微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究

微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究微专题：解析几何中斜率之积为定值的问题探究教学重点】掌握椭圆中斜率之积为定值的运算设计和化简。

教学难点】如何理性判断问题的路径探寻及成果运用。

活动一：斜率之积为定值的路径探寻假设AB是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的一条不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP和AB的斜率都存在，求$K_{AB} \cdot K_{PO}$。

解析】设点$P(x,y)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有$\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{a^2-b^2}$（代点作差）。

将$AB$的斜率$k_{AB}$表示为$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，$OP$的斜率$k_{OP}$表示为$\frac{y}{x}$，则有：begin{aligned} K_{AB}&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{(y_1-y)+(y-y_2)}{(x_1-x)+(x-x_2)} \\ &=\frac{y_1-y}{x_1-x} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x-x_2}{y-y_2} \\ K_{PO}&=\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1-x_2}{y_1-y} \end{aligned}$$因此，$K_{AB} \cdot K_{PO}=\frac{b^4}{a^4} \cdot\frac{(x-x_2)(x_1-x_2)}{(y-y_2)(y_1-y)}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。

结论形成总结】结论1】若$AB$是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的非直径的弦，点$P$是弦$AB$的中点，且直线$OP$和$AB$的斜率都存在，则$K_{AB} \cdot K_{PO}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。

假设$AB$是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上过原点的弦，点$P$是椭圆异于$A,B$的任意一点，若直线$PA$和$PB$的斜率都存在，记直线$PA$和$PB$的斜率分别为$k_1$，$k_2$，求$k_1 \cdot k_2$。

解法1】设$P(x,y)$，$A(x_1,y_1)$，$B(-x_1,-y_1)$，则有$k_1 \cdot k_2=\frac{y-y_1}{x-x_1} \cdot\frac{y+y_1}{x+x_1}=\frac{(y^2-y_1^2)(x^2+x_1^2)}{(x^2-x_1^2)(y^2-y_1^2)}=\frac{x^2+x_1^2}{y^2-y_1^2}$。

由椭圆的性质可得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$k_1 \cdot k_2$中得：k_1 \cdot k_2=\frac{x^2+x_1^2}{y^2-y_1^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}=-\frac{b^2}{a^2}$$因此，$k_1 \cdot k_2=-\frac{b^2}{a^2}$。

解法2】将椭圆圆化，由圆的结论类比到椭圆中。

2.由题可得 OB = 3，O = 60，因此直线 BD 的倾斜角为120 度，所以直线 BD 的斜率为 K。

根据结论可知 K BD = -3，因此 K CD = -2/33.3.在椭圆 x^2/4 + y^2/9 = 1 上，A、B 分别为椭圆的左右顶点，l2 是椭圆的右准线。

设 P 是椭圆上的动点，直线 AP、BP 分别交 l2 于 M、N，求线段 MN 的最小值。

解法一：设直线 AP 的斜率为 K（k>0），则直线 AP 的方程为 y=k(x+2)。

又 MN 的方程为 x=4，易求 M(4,6K)。

将 M 代入椭圆方程可得 y^2/9 = 1 - x^2/4，解得 y = 2√(1 - x^2/4) 或y = -2√(1 - x^2/4)。

因为 N 在 l2 上，所以 N 的横坐标为 4，代入直线 BP 的方程可得 N 的纵坐标为 -3/(4k)。

因此 MN = 6K + 3/(4K) ≥ 6（当且仅当 K = 1/2 时等号成立）。

解法二：利用中心弦结论 K PA · K PB = -b^2/a^2，设直线 AP 的方程为 y=k(x+2)，因为 K PA · K PB = -9/4，所以直线 BP 的方程为 y = -3/(4(x-2))。

易得 M(4,6K)、N(4,-3/(4K))，因此MN = 6K + 3/(4K) ≥ 6（当且仅当 K = 1/2 时等号成立）。

解法三：设M(4,m)(m>0)，N(4,n)(n<0)，A(-2,0)，B(2,0)，则 K PA = mn/4，K PB = -6/4，因此 mn = -9.因为 M、N 在椭圆上，所以 (4/2)^2 + m^2/9 = 1，(4/2)^2 + n^2/9 = 1，解得 m = 3√5/5，n = -3√5/5.因此 MN = m - n ≥ 2√(m·n) = 6（当且仅当 m = n = 3/√5 时等号成立）。

方法小结：通过两道小题强化结论的应用，并让学生能够通过图形自主发现中点弦、中心弦的特征，从而合理巧妙地应用结论。

三种解法两个角度：显然从设点和设 K 的角度处理问题结合中心弦的结论能够快速计算找到解题的突破口。

拓展延伸：在椭圆 x^2/4 + y^2/9 = 1 上异于顶点的两点 A、B，若 OA、OB 的斜率之积为 -1，则 AB 的斜率为 2/3 或 -3/2.求证：OA+OB为定值；若OA,OB的斜率之积为-1，证明OA2+OB2为定值。

