二阶张量与四阶张量双点积的结果
张量第四章
第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
晶体光学 lesson5张量
第二章晶体性质的数学描述研究内容张量的概念二阶张量－重点介绍－推导变换关系 二阶张量示性曲面及主轴化高阶张量及其变换三阶张量四阶张量晶体宏观对称性与晶体张量的关系张量的概念标量物理中常见的一些量，如密度、温度等等很多。
特点：无方向可用一个数值完全表示矢量区别于标量的另一类物理量，既有数值又有方向，如机械力就是矢量。
矢量用黑体字母表示，如F 。
在直角坐标系中用矢量在该坐标系上的分量表示矢量。
例如电场强度矢量E 记为：123[,,]T E E E =E 123E E E ++E=i j k二阶张量张量的概念以电场强度和极化强度矢量为例：123P P P =++P i j k 123E E E ++E=i j k对于各向同性晶体中，同方向则,P E0εχ=P E123[,,]T E E E =E 123[,,]T P P P =P¾如果在各向异性晶体中情况就复杂了，电场强度和它引起的极化强度的方向一般不相同¾这时电场强度的每个分量对极化强度每个方向的分量均有影响，且影响的程度不同，这时我们就不能简单的利用前面的公式()11112130111122133()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()22122230211222233()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()33132330311322333()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++张量的概念我们把上述公式表示为矩阵的形式1112131120212223233313233P E P E P E χχχεχχχχχχ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 1、P 的每一个分量与电场强度的三个分量存在线性关系2、坐标系确定后为常数3、各向异性介质的电极化特性需用9各数值才能完整描述----我们接下来会详细介绍ij χ张量的概念－二阶张量111213212223313233χχχχχχχχχ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠我们称这个3×3的矩阵为二阶张量张量的概念－二阶张量推广－如果某个物理性质T ，可以表征另外两个物理量p,q 之间的关联，并具有如下关系111213112212223233313233T T T P q P T T T q P q T T T ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 我们称构成二阶张量ij T 张量的概念－二阶张量张量的习惯写法：引入爱因斯坦求和法则－略去求和符号31(1,2,3)i ij j j p T q i ===∑i ij j p T q =i 为自由下标，j 为求和下标，注意顺序1、下标符号任意选定，但要有区别2、自由下标前后呼应，求和下标成对出现张量的概念－二阶张量张量的概念－二阶张量或者表示为矩阵的形式：P Tq=对于我们晶体光学范畴研究的二阶张量均有：ij ji T T =对称张量T T ′=张量的概念－二阶张量我们可以将二阶张量的下标作如下简化：11－1 22－2 33－323 32－4 13 31－5 12 21－6121112131653212223624431323354356T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⇒⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠张量的概念9标量（零阶张量）9矢量（一阶张量）9二阶张量9三阶张量9四阶张量。
张量分析(1)
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1
e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'
' x1
e1 x1
x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则： αi' j
cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos( e , e ) cos( e , e ) ' ' sin cos 1 2 2 2
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：
Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
2.1二阶张量的矩阵
二阶张量的转置， 2.1.2 二阶张量的转置， 对称、 对称、反对称张量及其所对应的矩阵
T = T
T
( ) g g = (T )
T i j ij
T j i
g gj = T
i
( )
j
T i j
gi g = T
j
( ) gg
T ij i
j
= T ji g g = T g g j = T gi g = T gi g j
定义
显然
2.1.4
( ) det (T ) = det (T )
T det (T ) = det τ 3
T
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
（1）张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与 张量的相等、相加、 矩阵运算一一对应。 矩阵运算一一对应。 （2）二阶张量的迹 trT ：
trT = Ti i
张量分析 及连续介质力学
第2章
二 阶 张 量
2.1 二阶张量的矩阵
2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵
三维空间中的二阶张量T 三维空间中的二阶张量
T 11 T12 T13 τ 1 = T21 T22 T23 = Tij T31 T32 T33
[ ]
T 1 T 2 T 3 1 1 1 1 2 3 τ 2 = T 2 T 2 T 2 = T i j T 31 T 32 T 33 T 11 T 12 T 13 τ 4 = T 21 T 22 T 23 = T ij T 31 T 32 T 33
[ ] [ ]
T 11 T 12 T 13 2 2 2 τ 3 = T 1 T 2 T 3 = T i j T 31 T 3 2 T 3 3
[ ]
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
08张量分析4
2 , 2
3
, 3
1 所得的分量值不变。
A11 = A22 = A33 A12 = A23 = A31 A21 = A32 = A13
♣ 二阶张量
根据变换 I（附图 1a）
′ = β11β11 A11 = ( −1) A11 = A11 A11 = A11
