平面向量数量积学案

平面向量的数量积

一．【课标要求】

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二．【命题走向】

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主

三．【要点精讲】

１.向量的数量积的定义：已知两个非零向量a b 与，它们的夹角为θ，

则把数量||||c o s a b θ叫做a b 与的数量积（或内积），记作a b ∙，即 ＝ 规定：零向量与任一向量的数量积为格 ；注意公式的变形cos θ＝． ２.向量的数量积的几何意义

10. 投影的概念: 设,OA a OB b ==，

过Ｂ作1BB 垂直于直线ＯＡ,垂足为1B , 则1OB ＝ 叫b 在a 方向上的投影．

20.向量数量积的几何意义：数量积a b ∙等于 与b 在a 方向上的投影 的乘积

３.向量的数量积的性质： 设a b 与都是非零向量，θ为a b 与的夹角．

①特殊情况: a b ⊥⇔ ． 2a a a =∙＝ 或2||a a a a =∙= ②当a b 与同向时，a b ∙＝ ；当a b 与反向时，a b ∙＝ ． ③||a b ∙ ||||

a b ④运算律: a b b a ⋅=⋅ ; ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ; ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ; 注意:()

()a b c a b c ⋅⋅⋅⋅.

4.向量的数量积的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==, 则 10. a b ⋅= ; 20. a b ⊥⇔ ．

30. ||a = ; 40. cos ,a b <>=

1．(2009·广东高考)123)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为 ( )

A ．27

B ．2 5

C ．2

D ．6

2.(2009·全国卷Ⅰ)a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )

A ．150°

B ．120°

C ．60°

D ．30°

3．在△ABC 中，AB ·BC ＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32

]，则AB 与BC 夹角的取值范围是 ( )

A ．[π4，π3]

B ．[π6，π4]

C ．[π6，π3]

D ．[π3，π2

] 4．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2te 1＋7e 2与向量e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

5.已知向量a ＝6．(2009·广东高考)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)， 则a ＝________.

7．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.

(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.

8．(文)已知向量m ＝(cos x 2，cos x 2)，n ＝(cos x 2，sin x 2

)，且x ∈[0，π]，

令函数f (x )＝2a m ·n ＋b .

(1)当a ＝1时，求f (x )的递增区间；

(2)当a <0时，f (x )的值域是[3,4]，求a 、b .