现代控制理论稳定性的判定优秀详解
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
现代控制理论稳定性
Modern Control Theory
第三章 控制系统的李亚普诺夫 稳定性
§3.1 李亚普诺夫第二法概述 §3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 §3.3 李亚普诺夫稳定性定理 §3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析
§3.1 李亚普诺夫第二法的概述
一、物理基础 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是
(3)正半定性与负半定性 如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0，则V(X)为正半定。 如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。
(4)不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可 为负值．则V(X)为不定。
赛尔维斯特准则
①二次型 V(X) XT PX 或对称矩阵P为正定的充要条件是 P的主子行列式均为正，即
(3.1)
时，称
X e
为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一
切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系
统 X f (X,t) AX ，A为非奇异时,X=0是其唯一的平
衡状态，如果A是奇异的．则式(3.1)有无穷多解，
系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一
个或多个平衡状态。
由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的 变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇 点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系 统在运动过程中的平衡点。
因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。 系统的状态方程为
X f [X(t), u(t)]
设 u(t) 0 且系统的平衡状态为 X e , f [X e (t)] 0 。有扰 动使系统在t t0 时的状态为X e ，产生初始偏 差 X 0 - X e，则 t t0后系统的运动状态从 X 0 开始随时 间发生变化。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
现代控制理论4稳定性
现代控制理论4稳定性4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析（1）平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如系统1132122x x x x x x =-??=+-?解：有3个平衡点 100e x=，201e x=??-??，301e x=（2）稳定性分析1）李亚普诺夫意义下的稳定对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2）渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3）大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4）不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1）线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ??=， []10C = 0)1()1(=+?-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统，而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法基础知识解析
为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。
对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量 随时间而最终消失，那么这个系统是渐近稳定的。反 之则不稳定。
若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫 意义下的稳定。
但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一 种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难， 李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普 诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的 函数，所以v(x) > 0。这样就可以根据 的v(定x) 号性来 判断系统的稳定性。显然，若v(x) > 0，并且 v(x) < 0，则系统就是渐近稳定的。
若系统方程的平衡状态 xe 不仅具有李雅普诺夫意义下
的稳定性，且有
lim
t
(t;
x0,t0 )
xe
0
则称系统的平衡状态 xe是渐近稳定的。
若 与初始时刻 t0无关，则称系统的平衡状态xe是
一致渐近稳定的。
几何意义：
当t 时，从S( )出发的轨迹不仅不超出 S( )，
而且最终收敛于 xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。
一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系 统稳定。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的 首要任务。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov） 在《运动稳定性的一般问题》一文中，提出了著名的 李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理 论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别 被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
现代控制理论-第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析-566
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1） 线性定常系统渐近稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值都具有负实部。
定的初始条件扩大为整个状态空间，则称此时