2
′ = β11 β 22 A12 = ( −1) ( +1) A12 = − A12 A12 = A12 ′ = β 22 β11 A21 = ( +1)( −1) A12 = − A21 A21 = A21
若对任一自变量（例如 b ）满足
φ = f ( a , αb + βb′ ) = α f ( a , b ) + β f ( a , b′ ) （1.11）
则称为线性函数，容易验证（1.9a）式为双线性函数， （1.9b）式为四重线性函数。 一般情况下，函数的函数值将随自变量的变化而变化，例如
f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x2 , y2 )
附 1.1
用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式 特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式
根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如
′ = Aij Aij
′ ℓ = Aijk ℓ Aijk
♣ 一阶张量
一阶张量满足
ai′ = β ij a j = β i1a1 + β i 2 a2 + β i3 a3
(
)
T( ik )
上式虽然未出现（1.2）式的 η ，但实际上包括了 i = j = k = ℓ 的情况，由（1.2）式和（1.3）式得
η = λ + µ +γ
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
第一章 张量分析基础知识
晶体物理性能南京大学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容．由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第一章张量的基础知识§１．１标量、矢量和二阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５二阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的足符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表示和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴………………………………………§１．９二阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第二章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原子间力…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应力……………………………………………………………………………………§２．４推广的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５立方晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因子的测量方法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３高频电场的介电极化（光的色散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离子晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的一般性质…………………………………………………………………§４．２常用铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热力学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电方程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应用实例――石英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲面……………………………………………………………§５．４晶体表面上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光干涉及其应用……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１非线性极化…………………………………………………………………………§６．２非线性极化系数……………………………………………………………………§６．３非线性介质中电磁场耦合方程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７角度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放大…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐方法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13非线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应用§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的几个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第八章声光效应及其应用§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作用产生的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作用的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在一些物理常数测量中的应用…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散角α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射面相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第一章 张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。
张量补充
张量补充对称张量：ji ij TT →→→→=反对称张量：ji ij T T→→→→-=，必有0332211===T T T 1.张量代数1.1张量的加减：两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分别相加或相减，并服从交换律和结合律。
