相似三角形性质和判定复习
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形复习
相似三角形复习关键信息项：1、相似三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质：＿___________________________2、相似三角形的判定方法方法：＿___________________________示例：＿___________________________3、相似三角形的应用应用场景：＿___________________________解题思路：＿___________________________11 相似三角形的定义相似三角形是指三角分别相等，三边成比例的两个三角形。
两个三角形相似用符号“∽”表示。
111 相似比相似三角形对应边的比称为相似比。
相似比为 1 时，两个三角形全等。
112 相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
12 相似三角形的判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
121 直角三角形相似的判定1、一个锐角相等的两个直角三角形相似。
2、两条直角边成比例的两个直角三角形相似。
3、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
122 判定方法示例例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC ∽三角形 A'B'C'。
又比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C' 且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
13 相似三角形的应用131 应用场景1、测量物体的高度，如测量旗杆、大树等的高度。
(相似三角形的判定及性质)
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
形成结论
证明：ABC为直角三 角形，CD是斜边上的高 C
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似.
形成结论
判定定理3：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似.
BC 2 BD AB
A
DB
AC2 AD AB
CD2 AD DB
射影定理
巩固练习
如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，AC＞ BC，CD⊥AB于点D，若CD＝4，AB＝10，求 AC及BC
C
AC 4 5
BC 2 5 A
D
B
范例导析
如图， △ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中 线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交 AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF
如范图例,导在析 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F, 求证 : CEF∽ CBA.C
证法二：
F
E
AD
B
CEF ∽ CBA
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
相似三角形的判定及有关性质复习课件
[例 4] 四边形 ABCD 中，AB∥CD，CE 平分∠BCD，CE ⊥AD 于点 E，DE＝2AE，若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积．
[解] 如图，延长 CB、DA 交于点 F， 又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点． ∴S△FCD＝12FD·CE ＝12×2ED·CE ＝2S△CED＝2，
[解] 作 CN∥AB 交 DF 于点 N， 并作 EG∥AB 交 BC 于点 G，由平行 截割定理，知CBNF＝DDBC，CANF＝EACE，
两式相乘，得CBNF·CANF＝DDBC·EACE， 即EACE＝BAFF·DDCB. 又由 AF＝13AB，得BAFF＝2， 由 BD＝52BC，得DDCB＝35， 所以EACE＝2×35＝65.
1．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB ＝4，CD＝2，E，F 分别为 AD，BC 上 的点，且 EF＝3，EF∥AB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________． 解析：由 CD＝2，AB＝4，EF＝3， 得 EF＝12(CD＋AB)，∴EF 是梯形 ABCD 的中位线， 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有相同的高，设为 h， 于是两梯形的面积比为12(3＋4)h∶12(2＋3)h＝7∶5. 答案：7∶5
EF＝ED＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD. 又∵AB∥CD， ∴△FBA∽△FCD. ∴SS△△FFCBDA＝(FFAD)2＝(14)2＝116. ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA ＝2－1－18形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相 等的两个三角形之间的边、角关系．其应用非常广泛，涉及到 多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、 角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角 形全等是三角形相似的特殊情况．
相似的性质和判定
三角形相似的判定和性质1一、知识梳理：1、相似的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（两角对应相等，两个三角形相似。
）②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（三边对应成比例，两个三角形相似。
）④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。
（三边对应平行，两个三角形相似。
）⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。
2、相似的性质：①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。
②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。
3、推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
4、射影定理：射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB；③BC2＝BD·AB二、相似的基本图形：（一）平行线型如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对. （二）相交线型若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O,且CODOBO EO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?如果是,请说明理由.（三）母子型如图，有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.DABCABCD例3 如图,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件是 或 或 或 ； （四）旋转型△ADE ∽△ABC,称之为旋转型的基本图形.AB例4、如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4． 证明：△ABC ∽△DBE ．（五）三垂直型如右图，AB⊥BC, AD⊥DE, CE⊥BC,则△ABD∽△DCE,这种图形称之为三垂直型.AEBD C随堂练习一．选择题：1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（）DE=EF=DF=，AC=BC=DE=△BDE△CDE△DOE△AOC 的值为（）A． B． C． D．4．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C． D．二．填空题：5．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．6．如图，四边形ABCD为矩形，，则∠MAN的度数为度．7．