关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义

n 阶行列式

nn

n n n n a a a a a a a a a

2

122221112

11=

∑-n

n n j j j nj j j j j j a a a 21212121)

()1(τ

2 N 3、N 特点(2)(为:

(3)(性质1即

a a a 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.

如:D=d

c b a =ad-bc ,

b

a d c

=bc-ad=-D

以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。 性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这

D =

个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）

推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。 推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。 推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。

性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D 等于两个行

列式D 1

nn

n n a a a 21

性质6一个n 于零。

∑=n

k 1和⎩⎨⎧≠==∑=j

i j i D A a n

k kj ki 0

1（2）

行列式的计算

1．利用行列式定义直接计算 例1计算行列式

解D n 中不为零的项用一般形式表示为

1122

11!n n n nn a a a a n ---=.

该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)

2

n n --，故 2．利用行列式的性质计算

例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足

则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即

故行列式D n 可表示为

当3因此化例n 列都加到第4例5逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1,D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n ,D n －1,D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。

例5证明

证明：将D n 按第1列展开得

由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得

6．利用范德蒙行列式 例6计算行列式

解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第

n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式

7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 例7计算n 阶行列式

解：0n

n n

a D D

2,

,11

01

n

a n x

+--（箭形行列式）8例则当n =

9例1

2n n n

a a a λ+

解：n D =

1212212

n

n n n

a a a a a a a a a λλ++1

222

00

n n n n

a a a a a λλλ++

+

……

上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。

(1)y x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;

证明

y

x z x z y z y x b a )(33+=?

关于行列式的消项（其中C 代表列··R 代表行）

(2)

122a a 证明

)1(3-=(3)421a a a ?(a ?b 证明

00012b b ==(a ?b (4)0 0a x n ⋅

⋅⋅证明用数学归纳法证明?

当n ?2时?2121

221a x a x a x a x D ++=+-=?命题成立? 假设对于(n ?1)阶行列式命题成立?即

D n ?1?x n ?1?a 1x n ?2?????a n ?2x ?a n ?1?

则D n 按第一列展开?有

?xD n ?1?a n ?x n

?a 1x n ?1

?????a n ?1x ?a n ?

因此?对于n 阶行列式命题成立?6?设n 阶行列式D ?det(a ij ),把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转?依次得 n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=?11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=?11

113 a a a a D n n

nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=?

证明D D D n n 2

)

1(21)

1(--==?D 3?D ?

证明

1)

1(+-=D -=(27?(1)D n 解 a D n 1

0 0

0⋅⋅=n -=)1((2)x

a a a x a a a x

D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(?1)分别加到其余各行?得