系统的平衡状态 xe 0 为大范围渐近稳定的。
20
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
即：对 x0 s( )
都有
lim
t
x(t; x0, t0 ) xe
0
初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
• 当 与 t0无关 一致大范围渐近稳定。
些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在
x xe ）
如： x1 x1
x2 x1 x2 x23
x1 0
x2 0
三个平衡状态
0
xe1
0
0 xe3 1
0 xe2 1
9
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定； 而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定， 而不是整个系统稳定----可见，稳定性问题是相对 于平衡状态而言的。
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
15
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
若 δ 与t0 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。
现代控制理论4稳定性
4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析 （1） 平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如 系统1132122x x x x x x =-⎧⎨=+-⎩解：有3个平衡点 100e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201e x⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，301e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2） 稳定性分析1） 李亚普诺夫意义下的稳定 对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足 00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2） 渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3） 大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4） 不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1） 线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， []10C = 0)1()1(=+∙-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统， 而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
现代控制理论8_稳定性[1]
![现代控制理论8_稳定性[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/d3bef0e0102de2bd9605889d.png)
⎡ 10
解： V
( x)
=
[x1
x2
x3 ]⎢⎢ 1
1 2
− 2⎤⎡ x1 ⎤
−
1⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣− 2 −1 1 ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦
∆1 = 10 > 0
10 ∆2 = 1
1 = 19 > 0 2
10 1 − 2 ∆3 = 1 2 −1 = 5 > 0
− 2 −1 1
P的各阶顺序主子式>0 ⇒ V (x) 正定
判别下列函数的符号性质：
例1
⎡ x1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
标量函数为： V (x) = (x1 + x2 )2 + x32
例2
⎡ x1 ⎤
x
=
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
标量函数为： V (x) = x12 + x22
¾ 二次型标量函数
二次型函数在李亚普诺夫第二法分析系统的稳 定性中起着非常重要的作用。
不求解系统方程，通过李雅普诺夫函数来直接判定 系统的稳定性。
不仅适合于单变量、线性、定常系统，还适合多变量、 非线性、时变系统。
二、李雅普诺夫关于稳定性的定义
1 平衡状态
系统的齐次方程：
x& = f (x,t)
定义是其平衡状态是 x& = 0 对应的那一类状态 xe ，即
x&e = f (xe ,t) = 0
局限性： 只适合于单输入单输出线性定常系统，不 适合于非线性，时变系统。
1892年，Lyapunov 提出判定系统稳定性的两种方法： 李雅普诺夫第一法、李雅普诺夫第二法。
现代控制理论稳定性的判定课件
李雅普诺夫稳定性判据的应用
01
李雅普诺夫稳定性判据可以应用 于各种控制系统的稳定性分析， 包括线性控制系统、非线性控制 系统、时变控制系统等。
02
在应用李雅普诺夫稳定性判据时 ，需要选择适当的李雅普诺夫函 数，通过计算函数的导数来判断 系统的稳定性。
鲁棒控制理论
鲁棒控制理论：鲁棒控制理论是一种研究不确定系统 稳定性的方法，能够在存在不确定性和干扰的情况下 保证系统的稳定性和性能。在稳定性判定中，鲁棒控 制理论可用于设计鲁棒控制系统，提高系统的稳定性 和性能。
鲁棒控制理论主要研究不确定系统在干扰下的稳定性 和性能问题。其中，不确定系统指的是系统参数或结 构发生变化时，系统性能发生变化的情况。在鲁棒控 制中，通常假设不确定因素是已知的或在一定范围内 变化的。通过设计鲁棒控制器，可以使系统在存在不 确定性和干扰的情况下保持稳定性和性能。在稳定性 判定中，鲁棒控制理论可帮助设计者提高系统的稳定 性和性能。
霍尔稳定性判据应用案例
总结词
霍尔稳定性判据是一种基于系统模型的稳定性判据，它 通过分析系统的动态性能来判断系统的稳定性。
详细描述
霍尔稳定性判据是一种适用于非线性系统的稳定性判据 ，它通过分析系统的动态性能来判断系统的稳定性。霍 尔稳定性判据基于系统的模型和参数，考虑了系统的非 线性特性，能够更准确地判断系统的稳定性。
现代控制理论稳定性的判定
• 稳定性概述 • 李雅普诺夫稳定性判据 • 劳斯稳定性判据 • 霍尔稳定性判据 • 现代控制理论在稳定性判定中的应用 • 案例分析
01
稳定性概述
稳定性的定义
稳定性的定义
现代控制理论系统的稳定性分析
Modern Control Theory
系统的稳定性分析
系统的稳定性分析
给定一个静止的系统， （1）给了一个初始扰动，它是否 会恢复到静止状态； （2）在持续扰动下，系统的输出 是否有界； 不同的稳定性概念： （1）李雅普诺夫意义下的稳定性； （2）输入输出稳定性
B D A C
