定系数法(1)根据题意，设所求圆的标准方程或一般方程；(2)根据已知条件，建立关于参数的方程组；(3)解方程组，求出参数的值；(4)将参数代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程.四、点与圆的位置关系1. 点与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：计算已知点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可判断.(2)代数法：把点的坐标代入圆的方程，比较式子两边的大小，并作出判断.2. 点与圆的位置关系的灵活运用若已知点与圆的位置关系，则可利用以上两种方法列出方程或不等式，求解参数的值或范围.2. 6 直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，则圆心C(a,b)到直线l的距离d=√A2+B2，由{(x−a)2+(y−b)2=r2，Ax+By+C=0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.二、圆与圆的位置关系1. 代数法：联立方程后，得出方程组解的个数为0，1，2时，分别对应圆与圆内含或外离、内切或外切、相交，不仅计算复杂且情况也复杂，因此一般利用几何法进行分析判断.2. 几何法：通过方程得出两圆的半径分别为r1，r2，计算两圆心之间的距离d，按下表中的标准进行判断.三、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断 1. 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断主要有几何法和代数法两种方法. 几何法侧重图形的几何性质，较代数法步骤简捷，所以一般选用几何法.四、与圆有关的切线问题1. 过点P(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)当点P 在圆上时，求点P 与圆心连线的斜率，若斜率存在且不为0，记为k ，则切线斜率为-1k ；若斜率为0，则切线斜率不存在；若斜率不存在，则切线斜率为0. (2)当点P 在圆外时，设切线斜率为k ，写出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半 径r ，解出k 即可(若仅求出一个k 值，则有一条斜率不存在的切线).2. 切线长的求法过圆外一点P 可作圆的两条切线，我们把点P 与切点之间的线段的长称为切线长. 切线长可由勾股定理来计算. 如图，从圆外一点P(x 0，y 0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)的切线，则切线长为√(x 0−a)2+(y 0−b)2−r 2.3. 过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论(1)若点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2(r>0)上，则过点P 的切线方程为x 0x+y 0y=r 2；(2)若点P(x 0，y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)上，则过点P 的切线方程为(x-a)·(x 0-a)+(y-b)(y 0-b)=r 2；(3)若点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)上，则过点P 的切线方程为x 0x+y 0y+D·x 0+x 2+E·y 0+y 2+F=0.五、直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题1. 直线与圆相交时的弦长求法2. 解决与中点弦有关的问题，有下列三种常见方法(1)利用根与系数的关系求出中点坐标；(2)设出弦的两个端点的坐标，代入圆的方程，利用作差法求出斜率，此法即为点差法；(3)利用圆本身的几何性质，即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直.六、与圆有关的最值问题 1. 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有：①关于x ，y 的一次分式形式常转化为直线的斜率；②关于x ，y 的一次式常转化为直线的截距；③关于x ，y 的二次式常转化为两点间的距离.(2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决.(3)利用三角代换，若点P(x ，y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)上，则设{x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最大(小)值.七、两圆的公共弦问题1. 两圆的公共弦所在直线方程的求法设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0).联立{x2+y2+D1x+E1y+F1=0，①x2+y2+D2x+E2y+F2=0，②，①-②，得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. ③设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程①②，也适合方程③，因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.（1）当两圆相交时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程.（2）当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程. （3）当两圆相切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.（4）若两圆是等圆，则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.2. 两圆公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：①将两圆的方程作差，求出公共弦所在的直线方程；②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；③利用勾股定理求出公共弦长.3. 求经过两圆交点的圆的方程的方法一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠-1)，然后由其他条件求出λ即得圆的方程.2. 7 用坐标方法解决几何问题一、利用坐标法解决几何问题的基本过程1. 用坐标法解决平面几何问题的三个步骤第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.第二步：实施代数运算，求解代数问题.第三步：把代数解转化为几何结论.2. 建立平面直角坐标系应坚持的原则(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.(2)充分利用图形的对称性.(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.(4)关键点的坐标易于求得.二、求解与圆有关的轨迹问题 1. 求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：根据已知条件，直译为关于动点间的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式.(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.(3)相关点法：有些问题中，动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.三、解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.(2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.。