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为米．8．△ABC中，AB：AC：BC=4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1=3：2：4，则△ABC与△A1B1C1（相似或不相似）．9．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2，AD与CE相交于F，则= ．10．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ．11．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D1，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三．解答题：13．如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试求出∠AFE的度数．（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．（3）BD2=AD•DF吗？请说明理由．14．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．15．如图，过▱ABCD的顶点A的直线交BD于点P，交CD于点Q，交BC的延长线于点R．求证：．16．如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形．求∠1+∠2+∠3的度数．17．如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？九年级数学图形的相似2参考答案一．选择题（共4小题）1．D 2．C 3．D 4．D二．填空题（共8小题）5．5 6．90 7．2.4 8．相似 9．10．1 11．12．。
中考数学知识点相似三角形的判定及性质
2019中考数学知识点相似三角形的判定及性质一、相似三角形的判定1、A型（仿A型）相似三角形的判定2、8型（仿8型）相似三角形的判定3、K型相似三角形的判定4、子母型相似三角形的判定二、常见相似三角形的性质1、2、3、4、三、相似三角形解题技巧1、三角形叉叉图（即三角形内部画一把叉）2、三角形的可解性在一个三角形中，必然存在三角、三边、三高、周长、面积这十一个量，若已知其中任意三个不全为角的条件，则可求出其他八个条件（简称知三求八）。
常见辅助线做法：作三角形边上的高遵循原则：①特殊角原则，即作高时常常把特殊角放在直角三角形中进行求解②最长边原则，即作高时常常选择作最长边上的高，使得高在内部③偶数边原则，即常常将偶数边作为直角三角形的斜边，方便计算3、线段长度求法①勾股定理（利用可解性求解）；②面积法；③想似4、线段长度求法①计算比：直接计算线段长度做法：利用可解性直接求出所求比例线段的数值②共线比：所求比例的两条线段在同一条直线上做法：利用三角形叉叉图，构造平行线求解③共三角形比：所求比例的两条线段在同一个三角形中单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
做法：寻找或者构造与之相似且知内比的三角形进行求解④相似比：所求比例的两条线段在两个相似三角形中与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
第十篇 相似三角形的性质与判定
EDCBAE D CBA 第十篇 相似三角形的性质与判定考点梳理一、相似三角形的性质1.对应边的比相等，对应角相等．2.相似三角形的周长比等于相似比．3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．．． 4.相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．二、相似三角形的判定方法三、1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2.平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似4.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
三、平行定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．常见题模型如下：G EDCBAGFEDC BA G FEDCB ADEFCBA方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．ODFE BAOFEABCD典例探究【例1】在ABC △中，B D C E =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：A D B P A E C P ⋅=⋅．PE D CBA变式训练：如图所示，在Rt ABC △中，090B ∠=，4,8BC cm AB cm ==，D E F 、、分别为AB AC BC 、、边的中点，点P 为AB 边上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，若3AP cm =，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．P QMNABCD FE【例2】如图所示，如果,,D E F 分别在,,OA OB OC 上，且,DF AC EF BC ∥∥． 求证：ABC DEF △∽△．变式训练：如图，已知O 是ABC △内一点，D E F 、、分另是OA OB OC 、、的中点．求证：ABC DEF △∽△．FEDC BAPCBAFEDC BADACE B21EFABD CP 【例3】如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，过C 作CE AB ∥，P 为梯形ABCD 内一点，连接BP 并延长交CD 于F ，交CE 于E ，再连接PC ．若BP PC =． 求证：PFC PCE △∽△．变式训练：如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕AE ，那么BE 的长度为 ．【例4】如图所示，AB CD ∥,,AD BC 交于点,E F 为BC 上一点，且EAF C ∠=∠． 求证：（1）EAF B ∠=∠；（2）2AF FE FB =⋅．变式训练：如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得A P B B P C C P ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB = ．【例5】已知，如图，D 为ABC △内一点连结,E D A D ，以BC 为边在ABC △外作,CBE ABD BCE BAD ∠=∠∠=∠．求证：DBE ABC △∽△．变式训练：如图，在ABC △中,AD BC ⊥，垂足为D ，且CE BE ⊥，垂足为E ，交BA 的延长线于点E ．求证：BDE BAC △∽△．课堂小结1.熟练掌握相似三角形性质和四种判定方法2.学会通过做平行线的方法构造相似三角形3.注意各种相似的判定方法的应用意境，尤其是用两边对应成比例夹角相等这一判定方法时经常借助另一对相似三角形找到比例线段4.深刻理解相似三角形与全等三角形性质和判定方法上的相通性课后作业一、选择题1.如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则AF EFFC FD+的值为（ ）A ．52 B ．1 C ．32D ．22.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ．2B ．2.5或3.5C ．3.5或4.5D ．2或3.5或4.53.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．5:2B．3:2C．5:3D．2:33.如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED 的值为（）A．3:1B．3:2C．4:1D．5:25.如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB. 若NF =NM = 2，ME = 3，则AN =（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题∠+∠．6．如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG7.如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=.8.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）9.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．10.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．三、解答题11.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．12.网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．13.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．14.在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．15.（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形是指具有完全相同形状但大小不同的三角形。