1.2张量与标量的乘积：标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一个分量。
即j i e e T ∑∑==→→=3131i j ij T ϕϕ1.3张量与矢量的乘积1.3.1矢量与张量的标积：当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量点乘，运算结果为一个矢量。
即→→→→→→→→→⋅=⋅=⋅b a f b a f T f )()(，把并矢本身消掉了。
同理：)()(→→→→→→→→→∙=∙=∙f b a f b a f T ，所以→→→→→→∙≠∙f T T f 1.3.2矢量与并矢的矢积：矢量与并矢矢乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。
即→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯b a f b a f T f )()(，同理：)()(→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯f b a f b a f T ，所以→→→→→→⨯≠⨯f T T f 由此可知，张量与矢量的乘积不满足交换律。
当然，如果对象是单位张量，就未必如此了。
因为单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本身。
即→→→→=⋅f I f ，所以任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律，即f I I f ⋅=⋅→→→→1.4张量与张量的乘积1.4.1张量与张量的点积：当一个并矢与另一个并矢点乘时，两个并矢中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢，其运算结果为一个新的并矢，同样，二阶张量与二阶张量的点积为一个新的二阶张量：→→→→→→→→→→→→⋅=⋅='⋅da cb dc b a T T )()()(1.4.2张量与张量的双点积：当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时，两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。
张量分析——初学者必看
ekijekst is jt js it
§A-2 矢量的基本运算
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
A 张量分析
e1 , e2 , e3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量
A 张量分析
T A B ( Aij Bij )eie j Tijeie j
二、矢量与张量的点积(点乘)
矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量 T的阶数降低一阶
左点乘
a T (ai ei ) (Tjk e j ek ) aiTjk ijek b
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Kronecker-符号定义
1 ji ij 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有 11 22 33 1
12 21 23 32 31 13 0
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
[ii ],[ii ]
互逆、正交矩阵
1 0 ii ii ij 0 1
基矢量变换式
ei ii ei ei iiei
坐标变换系数
任意向量变换式
vi iivi ii vi
§A-3 坐标变换与张量的定义
a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a33
a13 a21a32 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 eijk a1i a2 j a3k eijk ai1a j 2 ak 3
张量概念及其基本运算
张量概念•标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方向的物理量。
如物体的质量、密度、体积及动能、应变能等。
•张量：向量的推广。
在一个坐标系下，它是由若干个数(称为分量)来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。
一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的动量等都需用张量来表示。
张量的阶•一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空间中某点的几何位置和位移。
•二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合，如空间中某点的应力、应变等•n阶张量：由3n个分量组成的集合张量的阶◆现令n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。
当n =0时，零阶张量，M = 1，标量；当n =1时，一阶张量，M = 3，矢量；、、、当取n 时，n 阶张量，M = 3n 。
张量的表示(下标记法)•点的坐标：(x,y,z) →x i (i=1,2,3)•应力张量：•n阶张量可以表示为：n阶张量的下标有n个。
()3,2,1;3,2,1333231232221131211==→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡j i ij σσσσσσσσσσ()3,2,1;3,2,1;3,2,1a 21i 21===n i i i i i nEinstein求和约定•求和约定：在用下标记号法表示张量的某一项时，如有两个下标相同，则表示对此下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求和标号（哑标），不重复出现的下标称为自由标号,可取从1至3的任意值∑=++==31332211i i ii i b a b a b a b a b a ∑=++==31332211j i i i j ij j ij b a b a b a b a b a ()23322112312)(σσσσσ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=i ii ii ∑∑===3131i j ijij ij ij εσεσ131312121111εσεσεσ++=232322222121εσεσεσ+++333332323131εσεσεσ+++2332222113122a a a a a j ii ii ++==∑=★关于求和标号，即哑标有：◆求和标号可任意变换字母表示。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