李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫第一方法：利用矩阵特征值 李雅普诺夫第二方法：利用能量函数（直接法） 李雅普诺夫（1857－1918） 1892年在博士论文中提出稳定性理论 1907（15年后）出版了法文版 1992（100年后）出版了英文版 当今任何一本控制期刊都有 李雅普诺夫的名字
V(x, t) 的正定性：存在正定函数W(x)，使得
V ( x, t ) > W ( x ) ， 对所有非零的x， V (0, t ) = 0
负定：V(x) 负定 ⇔ －V(x) 正定
能量函数 半正定：对所有x， V ( x ) ≥ 0，且 V (0) = 0 。 半负定： V(x) 半负定 ⇔ －V(x)半正定。 不定：无论在原点的多么小领域内V(x) 既可以取到正 值，也可以取到负值。
2 V ( x ) = x1 x2 + x2 是不定的。
二次型函数
n n
V ( x ) = ∑∑ pij xi x j = x T Px = [ x1
i =1 j =1
x2
⎡ p11 ⎢p L xn ] ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ pn1
p12 L p22 L M M pn 2 L
p1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ p2 n ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ M ⎥⎢M⎥ ⎥⎢ ⎥ pnn ⎦ ⎣ xn ⎦
矩阵P是对称的，称为表示矩阵。 二次型函数的定号性就是矩阵P的定号性。 问题：如何判别矩阵P的定号性？ 塞尔维斯特判据 对实对称矩阵
现代控制理论-稳定性的判定
教材 p.505 附录1；5.二次型和向量范数
作业： 判断下面二次型函数的符号性质 V ( x ) x12 3 x2 2 11 x3 2 2 x1 x2 x2 x3 2 x1 x3
李雅普诺夫第一方法（间接法）
1、适用对象
线性系统、非线性不很 严重的系统，将其适当 的线性化。可以 按线性系统的稳定条件 去分析其稳定性。
x2 S ( )
S( )
x0
xe
x1
渐进稳定的平衡状态及其状态轨线
4、大范围渐进稳定
若对状态空间所有点， 由这些状态出发的轨迹 都具有 渐进稳定性，称系统 大范围渐进稳定。
讨论： 按照李亚普诺夫稳定性定义
线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。 非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定， 若稳定，也只能是小范围渐进稳定。
[ 2]、若 A的特征值，至少有一个 具有正实部，则原系统 的平 衡状态 X e是不稳定的。
令
雅克比 Jacobian 矩阵
f A X T
X Xe
AX X X X e , 可得线性化的方程 X
( 2 )、第一法（间接法）的 内容
[1]、若 A 的所有特征根都具有负 实部，则原非线性系统 在平
衡状态 X e 是渐进稳定的。且系统 的稳定性和 （ X ）无关。
学者李雅普诺夫提出的 经典定义。
2、所谓自由运动，是指已知系统的数学模型， 不考虑外加激励， 研究系统的自由运动。设系统的齐次状态 方程；
f ( X , t ) 其解为 X ( t ; X 0 ; t 0 ) X
3、平衡状态 X e
若状态方程的解存在状 态矢量 X e ，使得对所有的 t，都有
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现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分，它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中，通过判定系统的稳定性，可以评估控制系统的性能和可靠性，为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法
1. 传递函数法
传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数，确定系统的极点位置，从而判断系统是否稳定。
对于一般系统，只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个根的实部大于零，则系统是不稳定的。
2. 状态方程法
状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程，通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
3. 极点分布法
极点分布法是一种图形法，通过绘制系统的极点在复平面上的分布图，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，
则系统是稳定的；如果存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
此外，如果存在虚轴上的极点，系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点
1. 灵活性
现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可
以根据具体问题的特点选择使用，如传递函数法适合分析线性时不变
系统，而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样，工程师可以
根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法，保证判定结果的准确性。
2. 准确性
现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析，具
有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证，
在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性
极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘
制极点的分布图，可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可
以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为，为控制系统的设计
和调试提供有价值的参考。
三、结论
现代控制理论中的稳定性判定方法是工程控制科学中至关重要的内容。
传递函数法、状态方程法和极点分布法是其中最常用的方法。
这
些方法具有灵活性、准确性和直观性的优点，能够为工程师提供有力的工具和理论支持。
在控制系统的设计和运营中，合理选择和运用这些方法，可以确保系统的稳定性，提高系统的性能和可靠性。
通过以上对现代控制理论稳定性判定方法的详细介绍，我们可以看到，这些方法在实际工程应用中发挥着至关重要的作用。
掌握和应用这些方法，不仅可以保证控制系统的稳定性，还能够提高系统的性能和可靠性。
因此，对于从事控制工程领域的专业人士来说，深入了解和熟练掌握这些稳定性判定方法，具有重要的意义。
同时，我们也希望未来能够有更多关于现代控制理论稳定性判定的研究和发展，为控制工程的进一步创新和应用提供更好的理论基础和方法支持。