单摆、复摆法测重力加速度 大学物理实验

一、复摆法测重力加速度

一．实验目的

1. 了解复摆的物理特性，用复摆测定重力加速度，

2. 学会用作图法研究问题及处理数据。

二．实验原理

复摆实验通常用于研究周期与摆轴位置的关系，并测定重力加速度。复摆是一刚体绕固定水平轴在重力作用下作微小摆动的动力运动体系。如图1,刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动，G是该物体的质心，与轴O的距离为h，θ为其摆动角度。若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，则有

θ

M-

=， (1)

mgh

sin

又据转动定律，该复摆又有

θ

I M = ， （2） (I 为该物体转动惯量) 由（1）和（2）可得θωθ

sin 2-= ， （3） 其中I

mgh

=

2ω。若θ很小时（θ在5°以内）近似有 θωθ

2-= ， （4） 此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为

mgh

I

T π

=2 ， （5） 设G I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知

2mh I I G += ， （6）

代入上式得

mgh

mh I T G 2

2+=π， （7）

设（6）式中的2mk I G =，代入（7）式，得

gh

h k mgh mh mk T 2

22222+=+=π

π， （11） k 为复摆对G （质心）轴的回转半径,h 为质心到转轴的距离。对（11）式平方则有

2

2222

44h g

k g h T ππ+=， （12）

设22,h x h T y ==，则（12）式改写成

x g

k g y 2

2244ππ+=， （13）

（13）式为直线方程，实验中(实验前摆锤A 和B 已经取下) 测出n 组(x,y)值，用作图法

求直线的截距A 和斜率B ，由于g

B k g A 2

224,4ππ=

=，所以 ,4,42

2

B

A

Ag

k B

g ==

=ππ （14） 由（14）式可求得重力加速度g 和回转半径k 。

三．实验所用仪器

复摆装置、秒表。

四．实验内容

1. 将复摆悬挂于支架刀口上,调节复摆底座的两个旋钮，使复摆与立柱对正且平行,以使圆孔上沿能与支架上的刀口密合。

2. 轻轻启动复摆,测摆30个周期的时间.共测六个悬挂点,依次是:6cm 8cm 10cm 12cm 14cm 16cm 处。每个点连测两次，再测时不需重启复摆。

3. 启动复摆测量时,摆角不能过大（<

）,摆幅约为立柱的宽度。复摆每次改变

高度悬挂时,圆孔必须套在刀口的相同位置上。

五．实验数据处理

1.由22,h x h T y == ,分别计算出各个x 和y 值,填入数据表格。

2. 以x 为横坐标，y 为纵坐标，用坐标纸绘制x —y 直线图。

3. 用作图法求出直线的截距A 和斜率B 。

4.由公式:,4,42

2

B

A

Ag

k B

g ==

=ππ计算出重力加速度g 和回转半径k 。 实验数据表格规范及参考数据

画x —y 直线图: 要用规范的坐标纸描绘。

（斜截式直线方程为 Y=KX+B 斜率k 截距B ）

5. 也可用最小二乘法求直线的截距A 和斜率B ，再计算出g 和k 。

用最小二乘法处理数据: 斜率 _

_

_

2

_

_2

.x y xy B x x

-=

- 截距 __

.A y B x =-

6. 荆州地区重力加速度: 2

9.781m g s =。将测量结果与此值比较,计算相对误差。

六．实验操作注意事项

1. 复摆启动后只能摆动,不能扭动。如发现扭动,必须重新启动。

2. 测量中,复摆摆角不宜超过5度,要尽量使每次摆动的幅度相近。

3. 实验结束时,将复摆从支架上取下,放到桌面上。

二、 单摆法测重力加速度

一． 实验目的

1. 用单摆法测重力加速度,认识简谐运动的规律。

2. 正确使用停表。

二． 实验原理

一根不能伸缩的细线，上端固定，下端悬挂一个重球。当细线质量比重球质量小很多，球的直径比细线长度短很多时，可以把重球看作是一个不计细线质量的质点。将摆球自平衡位置拉至一边（保持摆角θ<5︒）然后释放，摆球即在平衡位置左右作周期性摆动，这种装置称为单摆。如图1所示。

摆球所受的力f 是重力P 和绳子张力的合力，指向平衡位置。当摆角很小时（θ<5︒），圆弧可以近似看成直线，合力f 也可以近似地看做沿着这一直线。设小球的质量为m ，其质心到摆的支点的距离为L （摆长），小球位移为x ，则

L

x

≈

θsin （1） x L

g

m L x mg P f -=-==θsin

由 ma f = 可知 x L

g

a -

= （2） 由公式（2）可知，单摆在摆角很小时，质点的运动可以近似地看作简谐振动。简谐振动的动力学方程为

0222=+x dt

x

d ω

即 x a 2ω-= （3） 比较式（2）和式（3）可得单摆简谐振动的圆频率为 L

g =

ω 于是单摆的运动周期为 g

L

T π

ω

π

22==

两边平方 g L T 224π=

即 2

2

4T L

g π= （4） 若测得L 、T ，代入式（4），即可求得当地的重力加速度g 。

三．实验所用仪器

单摆、秒表、游标卡尺、卷尺

四．实验内容

1. 测量小球摆动周期T 。拉开小球释放，使小球在竖直平面内作小角度（摆角θ<5︒）摆动。用停表测出小球摆动30个周期的时间t （=30T ），重复测量5次。

2. 用卷尺测量悬线长L '5次。悬线长约一米。

3. 用游标卡尺测量小球直径d ，重复测量5次。周期 (s)

图一 单摆受力分析