添加标题
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流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
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目录 /目录
01
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04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
第 2 章 二阶张量
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
张量计算简介
对于广义胡克定律， 对于广义胡克定律，其本构矩阵可以写为
[L ]
ijkl
1 −ν 1 − 2ν ν 1 − 2ν ν 1 − 2ν E 0 = 1 +ν 0 0 0 0 0
ν
1 − 2ν 1 −ν 1 − 2ν
ν
1 − 2ν
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
三重求和（27项）
S = ∑∑∑aijk xi xj xk = aijk xi xj xk
i =1 j=1 k =1
3
3
3
例外的情形：
R1 = C1 E1 R2 = C2 E2 Ri = Ci Ei = Ci Ei
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
R3 = C3 E3
力学分析中用张量表述的例子－ 力学分析中用张量表述的例子－各向同性材料的广义胡克定律
σ xx σ yy
Eν (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2Gε xx = (1 +ν )(1 − 2ν ) Eν (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2Gε yy = (1 +ν )(1 − 2ν )
考虑到应力张量和应变张量的对称性， 考虑到应力张量和应变张量的对称性，可以简写成 σ 11 L1111 L1122 L1133 L1112 L1113 L1123 ε 11 ε σ 22 L2211 L2222 L2233 L2212 L2213 L2223 22 σ L L3322 L3333 L3312 L3313 L3323 ε 33 33 3311 = σ 12 L1211 L1222 L1233 L1212 L1213 L1223 2ε 12 σ L L1322 L1333 L1312 L1313 L1323 2ε 13 13 1311 2ε σ L 23 2311 L2322 L2333 L2312 L2313 L2323 23 而各向同性材料广义胡克定法律的本构矩阵元素可以写为 而各向同性材料广义胡克定法律的本构矩阵元素可以写为
张量概念及其基本运算
3
3
★
关于求和标号，即哑标有： 关于求和标号，即哑标有：
求和标号可任意变换字母表示 表示。 ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中， ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例： 优先求和。
aii = a + a + a
2 2 11 2 22
2
2 33
2
(aii ) = (a11 + a22 + a33 )
关于自由标号： ★ 关于自由标号：
在同一方程式中，各张量的自由标号相同， ◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同， 即同阶且标号字母相同。 即同阶且标号字母相同。 自由标号的数量确定了张量的阶次。 ◆自由标号的数量确定了张变程n内所有数值，然后再求和， 关于哑标号应理解为取其变程 内所有数值，然后再求和， 内所有数值 这就叫做求和约定。 例如： 这就叫做求和约定。 例如：
ai bi = ∑ai bi = a1b1 + a2b2 + a3b3
i =1
3
aijbj = ∑aijbj = ai1b1 + ai 2b2 + ai 3b3
★
关于Kronecker delta（ δ ）符号： 符号： 关于Kronecker delta（
ij
δ ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号 是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为： 柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为： ），亦称单位张量
1 0 0 1 , 当i = j时； 或： δij = 0 1 0 δij = 0 , 当i ≠ j时； 0 0 1
二阶张量的双点积计算matlab
二阶张量的双点积计算在matlab中是一个重要且复杂的主题。
让我们简要回顾一下二阶张量和双点积的基本概念，然后逐步深入探讨如何在matlab中进行这一计算。
1. 二阶张量在数学和物理学中，张量是一个非常重要的概念。
二阶张量是指一个具有两个指标的张量，通常可表示为一个矩阵。
二阶张量在描述物质的性质、力学中的作用等方面有着广泛的应用。
2. 双点积双点积是指两个张量的相乘并对其中一个张量的指标求和。
在物理学和工程中，双点积的计算经常出现在力学模型、应变分析等领域。
深入探讨二阶张量的双点积计算，我们需要先了解在matlab中如何表示和计算二阶张量。
在matlab中，二阶张量可以使用矩阵来表示。
假设我们有两个二阶张量A和B，它们分别表示为：A = [a11 a12; a21 a22]B = [b11 b12; b21 b22]其中，a11、a12等表示张量A的元素。
那么，A和B的双点积可以表示为：C = A:B = a11*b11 + a12*b21 + a21*b12 + a22*b22在matlab中，我们可以使用循环和逐元素相乘的方式来实现双点积的计算。
但是，这种方法在处理大型张量时效率较低，因此我们需要探讨更高效的方法。
一种更高效的方法是使用matlab中的张量运算函数。
在matlab的Tensor Toolbox中，有专门用于张量运算的函数，包括对二阶张量的双点积计算。
通过调用这些函数，我们可以更高效地进行二阶张量的双点积计算。
总结而言，二阶张量的双点积计算是一个重要且复杂的主题。
在matlab中，我们可以通过使用张量表示和张量运算函数来高效地进行这一计算。
通过深入学习和实践，我们可以更好地理解和运用二阶张量的双点积计算。
个人观点和理解：二阶张量的双点积计算在matlab中虽然复杂，但通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握这一技术，并将其应用于实际问题中。
掌握高效的计算方法，可以提高工作效率并解决复杂的工程和科学问题。
笛卡尔张量
是位置矢量.
03
.
