第2章平面解析几何初步知识点清单-高二上学期数学湘教版选择性

新教材湘教版2019版数学选择性必修第一册

第2章知识点清单

目录

第2章平面解析几何初步

2. 1 直线的斜率

2. 2 直线的方程

2. 3 两条直线的位置关系

2. 4 点到直线的距离

2. 5 圆的方程

2. 6 直线与圆、圆与圆的位置关系

2. 7 用坐标方法解决几何问题

第2章平面解析几何初步

2. 1 直线的斜率

一、直线的倾斜角

1. 当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.

2. 直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.

注意：直线倾斜角的取值范围是[0，π).

二、直线的斜率

1. 若直线l的倾斜角为α，

时，直线l的斜率不存在；

则α=π

2

时，直线l的斜率k=tan α.

α≠π

2

2. 已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

若x1=x2，则直线l的斜率不存在，若x1≠x2，则直线l的斜率k=y2−y1

.

x2−x1注意：若已知两点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.

三、倾斜角与斜率的关系及应用

1. 直线的倾斜角与斜率的变化关系

设直线的倾斜角为α.

(1)当0°≤α<90°时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大；

(2)当90°<α<180°时，斜率为负，倾斜角越大，斜率越大；

)的图象如图所示.

(3)k=tan α(0≤α<π，且α≠π

2

由斜率k的范围截取函数图象，进而得到倾斜角α的范围；反过来，由倾斜角α的范围截取函数图象，进而得到斜率k的范围.

四、直线斜率的应用

1. 若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即k AB=k AC(或k AB=k BC，或k AC=k BC)；反之，若k AB=k AC(或k AB=k BC，或k AC=k BC)，则直线AB与AC(或AB与BC，或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B，或C)，因此点A，B，C在同一条直线上.

2. 形如y−b

x−a 的范围(最值)问题，可以利用y−b

x−a

的几何意义[过定点(a，b)与动点(x，y)的直

线的斜率]，借助于图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程.

2. 2 直线的方程

一、直线的方程形式与适用条件

二、直线的方向向量、法向量

1. 与直线平行、垂直的非零向量分别称为该直线的方向向量、法向量，直线的方向向量和法向量不唯一.

2. 斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍，直线Ax+By+C=0的法向量可取(A，B).

三、直线方程的选择和求解

1. 直线方程的几种常见设法

(1)若已知一点的坐标，则一般选用点斜式，再由其他条件确定直线的斜率.

(2)若已知直线的斜率，则一般选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距.

(3)若已知两点坐标，则一般选用两点式或点斜式，当两点是直线与坐标轴的交点时，选用直线的截距式方程.

无论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的适用范围，对特殊情况下的直线要单独讨论.

四、如何利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题

1. 对于含参数的直线方程，可将方程整理成点斜式或斜截式，利用系数的几何意义，结合图形探求和证明过定点问题.

2. 根据斜截式中k，b的几何意义，可确定对应函数的大致图象.

3. 已知含参直线的一般式方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，求参数的值或范围的步骤：

2. 3 两条直线的位置关系

2. 3. 1 两条直线平行与垂直的判定

一、两条直线平行、垂直的判定

1. 对于直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，有

(1)l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2；

(2)l1⊥l2⇔(1，k1)·(1，k2)=1+k1k2=0⇔k1k2=-1.

2. 对于直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，有

(1)l1∥l2⇔A2=λA1，B2=λB1，C2≠λC1，λ为非零实数⇔A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0 (或A1C2-A2C1≠0)；

(2)l1⊥l2⇔(A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0.

二、根据位置关系设直线方程的方法

1. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).

2. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.

3. 与直线y=kx+b平行的直线方程可设为y=kx+m(m≠b).

x+m.

4. 与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程可设为y=-1

k

三、两条直线平行、垂直的判定及简单应用

1. 判断两条不重合的直线是否平行的两种方法

(1)利用直线的斜率判断；

(2)利用直线的法向量判断.

2. 利用k1k2=-1或者A1A2+B1B2=0可判定两直线垂直. 当题目给出的条件是点的坐标时，注意横坐标是否相等.

3. 利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤：

四、利用两条直线平行、垂直关系求参数

1. 利用直线平行、垂直关系求参数的方法

(1)作出示意图，确定问题中的平行、垂直关系，利用斜率、方向向量或法向量列出相关方程，进行求解.

(2)充分分析图形特征，有多种情况的，要分类依次求解.

(3)解题时要注意斜率不存在的情况是否符合题意.