其主要知识点总结如下：
1. 相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2. 相似三角形的判定：若两个三角形的对应边成比例，则它们是相似的。
3. 相似三角形的性质：
- 对应角相等：对应的角度是相等的。
- 对应边成比例：对应边的长度之比是相等的。
- 对应的高线成比例：对应的高线的长度之比是相等的。
- 对应的面积成比例：对应的面积的大小之比是相等的。
4. 相似三角形的性质推理：
- 两个三角形中，如果两边成比例，则其对应的夹角也相等。
- 两个三角形中，如果两角相等，则其对应的边成比例。
- 如果两个三角形中，对应的角度和边成比例，则这两个三
角形是相似的。
5. 相似三角形的应用：
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的边或角度之比。
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的面积之比。
- 利用相似三角形的性质可以进行图形的放大或缩小。
这些是九年级相似三角形的主要知识点总结，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用相似三角形的相关概念和性质。
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它 们相似. 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似. 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么它们相似.
4.相似三角形的性质
性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例. 性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的 周长的比都等于相似比. 性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周 长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似 比的平方.
题型一 构造法 添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅 助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等 结构.
例 1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，CE 平分∠BCD，CE⊥AD 于 E，DE＝2AE， 若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积.
解 延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点. ∴S△FCD＝12FD·CE＝12×2ED×CE＝2S△CED＝2，EF＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD.又∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠FCD， ∠FAB＝∠D，∴△FBA∽△FCD.∴SS△△FFCBDA＝FFAD2＝142＝116， ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－18＝78.
1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平 分第三边. 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另 一腰. (2)中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等 于它的一半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底 和的一半.
中考数学复习之相似三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题
AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上 （1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝ 时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝ 时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ； （1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为 ； （2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（ ）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（ ） （1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ； （4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法 欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形的性质和判定复习
中考考试要求： 1、理解和探索三角形相似的性质及判
定、直角三角形相似的判定。 2、掌握相似三角形的性质和判定的应
用。
• 本节课内容渗透的主要数学思想和方 法：
• 数形结合、方程、函数、转化的思想" 类比法、分析法、综合法、配方法等。
相似三角形的性质和判定有哪些 1.相似三角形性质：
1.本题主要涉及的知识点有哪些
2.主要运用了哪些数学思想与方法
思路与方法点拨
• 1.寻求相似三角形时要注意挖掘图形中的隐含条件" 如公共角、对顶角等。
• 2. “两角对应相等的两个三角形相似.”在证明三角 形相似中用得较多"在证明过程中应注意结合图形 和已知条件去找相等的角。
• 3.解题时要结合图形和已知条件"找出相似的三角形 并把已知量和未知量集中在所找的三角形中"利用 相似三角形的性质和判定解决有关计算线段长度和 证明线段成比例的问题。
③定理3 三边对应成比例的两个三角形相似
。
以下图形出现时"有相似的三角形哟
“A”型和“X” 型相似三角形平行于三角形一边直线截其 它两边或其延长线"所截得的三角形与原三角形相似。
A
D
E
E
D
A
B
CB
C
如上图:如果DE∥BC"那么△AＤＥ∽△ＡＢＣ
模型“双垂直”三角形直角三角形斜边上的高分直角三 角形所成的两个直角三角形与原三角形相似. C
AB∥CD.∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°. 又∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC. (2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也 相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FEC【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD ∙=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