v w v i w i v1 w1 v 2 w 2 v 3 w 3 1 3 2 1 5 1 4
i vw 1 3 j 2 1 k 5 1
i ( 2 1 1 5 ) j ( 3 5 1 1) k ( 1 1 2 3) 3 i 16 j 7 k
ijk ij 0
矢量和张量的运算举例
ij e i e j
e1 e 2 e 3 1 2 3 e 3 , e i e j ijk e k e 2 e1 e 3 2 1 3 e 3
e1 ( e 2 e 3 ) e1 e1 1 1 2 3 , e1 ( e 3 e 2 ) e1 ( e1 ) 1 1 3 2
e1 [ 123 x2 (
x j
( s ) k ijk
( s
x j
)]
(
s x k
)ei
ak a ijk e i x j
x3
) 132
x3 x2
s s e 2 [ 231 ( ) 213 ( )] x 3 x1 x1 x 3 s s e 3 [ 312 ( ) 321 ( )] x1 x 2 x 2 x1 s s e1 [ ( ) ( )] x2 x3 x3 x2 s s e2 [ ( ) ( )] x 3 x1 x1 x 3 s s e3 [ ( ) ( )] x1 x 2 x 2 x1 0
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二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果
导语：
在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。
而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。
本文将探讨二阶
张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。
一、什么是二阶张量和四阶张量
1. 二阶张量：
二阶张量是一种具有两个索引的张量。
它的表达式通常为 Tij，其中i
和j是两个索引的取值范围。
二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
应力张量、应
变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。
2. 四阶张量：
四阶张量是一种具有四个索引的张量。
它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。
二、二阶张量与四阶张量双点积的定义
1. 双点积的定义：
双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。
对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：
Bijkl = Aijmn * Cmnkl
其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。
2. 双点积的运算规则：
二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：
- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。
- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。
三、二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。
它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。
对于双点积的结果，具体计算方式为：
Bijkl = Aijmn * Cmnkl
其中，Aijmn和Cmnkl为已知的二阶张量和四阶张量，Bijkl为双点积的结果。
四、个人观点和理解
双点积运算可以将二阶张量和四阶张量之间的信息相互汇合，得到一个更全面、更细致的结果。
通过双点积，我们可以了解二阶张量和四阶张量在相互作用过程中产生的变化和相互影响。
双点积的结果是一个四阶张量，它可以提供更多维度的信息和更高级别的模型表示。
在实际应用中，我们可以利用双点积的结果来解析物理问题、优化工程设计和预测实验结果。
双点积运算是数学和物理学领域中非常有用的工具，可以帮助我们更好地理解和描述现实世界中的复杂问题。
总结：
本文介绍了二阶张量与四阶张量双点积的概念、定义和运算规则。
双点积运算可以将二阶张量和四阶张量的信息相互作用，得到一个更全面、更细致的结果。
双点积的结果是一个四阶张量，它可以提供更高
级别的模型表示和更多维度的信息。
通过双点积运算，我们可以更好
地理解和描述现实世界中的复杂问题，并在实际应用中进行分析、优
化和预测。
双点积是一种有价值的数学工具，对于推进科学研究和工
程领域的发展具有重要意义。
（文章结束）在数学和物理学领域中，二阶张量与四阶张量双点积的
结果是一个非常有价值的工具，它可以提供更多维度的信息和更高级
别的模型表示。
通过双点积运算，我们可以将二阶张量和四阶张量的
信息相互作用，得到一个更全面、更细致的结果。
让我们回顾一下二阶张量和四阶张量的概念。
在数学中，二阶张量是
一个具有两个索引的多维矩阵，它可以用来表示各种物理量的分量，
比如力、速度和应力等。
而四阶张量是一个具有四个索引的多维数组，它用于描述更复杂的物理过程和相互作用现象。
当我们进行二阶张量与四阶张量的双点积运算时，实际上是将二阶张
量的每一个分量与四阶张量的相应分量进行乘积，并将结果进行求和。
这样，我们可以得到一个新的四阶张量，它融合了二阶张量和四阶张
量的信息，提供了更全面的数据分析和建模能力。
通过双点积运算，我们可以了解二阶张量和四阶张量在相互作用过程
中产生的变化和相互影响。
这使得我们能够更好地解析物理问题、优
化工程设计和预测实验结果。
在材料科学领域，通过双点积运算可以
分析材料的应力和应变之间的关系，从而优化材料的性能和强度。
双点积的结果是一个四阶张量，其各个分量代表着不同的物理量或相
互作用信息。
这使得我们可以更精确地描述和模拟真实世界中的复杂
现象。
在实际应用中，我们可以利用双点积的结果进行数据分析和建模，从而更准确地预测实验结果或优化工程设计。
在航空航天工程中，通过双点积运算可以模拟飞机翼的变形和应力分布，从而改进飞行性
能和安全性。
二阶张量与四阶张量双点积的结果是一个非常有用的工具，它可以提
供更多维度的信息和更高级别的模型表示。
通过双点积运算，我们可
以更好地理解和描述现实世界中的复杂问题，并在实际应用中进行数
据分析、优化和预测。
双点积是一种有价值的数学工具，它对于推进
科学研究和工程领域的发展具有重要意义。
在进行数据分析和模型建
立时，我们应当充分利用二阶张量与四阶张量双点积的结果，以更好
地解决复杂问题。