设A(x1,y1);B(x2,y2)，则KOA·KOB=-1，即y1y2=-x1x2.又因为点A,B在椭圆上，所以x1=2-2y1，x2=2-2y2.将x1,x2代入y1y2=-x1x2得4y1y2=x1x2.所以OA2+OB2=x1+y1+x2+y2=4-(y1+y2)=3.求证：线段AB的中点C在某个定椭圆上。

设C(x,y)为AB中点，因为C为AB中点，所以2x=x1+x2，2y=y1+y2.又因为A,B在椭圆上，所以4x2=x12+2x1x2+x22，4y2=y12+2y1y2+y22.将x1=2-2y1，x2=2-2y2代入4x2=x12+2x1x2+x22得4y1y2+x1x2=1.所以4y1y2+2x1x2=3，即2y1y2+x1x2=3/2.所以C(x,y)在椭圆x2/4+y2/2=1/2上。

若OA,OB的斜率之积为-K，证明OA2+OB2=a2+b2.设A(x1,y1);B(x2,y2)，则KOA·KOB=-y1/y2=x1/x2=-b2/a2.又因为点A,B在椭圆上，所以b2x1+a2y1=a2b2，b2x2+a2y2=a2b2.将b2x1+a2y1=a2b2代入-y1/y2=x1/x2得y1=-b2x1/a2，将b2x2+a2y2=a2b2代入-y1/y2=x1/x2得y2=b2x2/a2.所以OA2+OB2=x1^2+y1^2+x2^2+y2^2=a2+b2.2-a2）=b4x1x2，因此x1+x2=axxxxxxxx.由此可得：y1+y2=bxxxxxxxx-a2b2.因为OA2+OB2=x1+y1+x2+y2=a2+b2，所以y1+y2=b2-a2，代入上式可得：OA2+OB2=a2+b2.若OA,OB的斜率之积为-2，证明线段AB的中点C在某个定椭圆上。

设C(x,y)，因为C为AB中点，所以有4x2=x12+2x1x2+x22.又因为KOA·KOB=y1y2/b2=-x1x2/a2=-2，所以(1)×b2+(2)×a2可得a2y1y2+b2x1x2=a2b2.所以有4b2x2=b2x12+2b2x1x2+b2x22，即4bx+4ay=2ab。

又因为4ay=ay1+2ay1y2+ay2，所以有xy=AB的中点轨迹方程为：x2y2/a2+b2=1.题目中给出的图形描述比较复杂，但是根据题目所求，可以通过计算得到线段AB的中点轨迹方程为：x2y2/a2+b2=1.因此，只需要证明该方程为椭圆即可。

已知椭圆 $E_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，$E_2: \frac{(x-b)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且 $E_1$ 的离心率为$\frac{1}{2}$，点 $P$ 在椭圆 $E_2$ 上，直线 $L$ 经过点$P$ 且与椭圆$E_1$ 交于$A,B$ 两点，且$AP=\lambda AB$，求实数 $\lambda$ 的值。

解析】方法一：设 $P(x,y)$，则 $A(-x,-y)$，$B(x_1,y_1)$，则$C(x,0)$，$k_{PA}=\frac{y}{x}$，$k_{AB}=\frac{b^2}{a^2}\frac{y_1}{x_1}$。

由结论1：$K_{AB}\cdot K_{PB}=-1$，用 $K_{PA}$ 代换 $K_{AB}$ 得$a^2\frac{x_1}{y_1}=-\frac{y}{x}$，解得 $x_1=-\frac{a^2y}{x^2+y^2}$，$y_1=\frac{b^2x}{x^2+y^2}$。

又因为点 $A,B$ 在椭圆 $E_1$ 上，代入可得$x^2+y^2=\frac{5}{4}a^2$，$x_1^2+y_1^2=\frac{5}{4}a^2$。

联立解得 $x=-\frac{a^2}{\sqrt{5}},y=\frac{b^2}{\sqrt{5}}$，$x_1=-\frac{a^2}{\sqrt{5}},y_1=-\frac{2b^2}{\sqrt{5}}$。

设直线 $L$ 的方程为 $y=kx$，则 $k=-\frac{y}{x}=-\sqrt{5}$，$AB$ 的斜率为 $\frac{b^2}{a^2}\frac{y_1}{x_1}=2\sqrt{5}$，$AB$ 的中点坐标为$(0,-\frac{b^2}{\sqrt{5}})$，设其为$N$，则 $ON\parallel PB$，$PA\perp PB$，所以 $PA\perp L$，即$AP$ 在 $AB$ 上的高为 $\frac{b^2}{\sqrt{5}}$，由相似三角形可得 $\lambda=\frac{\sqrt{5}}{2}$。