【随堂训练】1.如图，若ABAE= ，则△AEF ∽△ABC ，理由是 . 2.在△ABC 与△DEF 中，已知AB=3，BC=2，DE=6，EF=4，再补充条件∠ =∠ ，就可以判定△ABC ∽△DEF .3.如图，AD=6，AE=8，EC=4，则当BD= 时，△ADE ∽△ACB.4.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且32==AB AD AC AE ，若DE=4㎝，则BC= ㎝. 5.D 是△ABC 边AB 上一点，要使△ACD ∽△ABC ，则还须具备的条件是（ ）A.AC ：CD=AB ：BCB.CD ：AD=BC ：ACC. CD 226.判断题：（1）相似三角形的对应角相等( ) （2）相似三角形的高的比等于相似比( ) （3）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比( ) （4）△ABC 和△A 1B 1C 1的中线AD ：A 1D 1=k,则AB: A 1B 1=k ( ) 7.已知：如图，在ABC △中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E ，:1:3AD AB =．若2DE =，则BC =_________．8.下列判断正确的是（ ）A. 两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似9、如图△ABC 中，DE ∥BC ，AE=1，AC=2，则S △ADE ：S △ABC=（ ）A 、1：2B 、1：3C 、1：4D 、1：910．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件：（1）∠B ＋∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ； （3）AD CD ＝ABAC ；（4）AB 2＝BD ·BC 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） F B A 第1题C E 第3题 BDE A C 第4题 B D E A C 7、9图A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个题10 题11 题1211．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论中错误的是（ ）A 、AE ⊥AFB 、EF ︰AF ＝2︰1C 、AF 2＝FH ·FE D 、FB ︰FC ＝HB ︰EC 12．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ）A 、△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周B 、△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积C 、△ABE ∽△DECD 、△ABE ∽△EBC 13． ACD ∆∽ABC ∆，则下列各式成立的是（ ）A 、AB AD AC ⋅=2B 、DB AD CD ⋅=2C 、BC AB CD AC ::= D 、AC BC AD CD ::= 14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。
其中两个图形一定相似的是( )A ． 四组B ． 三组C ． 两组D ． 一组 二、填空题1．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝_______． 2．如图，□ABCD 中，E 是AB 中点，F 在AD 上，且AF ＝21FD ，EF 交AC 于G ，则AG ︰AC ＝______．题2 题33．如图，已知△ABC ，P 是AB 上一点，连结CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．题4 题55．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝8，BC ＝10，则梯形ABCD 面积是_________． 6.两个相似三角形对应高的比为 1∶3，则它们的相似比为 ；对应中线的比为 ；对应角平分线的比为 ；周长比为 ；面积比为 ；ABCD E7．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3，则BD ∶A ′C ′=________． 三、解答题1、如图，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD =3S △ABD ，求AB ∶AC2、如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm ，BE=3cm ，求EC 的长.3.如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。
4.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 上的一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD=8，BC=18，试求AE ：EB 的值。
5．已知在△ABC 中，△ABC ∽ADE ，DE ∥BC ，如果23DB AD ，AE=15，求AC 和EC 的长 。
相似三角形提高练习A B C DC一、选择题4. 如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ）A ．65 B ．95 C ．125 D ．1655. 如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，A ．1B ．2C ．3D ．43.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5`1 2 34.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.22cm B.24cm C. 28cm D. 216cm 5.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DOAO等于（ ） A ．352 B ．31 C ．32D ．216.一张等腰三角形纸片，底边长cm 15，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张 C.第6张 D ．第7张7.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30㎝，AB=50㎝，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A.24B.25C.26D.2745678.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32 B ．76 C ．256D ．2 9.如图所示，已知点EF 、分别是ABC △中AC AB 、边的中点，BE CF 、相交于点G ，2FG =，则CF的长为（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．68 9二、填空题1、如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ． 2、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CFAD = ． 3、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．10 11 12三、解答题1、已知：P 为平行四边形ABCD 对角线AC 上一点，过点P 的直线与AD 、BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H 求证：PGPHPF PE =A F ECB2、已知：在三角形ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且EC AE =2，BE 、CD 相交于点F ，求EFBF3、已知：在三角形ABC 中，AD=31AB ，延长BC 到F ，使CF=31BC ，连接FD 交AC 于点E ，求证：（1）DE=EF ，（2）AE=2CE4、如图，DE//BC ，ADE S ∆ =1，BDE S ∆ =1 求：ABC S ∆5、PD//AB 交AC 于D ，联结PA ，设BP=x, ADP S ∆=y 求：（1）y 与x 之间的函数关系式并写出x 的范围；（2）当x 为何值时，y=34?6、如图，D 是等边三角形ABC 的BC 上的一个动点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 是垂足 （1）求证：△BDE ～△CDE ； （2）求证：BDF S ∆=CDE S ∆；（3）设AB=1 ，BD=x ,求△BDF 的面积y 关于x 的函数解析式C7、已知：在正△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F 求证：(1) DC=AE ； (2) DF DC AD 2∙=8、已知：直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC=90°，AB=2CD ，对角线BD ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作EF//AB 交AD 于E ，CF=4（1）求证：△DAB 为等腰三角形 （2）求AE 的长9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． （1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？10、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y轴的正半轴上，且满足10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．B x。